圆锥曲线中定点与定值专题 学案

圆锥曲线中定点与定值专题
方法点拨
1. 通法：设而不求，韦达定理
2. 步骤：①设：设两交点坐标 A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )，设直线方程；
若直线过点(0,m),通常设为 y=kx+m.(需另外讨论斜率不存在的情况)
直线过点(n,0),通常设为 x=ty+n(斜率为 0时，即 t=0 的情况)
②化：将斜率或向量的运算坐标化，出现 x1 x2 、 x1x2与 y1 y2或 y1y2 ；
③联：联立直线方程和曲线方法，得到关于 x或 y的方程；
④达：运用韦达定理；
⑤析：具体问题，个体分析.
3.优点：方程常规，程序性强；缺点：运算量较大.
一．直线过定点问题
常见四种模型，出现就说明直线过定点

(1) MA MB为定值 (3) kMA kMB为定值(不为 0)
(3) kMA kMB为定值(不为 0) (4) (0 )
例 1 A 2、B是抛物线 y 4x上的两点，且满足 OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：直线 AB经过一个定点.
5
例 2 已知离心率为 的双曲线 C的中心在坐标原点，左、右焦点 F1、F2在 x轴上，双曲线 C的右支上一点
2

A使AF1 AF2 0且△AF1F2的面积为 1.
(1)求双曲线 C的标准方程；
(2)若直线 l：y=kx+m与双曲线 C相交于 E、F两点(E、F不是左右顶点)，且以 EF为直径的圆过双曲线 C的右
顶点 D，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标.
例 3 已知抛物线 C y2： 2px( p 0)的焦点为 F，准线为 l，抛物线上一点 P的横坐标为 1，且到焦点 F的距
离为 2.
(1)求抛物线 C的方程；
(2)设 A、B是抛物丝上异于原点 O的两个不同点，直线 OA和 OB的倾斜角分别为ɑ和β，当ɑ、β变化且ɑ+β
为定值 ( tan 2 )时，证明直线 AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
1 2
例 4 已知 F( ，0 )为抛物线 y 2px( p 0)的焦点，点 N (x0 , y0 )(y0 0)为其上的一点，点M与点 N关于 x2
5
轴对称，直线 l与抛物线交于异于M、N的 A、B两点，且 NF= ， kNA k2 NB
2
(1) 求抛物线的方程和 N点坐标；
(2) 判断直线 l中，是否存在使得△MAB 面积最小的直线 l′，若存在，求出 l′的方程和MAB面积的最小值；若
不存在，说明理由.
二．斜率为定值
kMA kMB 0 直线 AB 斜率为定值问题
例 5 2如图，过抛物线 y 4x上一定点 P(1,2),作两条直线分别交抛物线于 A (x1, y1)、B (x2 , y2 )，
当 PA与 PB斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线 AB的斜率为定值.
3
例 6 已知椭圆 C过点 A(1， ),两个焦点为(-1,0),(1,0)
2
(1)求椭圆的方程；
(2)E、F是椭圆 C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与 AF的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定值，
并求出这个定值.
练习
1. 2 2已知圆M： x y 2y 7 0和点 N(0,1),动圆 P经过点 N且与圆M相切，圆心 P的轨迹为曲线 E
(1)求曲线 E的方程；
(2)点 A是曲线 E与 x轴正半轴的交点，点 B、C在曲线 E上，若直线 AB、AC的斜率 k1、k2满足 k1k2=4,求△ABC
面积的最大值.
参考答案
例 1：设 AB：x=ty+m，A( x1, y1 ),B( x , y ) y
2 2
2 2 ，与抛物线 4x联立得 y 4ty 4m 0得
y1y2 4m, y1 y2 4t同时 x1x2 (ty1 m)(ty2 m) t
2 y1y2 tm(y1 y2 ) m
2
4mt 2 4mt 2 m2 m2 ，由 OA⊥OB 2得 x1x2 y1y2 0即有m 4m 0得 m=4 或 m=0(舍去),AB方程为
x=ty+4，故 AB经过定点(4,0)
例 2(1)由已知得AF 2 2 21 AF2 2a，AF1 AF2 4c ,AF
c 5
1 AF2 2 , 得 a2=4,c2=5,故双曲线标准方程为a 2
x2
y2 1
4
x2
