3.1 从算式到方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）下列方程属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）下列方程中，解是的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）已知方程与的解相同，则k的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2022秋·湖南益阳·七年级期末）若关于 的方程 的解是 ，则 等于 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
7．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）下列运用等式性质进行的变形，不一定正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么．
8．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
9．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．若，那么（均不为0）
B．若，那么（均不为0）
C．若，那么（均不为0）
D．若，那么（均不为0）
10．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期末）下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．若，则
11．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）已知代数式的值为7，则代数式的值为（ ）
A． B．
C．5 D．-5
二、多选题
12．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A． B．如果，那么
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）若是关于的方程的解，则 ．
14．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程：的解为 ．
15．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）已知（m﹣3）﹣3m＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 ．
16．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）写出一个解为的方程： ．
17．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）已知，利用等式性质可求得
18．（2022秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，利用等式性质可求得的值是 ．
19．（2022秋·湖南常德·七年级统考期末）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放 个■．
20．（2022春·湖南衡阳·七年级期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则 ．
21．（2022春·湖南怀化·七年级统考期末）已知方程2x﹣y＝1，用含x的代数式表示y，得 ．
四、解答题
22．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）若是关于x的一元一次方程，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程，据此依次判断即可
【详解】解：A．分母中含有未知数，该方程不是整式方程，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．含有两个未知数，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．的未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解题关键．
2．C
【分析】将分别代入选项，能使等式依然成立的即为正确答案．
【详解】A、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程验证是解题关键．
3．A
【分析】先解方程5x＋3＝3x 1，求出x的值，然后再代入x 1＝k中，进行计算即可．
【详解】解：5x＋3＝3x 1，
5x 3x＝ 1 3，
2x＝ 4，
x＝ 2，
把x＝ 2代入x 1＝k中可得：k＝ 3，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程是解题的关键．
4．D
【分析】根据方程的解为0，可知x=0，将其代入方程即可求得a．
【详解】因为方程3x+（2a+1）=x﹣（3a+2）的解是0，所以可得：x=0．
将x=0代入方程得：，解得：a=﹣．
故选D．
【点睛】本题考查了方程解的定义，掌握方程解的定义是解题的关键．
5．D
【分析】根据等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解: A、两边都乘以3得,选项正确，不符合题意；
B、两边都除以2得，选项正确，不符合题意；
C、两边都加上5减去得，选项正确，不符合题意；
D、 两边都乘以6得，选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立；掌握等式的基本性质是解题关键．
6．B
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果，那么，故该选项正确，符合题意；
C. 如果，且那么，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
7．D
【分析】根据等式的性质直接判断即可得到答案．
【详解】解：如果，那么正确，故A不符合题意；
如果，那么正确，故B不符合题意；
如果，那么正确，故C不符合题意；
如果，那么要保证，故D不一定正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是注意除以的时候除数不能为0．
8．D
【分析】运用等式的性质进行变形，逐一判别即可得到答案．
【详解】解：等式两边都加上可得，
选项A变形正确，不符合题意；
等式两边都减去可得，
选项B变形正确，不符合题意；
等式两边都乘以可得，
选项C变形正确，不符合题意；
等式两边都乘以可得，
选项D变形错误，符合题意，选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了等式性质的应用能力，关键是熟练掌握等式的基本性质．
9．A
【分析】根据图示，对比两个图可知第一个图中左边有2个砝码，右边有2个砝码，分别表示，结合选项即可求解．
【详解】解：根据图示可知，第一个图中最小的砝码为，第二个图中没有，天平始终保持平衡，
∴若，那么（均不为0）
故选：A
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
10．B
【分析】根据等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A.如果，两边都加3得，，故不正确；
B.如果，两边都除以3得，，正确；
C.如果，两边都乘以15得， ，故不正确；
D.若，则，故不正确；
故选B．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
11．A
【分析】根据等式性质把原式变形，求出的值即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质和代数式的值，解题关键是熟练运用等式的性质进行变形，得出所求代数式的值．
12．ABC
【分析】根据有理数的乘除混合运算法则及顺序，等式的性质以及乘方和绝对值的意义逐个判断即可
【详解】解：A. ，故A选项正确；
B. 两边同乘以，得，故选项B正确；
C.若，则，故选项C正确；
D.若，则，故选项D错误；
故选：ABC
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，等式的性质以及乘方和绝对值，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键
13．4
【分析】将代入关于的方程，得，进一步求解即可．
【详解】解：将代入关于的方程得：
，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程解的含义是解题的关键．
14．7
【分析】比较两个方程可知，再根据x=8，推出，解出y即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵x=8，
∴，
解得y=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，涉及换元法的思想，解题的关键是理解两个方程之间的关系．
15．
【分析】根据一元一次方程的定义分析即可，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
【详解】解：∵（m﹣3）﹣3m＝0是关于x的一元一次方程，
∴且
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
16．（答案不唯一）
【分析】根据等式性质：等号两边同时乘除同一个数等式仍成立,即可解题.
【详解】解：∵,
等号两边同时乘以2得,
（答案不唯一）
【点睛】本题考查了等式的性质,属于简单题,熟用性质是解题关键.
