圆锥曲线综合1：焦半径与焦点弦的三角形式 学案

圆锥曲线综合 1：焦半径与焦点弦的三角形式
圆锥曲线焦半径和焦点弦的三角形式及其性质(以焦点在 x 轴上的曲线为例)
设圆锥曲线的焦点弦 AB所在直线的倾斜角为 ，斜率为 k，离心率为 e，焦准距为 p(抛物线只需令 e=1)
ep b2 ep b2
性质 1：焦半径 AF= | | | |，BF= | | | |
1 ecos a c cos 1 ecos a c cos
p p
抛物线：AF= | |，BF= | |
1 cos 1 cos
2ep 2ab2
性质 2：焦点弦 AB= |
1 e2
| | |，
cos2 a2 c2 cos2
抛物线：AB= | 2p
sin 2
|

1 1 2 2a
性质 3：
AF BF ep b2
；
1 1 2
抛物线：
AF BF p

AF FB e 1 k 2 | 1 | 1性质 4：若 ，则有 ， | ecos | | |
1 1
典型例题
x2 2
例 1：过椭圆 y 1的左焦点作倾斜角为 60°的直互，直线和椭圆交于 A、B两点，则 AB=____
2
2
例 2：已知 F为抛物线 C： y 4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1和 l2，直线 l1与 C交于 A、B两点，
直线 l2与 D、E交于两点，则 AB+DE的最小值为_______
x2 y2
例 3：已知双曲线 C： 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为 F，过 F且斜率为 3的直线交 C于 A、B两点，a b

若AF 4FB，则 C的离心率为______.
例 4 2：已知 F是抛物线 C： y 4x的焦点，过 F且斜率为 1 的直线交 C于 A、B两点，设 FA>FB，则 FA与
FB的比值等于___________
例 5: 已知椭圆 C的焦点为 F1(-1,0),F2(1，0)，过 F2的直线与 C交于 A、B两点，若 AF2=2F2B，AB=BF1，则 C
的方程为________
例 6 设圆的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆于 C、D两点，过 B作 AC的平行线交 AD于
点 E.
(1)证明 EA+EB为定值，并写出点 E的轨迹方程；
(2)设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于M、N两点，过 B且与 l 垂直的直线与圆 A交于 P、Q两点，求四
边形MPNQ面积的取值范围.
练习题
x2 y2
1. 设 F1、F2分别是 C: 2 a b2
1(a b 0)的左右焦点，M是 C上一点且MF2与 x 轴垂直，直线MF1与 C
的另一个交点为 N
3
(1)若直线MN的斜率为 ，求 C的离心率
4
(2)若直线MN在 y轴上的截距为 2，且MN=5F1N，求 a、b
2. 中心在原点 O的椭圆的右焦点为 F(3,0),右准线 l的方程为：x=12
(1)求椭圆的方程；
1 1 1
(2)在椭圆上任取三个不同点 P1、P2、P3，使得∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明: 为定值，并求
FP1 FP2 FP3
此定值.