11.1 与三角形有关的线段 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）从长为9，6，5，4的4条线段中任取3条线段，不能构成三角形的是（ ）
A．9，6，5 B．9，6，4 C．9，5，4 D．6，5，4
2．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（ ）个．
A． B．
C． D．
3．（2022秋·湖南怀化·八年级期末）已知一个三角形的三边长分别是4，6，，若的值为奇数，则的取值有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）若一个三角形的两边长分别为、，则它的第三边的长可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖南永州·八年级期末）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
6．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（ ）种选法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．2.5 D．1.25
9．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在中，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是40，则△ABE的面积是( )
A．25 B．20 C．15 D．10
11．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）下列说法错误的是( )
A．三角形的角平分线把三角形分成面积相等的两部分
B．三角形的三条中线相交于一点
C．直角三角形的三条高交于三角形的直角顶点处
D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
12．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
13．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）在中，，则x的取值范围是 ．
15．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）若的三条边长分别为3cm，xcm，4cm，则x的取值范围 ．
16．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）已知三角形三边长分别为2、x、6，且满足．若x是奇数，则x＝ ．
17．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）若三条边长为a，b，c，化简： ．
18．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，D为中边上一点，，E是上一点，且的面积等于的一半，则 ．
19．（2022秋·湖南张家界·八年级统考期末）在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
20．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在中，延长CA至点F，使得，延长AB至点D，使得，延长BC至点E，使得，连接，若，则为 .
21．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S阴影＝16cm2，则S△ABC等于 cm2
22．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，为了使木门不变形，木工师傅在木门上加钉了一根木条，这样是利用三角形的 ．
23．（2022秋·湖南娄底·八年级统考期末）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 ．
24．（2022秋·湖南长沙·八年级期末）如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的 ．
25．（2022秋·湖南湘潭·八年级统考期末）如图，工人师傅制作了一个长方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条与，钉这两块木条的原理是
三、解答题
26．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）先化简，再求值．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简|a-b-c|-|b-c+a|，当a=2、c=3时，求出代数式的值．
参考答案：
1．C
【分析】利用三角形三边关系进行一一判断即可．
【详解】A、9＜6+5，能够构成三角形；
B、9＜6+4，能够构成三角形；
C、9=5+4，能够构成三角形；
D、6＜5+4，能够构成三角形；
故答案为C．
【点睛】本题考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．B
【分析】依据的周长为22，的周长比的周长大2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到，6，8，10．
【详解】解：的周长为22，的周长比的周长大2，
，
解得，
又的三边长均为整数，的周长比的周长大2，
为整数，
边长为偶数，
，6，8，10，
即的长可能值有4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题的关键是掌握：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
3．B
【分析】根据三角形的三边关系可得x的范围，再根据的值为奇数即可得到答案.
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，即，
因为的值为奇数，
所以，可取3个；
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边是解题关键.
4．C
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【详解】解：设第三边的长为，
由三角形的三边关系可得，即，
所以它的第三边的长可能是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．
5．B
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解
【详解】解：∵三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，
当4是最大边时，三边长为1，4，4或2，3，4或2，4，4或3，3，4或3，4，4；
当4是中间的边时，三边长为2，4，5或3，4，5或3，4，6；
∴这样的三角形共8个．
故选：B
【点睛】本题考查了三角形三边关系，难度一般，解题的关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
6．B
【分析】根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形．
【详解】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有9、6、4；9、6、3；9、4、3；6、4、3；
能够组成三角形的只有：9、6、4；6、4、3；共2种．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
7．D
【分析】根据三角形某一边上高的概念，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵过三角形ABC的顶点A作AD⊥BC于点D，点A与点D之间的线段叫做三角形的高线，
∴D符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查三角形的高的概念，掌握“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高”，是解题的关键．
8．C
【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案．
【详解】解：∵AM是△ABC的中线，
∴ ==5，
∴点M到AC的距离为：÷4=2.5，
根据垂线段最短，
则MP的最小值2.5．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键．
9．C
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【详解】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=DC=BC，
∴△ABD与△ACD的周长之差 =（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）
=AB-AC =2021-2018 =3．
则△ABD与△ACD的周长之差为3．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
10．D
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．
【详解】解：∵AD是BC上的中线，
∴，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴，
∴，
∵△ABC的面积是40，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
11．A
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线、角平分线、高的概念可知．
【详解】A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误；
B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确；
C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确；
D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确．
故选A．
【点睛】掌握三角形的中线、角平分线、高的概念．以及三角形的中线、角平分线、高的交点的位置．
12．A
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
13．C
【分析】根据三角形具有稳定性、多边形不具有稳定性解答即可．
【详解】解：A、本选项的图形不具有稳定性，不符合题意；
B、.本选项的图形不具有稳定性，不符合题意；
C、三角形具有稳定性，故本选项符合题意；
D、四边形不具有稳定性，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性和多边形的不稳定性，属于应知应会题型，熟知三角形具有稳定性而多边形具有不稳定性是解题的关键．
14．/
【分析】根据三角形的三边关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．
15．/
【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.
