中考数学思维方法讲义：第3讲 反比例函数--性质与定义

§第3讲 反比例函数（1）
【精彩知识】
1．反比例函数的定义
一般地，如果两个变量，之间的关系可以表示为（或）（为常数，且）的形式，那么称是的 函数。自变量与的取值范围是 。
是的反比例函数与成反比例函数。
2.反比例函数的图象和性质
反比例函数（）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成
对称，关于直线成 对称，与两坐标轴 交点。
①当k＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，随的增大而 ；
②当k＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，随的增大而 。
3.反比例函数（）中的比例系数的几何意义
过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线PM、PN所得的矩形PMON的面积；若连接PO，则。
【典例解析】
考点1: 反比例函数的概念
【例1】已知
（1）如果是正比例函数，求的值；
（2）如果是反比例函数，求的值。
【例2】已知，其中与成反比例，与成正比例，且所表示的函数图象相交于点P（1，5）。求当时的值。
变式训练1：
1.已知函数是反比例函数，则的值为 ；
2. 若与成反比例函数，与成正比例函数，则是的（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
考点2: 反比例函数的图象和性质
【例3】若M、N、P三点都在函数的图象上，则的大小关系为（　）
A、＞＞　 B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞　
【例4】如图，一次函数y=x+3的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF； ④．其中正确的结论是 。
变式训练2：
1. 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=－x+6于A、B两点，若反比例函数（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤9 B. 2≤k≤8 C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8
2. 如图，P是函数(x>0)的图象上的一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，过点P分别作PM⊥x轴于点M，交AB于点E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F，则AF·BE的值为 。
考点3: 反比例函数（）中的比例系数的几何意义与面积法的综合运用
【例5】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S．则当S=m(m为常数，且0变式训练3：
1.如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分
别交函数（x＞0）和（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、
OQ,则下列结论正确的是（ ）
A.∠POQ不可能等于900 B.
C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. △POQ的面积是
2.如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线上，且，；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．
考点4:函数综合题（待定系数法+数形结合、函数与方程思想、分类讨论思想）
【例6】已知反比例函数与一次函数，其中一次函数的图象经过（a,b）、（a+1,b+k）两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A点的坐标；
（3）利用（2）的结果，在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请把所有符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
变式训练4：
如图，一次函数的图象 与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1，
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据两函数图象直接写出不等式的解集。
【例7】如图，已知双曲线，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
变式训练5：
如图,直线与函数（x＞0，m＞0）的图像交于A，B两点，且与轴分别交于C，D两点．
（1）若直线y=kx+4与直线y=-x-2平行，且△AOD面积为2，求的值；
（2）若△COD的面积是△AOB的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，AE与BF交于H点．
①求的值； ②求k与之间的函数关系式．
（3）若点P坐标为（2，0），在（2）的条件下，是否存在，使得△APB为直角三角形，且．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【例8】如图，直线y=x＋4与x轴、y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【课后测试】
1．在同一坐标系内,表示函数与的图像是下图中的（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．如图，直线交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则( )
A．8 B．6 C．4 D．
第2题图 第3题图 第4题图
3．如上图中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，若取1，2，3，…，20，对应的Rt△AOB的面积分别为，，…，，则＋＋…＋= ；
4．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是 。
5.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
6.如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．
（1）若的面积为4，求点的坐标；
（2）求证：；
（3）当时，求直线的函数解析式．
【例4】根据题意可求得D（1，4 ），C（－4，－1），则F（1，0），∴△DEF的面积是：，
△CEF的面积是：，∴△CEF的面积=△DEF的面积，故①正确；②即△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EF∥CD，△AOB∽△FOE，故②正确；DF=CE，四边形CEFD是等腰梯形，所以△DCE≌△CDF，③正确；⑤∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，故④正确；正确的有4个．
【例7】解：（1）∵双曲线经过点D（6，1），∴，解得k=6。
（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=×6 h=12，解得h=4。
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4= －3。
∴，解得x= －2。∴点C的坐标为（－2，－3）。
设直线CD的解析式为y=kx＋b，
则，解得。
∴直线CD的解析式为。
（3）AB∥CD。理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（－2，－3），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（－2，0），B（0，1）。
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则，解得。
∴直线AB的解析式为。
∵AB、CD的解析式k都等于相等。
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。
【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。
（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根 ( http: / / www.21cnjy.com )据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。
（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线
CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。
7解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。
∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，
∴，解得 。
∴抛物线解析式为y=－x2－3x＋4。
令y=0，得－x2－3x＋4=0，解得x1=－4，x2=1，
∴C（1，0）。
（2）如图1，设D（t，0）。
∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴E（t，t＋4），P（t，－t2－3t＋4）。
PE=yP－yE=－t2－3t＋4－t－4=－t2－4t=－（t+2）2+4。
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。
（3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴NH=AH=4－m，∴yQ=4－m。
又M为OA中点，∴MH=2－m。
当△MON为等腰三角形时：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴yQ=4－m=3。
由－xQ2－3xQ＋4=3，解得。
∴点Q坐标为（，3）或（，3）。
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（4－m）2＋（2－m）2，
化简得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）。
∴yQ=2，由－xQ2－3xQ＋4=2，解得。
∴点Q坐标为（，2）或（，2）。
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（4－m）2＋m2，
化简得m2－4m＋6=0，∵△=－8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为
（，3）或（，3）或（，2）或（，2）。
【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程。
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。
（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。
（3）根据等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。 “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。
G
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：
学生对本次课的评价：
○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样
家长意见或建议：
家长签字：