(2)设 E( x , y ),F( x 2 2 2 21 1 2 , y2 )，联立 y=kx+m和 y 1得 (1 4k )x 8kmx 4m 4 0得4
x x 8km , x x 4m
2 4 m2 4k 2
1 2 y y (kx m)(kx
2 2
2 1 2 2 得 1 2 1 2 m) k x1x2 km(x x) m 1 4k 1 4k 1 4k 2
以 EF为直径的圆过右顶点 D(2,0),所在 DE⊥DF，由此可得 (x1 2)(x2 2) y1y2 0，代入得
20k 2 16km 3m2 0即 (10k 3m)(2k m) 0 m 2k m 10k 得 或 代入直线方程得
3
y k(x 2) y k(x 10) 10 10 或 故直线过定点(2,0)(舍去)或( ,0)，故直线 EF为定点( ,0)
3 3 3
p
例 3：(1)PF=1 2得 p=2 2，故抛物线方程为 y 4x
2
(2)设直线 AB 2 2的方程为 x=ty+m， A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )与抛物线 y 4x 联立得 y 4ty 4m 0 得
y y y1y2 4m, y1 y2 4t ，OA、OB 倾斜角的正切值 tan 1 ， tan 2 ，而 tan( ) 2, 即有x1 x2
y1 y 2
x1 x2 x1y2 x2 y1 2 x y
2 y 2
y y ，同时
1 , x 21 2 代入整理得 2(y1 y2 ) y1y2 16得m 2t 4代入直
1 1 2 x1x2 y1y2 4 4
x1x2
线方法 x=ty-2t-4=t(y-2)-4,过定点(-4,2)
1 5
例 4：(1)由已知得 p=1 2，抛物线方程为 y 2x，NF= x0 = 得 x0=2得 N(2,2)2 2
(2)设直线 AB的方程为 x=ty+m，A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )
2
与抛物线 y 2x联立得
y2 2ty 2m 0得 y1y2 2m, y1 y2 2t，
k k y1 2 y2 2 y1 2 y2 2 4NA NB 2 2 2 ,代入整理得 m=2t+3，代入直线方程得x1 2 x2 2 y1 2 y 2 2 (y1 2)(y2 2)
2 2
x=ty+2t+3=t(y+2)+3,直线 AB过定点(3,-2),而M(2,-2),ME||x轴ME=1，
S 1 MAB 1 | y1 y2 |
1
(y1 y
2
2 ) 4y1y2 (t 2)
2 2 ，当 t=-2时，MAB面积取最小值 2 此时直线
2 2
方程为 x=-2y-1
例 5：设 AB：x=ty+m，A( x1, y1 ),B( x
2 2
2 , y2 )，与抛物线 y 4x联立得 y 4ty 4m 0得 y1y2 4m,
y y 4t k k 0 y1 2 y2 2 y
2 y 2
1 2 ，PA、PB倾斜角互补，故 PA PB 即有 0， x 1 , x 2 得x1 1 x2 1
1 4 2 4
4 4
0得 t=-1，故直线 AB的斜率为-1
y1 2 y2 2
x2 y2
例 6：(1)AF1+AF2=4=2a得 a=2,c=1,b= 3 ,故椭圆方程为 1
4 3
3
(3) 设直线 AE 2 2 2 2的解析式为 y=k(x-1)+ ,，与椭圆联立得 (3 4k )x (8k 12k)x 4k 12k 3 0 ,
2
x 1 4k
2 12k 3 12k 2 6k 3 2 2 1
E ，2 yE 同理得3 4k 2 2 x
4k 12k 3
， y 12k 6k 3由此可得 k 3 4k F 3 4k 2 F EF3 4k 2 2 2
y2
练习(1)PM+PN=2 2 >MN 2，点 P的轨迹为椭圆，方程为 x 1
2
y2
(2) 设 BC解析式为 x=ty+m，C( x1, y1 ),C( x
2
2 , y2 )与椭圆 x 1联立得 (1 2t
2 )y2 4mty 2m2 2 0，
2
y y 4mt
2
, y y 2m 2
2
， x x 2m m 2t
2
A(1,0),1 2 1 2 1 2 k k
y1 y 2 4整理得 m=3
1 2t 2 1 2t 2 1 2t 2
, x1x2 1 2t 2 1 2 x1 1 x2 1
2 2
直线 BC过定点(3,0),S 1 ABC 2 | y1 y2 | (y y )2 4y y
4 t 4
= 4 t 4 4 2
2 1 2 1 2 1 2t 2 9 2( t 2 4)2 9 2 t 2 4 3
t 2 4
2 17 2
当且仅当 t 时取等号，△ABC面积的最大值为
2 3