【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.
16．5
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．
【详解】解：根据题意得，6-2＜x＜6+2，
∴4＜x＜8，
∵x是奇数且满足2＜x＜6，
∴x=5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，正确把握三角形三边关系定理是解题关键．
17．/-2a+2b
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即，，移项得：，，再去绝对值计算即可得出答案．
【详解】根据三角形三边关系得： ，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形三边关系，先根据三角形三边的关系来判断绝对值里面的正负是解此类题的关键．
18．//1.5
【分析】过点E作于点F，过点C作于点G，由题意可求出．再根据三角形面积公式可求出．由题意又可知，从而得出．最后再根据三角形面积公式即得出，解出，从而可求出．
【详解】如图，过点E作于点F，过点C作于点G，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵的面积等于的一半，即，
∴．
∵，
∴，即
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查与三角形高有关的计算问题．正确作出辅助线是解题关键．
19．6
【分析】如图，先标注字母，证明可得从而可得结论.
【详解】解：如图，先标注字母，
AD⊥BC于点D，BD＝CD，
BC＝6，AD＝4，
故答案为：6
【点睛】本题考查的是三角形的高，中线与面积的关系，掌握“三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分”是解本题的关键.
20．
【分析】如图，连接，设，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论．
【详解】如图，连接，设，.
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
21．64
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△CFB＝S△EFB＝16cm2，于是得到S△CEB＝32cm2，再求出S△BDE＝16cm2，利用E点为AD的中点得到S△ABD＝2S△BDE＝32cm2，然后利用S△ABC＝2S△ABD求解．
【详解】解：∵F点为CE的中点，
∴S△CFB＝S△EFB＝16cm2，
∴S△CEB＝32cm2，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△BCE＝16cm2，
∵E点为AD的中点，
∴S△ABD＝2S△BDE＝32cm2，
∴S△ABC＝2S△ABD＝64cm2．
故答案为：64．
【点睛】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．
22．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形的稳定性求解即可．
【详解】∵在木门的背面加钉了一根木条，把一个四边形分成了两个三角形，
∴这样做的道理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】此题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形具有稳定性．
23．稳定性
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性回答即可．
【详解】解：用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
24．稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解答．
【详解】解：由于三角形具有稳定性，
故能支撑住手机，
故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的性质，掌握三角形的稳定性并应用于实际是解题的关键．
25．三角形的稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解释即可．
【详解】解：因为三角形具有稳定性，钉上木条构成了两个三角形；
所以窗架更加稳固．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是理解三角形的稳定性．
26．-2a+2c，2．
【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a-b-c＜0，b-c+a＞0．
∴|a-b-c|-|b-c+a|=-a+b+c-（b-c+a）=-2a+2c．
当a=2、c=3时，-2a+2c=-2×2+2×3=2．
【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．11.2 与三角形有关的角
一、单选题
1．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC=120°，∠A=50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
2．（2022秋·湖南湘潭·八年级统考期末）在中，若，那么的形状为（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的三个内角的和等于180度
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的角平分线是一条射线
D．三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半
5．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2︰3︰5，那么这个三角形的最大内角的度数为（ ）
A．54° B．60° C．90° D．100°
6．（2022春·湖南长沙·八年级期末）如图，将一副三角板如图放置，则下列结论：
①；
②如果，则有BC∥AE；
③如果，则有DE∥AB；
④如果，必有．
其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
7．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是( )
A． B． C． D．
8．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）在中，，则的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．180°
10．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）直角三角形中两锐角之差为，则较大锐角为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80° B．82° C．84° D．86°
