12.1 全等三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南怀化·八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．有两个锐角互余的三角形是直角三角形
C．全等三角形对应边相等 D．对顶角相等
2．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）下列命题中，真命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．面积相等的两个三角形全等
C．相等的角是对顶角 D．两个锐角的和一定是钝角
3．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ）s．
A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或
4．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，，则为的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）下列命题中是假命题的是（ ）．
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．同旁内角互补 D．互为相反数的两个数之和等于0
6．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，点，在的边上，≌，其中，为对应顶点，，为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）下列命题：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④全等三角形的高相等．其中正确的命题个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位量为CD，当一端C下滑至时，另一端D向右滑到，则下列说法正确的是（ ）
A．下滑过程中，始终有
B．下滑过程中，始终有
C．若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得
D．若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得
9．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝5，CF＝2，则BF的长为（ ）
A．2 B．3 C．1.5 D．5
10．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）下列说法中错误的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的角平分线相等
二、多选题
11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）下列命题：①一个凸多边形的内角中最多有三个锐角；②十边形的对角线有条；③带根号的数都是无理数；④全等三角形的对应中线相等．其中，真命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题
12．（2022秋·湖南长沙·八年级期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数等于 ．
13．（2022春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若有一个直角三角形与全等，且与其共边，点是A点的对应点，试写出所有满足条件的点的坐标
14．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝32°，∠DCB＝38°，则∠ABC＝ ．
15．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ．
16．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝6，BE＝4，则DE＝ ．
17．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）已知，若，，，则的周长是 ．
18．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）若，，，那么的度数为 ．
19．（2022秋·湖南益阳·八年级期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为 ．
20．（2022秋·湖南长沙·八年级期末）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．
21．（2022秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD= °.
四、解答题
22．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．
参考答案：
1．D
【分析】根据平行线的判定与性质，可判断A；根据直角三角形的判定与性质，可判断B；根据全等三角形的判定与性质，可判断C；对顶角的性质，可判断D．
【详解】解：A、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故A不符合题意；
B、“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是“直角三角形两锐角互余”是真命题，故B不符合题意；
C、“全等三角形对应边相等”的逆命题是“三边对应相等的两个三角形全等”是真命题，故C不符合题意；
D、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．A
【分析】利用对顶角的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及钝角的定义分别判断，即可确定正确的选项．
【详解】解：A.两直线平行，同位角相等，故该命题正确，是真命题，符合题意；
B.面积相等的两个三角形不一定全等，故该命题错误，是假命题，不符合题意；
C.相等的角不一定是对顶角，故该命题错误，是假命题，不符合题意；
D.两个锐角的和一定是钝角，如，故该命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及钝角的定义．
3．C
【分析】需要分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解．
【详解】解：当点在上，点在上时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
当点在上，点第一次从点返回时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
综上所述：的值为1或．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
4．D
【分析】根据全等三角形的性质求出BD和BE，代入DE=BD-BE求出即可．
【详解】解：∵△ABD≌△EBC，AB=3，BC=5，
∴BE=AB=3，BD=BC=5，
∴DE=BD-BE=2，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质求出BD和BE是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．
5．C
【分析】根据真假命题的定义分析选项即可
【详解】解：A. 对顶角相等，是真命题，故不符合题意；
B. 全等三角形的对应角相等，是真命题，故不符合题意；
C. 同旁内角不一定互补，因为两直线平行，同旁内角互补，所以该命题是假命题，符合题意；
D. 互为相反数的两个数之和等于0，是真命题，故不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查真假命题，解题的关键是掌握对顶角，全等三角形的性质，平行线的性质，相反数的性质．
6．A
【分析】根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵≌，
∴AC=AB，BD=CE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
∴，，，
故结论一定成立的有B、C、D．
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
7．B
【分析】根据全等三角形的性质进行判断，即可得到命题的真假.
