课件31张PPT。第4章 相交线与平行线
4.1 平面上两条直线的位置关系
4.1.1 相交与平行1.了解平面内两条直线的位置关系.
2.熟记平行线的定义及表示方法.(重点)
3.掌握平行线的画法及其基本性质.(难点)一、同一平面内两直线的位置关系
同一平面内的两条直线的位置关系有_____、_____与_____.
二、平行线的概念及表示方法
1.平行线:在同一平面内,___________的两条直线.
2.表示方法:平行的符号是“___”,直线AB与直线CD平行,记作
_______,直线m与直线n平行,记作_____.相交重合平行没有公共点∥AB∥CDm∥n三、平行线的性质
【思考】
1.如图,经过点C能画出___条直线与直线AB平行.
2.过点D可以画___条直线与直线AB平行.
3.过C,D两点分别画的直线有何位置关系?
提示:平行.一一【总结】1.过直线外一点_________一条直线与这条直线平行.
2.平行于同一条直线的两条直线_____.即如果a∥b,a∥c,那么
b∥c.有且只有平行 (打“√”或“×”)
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线相交.( )
(2)过一点有无数条直线与已知直线平行.( )
(3)如果直线a∥b,且a与c相交,则直线b与c也相交.( )××√知识点 1 两线的位置关系及平行线的画法?
【例1】根据下列要求画图.
(1)如图①所示,过点A画MN∥BC.
(2)如图②所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H.【思路点拨】把三角尺与已知线段对齐→直尺靠紧→推→过点→画线.
【自主解答】如图所示:【总结提升】平行线的画法四字诀
一落:三角尺的一边落在已知直线上;
二靠:用直尺紧靠三角尺的另一边;
三移:沿直尺移动三角尺,直至落在已知直线上的三角尺的一边经过已知点;
四画:沿三角尺过已知点的边画直线.知识点 2 平行公理及其推论?
【例2】如图所示,在书写艺术字时,常常运用画“平行线段”这种基本作图方法,如图是在书写字母“M”:
(1)请从正面,上面,右侧三个不同方向上各找出一组平行线段,并用字母表示出来.
(2)EF与A'B'有何位置关系,CC'与DH有何位置关系?【解题探究】1.平行线的定义的前提是_____________.
2.线段平行,就是指线段所在的直线平行.从正面你能找出几组
平行线段?从上面,右侧呢?
提示:AB∥EF,CD∥GH,BQ∥MP,CQ∥PN,AE∥MF∥DH∥GN;
AA'∥BB'∥CC'∥DD',AB∥A'B',CD∥C'D';DH∥D'R,DD'∥HR.在同一平面内3.EF与AB有怎样的位置关系?A'B'与AB有怎样的位置关系?由此
判断EF与A'B'的位置关系的理由是什么?
提示:平行;平行;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两
条直线也互相平行.
4.观察图形可确定CC'与DH的位置关系是__________________.既不平行,也不相交【总结提升】平行线与平行公理及其推论
1.平行线是在同一平面内,两条直线的位置关系的一种.
2.平行公理的推论中所涉及的三条直线可以在同一平面内,也可以不在同一平面内.
3.应用时一定要分清这二者的区别.
4.平行公理及其推论是学习其他公理、定理的基础,在说明两直线平行时,经常用到.题组一:两线的位置关系及平行线的画法
1.两条射线平行是指( )
A.两条射线都是水平的
B.两条射线都在同一直线上且方向相同
C.两条射线方向相反
D.两条射线所在的直线平行
【解析】选D.两条射线平行是指这两条射线所在的直线平行.2.下列说法不正确的是( )
A.过马路的斑马线是平行线
B.100米直跑道的跑道线是平行线
C.若a∥b,b∥d,则a⊥d
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【解析】选C.选项A,B,由平行线的定义可知,斑马线是平行线,100米直跑道的跑道线是平行线,A,B正确;选项C,根据平行于同一条直线的两直线平行可知,C错误;选项D,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,这是平行公理,D正确.3.在同一平面内,两条不重合的直线可能的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.平行、相交或垂直
【解析】选C.根据在同一平面内,两条直线的位置关系是重合、平行或相交.可知A,B都不完整,故错误,而D选项中,垂直是相交的一种特殊情况,故选C.4.在同一平面内,直线l1与l2满足下列条件,写出其对应的位置关系:
(1)l1与l2没有公共点,则l1与l2 .
(2)l1与l2有且只有一个公共点,则l1与l2 .
(3)l1与l2有两个公共点,则l1与l2 .
【解析】在同一平面内,l1与l2没有公共点,则l1与l2平行;l1与l2有且只有一个公共点,则l1与l2相交;l1与l2有两个公共点,则l1与l2重合.
答案:(1)平行 (2)相交 (3)重合5.点D是△ABC中AB边上的中点.
(1)过点D作BC的平行线,交AC于E;
(2)量一量AE,CE的长度,它们相等吗?