17．3
【分析】根据等式的性质，等式的两边同时减去，可得，再把等式的两边同时除以5即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
18．3
【分析】根据等式的性质，等式的两边同时减去，可得．
【详解】解：，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
19．6
【分析】设“●”表示的数为x，“■”表示的数是y，“▲”表示的数为z，根据题意得出2x＝y＋z，x＋y＝z，求出x＝2y，再求出3x即可．
【详解】解：设“●”表示的数为x，“■”表示的数是y，“▲”表示的数为z，
根据题意得：2x＝y＋z，x＋y＝z，
所以2x＝y＋x＋y，
解得x＝2y，
3x＝6y，
即“？”处应该放“■”的个数为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等式的性质，能求出x＝2y是解此题的关键．
20．2
【分析】利用新定义“相伴数对”列出算式，化简得到4a+b=0，再变形即可得到的值．
【详解】解：根据题意若是“相伴数对”，那么：，
整理得：4a+b=0，
所以4a+b+2=0+2=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了等式的性质，弄清题中的新定义，能够正确化简等式并进行变形是解答此题的关键．
21．y＝2x﹣1
【分析】根据题意要把方程2x﹣y＝1，用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边，再进一步合并同类项、系数化为1即可．
【详解】解：2x﹣y＝1
移项得﹣y＝1﹣2x，
系数化1得y＝2x﹣1．
故答案为：y＝2x﹣1．
【点睛】本题考查方程的灵活变形，熟练掌握移项、合并同类项、系数化为1的步骤是解题的关键．
22．16
【分析】根据一元一次方程的定义，判断出x的次数为1且系数不为0，求出m的值，再代入m2﹣2m+1即可．
【详解】解：∵（m﹣3）x2|m|﹣5﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，
∴2|m|﹣5＝1且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3，
原式＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+1
＝16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．方程的两边都是整式，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
．3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期末）代数式与代数式的值互为相反数，则x的值是（ ）
A．15 B．-15 C． D．
2．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期末）在下面的移项中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）关于的方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么*处的数字是（ ）
A．－1 B．－17 C．15 D．17
4．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）对有理数a，b规定运算“”的意义为ab=a+2b，比如： 57=5+2×7，则方程3x=5-x的解为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
5．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）将3x－7＝2x变形正确的是( )
A．3x＋2x＝7 B．3x－2x＝－7
C．3x＋2x＝－7 D．3x－2x＝7
二、填空题
6．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）已知关于x的方程的解是，则a的值是 ．
7．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）关于x的一元一次方程的解为，则 ．
8．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）如果代数式与的值互为相反数，则 ．
9．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）若关于x的方程的解为，则k的值为 ．
10．（2022春·湖南长沙·七年级期末）若是方程x ky＝0的解，则k＝ ；
11．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）方程的解为 ．
12．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期末）若是关于x的方程的解，那么k的值是 ．
13．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程的解为 ．
14．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）a，b在数轴上的位置如图所示，且，其中正确结论的序号是 ．
①；②ab<0；③；④若x＝m是关于x的方程的解，则m是正数．
15．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期末）若方程与的解相同，则 ．
三、解答题
16．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）我们把称为二阶行列式，且．
如：．
(1)计算：；
(2)若，求m的值．
17．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．
(1)数对，是“同心有理数对”的是 ；
(2)若是“同心有理数对”，求的值；
(3)若是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由．
18．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，点A与点D在单位长度为1的数轴上，且表示的数互为相反数．
(1)请填写：点B表示的有理数为________，点C表示的有理数为________；
(2)若数轴上点P到点B、点C的距离之和等于7，则点P表示的数是________；
(3)数轴上动点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时另一动点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度也向左运动．运动t秒后M、N两点间的距离为1，求出t的值，并求此时点M的位置．
19．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）如图，数轴上有若干个点，每相邻两点间的距离为1，其中点，B，C对应的数分别是整数a，b，c．
(1)用含b的式子分别表示：_________，_________．
(2)已知，求b的值．
20．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）解下列一元一次方程：
(1)；
(2)．
21．（2022秋·湖南常德·七年级统考期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为：．
例如：数对，都是“共生有理数对”．
(1)判断数对 ，是否为“共生有理数对”，并说明理由；
(2)若是“共生有理数对”，求的值；
(3)若是“共生有理数对”，试判断是否为“共生有理数对”，并说明理由．
22．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于2的平衡数．
（1）3与 是关于2的平衡数，7﹣x与 是关于2的平衡数．（填一个含x的代数式）
（2）若a＝x2﹣4x﹣1，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．
（3）若c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．
23．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）规定：对于确定位置的三个数：，，，计算，，，将这三个数的最小值称为，，的“白马数”，例如，对于1，，3，因为，，所以1，，3的“白马数”为．
（1），，1的“白马数”为________；
（2）调整“，，1”这三个数的位置，得到不同的“白马数”，那么这些不同“白马数”中的最大值是________；
（3）调整，6，这三个数的位置，得到不同的“白马数”，若其中的一个“白马数”为2，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据相反数相加得0，列出方程求解即可．
【详解】解：∵代数式与代数式的值互为相反数，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数相加得0．
2．C
【分析】移项是把方程的一项改变符号后，从一边移到另一边．由此注意判断选项．
【详解】解：A. 若，则，故选项A错误在移项不变符号，不合题意；
B. 若，则，故选项B错误在不移项变符号，不合题意；
C. 若，则，故选项C正确，符合题意；
D. 若，则，故选项D错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的基本性质和移项，掌握正确移项的方法是解此题的关键．
3．D
【分析】把x=5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字．
【详解】解：将x=5代入方程，得：3（★-9）=25-1，
解得：★=17，
即★处的数字是17，
故选：D．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
4．A
【分析】根据符号的运算规则，化简方程再求解；
【详解】解：根据题意原方程可化为：3x＋2×=5－x，
3x＋1=5－x，
4x=4，
x=1，
故选：A；
【点睛】此题考查了一元一次方程，有理数的混合运算；弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．D
【分析】根据选项特点，左边是未知项，右边是常数，所以等式两边都加上7，再减去2x．
【详解】等式两边都加7得：3x=2x+7，
等式两边都减2x得：3x-2x=7．
故选D．
【点睛】本题主要考查等式的基本性质1、等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式仍成立；需要熟练掌握，是以后解一元一次方程的基础．
6．
【分析】把代入方程计算，即可求出的值．
【详解】解：是方程的解，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟记方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键．
7．
【分析】将代入解方程即可．
【详解】∵关于x的一元一次方程的解为，
∴将代入得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解的含义，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义，解一元一次方程的方法．
8．
【分析】根据代数式与的值互为相反数得到方程，解方程可得x的值．
【详解】解：∵代数式与的值互为相反数，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查依据相反数性质列出方程和解一元一次方程的基本能力，关键在于根据题意列出方程．
9．9
【分析】把x=代入6x-kx+1=0，得到关于k的方程，即可求出k的值．
【详解】解：∵关于x的方程6x-kx+1=0的解是x=，
∴2-k+1=0，
解得k=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的解法．
10．2
【分析】将代入x ky＝0求得k即可．
【详解】解：将代入x ky＝0可得：2-k=0，解得k=2．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，根据方程的解的定义得到一元一次方程是解答本题的关键．
11．
【分析】根据等式的性质，两边同时乘以2，即可得到答案．
【详解】解：，
方程两边同时乘以2得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握等式的性质是解题的关键．
12．
【分析】把x=3代入方程2x-kx+l=5x- 2得出6-3k+1=15-2，再求出方程的解即可．
【详解】解：把x=3代入方程2x-kx+l=5x- 2得：6-3k+1=15-2，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元- -次方程的解和解一元一次方程，能得出关于k的一元- -次方程是解此题的关键．
13．/
【分析】由相反数得出，由倒数得出，由绝对值得出，然后将其代入关于x的方程中，从而得出x的值．
【详解】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2，
∴，，，
将其代入关于x的方程中，
可得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是解一元一次方程以及相反数、倒数、绝对值的定义和性质，根据相反数、倒数、绝对值的定义和性质得到，，是解题的关键．
14．②③④
【分析】根据数轴上的位置得到且，即可判断①②；从而可以推出由此即可判断③；再解方程得到即即可判断④．
【详解】解：由数轴上a、b的位置可知且，
∴，，故①错误，②正确；
∴，即，
∴，故③正确；
∵，
∴
∵是方程的解，
∴，故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判定式子符号，解一元一次方程，熟知相关知识是解题的关键．
15．2
【分析】先解可得方程的解为 再把代入求解即可.