12．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（ ）
A．43° B．33° C．47° D．37°
13．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，是的外角，若，，则（ ）
A．60° B．65° C．50° D．55°
二、填空题
14．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在中，，平分，若，，则 ．
15．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，在中，于点平分，则 ．
16．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是 度．
17．（2022秋·湖南郴州·八年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝ ．
18．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝ ．
19．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为 度．
20．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A= ．
21．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°．则∠BFD的度数是 ．
三、解答题
22．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）已知：如图，O是内一点，且OB、OC分别平分、．
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，利用第（2）题的结论求．
23．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图，△ABC和△ADE是两个叠放在一起的全等的直角三角形，∠B=30°，△ABC固定不动，将△ADE绕直角顶点A旋转，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），∠PAC和∠PCA的平分线交于点I．
(1)当△ABP是等腰三角形时，求∠PAC的度数；
(2)在△ADE的旋转过程中，PD的长度在不断发生变化，当PD取最大值时，求∠AIC的度数；
(3)确定∠AIC度数的取值范围．
24．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的角平分线，AE⊥BC于点E．求：
(1)∠ABC的大小；
(2)∠DAE的大小．
25．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在内，是边上的高，平分交边于，，，求的度数．
26．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°．
(1)求∠AFB的度数；
(2)若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数．
参考答案：
1．C
【分析】利用三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB，由∠BPC=120°，可得∠PBC+∠PCB，利用角平分线的性质可得∠FBP+∠FCP，易得∠FBC+∠FCB，由三角形的内角和定理可得结果．
【详解】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵∠BPC=120°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=60°，
∴∠ABP+∠ACP=130°-60°=70°，
∵BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，
∴∠FBP+∠FCP=35°，
∴∠FBC+∠FCB=∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP=60°+35°=95°，
∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-95°=85°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，运用整体代入是解答此题的关键．
2．B
【分析】根据△ABC中，，∠A+∠B+∠C＝可求出∠C的度数，进而得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，，∠A+∠B+∠C＝，
∴2∠A＝，
解得∠A＝，
∴△ABC是直角三角形．
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．
3．B
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数之比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进行判断即可．
【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为，
∴三个内角分别为：、、，
∴三角形是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和是和三角形的分类是解题的关键．
4．C
【分析】分别根据三角形内角和定理、三角形三边的关系、三角形角平分线定义以及三角形面积公式对各个命题进行判断．
【详解】解：A.三角形三个内角的和等于180°，所以此选项为真命题；
B.三角形两边之和大于第三边，所以此选项为真命题；
C.三角形的角平分线是一条线段，所以此选项为假命题；
D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半，所以此选项为真命题．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
5．C
【分析】根据三角形的内角和和一个三角形的三个内角度数比为2：3：5，设出三个角，写出相应的方程，然后求解即可
【详解】解：设三个角依次为，，，
则，
解得：，
所以最大的角为，
故选：C．
【点睛】本题是基础题，考查的是三角形的内角和，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．C
【分析】根据三角板中角度的关系，平行线的判定，三角形内角和定理进行求解判定即可．
【详解】解：由题意得∠DAE=∠BAC=90°，∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，
∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
若∠2=45°，则∠3=45°，
