人教A版必修第一册广西专版 第5章 三角函数 过关检测（含解析）

第五章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.角α的终边上有一点P(a,a)(a≠0),则sin α的值是 (　　)
A. B.-
C.1 D.或-
2.若cos θ>0,sin θ<0,则角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在直径为20 cm的圆中,圆心角为165°时,所对应的弧长为(　　)
A. cm B. cm C. cm D. cm
4.等于(　　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
5.在下列区间上,函数f(x)=7sin(x-)单调递增的是 (　　)
A. B.
C. D.
6.已知β∈,tan(α+β)=,sin β=,则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为(　　)
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
8.函数f(x)=sin4x+cos2x的最小正周期是(　　)
A. B.
C.π D.2π
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=tan,则对该函数性质的描述正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为
B.f(x)的最小正周期为2
C.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
D.f(x)的图象没有对称轴
10.对于函数f(x)=sin,下列说法正确的是(　　)
A.图象关于直线x=-对称
B.图象关于点对称
C.图象可看作是把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度而得到
D.图象可看作是把y=sin的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的而得到
11.对于函数f(x)=下列说法中错误的是(　　)
A.该函数的值域是[-1,1]
B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
D.当且仅当2kπ+π12.已知函数f(x)=sin xsin的定义域为[m,n](mA. B. C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知014.=　　　　　.
15.设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a,已知当x∈[0,]时,f(x)的最小值为-2,则a=　　　　　,f(x)的最大值为　　　　　(第一空2分,第二空3分).
16.已知函数f(x)=,g(x)=ax-2(a>0).若 x1∈R, x2∈[1,2],f(x1)=g(x2),则a的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知角α的终边在直线y=3x上.求:
(1)的值;
(2)sin4α-cos4α的值.
18.(12分)已知cos=-,sin,且α∈,β∈.求tan(α+β).
19.(12分) 函数h(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.若函数h(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍,可得到函数f(x)的图象.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x+φ')是奇函数,求函数g(x)=cos(2x-φ')在区间[0,2π]上的单调递减区间.
20.(12分)已知函数y=f(x)=2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的取值集合;
(2)指出函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过哪些变换得到;
(3)当x∈[0,m]时,函数y=f(x)的取值范围为[-,2],求实数m的取值范围.
21.(12分)根据市气象站对气温变化的统计数据显示,1月下旬某天市区温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的曲线接近于函数y=6sinxcosx-3cosx+12(0≤x≤24)的图象.
(1)请推断市区该天的最大温差.
(2)若某仓库存储食品要求仓库温度不高于15 ℃,根据推断的函数,则这天中哪段时间仓库需要降温
22.(12分)已知函数f(x)=+2sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间;
(2)当x∈时,对任意t∈R,不等式mt2-mt+2≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
第五章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.角α的终边上有一点P(a,a)(a≠0),则sin α的值是 (　　)
A. B.-
C.1 D.或-
答案D
解析设原点O到点P的距离为r,则r=|a|,所以sinα=
所以sinα的值是或-.
2.若cos θ>0,sin θ<0,则角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案D
解析∵cosθ>0,
∴角θ的终边落在第一象限或第四象限或x轴的非负半轴上.
∵sinθ<0,∴角θ的终边落在第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上.
∴角θ的终边落在第四象限.故选D.
3.在直径为20 cm的圆中,圆心角为165°时,所对应的弧长为(　　)
A. cm B. cm C. cm D. cm
答案B
解析∵直径d=20cm,∴半径r=10cm,
又165°=×165=,
∴弧长l=×10=(cm).
4.等于(　　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
答案A
解析原式==2cosα.
5.在下列区间上,函数f(x)=7sin(x-)单调递增的是 (　　)
A. B.
C. D.
答案A
解析令x-,k∈Z,得x∈,k∈Z.
当k=0时,函数f(x)=7sin的单调递增区间为,
∵,∴是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.
6.已知β∈,tan(α+β)=,sin β=,则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案B
解析因为β∈,sinβ=,
所以cosβ=,所以tanβ=.
又tan(α+β)=,
所以tanα=tan[(α+β)-β]=.故选B.
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为(　　)
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
答案A
解析由题图可知函数y=Asin(ωx+φ)的图象经过点和点,得A=2,最小正周期T=π,于是ω=2,故所求函数的解析式为y=2sin(2x+φ).
将点的坐标代入,可得-+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以y=2sin(2x+).故选A.
8.函数f(x)=sin4x+cos2x的最小正周期是(　　)
A. B.
C.π D.2π
答案B
解析∵f(x)=sin4x+1-sin2x
=sin4x-sin2x+1=-sin2x(1-sin2x)+1
=1-sin2xcos2x=1-sin22x
=1-cos4x+,
∴最小正周期T=.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=tan,则对该函数性质的描述正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为
B.f(x)的最小正周期为2
C.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
D.f(x)的图象没有对称轴
答案ABD
解析对于A,令x++kπ,k∈Z,解得x≠2k+,k∈Z,故函数f(x)的定义域为{x|x≠2k+,k∈Z},所以A中描述正确.对于B,函数f(x)的最小正周期T==2,所以B中描述正确.对于C,令kπ-x+10.对于函数f(x)=sin,下列说法正确的是(　　)
A.图象关于直线x=-对称
B.图象关于点对称
C.图象可看作是把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度而得到
D.图象可看作是把y=sin的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的而得到
答案BD
解析对于A,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z,不论k取何整数,x都不等于-,故错误;
对于B,令2x+=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,当k=1时,对称中心为,故正确;
对于C,把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin[2]=sin的图象,故错误;
对于D,把y=sin的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的得到f(x)=sin2x+的图象,故正确.