【详解】解：，
解得
方程与的解相同，
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是同解方程，掌握“同解方程的含义”是解本题的关键.
16．(1)28；
(2)．
【分析】（1）按照定义的新运算，进行计算即可解答；
（2）按照定义的新运算可得，然后按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据题中所给的“同心有理数对”的定义去验证即可得解；
（2）根据题中所给的“同心有理数对”的定义列一元一次方程求解即可；
（3）根据题中所给的“同心有理数对”的定义去判断即可．
【详解】（1）解：，，，
数对不是“同心有理数对”；
，，
，
是“同心有理数对”；
故答案为：；
（2）解：是“同心有理数对”．
，
；
（3）解：是“同心有理数对”，
，
，
是“同心有理数对”．
故答案为：是．
【点睛】此题是新定义题型，主要考查了对新定义“同心有理数对”的理解、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算等知识，正确理解题意、熟练运用有理数的混合运算、并熟练求解一元一次方程是解答此题的关键．
18．(1)；2
(2)或4
(3)或，点M的位置为或
【分析】（1）点A，D表示的数互为相反数，可知坐标原点位于二者正中间，据此可解；
（2）设点P表示的数为x，由点P到点B， C的距离和等于7可知，点P可能位于点B左侧或者位于点C右侧，分类讨论求解即可；
（3）x秒后点N的所表示的数为，点M所表示的数为 ，由题意可知
，解方程即可得答案．
【详解】（1）解：∵点A，D表示的数互为相反数，且点A、D相距6个单位长度，
∴数轴的原点位于点B右侧一个单位，
∴点B表示的数是-1，点C表示的数是2；
（2）解：设点P表示的数为x，
∵点B、C的距离为3，
∴若点P到点B、C的距离和等于7，则点P可能位于点B左侧或者位于点C右侧，
∴当点P位于点B左侧时：
，
∴，
当点P位于点C右侧时：
，
∴，
∴点P表示的数是 或4；
（3）解：由题意得：，整理得．
∴或，
解得：或，
当时，点M的位置为，
当时，点M的位置为，
综上所述：点M的位置为或．
【点睛】本题考查了一元一次方程、绝对值方程的列式及求解，会正确地根据数轴表示相关线段长，明确相关点在数轴上如何表示是解题的关键．
19．(1)；
(2)
【分析】（1）由图知，AB=3，BC=1，从而可得a+3=b，b+1=c，即可完成；
（2）把（1）中的式子代入中，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意知，线段AB的长为3，线段BC的长度为1，
则a+3=b，b+1=c
∴，
故答案为：；
（2）由，得：
，
，
解得．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，列代数式及解一元一次方程等知识，关键根据数轴的距离表示a与c．
20．(1)x=6
(2)x=-6
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可；
（2）方程移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可．
【详解】（1）x-5=7-x，
移项得：x+x=7+5，
合并同类项得：2x=12，
系数化1得：x=6；
（2）x-2=x+1，
移项得：x x＝2+1，
合并同类项的： x＝3，
系数化21得：x=-6．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解方程的步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
21．(1)不是“共生有理数对”，是共“共生有理数对”，理由见解析
(2)
(3)是“共生有理数对”，理由见解析
【分析】（1）先计算，然后根据题目中的新定义，可以判断（-2，1），是否为“共生有理数对”；
（2）根据新定义可得关于a的一元一次方程，再解方程即可；
（3）根据共生有理数对的定义对（-n，-m）变形即可判断．
【详解】（1）因为，
所以，即不是“共生有理数对”
又因为，
所以 即是共“共生有理数对”
（2）由题意得：，即解得：．
（3）是．
理由：因为，①
又因为是“共生有理数对”，所以
即 而 所以
由①式可知：
所以是“共生有理数对”．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
22．（1）-1， x﹣5；（2）a与b是关于2的平衡数，理由见解析；（3）0或1或3．
【分析】（1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数和7﹣x的平衡数；
（2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为2即可；
（3）根据c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值．
【详解】解：（1）∵2﹣3＝﹣1，
∴3与﹣1是关于2的平衡数，
∵2﹣（7﹣x）＝2﹣7+x＝x﹣5，
∴7﹣x与x﹣5是关于2的平衡数，
故答案为：﹣1，x﹣5；
（2）a与b是关于2的平衡数，
理由：∵a＝x2﹣4x﹣1，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1，
∴a+b
＝（x2﹣4x﹣1）+[x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1]
＝x2﹣4x﹣1+x2﹣2（x2﹣2x﹣1）+1
＝x2﹣4x﹣1+x2﹣2x2+4x+2+1
＝2，
∴a与b是关于2的平衡数；
（3）∵c＝kx+1，d＝x﹣3，且c与d是关于2的平衡数，
∴c+d＝2，
∴kx+1+x﹣3＝2，
∴（k+1）x＝4，
∵x为正整数，
∴当x＝1时，k+1＝4，得k＝3，
当x＝2时，k+1＝2，得k＝1，
当x＝4时，k+1＝1，得k＝0，
∴非负整数k的值为0或1或3．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算和解一元一次方程，解题的关键在于能够准确读懂平衡数的含义．
23．（1）；（2）；（3）-7或8
【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“白马数”，再比较大小．
（3）由“白马数”为2（是正数）和-1-6=-7＜2可知，-1-6不能对应a-b，a-c，b-c，所以剩三种情况：6，-1，x或6，x，-1或x，6，-1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“白马数”是否为2．
【详解】解：（1），，，
，，，
，，1的“白马数”为，
故答案为：；
（2）①若，，，
则，，，
，1，的“白马数”为，
②若，，，
则，，，
，，1的“白马数”为，
③若，，，
则，，，
，1，的“白马数”为，
④若，，，
则，，，
，，的“白马数”为，
⑤若，，，
则，，，
，，的“白马数”为，
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为，
故答案为：；
（3） “白马数”为2，，
三个数的顺序不能是，6，和，，6和，，6，
①，，，
，，，
若，得，，不符合，
若，得，，不符合，
②，，，
，，
若，得，，不符合，
若，得，，符合，
③，，，
，，，
若，得，，符合，
若，得，，不符合，
综上所述，的值为或8．
【点睛】本题考查了有理数的加减、一元一次方程的解法，分类讨论．分类的依据是3个数顺序不同时算法不同，还要再检验求出的x是否满足题意．3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）方程，去分母和去括号后得（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．方程移项得
B．方程，去括号 得
C．方程，方程两边都乘以，得
D．方程 可化为
3．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）规定一种新运算：，若，则x的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
4．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）在解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）已知方程7x+2＝3x﹣6与x﹣1＝k的解相同，则3k2﹣1的值为（ ）
A．18 B．20 C．26 D．﹣26
二、填空题
8．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）小明做题时发现有一个方程“”题中■处不清晰，于是问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与的解相同.”依据老师的提示，请你帮小明找到“■”这个有理数，则■= .