【详解】解：①全等三角形的对应边相等，说法正确；
②全等三角形的对应角相等，说法正确；
③全等三角形的面积相等，说法正确；
④全等三角形的对应高相等，说法错误；
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．
8．D
【分析】根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至时，另端D向右滑到，当△OCD与全等时，，
A、下过程中，与不一定相等，说法错误；
B、下滑过程中，当△OCD与△ODC全等时，，说法错误；
C、若OC＜OD，则下过程中，不存在某个位置使得，说法错误；
D、若OC＞OD，则下过程中，当△OCD与△ODC全等时，一定存在某个位置使得，说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
9．C
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到BC＝EF，故BF＝CE，然后计算即可．
【详解】∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∵BF＝BC﹣FC，CE＝FE﹣FC，
∴BF＝CE，
∵BE＝5，CF＝2，
∴CF＝BE﹣CE﹣BF，即2＝5﹣2BF．
∴BF＝1.5．
故选C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
10．D
【分析】根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的面积相等，
故、、正确，
故选．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．AD
【分析】根据多边形外角和判断①、多边形对角线条数的计算公式判断②、无理数定义判断③，全等三角形的性质，判断④即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
多边形外角和是可得，一个凸多边形的内角中最多有三个锐角，故①正确；
根据对角线公式可得十边形的对角线有条，故②错误；
开不尽方是无理数，故③错误；
全等三角形的对应中线相等，故④正确；
故选：AD；
【点睛】本题考查多边形外角和、对角线、无理数定义，全等三角形中线，解题的关键是熟练掌握多边形外角和是，多边形对角线公式．
12．/180度
【分析】数形结合，再由平角定义、全等性质及三角形内角和定理得到即可．
【详解】解：如图所示：
由图形可得：，
∵三个三角形全等，
∴由三角形内角和定理及全等性质可得，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查求求角度，由平角定义、全等性质及三角形内角和定理，数形结合，是解决问题的关键．
13．或或
【分析】根据全等三角形的性质画出满足条件的，然后写出对应顶点的坐标即可．
【详解】解：如图，
的坐标为：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
14．/110度
【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，解题的关键是能正确运用全等三角形的性质进行推理，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
15．1或
【分析】设点的运动速度为，由题意可得，与以，，为顶点的三角形全等时分为两种情况：，再利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：设点的运动速度为，
由题意可得，
∵
∴与以，，为顶点的三角形全等时可分为两种情况：
①当时，
∴，
∴
∴
∴此时点的运动速度为；
②当时，
，
∴，
∴，
此时点的运动速度为，
故答案为：1或．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分情况讨论．
16．2
【分析】根据全等的性质得到BD=AC=6，即可求出DE．
【详解】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD=AC＝6，
∵BE＝4，
∴DE＝BD-BE=6-4=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．
17．18
【分析】根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴的周长为 ．
故答案为：18
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
18．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形性质推出∠F＝∠C，即可得出答案．
【详解】解：∵∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180° ∠A ∠B＝60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．
19．4
【分析】根据△ABC≌△ADE，得到AE=AC，由AB=7，AC=3，根据BE=AB-AE即可解答．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵AB=7，AC=3，
∴BE=AB-AE=AB-AC=7-3=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．
20．20
【分析】先利用三角形的内角和定理求出，然后根据全等三角形对应边相等解答．
【详解】解：如图，，
，
，
即．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．
21．25
【分析】根据全等三角形对应角相等可以得到∠CAB=∠EAD，然后两个相等的角减去同一个∠EAB即可得到∠CAE=∠BAD，从而得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB=∠EAD，
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，
即：∠BAD=∠EAC=25°，
故答案为25．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题，相对比较简单，
22．见解析（第一个图答案不唯一）
【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：第一个图形分割有如下几种：
第二个图形的分割如下：
【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．12.2 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两边相等的两个直角三角形全等
4．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，A、B、C、D在同一直线上，，AE=DF,添加一个条件，不能判定△AEC≌△DFB的是（ ）
A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F
5．（2022秋·湖南娄底·八年级统考期末）用直尺和圆规作∠HDG＝∠AOB的过程中，弧②是（ ）
A．以D为圆心，以DN为半径画弧 B．以M为圆心，以DN长为半径画弧
C．以M为圆心，以EF为半径画弧 D．以D为圆心，以EF长为半径画弧
6．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在中，于点，于点，与相交于点，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点运动．设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（ ）