(3)量一量DE,BC的长度,它们有何关系?【解析】(1)如图:
(2)经过测量,可以得到AE=CE.
(3)经过测量,DE的长是BC长的一半.题组二:平行公理及其推论
1.在同一平面内有三条直线,若其中有且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.在同一平面内有三条直线,若其中有且只有两条直线平行,说明第三条直线一定与这两条平行直线相交,所以有两个交点.2.如图,AB∥CD,EF∥AB,AE∥MN,BF∥MN,由图中字母标出的互相平行的直线共有( )
A.4组 B.5组 C. 6组 D. 7组【解析】选C.因为AB∥CD,EF∥AB,
所以CD∥EF,
因为AE∥MN,BF∥MN,
所以AE∥BF,
即图形中共有6组互相平行的直线.3.如果a∥b,b∥c,那么a∥c,这个推理的依据是( )
A.等量代换
B.平行线的定义
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D.平行于同一直线的两条直线平行
【解析】选D.依据平行于同一直线的两条直线平行.4.如图所示,将一张长方形纸对折三次,则产生的折痕与折痕间的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.平行或垂直 D.无法确定【解析】选C.因为长方形对边平行,所以根据平行公理,前两次折痕互相平行,因为第三次折叠,是把平角折成两个相等的角,所以是90°,与前两次折痕垂直.所以折痕与折痕之间平行或垂直.5.已知直线a与b都经过点P,且都与直线c平行,则a与b重合,这是因为 .
【解析】由平行公理可得,这是因为经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
答案:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行6.已知在同一平面内的直线a1,a2,a3,a4,a5,…,a10,若a1⊥a2,
a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,a9⊥a10,则a1与a10有怎样的位置关系?试说明理由.
【解析】a1⊥a10.理由:因为a1⊥a2,a2∥a3,所以a1⊥a3;
又因为a3⊥a4,所以a1∥a4;
又因为a4∥a5,所以a1∥a5;
同理a6∥a10.因为a5⊥a6,所以a1⊥a10.【想一想错在哪？】若线段AB与CD没有交点,则AB与CD一定平行吗?为什么?
提示:解答本题时,误认为AB与CD是直线.因为线段没有延伸方向,没有交点也不一定平行.课件34张PPT。4.1.2 相交直线所成的角1.熟记对顶角的概念及性质.(重点)
2.同位角,内错角,同旁内角的概念及识别.(重点、难点)
3.对顶角性质的应用.(重点)一、对顶角
1.两条直线相交形成__个角.
2.观察∠1与∠3:4【思考】(1)这两个角的顶点和两边有什么特点?
提示:有公共顶点,两边互为反向延长线.
(2)图中还有具有这种特点的角吗?具有这种特点的两个角有怎样的数量关系?
提示:∠2与∠4 相等【总结】对顶角:
(1)概念:具有_____顶点,且其中一个角的两边分别是另一个角
两边的___________的两个角,叫做对顶角.
(2)性质:对顶角_____.公共反向延长线相等二、三线八角
如图,直线a,b(被截直线)被直线c(截线)所截形成了8个小于平角的角.【思考】1.观察图形,∠1与∠8有怎样的位置关系?具有这种位置关系的还有哪些角?
提示:在被截直线的下方,在截线的同侧.
∠2与∠7;∠3与∠6;∠4与∠5.
2.观察图形,∠2与∠5有怎样的位置关系?具有这种位置关系的还有哪些角?
提示:在被截直线之间,在截线的两侧.
∠1与∠6.3.观察图形,∠1与∠5有怎样的位置关系?具有这种位置关系的还有哪些角?
提示:在被截直线之间,在截线的同侧.
∠2与∠6.【总结】两条直线被第三条直线所截,构成8个角:
1.同位角:在被截直线的_________,截线的_____的一对角.
2.内错角:在被截直线_____,截线的_____的一对角.
3.同旁内角:在被截直线_____,截线的_____的一对角.同一方向同侧之间两侧之间同侧 (打“√”或“×”)
(1)一个角的同位角有且只有一个. ( )
(2)内错角一定不相等.( )
(3)判断两个角是同位角、内错角还是同旁内角的关键是分清
被截直线和截线.( )
(4)有公共顶点的角是对顶角.( )
(5)同位角、内错角、同旁内角是成对出现的.( )××√×√知识点 1 对顶角及性质?
【例1】(2012·北京中考)如图,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM等于( )
A.38° B.104° C.142° D.144°【教你解题】【总结提升】对顶角的三大特征
1.数量关系:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
2.位置关系:有公共顶点,两边互为反向延长线,也可看作两边形成两条相交的直线.
3.成对出现:对顶角是两个角的关系,其成对出现.知识点 2 同位角、内错角、同旁内角的识别?
【例2】已知如图,找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.【解题探究】1.判断同位角、内错角、同旁内角的关键是分清哪两种直线?