9．（2022秋·湖南郴州·七年级期末），，，为有理数，先规定一种新的运算：，那么， ．
10．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，点在数轴上，它们所对应的数分别是和，且满足，则x的值为 ．
11．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期末）将方程去分母时，方程两边同乘以最小的正整数m，则式子的值是 ．
12．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，且，则称方程是“差解方程”，若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则m的值为 ．
13．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 ．
14．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期末）对有理数a，b规定运算“*”的意义为a*b＝a+2b，比如：5*7＝5+2×7，则方程3x*＝2﹣x的解为 ．
三、解答题
15．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）解方程：
16．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）解下列方程：
(1)
(2)
17．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）解方程：
(1)
(2)
18．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）解方程
19．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）解下列方程：
20．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）解方程：.
21．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）下面是小贝同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：．．．．．．第①步
．．．．．．第②步
．．．．．．第③步
．．．．．．第④步
．．．．．．第⑤步
任务一：填空：
(1)以上解题过程中，第①步是去分母，依据___________进行变形的；第②步是___________，依据___________（运算律）进行变形的；
(2)第___________步开始出现错误，原因是：___________．
任务二：
(3)请写出该方程的正确解题过程．
22．（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
23．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）若关于的方程的解与方程的解相同，求的值．
24．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）已知是关于x的方程的解，是关于y的方程的解，若，是满足，则称方程与方程互为“阳光方程”；例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为阳光方程．
(1)请直接判断方程与方程是否互为阳光方程；
(2)请判断关于x的方程与关于y的方程是否互为阳光方程，并说明理由；
(3)若关于x的方程与关于y的方程互为阳光方程，请求出k的最大值和最小值．
25．（2022秋·湖南长沙·七年级期末）若关于的方程（a≠0）的解与关于y的方程（c≠0）的解满足，则称方程（a≠0）与方程（c≠0）是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由；
(2)若关于的方程与关于y的方程是“美好方程”，请求出k的值；
(3)若无论取任何有理数，关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“美好方程”，求的值．
26．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）用“※”定义一种新运算：规定，如：．
（1）求的值；
（2）若，求x的值．
27．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）已知x＝﹣2是方程a（x+3）＝a+x的解，求a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）的值．
参考答案：
1．D
【分析】方程去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数6即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
2．D
【分析】解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1．移项要变号；去括号时若括号前是负号，括号里面要变号；去分母时等式左右两边每一项都要乘以分母的最小公倍数．
【详解】A：程移项得，故A错误；
B：方程，去括号 得，故B错误；
C∶ 方程，方程两边都乘以，得
D∶正确
故选：D
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的步骤，熟练的掌握等式的性质，能够根据等式的性质正确的解一元一次方程是解题的关键．
3．D
【分析】根据新运算先算括号，再根据新运算得出等式左边后，再进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查新定义下实数的运算法则及解一元一次方程，解题的关键是根据新运算法则列出方程．
4．B
【分析】等式的两边同时乘以6即可，常数1不要忘记乘．
【详解】解：
两边同时乘以6：
得：
故选B
【点睛】本题考查了一元一次方程去分母的过程，解题的关键是常数1不漏乘．
5．B
【分析】根据等式的性质，在方程的两边同时乘以6即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，解题的关键是正确理解等式的性质，一定不要漏乘了没有分母的项．
6．B
【分析】根据换元法得出y+1=3，进而解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为x=3，
∴关于y的一元一次方程，y+1=3，
解得：y=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据换元法解答．
7．C
【分析】根据一元一次方程的同解问题直接求解即可．
【详解】解：由7x+2＝3x﹣6，得
x＝﹣2，
由7x+2＝3x﹣6与x﹣1＝k的解相同，得
﹣2﹣1＝k，
解得k＝﹣3．
则3k2﹣1＝3×（﹣3）2﹣1＝27﹣1＝26．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握解法是解题的关键．
8．
【分析】解，得出，代入原方程，设■，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：
解得：，
将，代入，设■，
则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，正确的计算是解题的关键．
9．
【分析】根据新定义列出方程，解方程求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
10．2
【分析】由且 在原点的两侧，可知和互为相反数，据此可列出方程，再求解．
【详解】解： 点在数轴原点两侧，它们所对应的数分别是和，且满足，
和互为相反数；
解得：
故答案为：2．
【点睛】本题考查数轴及方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出等量关键，利用相反数的和为0这一等量关系，列出方程，再求解．
11．
【分析】找出各分母的最小公倍数确定出，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：将方程去分母时，方程两边同乘最小的正整数 10，即，则．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程的方法是解本题的关键．
12．/2.75
【分析】先解方程，再由“差解方程”的定义列式即可．
【详解】解方程得：
∵关于x的一元一次方程是“差解方程”
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．理解“差解方程”的定义，运用“差解方程”的规定是解决本题的关键．
13．2
【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．
【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量
第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1
第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4
∵f=4
∵对角线上6+c+f=15
∴6+4+c=15，得到c=5
∵c=5
另外一条对角线上8+c+a=15
∴8+5+a=15，得到a=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键．
14．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：3x+＝2﹣x，
去分母得：6x+1＝4﹣2x，
解得：x＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解题的关键．
15．，．
【分析】分类讨论：，，，根据绝对值的化简解答即可．
【详解】解：当时，原方程可化为：
，
解得（符合题意）；