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
二、填空题
11．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝125°，则∠D＝ °．
12．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”是 命题（填“真”或“假”）．
13．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
14．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如右图，在和中，，，．过A作于点G，的延长线与交于点F，连接．
（1）若，，则 ；
（2）若，，则四边形的面积为 ．
15．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，，，，，则 ．
三、解答题
16．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）已知，如图，，，，求证：．
17．（2022秋·湖南娄底·八年级统考期末）（初步探索）
(1)如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________；
（灵活运用）
(2)如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
18．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，在和中，，，点三点在同一直线上，连接交于点．
(1)求证：；
(2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由．
19．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图所示，，，，求证：．
20．（2022春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，和中，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧，I为和平分线的交点．
(1)求证：；
(2)当时，的取值范围为，请求出m，n的值．
21．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，中，，，分别平分，，，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，，求线段的长．
22．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）请画图举例：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不全等（标出相等的边和角）．
23．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知△ABC，求作△DEF，使△DEF≌△ABC；要求写出作法，并保留作图痕迹．（使用直尺和圆规作图，作图痕迹如果是铅笔绘制的请用水芯笔涂描．）
24．（2022秋·湖南娄底·八年级期末）如图，已知BE=CD，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD．
25．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如右图和中，，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①：②；③．
请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）并证明．
26．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在中，是边上一点，是边的中点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
27．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，∠A＝∠D＝90°，BC＝EF，AE＝CD，求证：∠BCE＝∠FED．
28．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知，点在上，，垂足分别为，．
(1)求证：．
(2)如果，求四边形的面积．
29．（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在中，，于点，，，求的大小．
30．（2022春·湖南常德·八年级统考期末）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______，
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
参考答案：
1．D
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意∶全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有定理．
2．C
【分析】由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到．
【详解】解：由作法易得，
在与中，
，
∴（），
∴（全等三角形的对应角相等）．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．
3．D
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可；
【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；可由（SAS）判断，正确；
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；可由（AAS）判断，正确；
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；可由（HL）判断，正确；
D．有两边相等的两个直角三角形无法判定边的对应相等关系，故不一定全等；选项错误，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；熟练掌握（SSS）、（SAS）、（AAS）、（ASA）、（HL）的判定条件是解题关键．
4．B
【分析】根据题目条件可得AE＝DF，∠A＝∠D，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理即可作出判断．
【详解】解：
A．∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFB（AAS），
故此选项不合题意；
B．添加条件EC＝BF，不能证明△AEC≌△DFB，故此选项符合题意；
C．∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
故此选项不合题意；
D．∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF，∠E＝∠F，
∴△AEC≌△DFB（ASA），
故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
5．C
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断即可．
【详解】由题意弧②是以M为圆心，EF为半径画弧，
故选：C．
【点睛】此题主要考查根据作一个角等于已知角的步骤，熟练掌握，即可解题.