11.对于函数f(x)=下列说法中错误的是(　　)
A.该函数的值域是[-1,1]
B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
D.当且仅当2kπ+π答案ABC
解析画出函数f(x)的图象(图略),由图象容易看出:该函数的值域是[-,1];
当且仅当x=2kπ+或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1;
当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;
当且仅当2kπ+π12.已知函数f(x)=sin xsin的定义域为[m,n](mA. B. C. D.
答案CD
解析f(x)=sinxsin=sinx·sin2x+sin2x-(1-cos2x)+sin2x-sin2x-cos2x)=sin.作出函数f(x)的图象如图所示,在一个周期内考虑问题,易得满足题意,所以n-m的值可能为区间内的任意实数.所以A,B满足题意,C,D不满足题意.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知0答案
解析∵014.=　　　　　.
答案
解析=cos2-sin2=cos.
15.设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a,已知当x∈[0,]时,f(x)的最小值为-2,则a=　　　　　,f(x)的最大值为　　　　　(第一空2分,第二空3分).
答案-2　1
解析因为f(x)=sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+)+1+a,当x∈[0,]时,2x+∈[],sin(2x+)∈[-,1],所以f(x)min=2×(-)+1+a=a=-2,f(x)max=2×1+1+a=3+a=1.
16.已知函数f(x)=,g(x)=ax-2(a>0).若 x1∈R, x2∈[1,2],f(x1)=g(x2),则a的取值范围是　　　　　.
答案[,2]
解析因为f(x)==1-,
所以f(x)的值域为[0,].
因为a>0,所以g(x)在区间[1,2]上的取值范围为[a-2,2a-2],依题意得[0,] [a-2,2a-2],则
解得≤a≤2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知角α的终边在直线y=3x上.求:
(1)的值;
(2)sin4α-cos4α的值.
解由已知可得tanα=3.
(1)=2.
(2)sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=.
18.(12分)已知cos=-,sin,且α∈,β∈.求tan(α+β).
解∵<α<π,0<β<,
∴<α-<π,--β<,
∴sin,
cos,
∴cos=cos
=cos(α-)cos+sinsin
==-.
∵α∈(,π),β∈(0,),
∴,
∴sin.
∴tan=-,
∴tan(α+β)=.
19.(12分) 函数h(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.若函数h(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍,可得到函数f(x)的图象.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x+φ')是奇函数,求函数g(x)=cos(2x-φ')在区间[0,2π]上的单调递减区间.
解设h(x)的最小正周期为T.
(1)由题中图象可知A=2,T=4×=π=,∴ω=2,∴h(x)=2sin(2x+φ).
∵h=0,
结合题中图象可知,2×+φ=2kπ,k∈Z,
∴φ=2kπ-,k∈Z.
又|φ|<,∴φ=-,∴h(x)=2sin.
故函数f(x)的解析式是f(x)=2sin.
(2)∵y=f(x+φ')=2sin是奇函数,
∴φ'-=nπ,n∈Z,
解得φ'=+nπ,n∈Z.
又0<φ'<,∴φ'=,
∴g(x)=cos.
令2mπ≤2x-≤2mπ+π,m∈Z,
则mπ+≤x≤mπ+,m∈Z.
令m=0,得≤x≤;
令m=1,得≤x≤.
∴函数g(x)在区间[0,2π]上的单调递减区间为.
20.(12分)已知函数y=f(x)=2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的取值集合;
(2)指出函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过哪些变换得到;
(3)当x∈[0,m]时,函数y=f(x)的取值范围为[-,2],求实数m的取值范围.
解(1)f(x)min=-2,此时2x-=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,
故f(x)取到最小值时自变量x的取值集合是{xx=kπ-,k∈Z}.
(2)先把函数y=sinx的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,再把函数y=sin的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数y=sin的图象,最后把函数y=sin的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2sin的图象.
(3)画出函数y=f(x)的图象,如图,因为当x∈[0,m]时,y=f(x)取得最大值2,所以m≥.
又函数y=f(x)在区间上单调递减,
故m的最大值为区间上使函数值为-的值,令2sin=-,得m=,
所以m的取值范围是.
21.(12分)根据市气象站对气温变化的统计数据显示,1月下旬某天市区温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的曲线接近于函数y=6sinxcosx-3cosx+12(0≤x≤24)的图象.
(1)请推断市区该天的最大温差.
(2)若某仓库存储食品要求仓库温度不高于15 ℃,根据推断的函数,则这天中哪段时间仓库需要降温
解(1)y=6sinxcosx-3cosx+12=3sinx-3cosx+12=6sin+12,则周期T==24,于是该市区该天的最高温度为18℃,最低温度为6℃,故该市区该天的最大温差为12℃.
(2)令6sin+12>15,
即sin,
则+2kπ故仓库在6h到14h需要降温.
22.(12分)已知函数f(x)=+2sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间;
(2)当x∈时,对任意t∈R,不等式mt2-mt+2≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)f(x)=+2sinx=+2sinx=sinx+cosx=sin,所以最小正周期T==2π.由-+2kπ≤x++2kπ,且x+≠2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,且x≠-+2kπ,k∈Z,所以f(x)的递增区间为[-+2kπ,-+2kπ),(-+2kπ,+2kπ](k∈Z).
(2)由(1)得函数f(x)在区间上单调递减,所以当x=时,f(x)max=1,所以mt2-mt+2≥1恒成立,所以mt2-mt+1≥0恒成立.①当m=0时,显然成立;②当m≠0时,若对于t∈R,mt2-mt+1≥0恒成立,则m>0,且m2-4m≤0,解得0