当时，原方程可化为：
，
解得（不合题意）；
当时，原方程可化为：
，
解得（符合题意），
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题的关键，把不符合题意的要舍去．
16．(1)
(2)
【分析】（1）直接移项合并同类项，即可求解；
（2）先去括号，再直接移项合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：
移项得：
合并同类项得：；
（2）解：
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，并注意移项要变号，去括号时括号前面是负号，去掉括号和负号，里面各项都变号是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1．
18．
【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项合并同类项得：，
两边都除以4，得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键．
19．
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】解：
去分母(方程两边乘6)，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
20．
【分析】按照去分母，去括号，合并同类项，移项，系数化为1的步骤进行求解即可．
【详解】解：去分母得：
去括号得：
移项得：
合并得：
系数化为1得：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
21．(1)等式的性质，去括号，乘法分配
(2)③，移项没变符号
(3)见解析
【分析】(1)找出第一步的依据，第二步运用的运算律即可；
(2)找出出错的步骤，分析其原因即可；
(3)解方程求出方程的正确解即可．
【详解】（1）解：以上解题过程中，第①步是去分母，依据等式的性质进行变形的；第②步是去括号，依据乘法分配律进行变形的；
故答案为：等式的性质，去括号，乘法分配；
（2）解：从第③步开始出现错误，原因是：移项没变符号，
故答案为：③，移项没变符号；
（3）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
所以，原方程的解为．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1．
22．(1)是，理由见解析
(2)a的值为101或109
【分析】（1）根据新定义的概念进行分析计算；
（2）分别求得两个方程的解，然后根据新定义概念分情况讨论求解．
【详解】（1）是，理由如下：，解得：，
，解得：或，
∵，
∴关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”；
（2），
解得：，
，
解得：或，
∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，
①当时，解得：；
②当时，解得：，
综上，a的值为101或109．
【点睛】本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握解一元一次方程的步骤，利用分类讨论思想解题是关键．
23．
【分析】先解方程可得再根据方程同解的含义可得再解关于m的方程即可．
【详解】解：，
去分母可得：
即
关于的方程的解与方程的解相同，
解得：
【点睛】本题考查的是同解方程的含义，选择合适的方程进行变形是解本题的关键．
24．(1)不是；
(2)是；
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）解出两个一元一次方程的解分别为，，根据阳光方程的定义求解即可；
（2）分别求得两个方程的解，再根据阳光方程的定义判断即可；
（3）分别求得两个方程的解，再根据阳光方程的定义列出绝对值不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：由方程可得，
由方程可得，
∵
根据阳光方程的定义可得：方程与方程不是互为阳光方程；
（2）由可得
解得，
由可得，
根据阳光方程的定义可得：关于x的方程与关于y的方程是互为阳光方程；
（3）由可得，
由可得
由题意可得：，即，即
解得，
的最大值为，最小值为．
【点睛】此题是新定义题，考查了一元一次方程的求解，绝对值不等式的求解，解题的关键是准确理解题意，正确求出各方程的解以及不等式的解集．
25．(1)不是，理由见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）分别求出方程的解，再判断，即可求解；
（2）分别解出方程，再代入，求出k即可；
（3）先解出方程，再代入，求出x的值，最后代入即可求出的值．
【详解】（1）的解为，的解为，
，
方程与方程不是“美好方程”；
（2）∵的解为，
解为
（3）的解为
∵关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“美好方程”，
∴
∴或
的解为或
即关于x的方程，无论为何值，方程的解都是或
代入得，，整理得
代入得，，整理得
或
或
【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
26．（1）-52；（2）．
【分析】（1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．
（2）首先根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，由，列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出的值是多少即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵
∴
解得：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
27．29.
【分析】把x＝﹣2代入方程a（x+3）＝a +x得到关于a的一元一次不等式，解之，求出a的值，代入a﹣（a﹣1）+3（4﹣a），根据有理数的混合运算法则，计算求值即可．
【详解】解：把x＝﹣2代入方程a（x+3）＝a +x得：
a＝a﹣2，
解得：a＝﹣4，
把a＝﹣4代入a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）得：
原式＝﹣6﹣（﹣10﹣1）+3×8
＝﹣6+11+24
＝29．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法和有理数的混合运算法则是解题的关键．3.4 实际问题与一元一次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南株洲·七年级期末）某车间有21名工人生产螺栓和螺母，每人每小时能生产螺栓12个或螺母18个，现分配x名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，并使得每小时生产的螺栓和螺母可按1：2配套，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个.若要使每天生产的螺栓和螺母按配套，则分配几人生产螺栓 设分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·湖南常德·七年级统考期末）一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后甲乙两人合作x天完成这项工程，则可以列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产个零件，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为（ ）．
A．6 B．2 C．1 D．4
6．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．8 D．9
7．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
8．（2022秋·湖南湘潭·七年级统考期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．70 C．96 D．105
9．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出钱．多出钱；每人出钱，差钱．问人数是多少？若设有人，则可方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）一家商店将某件服装按成本价提高后，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利12元，那么这件商品的成本价为 元．
11．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得的利润．若该商品标价为36元，则商品的进价为 元．
12．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期末）在一次读报知识竞赛中，其有30道题，答对每题得4分，答错或不答每题扣2分，最后小明得分为90分，则小明答对了 道题．
13．（2022秋·湖南衡阳·七年级期末）某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣1分，在这次竞赛中小明要不低于90分，则他至少需要答对 道题．
三、解答题
14．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）如图，数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知与互为相反数．点P为数轴上一动点，对应的数为x．
(1)若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