∴∠3=∠C，
∴BC∥AE，故②正确；
若∠2=30°，则∠1=60°，
∵∠1≠∠D，
∴DE与AB不平行，故③错误；
若∠2=45°，则∠3=45°，
∴∠3=∠C
∵∠4+∠C=∠E+∠3，
∴∠4=∠E，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
7．B
【分析】如图，易知三角板的为直角，直尺的两条边平行，则可得的对顶角和的同位角互为余角，即可求解．
【详解】如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行，
∴，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
8．A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解：设，则，
由题意得：，即，
解得，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
9．C
【分析】根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵中，
∴＝90°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解答本题的关键．
10．A
【分析】设两个锐角分别为x、y，再根据直角三角形两锐角互余列出方程组，然后求解即可．
【详解】设两个锐角分别为x、y，
由题意得，，
解得，
所以，最大锐角为．
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质、解二元一次方程组，解题的关键是列出方程．
11．A
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．
【详解】解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2＋∠3＝75°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°．
∴∠DAC＝105° 25°＝80°．
故选A．
【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．
12．D
【分析】延长BD交AC于点E，根据三角形外角的性质可得∠BDC=∠A+∠B+∠C，计算可求解．
【详解】解：延长BD交AC于点E，
∵∠BDC=∠C+∠BEC，∠BEC=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠C，
∵∠BDC=100°，∠A=28°，∠C=35°，
∴∠B=100°-28°-35°=37°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，证得∠BDC=∠A+∠B+∠C是解题的关键．
13．B
【分析】根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵是的外角，，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．
14．/40度
【分析】根据角平分线的定义求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】解：平分，，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
15．/115度
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求出∠DAC，再根据角平分线的定义求出∠DAE，然后求出∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】解：∵AD⊥BC，∠B=50°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC=×50°=25°，
∴∠BAE=40°+25°=65°，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=65°+50°=115°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，理清图中各角度之间的关系是解答本题的关键．
16．64
【分析】根据三角形的外角定理即可求解．
【详解】∵∠1=∠B+∠3，∠3=∠2+∠D，
又∵折叠，∴∠B=∠D，
∴∠1=2∠B+∠2
故∠1-∠2=2∠B=64°．
【点睛】此题主要考查三角形的外角定理，解题的关键是熟知外角定理．
17．
【分析】利用角平分线的定义结合的度数可得出的值，进而可得出、的值，在中利用三角形内角和定理可求出的值，此题得解．
【详解】解：平分，，
，
，
．
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是是解题的关键．
18．
【分析】先根据三角形的内角和定理，可得180°+2∠C+∠C= 180°，据此求出∠C的度数，进而可求出∠B的度数．
【详解】解：∵∠A= 108°，∠B= 2∠C，
∴108°十2∠C +∠C= 180°，
∴∠C=24°，
∴∠B=2∠C=2×24°=48°，
故答案为：48°
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°，并能求出每个内角的度数是多少．
19．40
【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
【详解】解：在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为，
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．
20．/80度
【分析】根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：由三角形的外角性质得：，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
21．15°/15度
【分析】先由三角形内角和定理求得∠CDF＝60°，再根据三角形外角的性质即可求得结果．
【详解】解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠CDF＝60°，
∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，
∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】证明∠BOC＝90°＋ ∠A，（1）（2）（3）利用这个公式计算即可解决问题；
【详解】解：∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ACB，
∵∠BOC＝180° （∠2＋∠4），
∴∠BOC＝180° （∠ABC＋∠ACB）＝180° （180° ∠A）＝90°＋∠A．
（1）∵∠A＝48°，
∴∠BOC＝90°＋×48°＝114°．
（2）∵∠A＝n°，
∴∠BOC＝90°＋n°，
∴.