提示:被截直线和截线.
2.在复杂图形中,确定同位角、内错角、同旁内角时,一般方法是:
(1)把相关的两个角从图形中分离出来:(2)根据分离的图形及同位角、内错角、同旁内角的定义判断:
∠1与∠4是_______(图①);
∠2与∠5是_______(图②);
∠3与∠4是_________(图③);
∠4与∠5是_________(图④);
∠3与∠5是_________(图⑤).同位角内错角同旁内角同旁内角同旁内角【总结提升】判断两角位置关系的方法
1.判断两角边的情况:公共边所在的直线为截线,另外两边为被截线.
2.形象记忆:
同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形.题组一:对顶角及性质
1.(2013·贺州中考)下面各图中∠1和∠2是对顶角的是( )
【解析】选B.A,∠1和∠2不是对顶角,故本选项错误;B,∠1和∠2是对顶角,故本选项正确;C,∠1和∠2不是对顶角,故本选项错误;D,∠1和∠2不是对顶角,是邻补角,故本选项错误.2.如图所示,AB与CD相交于O,∠AOD+∠BOC
=280°,则∠AOC为( )
A.40° B.140°
C.120° D.60°【解析】选A.因为∠AOD与∠BOC是对顶角,
所以∠AOD=∠BOC,
又因为∠AOD+∠BOC=280°,
所以∠AOD=∠BOC=140°.
因为∠AOD与∠AOC互补,所以∠AOC=180°-140°=40°.3.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,图中对顶角共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
【解析】选D.图中对顶角有:∠AOF与∠BOE,∠AOD与∠BOC,
∠FOD与∠EOC,∠FOB与∠AOE,∠DOB与∠AOC,∠DOE与∠COF,
共6对.4.如图,三条直线相交于一点,则∠1+∠2+∠3= 度.
【解析】根据对顶角相等,可得∠2=∠4,
由平角的定义,可得∠1+∠4+∠3=180°,
所以∠1+∠2+∠3=180°.
答案:1805.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=54°,∠1比∠2大10°,则∠1= 度,∠2= 度.
【解析】因为∠AOC与∠BOD是对顶角,
所以∠1+∠2=∠AOC=54°,因为∠1-∠2=10°,
所以∠1=32°,∠2=22°.
答案:32 226.如图,3∠1=2∠3,求∠1,∠2,∠3,∠4的
度数.
【解析】因为3∠1=2∠3,
所以∠3= ∠1,
因为∠1+∠3=180°,所以 ∠1=180°,
所以∠1=72°,所以∠4=∠1=72°,∠3=180°-∠1=108°,∠2=∠3=108°.7.如图,直线AB,CD相交于点O,已知:∠AOC=70°,OE把∠BOD分
成两部分,且∠BOE∶∠EOD=2∶3,求∠AOE的度数.
【解析】因为∠AOC=70°,所以∠BOD=∠AOC=70°,
因为∠BOE∶∠EOD=2∶3,所以∠BOE= ×70°=28°,所以
∠AOE=180°-28°=152°.题组二:同位角、内错角、同旁内角的识别
1.下列图中∠1和∠2是同位角的是( )
A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①②⑤
【解析】选D.③中∠1和∠2不是两直线被第三条直线所截形成的角,④中∠1和∠2不在被截直线的同一侧,也不在截线的同旁.2.如图,与∠1是内错角的是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
【解析】选B.∠1与∠3是直线a,b被c所截形
成的一对内错角,它们均在被截线a,b内侧,
且∠1在截线的左边,∠3在截线的右边,故
正确答案为B.此图中,∠1与∠2是同一对同旁内角,∠1与∠5是一对同位角.3.如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是( )
A.同位角 B.内错角 C.对顶角 D.同旁内角
【解析】选B.角在被截线的内部,又在截线的两侧,符合内错角的定义.4.如图,∠B与∠ 是直线 和
直线 被直线 所截得
到的同位角.
【解析】∠B应与∠FAC是同位角,是直线BC和AC被直线BF所截得到的同位角.
答案:FAC BC AC BF5.如图所示,∠DCB和∠ABC是
直线 和 被
直线 所截而成的
角.
【解析】如题图所示,∠DCB和∠ABC具有公共边BC,另外两条边分别在直线CD和AB上,故∠DCB和∠ABC是直线DE和AB被直线BC所截而成的同旁内角.
答案:DE AB BC 同旁内6.如图,找出图中∠DEA,∠ADE的同位角、内错角和同旁内角.
【解析】∠DEA的同位角是∠C,内错角是∠BDE,同旁内角是∠A和∠ADE;∠ADE的同位角是∠B,内错角是∠CED,同旁内角是∠A和∠AED.【想一想错在哪？】如图,与∠B是同旁内角的角有 .
提示:本题漏掉了一个同旁内角:把AE,BC看作被截直线,AB为截线,此时∠B与∠BAE是同旁内角.