(3)当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？
15．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）在数轴上，点O为原点，点A和点B在数轴上，则表示点O与点A之间的距离，点A和点B的距离表示为，如图，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从原点O出发以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动；
(1)点B表示的数是 ，点A表示的数为 ；
(2)经过多少秒，点P、Q到点A的距离相等？此时点P表示的数是多少？
(3)当动点P到达点A时立即原速返回沿数轴的正方向运动，直到动点Q到达点A时P，Q两点同时停止运动；设点P运动时间为t秒，当时，求出所有满足条件的时间t的值．
16．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期末）一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9h，当逆风飞行时则需3.2h．已知风速为30km/h，求无风时飞机的航速和这两个城市之间的距离．
17．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者做盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套．
(1)现有14张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答）
(2)现有27张白板纸，问最多可做几个包装盒？
为了解决这个问题，小敏和小强各设计了一种解决方案：
小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖；
小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖．
请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由．
18．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）“卡塔尔世界杯”期间，某工厂接到一批紧急订单，要按期生产两种款式的球衣共万套，已知名工人能按期生产一万套款球衣，名工人能按期生产一万套B款球衣．工厂通过调度，安排名工人按期同时完成了两种款式球衣的生产任务．
(1)生产款球衣和款球衣的工人各多少人？
(2)工厂生产一套款球衣的利润是元，生产一套款球衣的利润是元，工厂完成该订单的总利润是多少？
19．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）平益高速平江段施工由甲、乙两工程队完成，已知甲单独完成需200天，乙队单独完成需300天，现由甲先做40天，然后甲、乙一起完成，则甲、乙一起还需多少天才能完成工作？
20．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元
(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买个暖瓶和个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由；
21．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价元/件的某款运动速干衣和元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；
方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．
某户外俱乐部准备购买运动速干衣件，运动棉袜x双．
(1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款 元（用含x的式子表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款 元（用含x的式子表示）；
(2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；
(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．
22．（2022秋·湖南益阳·七年级统考期末）5名老师带领若干名学生旅游（旅游费统一支付）他们联系了标价相同的两家旅行社，经洽谈，旅行社给的优惠条件是教师全额付款，学生按七折付款，旅行社给的优惠条件是全体师生按八折付款．
(1)若两家旅行社的标价都是每人（）元，学生有人，请用含，的代数式分别表示选择，家旅行社时他们的旅游费用；
(2)学生有多少人时，两家旅行社的收费相同？
(3)现有学生20人，那么他们选择哪家旅行社旅游费用少？
23．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．
(1)若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；
(2)写出一个“相伴数对”（a，b），其中a≠0，且a≠1；
(3)若（m，n）是“相伴数对”，求代数式的值．
24．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a，b满足．
(1)求A、B两点之间的距离；
(2)点C在A点的右侧，D在B点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点C与点D之间的距离；
(3)在（2）的条件下，动点P以3个单位/秒的速度从A点出发沿正方向运动．同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等．
25．（2022秋·湖南常德·七年级统考期末）背景知识：数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合。研究数轴我们发现了许多重要的规律：如数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，若点A在点B的右侧，则可简化为；线段AB的中点M表示的数为．
问题探究：如图，已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为8，－10，点M是线段AB的中点，点A和点B分别以每秒5个单位和每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．
(1)运动开始前，A，B两点之间的距离AB＝________；点M所表示的数为________．
(2)①点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；（都用含t的式子表示）
②当点M距离原点15个长度单位时，求t的值．
(3)若点N从原点出发，与点A和点B同时开始向右运动，点N运动速度为每秒4个单位，运动时间均为t秒．线段AM和线段AN存在怎样的数量关系 请说明理由．
26．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯．为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．
27．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库 ，“—”表示出库)
+21，－32，－16，+35，－38，－20
(1)经过这6天，仓库里的货品是增多了还是减少了多少吨？
(2)如果进出的装卸费都是每吨4元，那么这6天要付多少元装卸费？
(3)第7天要从仓库里运出40吨货物，大货车比小货车每车可多装2吨，请了4辆小货车2辆大货车且每辆车装满，刚好把这40吨货物运完，求每辆大、小货车可装多少吨货物？
28．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）湖南省为鼓励居民节约用电，采用阶梯收费．下面是电费阶梯收费标准（、、、、、月为春秋季，、、、、、月为冬夏季）：
档次 季节 用电量月 收费标准
第一档 全年 度及以内 约元度
第二档 春秋季 超过度至度 约元度
冬夏季 超过度至度
第三档 春秋季 度以上 约元/度
冬夏季 度以上
(1)小明家月份用电度，请你求出小明家月份应交电费多少元？
(2)小红家月份交电费元，请你求出小红家月份用电多少度？
29．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）公园门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 13元 11元 9元
某校七年级（1）、（2）两个班共104人游园，其中（1）班有40多人，但不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．
(1)七年级（1）、（2）班各有学生多少人？
(2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
(3)如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】首先要根据“每天生产的螺栓和螺母按1：2配套”找出题中存在的等量关系：每天生产的螺母=每天生产的螺栓的2倍，从而列出方程．
【详解】解：设x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为（21-x）名．
每天生产螺栓12x个，生产螺母18×（26-x）；
根据“恰好每天生产的螺栓和螺母按1：2配套”，得出方程：2×12x=18（21-x）
故选：B．
【点睛】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
2．D
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（26-x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．