（3）∵∠BOC＝130°，
∴130°＝90°＋∠A，
∴∠A＝80°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是证明∠BOC＝90°＋∠A．
23．(1)60°或15°
(2)135°
(3)105°<∠AIC<150°
【分析】（1）分AP=BP和AP=BP两种情况讨论，计算即可求解；
（2）当AP取最小值时PD取最大值，此时AP与BC垂直，利用角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解；
（3）设∠BAP=α，利用角平分线的定义得到∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：当AP=BP时，
∵∠B=30°，
∴∠B=∠BAP=30°，
∵∠BAC=90°，
∴∠PAC=90°-30°=60°；
当AB=BP时，
∵∠B=30°，
∴∠APB=∠BAP=(180°-30°)= 75°，
∵∠BAC=90°，
∴∠PAC=90°-75°=15°；
综上，∠PAC的度数为60°或15°；
（2）解：∵AD长为定值，
∴当AP取最小值时PD取最大值，此时AP与BC垂直，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠ACP=60°，∠CAP=30°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠ICA=∠ACP=30°，∠IAC=∠CAP=15°，
∴∠AIC的度数为180°-30°-15°=135°；
（3）解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90° α，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA，
∴∠AIC=180° (∠IAC+∠ICA)
=180° (∠PAC+∠PCA)
=180° (90° α+60°)
=α+105°．
∵0<α<90°，
∴105°<α+105°<150°，即105°<∠AIC<150°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的内角和定理进行计算即可；
（2）利用角平分线的定义求出，根据垂直的定义，和三角形内角和求出，利用即可得解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
（2）∵AD 是△ABC 的角平分线，则AD 平分∠BAC，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴；
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理．熟练掌握角平分线的定义：“从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，”垂线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
25．20°．
【分析】先根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，再根据直角三角形的性质求出∠BAD的度数，然后根据角的和差计算即可．
【详解】解：平分，
，
，
，
是边上的高，，
则在中，，
，，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
26．(1)∠AFB=87°；
(2)∠BAF=62°．
【分析】（1）利用三角形的外角性质计算即可；
（2）利用三角形内角和定理构建方程求出∠ABF即可解决问题．
【详解】（1）解：∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=42°，∠CAE=18°，
∴∠AEB=60°，
∵∠CBD=27°，
∴∠AFB=27°+60°=87°；
（2）解：∵∠BAF=2∠ABF，∠AFB=87°，
∴3∠ABF=180°-87°，
∴∠ABF=31°，
∴∠BAF=62°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．11.3 多边形及其内角和 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）从九边形的一个顶点出发，可以作①条对角线，它们将九边形分成②个三角形．对于符号①、②表示的数字正确的是（ ）
A．①6、②7 B．①7、②8 C．①8、②8 D．①9、②7
2．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）若一个多边形的内角和等于，则它的边数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
3．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着竖冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规律，代表一种自然和谐美．图②是从图①的冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（ ）
A．72° B．108° C．360° D．540°
4．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，，则等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）正八边形的外角和为( )
A． B． C． D．
6．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）五边形的外角和等于（）
A．180° B．360° C．540° D．720°
7．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）一个n边形的每个外角都是40°，则这个n边形的内角和是（ ）
A．360° B．1260° C．1620° D．2160°
8．（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形
二、填空题
10．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为 ．
11．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，求 ．
12．（2022春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，是正五边形的对角线．若过点A作直线，则的大小是 度．
13．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是 ．
14．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= ．
15．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则 ．
16．（2022秋·湖南长沙·八年级期末）已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是 ．
17．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）一个多边形的每一个外角都等于120°，那么这个多边形的内角和为 ．
18．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，的度数为 ．
19．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是 边形．
20．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则 ．
21．（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是 ．
三、解答题
22．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
23．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A；
【拓展应用】
（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．
①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；
②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．
参考答案：
1．A
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，进而得出这（n-3）条对角线把多边形分成的个三角形，从而可得答案．
【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，
即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形．熟记这些规律是解本题的关键．
2．A
【分析】根据n边形的内角和可以表示为，设这个多边形的边数为n，得到方程解得即可．
【详解】设这个多边形的边数为n，
，
解得：，
则它的边数为6，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
3．C
【分析】根据多边形的外角和等于解答即可．
【详解】解：由多边形的外角和等于可知，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
