中考数学思维方法讲义：第7讲 确定二次函数的解析式

§第7讲 确定二次函数的解析式
【今日目标】
1、会利用各种条件（点、线段、面积、比例 ( http: / / www.21cnjy.com )、方程等）选择二次函数的不同表达形式来确定二次函数的解析式，并解决与之相关的问题。以中考压轴题第（1）问为主攻方向。
①一般式_____________________；（适用于图像上的三个点或三对值）
②顶点式_____________________；其中__ _是抛物线的顶点坐标．（适用于已知图像的顶点、对称轴和最值）
③交点式_____________________。其中__ _ 是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标。（适用于已知图像与x轴交点）
2、能用二次函数模型解决实际问题，如：点与交点、“和最小”、“差最大”、面积等问题。
【精彩知识】
专题一 用待定系数法求二次函数的解析式
考点1：选择二次函数的不同表达形式求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数的图象经过点（0，3），（－3，0），（2，－5），且与x轴交于A、B两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P（－2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△ABC的面积；如果不在，请说明理由。
●变式练习：
已知抛物线y=ax2+bx+c经过直线与x轴、y轴的交点，且经过点（1,1），求此二次函数的解析式。
★方法归纳：已知抛物线上三点求解析式，一般设为 形式。
【例2】已知二次函数，对称轴是直线 ，且有最大值2，其图象在轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
●变式练习：
抛物线y=ax2+bx+c与y=－x2的形状相同, 对称轴是直线x=3, 最高点在直线y=x+1上, 求抛物线解析式。
★方法归纳：
已知抛物线的已知图像的顶点、对称轴和最值与另一点求其解析式，一般设为 形式。
【例3】已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6，对称轴为，且经过点（３，－4），求这个二次函数的解析式。
●变式练习：
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过P(2,0)和Q(6, 0)两点，并且顶点在直线上，求此二次函数的解析式。
★方法归纳：已知抛物线与x轴的两个交点坐标求解析式，一般设为 形式。
考点2：由二次函数的图象平移、绕顶点旋转1800或沿x轴翻折变换求解析式
【例4】把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，其顶点坐标为（－2，0），且a+b+c=0，求a、b、c的值。
【例5】把二次函数的图象沿x轴翻折，求所得抛物线的解析式。
●变式练习：
1、把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，试确定b、c的值。
2、把函数的图象绕其图象与y轴的交点旋转1800，求所得抛物线的解析式。
★方法归纳：由二次函数的图象平移、绕顶点旋转或沿x轴翻折变换求解析式，就是要抓
住 的坐标变化。
考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式
【例6】已知二次函数的图像与y轴的交点C在原点下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，点A、B到原点O的距离分别为OA、OB。
⑴求证：；
⑵确定实数的取值范围；
⑶若，求此二次函数的解析式。
●变式练习：
已知抛物线的函数解析式为（b<0），且抛物线经过点，方程的两根为，，且。求抛物线解析式.
专题二 用二次函数模型解决求交点、“和最小”、“差最大”、面积等问题。
【例7】如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A和点B，AO:BO=1：5，CO=BO, △ABC的面积为15。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ACP的周长最小．请求出点P的坐标．
●变式练习：
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
【课后测控】
1、抛物线y=－3x2+bx+c是由抛物线y=-3x2-6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个得到的，则b= ,c= 。
2、已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为
3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过一次函数y=－x+3的图像与x轴、y轴的交点，且经过点(1,1)，求这个二次函数的解析式，并把二次函数解析式化成y=a(x-h)2+k的形式。
4、已知二次函数的图像经过P(2,0)和Q(6,0)两点，顶点在直线y=x上，求这个二次函数的解析式。
5、已知抛物线的顶点为C(1,5),与 x轴相交于A、B,且ΔABC的面积为15. 求抛物线的解析式。
6、抛物线y=ax2+bx ( http: / / www.21cnjy.com )+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(2m－4,m－6).求抛物线的解析式。
7、二次函数的顶点坐标为C（4，－），且在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；
（3）在x轴上方的抛物线是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点坐标，如果不存在请说明理由。
8、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90 的点P的坐标．