【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则（26-x）名生产螺母，
∵要使每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，
∴可得2×12x=18（26-x）．
故选：D．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．
3．A
【分析】由题意一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，可以得出甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分=1，据此即可解答．
【详解】解：设整个工程为1，根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解决这类问题关键是准确找到等量关系．
4．B
【分析】首先理解题意，找出题中存在的等量关系：实际12小时生产的零件数原计划13小时生产的零件数，根据此等式列方程即可．
【详解】解：设原计划每小时生产个零件，则实际每小时生产个零件．
根据等量关系列方程得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．
5．C
【分析】根据每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都相等即可求出m的值．
【详解】解：第一行第三个数为：，
第三行第三个数为：
第二行第三个数为：
∴
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意解题的关键．
6．D
【分析】根据每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
7．A
【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，，第个相同的数是，进而可得的值．
【详解】解：第1个相同的数是，
第2个相同的数是，
第3个相同的数是，
第4个相同的数是，
，
第个相同的数是，
所以，
解得．
答：第个相同的数是103，则等于18．
故选：．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．
8．C
【分析】设最中间的数为x，根据题意列出方程即可求出判断．
【详解】解：设最中间的数为x，
∴这7个数分别为，
∴这7个数的和为：，
当时，此时，
当时，此时，
当时，此时，
当 时，此时，
∵x是正整数，
∴这7个数的和不可能96．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
9．A
【分析】根据题意找出数量关系和等量关系列方程即可．
【详解】解：设有人，则可得，
∴每人出钱．多出钱：，
每人出钱，差钱：；
可得方程为：．
故选．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，审清题意找出等量关系是解题的关键．
10．300
【分析】设这件商品的成本价为x元，用含x的代数式表示出标价、售价，根据售价减去成本等于利润列方程，即可求解．
【详解】解：设这件商品的成本价为x元，
由题意知，，
解得，
即这件商品的成本价为300元，
故答案为：300．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出一元一次方程．
11．27
【分析】设商品的进价为x元，由已知按标价九折出售，仍可获得的利润，可以表示出出售的价格为元，商品标价为36元，则出售价为元，其相等关系是售价相等，由此列出方程求解．
【详解】解：设商品进价为x，由题意可得，
，
解得：，
∴该商品的进价为27元，
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，熟练掌握解一元一次方程的应用方法是本题解题的关键．
12．25
【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（30-x）道题，根据“答对每题得4分，答错或不答每题扣2分，最后小明得分为90分，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设小明答对了x道题，则答错或不答（30-x）道题，根据题意得：
，
解得：，
答：小明答对了25道题．
故答案为：25
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
13．24
【分析】设需要答对x道题，根据小明要不低于90分得：4x （30 x）≥90，解得他至少需要答对24道题．
【详解】解：设需要答对x道题，
根据题意得：4x （30 x）≥90，
解得x≥24，
∴他至少需要答对24道题，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14．(1)1
(2)当或时，到点和点的距离之和为；
(3)在分钟时点到点、点的距离相等
【分析】（1）根据到与到距离相等，求出的值，即可得出对应的数；
（2）根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）设分钟时点到点、点的距离相等，根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果；
【详解】（1）解：与互为相反数，，
，，，，
设点对应的数为，根据数轴得：，
解得：，则对应的数为：；
（2）设点对应的数为，根据题意得：，
当时，化简得：，即；
当时，化简得：，即；
当或时，到点和点的距离之和为；
（3）设第分钟时，点到点、点的距离相等，
点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，
，
解得，在分钟时点到点、点的距离相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键，注意第（2）问中不同取值范围的讨论．
15．(1)12，
(2)4秒，P表示的数是
(3)t的值为或4或12
【分析】(1)设点B表示的数为x，则，点A表示的数为，再根据，列方程即可求解；
(2)设经过t秒后，点P、Q到点A的距离相等，列方程即可求解；
(3)分4种情况，分别计算，即可分别求解．
【详解】（1）解：设点B表示的数为x，则，点A表示的数为，
依题意得，
解得，
故点B表示的数为12，点A表示的数是，
故答案为：12，；
（2）解：设经过t秒后，点P、Q到点A的距离相等．
依题意：，
解得：，
所以 经过4秒后点P、Q到点A的距离相等；
此时点P表示的数是；
（3）解：当点P回到点B时，则，解得，
当点P到达点A前，且点P在点O右侧时，
根据题意得，解得；
当点P到达点A前，且点P在点O左侧时，
根据题意得，解得；
当点P从点A返回，且点P在点O左侧时，
根据题意得，解得；
当点P从点A返回，且点P在点O右侧时，
根据题意得，解得，不符合题意，舍去，
综上所述，满足条件的时间t的值为或4或12
【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程，速度，时间三者的关系等相关知识，重点掌握一元一次方程的应用，关键点是分类计算时不重不漏．
16．无风时飞机的航速为610km/h，这两个城市之间的距离为1856km
【分析】设无风时飞机的航速为km/h，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设无风时飞机的航速为km/h，由题意可得：
，
去括号得：，
移项合并得：，
所以：，
两个城市之间的距离为：km，
答：无风时飞机的航速为610km/h，这两个城市之间的距离为1856km．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
17．(1)最多可做12个包装盒
(2)小强方案可行，最多做23个包装盒； 小敏方案不可行，理由见解析
【分析】（1）设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答；
（2）分别按小敏和小强设计的方案列出方程解答即可．
【详解】（1）解：设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，
根据题意得：，
解得：，
∴用6张白板纸做盒身，8张白板纸做盒盖，则最多可做12个包装盒；
（2）解：小敏的方案不行，设张白纸做盒身，则有张做盒盖，
根据题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴该方案不符合题意；
小强的方案可行，设余下的白纸板张做盒身，则张做盒盖，
根据题意得：，
解得：，
∴，
则最多做23个包装盒．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键．
18．(1)安排人生产款球衣，人生产款球衣
(2)订单总利润为万元
【分析】(1)根据题意找数量关系和等量关系列方程求解；
(2)根据题意列出式子计算即可．
【详解】（1）解：设安排人生产款球衣，人生产款球衣，则
，
解得
答：安排人生产款球衣，人生产款球衣．
（2）解：∵生产一套款球衣的利润是元，生产一套款球衣的利润是元，
∴（万元），
答：订单总利润为万元．
【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．
19．96天
【分析】根据题意列出等量关系式：甲先做+甲乙共做的=共作总量“1”．
【详解】解：设甲、乙一起还需x天才能完成工作，依题意有：
×40+（）x＝1，
解得x＝96．
答：甲、乙一起还需96天才能完成工作．
【点睛】此题考查了一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系式．
20．(1)一个暖瓶30元，一个水杯8元
(2)到甲商场购买更合算，详见解析
【分析】（1）等量关系为：2×暖瓶单价+3×（38暖瓶单价），据此建立方程求解即可；