4．C
【分析】根据多边形的内角和及平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：
【点睛】此题考查了多边形内角和，熟记多边形的内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据正多边形的外角和等于360°，即可求解．
【详解】解：正八边形的外角和为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边形的外角和等于360°是解题的关键．
6．B
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【详解】解：五边形的外角和是360°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
7．B
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．
【详解】解：多边形的边数是：，
则多边形的内角和是：．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
8．C
【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620°．n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
【详解】解：根据题意，得
（n-2） 180°=360°×4+180°，
解得：n=11．
则这个多边形的边数是11．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
9．B
【分析】判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【详解】A选项，2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°，不符合题意；
B选项，正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°，符合题意；
C选项，2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°，不符合题意；
D选项，2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
10．10
【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
则，
解得．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
11．225°/225度
【分析】连接AD，BC，根据三角形内角和、四边形内角和求解即可．
【详解】解：连接AD，BC，
四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，
∵∠DEA＋∠EAD＋∠ADE＝180°，∠DEA＝105°，
∴∠EAD＋∠ADE＝180° 105°＝75°，
∵∠CFB＋∠FCB＋∠FBC＝180°，∠CFB＝120°，
∴∠FCB十∠FBC＝180° 120°＝60°，
∴∠DCF＋∠ABF＋∠EAB＋∠EDC＝360° （∠EAD＋∠ADE） （∠FCB＋∠FBC）＝360° 75° 60°＝225°，
故答案为：225°．
【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
12．36
【分析】先根据多边形内角和公式求出每一个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ABE＝36°，然后根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝（5 2）×180°÷5＝108°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180° 108°）÷2＝36°，
∵l∥BE，
∴∠1＝∠ABE＝36°，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了正多边形的性质、平行线的性质；熟练掌握正五边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
13．540°
【分析】根据多边形内角和公式(n-2)×180°即可求出结果.
【详解】黑色正五边形的内角和为:
(5- 2)×180° = 540°，
故答案为：540°.
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式.
14．：270°
【分析】先根据三角形内角和定理算出∠3+∠4的度数，再根据四边形内角和为360°，计算出∠1+∠2的度数．
【详解】∵在直角三角形中，
∴∠5=90°，
∴∠3+∠4=180° 90°=90°，
∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360° 90°=270°，
故答案是：270°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和为360°，是解题的关键．
15．0
【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.
16．10
【分析】根据正多边形的外角和，求解即可．
【详解】解：多边形外角和为，该多边形的边数为，
故该正多边形的边数为10．
故答案为：10．
【点睛】题考查了正多边形的外角与外角和，掌握相关知识是解题关键．
17．/180度
【分析】由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解．
【详解】解：360°÷120°＝3，
（3 2）×180°＝180°，
即这个多边形的内角和是180°，
故答案为：180°．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．
18．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．
【详解】解：由多边形的外角和定理知，
∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
故答案是：360°．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
19．十
【分析】设多边形的边数为n，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得：，
解得：，
故答案为：十．
【点睛】本题考查了多边形内角和与多边形外角和，通过利用内外角和的关系建立方程是解题的关键．
20．4
【分析】根据多边形内角和公式和外角和为360度可得方程，再解方程即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
21．7
【分析】设这个多边形的边数是n，则内角和为，然后根据外角和是360度，即可求得边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，则
∴
解得；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的计算，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是关键．
22．（1）1800°；（2）8
【分析】（1）根据内角和公式，可得答案；
（2）根据多边形内角和公式（n-2） 180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2） 180°-360°=720°，再解方程即可．
【详解】解：（1）由题意，得
（12-2）×180°=1800°；
（2）由题意得：
（n-2） 180°-360°=720°，
解得：n=8．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
23．（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．
【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD=a，根据已知条件得到∠ABC=180°-2a，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．
【详解】（1）证明：∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD＝∠A+∠ABC
∵CE平分∠ACD
∴
又∵∠ECD＝∠E+∠EBC
∴
∵BE平分∠ABC
∴
∴
∴；
（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°
∵∠CBA＝40°
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°
∵AD平分∠BAC
∴
∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；
②∠CAD+41°＝∠CBD
设∠CBD＝α
∵∠ABD+∠CBD＝180°
∴∠ABC＝180°﹣2α
∵∠ACB＝82°
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠CAB＝α﹣41°
∴∠CAD+41°＝∠CBD．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．