（2）甲商场付费：暖瓶和水杯总价之和；乙商场付费：4×暖瓶单价水杯单价，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：设一个暖瓶x元，则一个水杯为元，根据题意得：
，
解得，
∴，
∴一个暖瓶30元，一个水杯8元
答：一个暖瓶30元，一个水杯8元；
（2）解：若单独到甲商场购买，则所需的钱数为：
（元）；
若单独到乙商场购买，则所需的钱数为：
元；
∵，
∴到甲家商场购买更合算．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21．(1)，
(2)方案A
(3)双
【分析】（1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可；
（2）将分别代入（1）所列代数式计算比较即可；
（3）根据“两种方案付款相同”列出方程并解答．
【详解】（1）解：按方案A购买，需付款：，
即需要付款元；
按方案B购买，需付款：，
即需要付款元．
故答案是：，；
（2）当时，
方案A： （元）．
方案B：（元）．
因为，所以按方案A购买较为合算；
（3）根据题意，得．
解得．
答：当购买运动棉袜双时，两种方案付款相同．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意准确列出代数式．
22．(1)旅行社：，旅行社：
(2)10人
(3)旅行社
【分析】（1）根据学生人数和票价直接写出关系式即可；
（2）根据收费相同，列出方程，解方程即可；
（3）算出A、B两个旅行社需要的费用进行对比即可．
【详解】（1）解：A旅行社：，旅行社：；
（2）根据题意得：
，
解得：，
答：学生10人时，两家旅行社的收费相同；
（3）当学生有20人时，
A旅行社的费用为：，
旅行社的费用为：，
∵，
∴，
∴选择A旅行社的费用少．
【点睛】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用，方案选择问题，正确列出代数式，得到方程是解题的关键．
23．(1)
(2)（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）根据“相伴数对”的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得；
（2）设这个“相伴数对”为，根据“相伴数对”的定义建立方程，解方程即可得；
（3）先根据“相伴数对”的定义可得一个关于的等式，再代入求值即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
解得．
（2）解：设这个“相伴数对”为，
由题意得：，
解得，
则这个“相伴数对”为．
（3）解：由题意得：，
整理得：，
则
．
【点睛】本题考查了整式的加减、代数式求值、一元一次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24．(1)18
(2)4
(3)10秒或秒
【分析】（1）根据绝对值和平方式的非负性，由 ，得到，根据两点间的距离等于右边的数减去左边的数即，计算即可．
（2）根据，，确定，，比较大小后，根据两点间的距离等于右边的数减去左边的数，计算即可．
（3）当P追上点Q时，点P、点Q到点C的距离相等；当Q超过点C时，满足，计算即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
因为两点间的距离等于右边的数减去左边的数，
所以即．
（2）解：因为A点表示数，B点表示数，
且，，
所以，，
所以．
（3）解：因为因为A点表示数，B点表示数，D点表示数，C点表示数，
所以，，
设运动x秒时，点P、点Q到点C的距离相等，
当P追上点Q时，点P、点Q到点C的距离相等，
所以，
解得（秒）；
当Q超过点C时，满足，
因为，
所以Q经过秒，到达点C，
所以，
解得（秒）．
所以经过10秒或秒，点P、点Q到点C的距离相等．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，正确理解距离公式，把握动点的实质是解题的关键．
25．(1)18；－1
(2)①；；②
(3)AM=AN+1，理由见解析
【分析】（1）根据两点间的距离公式和中点公式计算即可；
（2）①直接可得点A运动t秒后所在位置的点表示的数为5t+8；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为3t-10；②点M表示的数是4t-1，即得4t-1=15，可解得答案；
（3）由已知AM=5t+8-（4t-1）=t+9，AN=5t+8-4t=t+8，即得AM=AN+1．
【详解】（1）解∵A，B两点分别表示的数为8，-10，
∴AB=8-（-10）=18；
∵点M是线段AB的中点，
∴点M所表示的数为=-1，
故答案为：18，-1；
（2）解：①点A运动t秒后所在位置的点表示的数为5t+8；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为3t-10；
故答案为：5t+8，3t-10；
②点M表示的数是=4t-1，
∵点M距离原点15个长度单位，
∴4t-1=15，
解得t=4，
答：t的值是4；
（3）解：AM=AN+1，理由如下：
∵点M的值为：4t-1，
∴AM=5t+8-（4t-1）=t+9，
∵点N从原点出发，运动速度为每秒4个单位，运动时间均为t秒，
∴N表示的数是4t，
∴AN=5t+8-4t=t+8，
∴AM=AN+1．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，线段的中点，以及一次方程应用，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数．
26．(1)一个暖瓶30元，一个水杯8元
(2)到甲家商场购买更合算，理由见解析
【分析】（1）等量关系为：2×暖瓶单价+3×（38暖瓶单价）=84，据此建立方程求解即可；
（2）甲商场付费：暖瓶和水杯总价之和；乙商场付费：4×暖瓶单价水杯单价，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：设一个暖瓶x元，则一个水杯为元，根据题意得：
，
解得，
∴，
∴一个暖瓶30元，一个水杯8元
答：一个暖瓶30元，一个水杯8元；
（2）解：若单独到甲商场购买，则所需的钱数为：
元；
若单独到乙商场购买，则所需的钱数为：
元；
∵，
∴到甲家商场购买更合算．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
27．(1)减少50吨
(2)648元
(3)每车小货车可装6吨，每车大货车可装8吨
【分析】（1）将所有数据相加即可作出判断，若为正，则说明增多了，若为负，则说明减少了；
（2）计算出所有数据的绝对值之和，然后根据进出的装卸费都是每吨4元，可得出这6天要付的装卸费；
（3）设小货车每车可装x吨货物，则大货车可装x+2吨，根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解： +21-32-16+35-38-20=-50（吨），
即经过这6天，仓库里的货品是减少了50吨；
（2）解：21+32+16+35+38+20=162（吨），
则装卸费为：162×4=648（元）；
（3）解：设小货车每车可装x吨货物，则大货车可装x+2吨，
4x+2（x+2）=40，
解得：x=6，
大货车每车装x+6=8（吨），
答：每车小货车可装6吨，每车大货车可装8吨．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，一元一次方程的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的．
28．(1)元
(2)度
【分析】（1）因为月份属春秋季，根据表格分段计算电费，即可求解．
（2）设小红家月份用电度，根据月份属冬夏季，根据表格数据列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：因为月份属春秋季，
所以由表可得 （元），
答：小明家月份应交电费元．
（2）解：
设小红家月份用电度，
依题意得
解得
答：小红家月份用电度．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，根据题意列出算式与方程是解题的关键．
29．(1)七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生
(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱
(3)如果七年级（1）班单独组织去游园，购买51张门票最省钱
【分析】（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有个学生，根据购票总费用=（1）班购票费用+（2）班购票费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）求出购买104张票的总钱数，将其与1240做差即可得出结论；
（3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有个学生，
∵（1）班有40多人，但不足50人，
∴（2）班学生超过50人，不足100人，
∴（1）班按照每张票的价格为13元购票，（2）班按照每张票的价格为11元购票，
由题意得：，
解得：，
∴．
故七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生；
（2）（元）；
故如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱．
（3）（元），（元），
∴，
∴如果七年级（1）班单独组织去游园，购买51张门票最省钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据购票总费用=（1）班购票费用+（2）班购票费用列出关于x的一元一次方程；（2）根据总价=单价×数量求出购买104张门票的总钱数；（3）根据总价=单价×数量分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数．