6．B
【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第3块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
7．D
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，AAS，SSS，即可解答．
【详解】解：A.∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
∴AC＝DF，
∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故A不符合题意；
B.∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故B不符合题意；
C.∵BC∥EF，
∴∠BCA＝∠F，
∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故C不符合题意；
D.∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，∠A＝∠F，
∴△ABC与△DEF不一定全等，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
8．B
【分析】先利用HL判断Rt△ABE≌△Rt△BAD，则可对A选项进行判断；由于BA与BC不一定相等，所以不能确定△ABE与△CBE全等，则可对B选项进行判断；由于Rt△ABE≌△Rt△BAD，则AE＝BD，则可根据AAS证明△AEF≌△BDF，△AEF≌△BDF，从而可对C、D选项进行判断．
【详解】解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠AEB＝∠BDA＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABE≌△Rt△BAD（HL），所以A选项不符合题意；
∵BA与BC不一定相等，
∴△ABE与△CBE不一定全等，所以B选项符合题意；
∵Rt△ABE≌△Rt△BAD，
∴AE＝BD，
在△AEF和△BDF中，
，
∴△AEF≌△BDF（AAS），所以C选项不符合题意；
在△ADC和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BDF（AAS），所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
9．B
【分析】延长到E，使，证明，从而求的取值范围．
【详解】延长到E，使，连接
∵是边上的中线
∴
即
．
故选D．
【点睛】本题考查了延长线的应用、全等三角形的判定定理以及三角形的两边之和大于第三边，合理的作辅助线是解题的关键．
10．C
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
【详解】解：因为，若，，
根据证得，
由题意得：，
所以，
因为，若，，
根据证得，
由题意得：，
解得．
所以，当的值为1或7秒时．和全等．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法有：，，，，．
11．125
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠B=∠D=125°．
【详解】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B=∠D=125°．
故答案为：125．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．假
【详解】解：全等三角形两边一角的判定方法为：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，
故答案为：假命题．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，相关知识点有：全等三角形的判定方法——，熟记判定方法是解题关键．
13．58°/58度
【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，
故答案为：58°．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键．
14． 14 33
【分析】先根据“”证明≌，再根据全等三角形的对应边相等得出答案．作，再根据（1）得出≌，进而证明≌，然后证明≌，即可得出，代入数值计算得出答案．
【详解】∵，
∴，
即．
∵，，
∴≌，
∴．
∵，
∴．
故答案为：14；
作，交于点H，
由（1）得≌，
∴，，
∴≌，≌，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：33．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，将不规则四边形的面积转化为三角形的面积是解题的关键．
15．9
【分析】根据题意证明，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到答案；
【详解】解：∵∠B=∠E=∠ACF=60°，
∠BCA+∠ACF=∠CFE+∠E，
∠ACF+∠ECF=∠B+∠BAC
∴∠BCA=∠CFE
∠BAC=∠ECF
∴
∴BC=EF，AB=CE
∴BE=BC+CE=EF+AB=5+4=9
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及了三角形的外角定理等知识，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
16．见解析
【分析】利用证明，即可推出．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明．
17．(1)，证明见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）如图1，延长到点G，使，连接，先证明，得到，再证明，得到即可；
（2）同（1）证明即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
（2）猜想：，理由如下：
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
19．见解析
【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
【详解】证明：∵，
∴．
∴，
在与中
，
∴ (SAS)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，得出，即可得结论；
（2）如图2，设，则，根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理求出，进而得出，即可求出答案．
【详解】（1）在和中，（如图1）
∴，
∴，
即
∴．
（2）如图2，设，则，
∵
∴，
∵分别平分，
∴
∴
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
21．(1)
(2)7
【分析】（1）先由，得到，然后由，分别平分，得到的值，进而得到的度数；
（2）在上截取，连接，然后证明，从而得到，然后由得到，进而得到，可证，即可得到，最后得到．
【详解】（1）∵
∴
∵，分别平分、
∴、
∴
∴
（2）在上截取，连接
∵平分
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
又∵平分
∴
在和中
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．
22．画图证明见解析
【分析】先画，满足AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，再说明两个三角形不全等即可．
【详解】解：如图即为所求．其中AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，
显然两个三角形不重合，所以△ABC与△ABD不全等．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是准确画出图形，画图的关键是不能画成直角．
23．邮解析
【分析】作射线EQ，截取EF=BC，分别以E、F为圆心．以AB、AC的长为半径画弧，两弧交于点D，连接ED、DF即可．
【详解】解：作法：①作射线EQ，在射线EQ上截取EF=BC；
②以E为圆心．AB的长为半径画弧；
③以F为圆心．AC的长为半径画弧，两弧交于点D；
④连接DE．DF，
如图所示，△DEF即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，正确掌握作一三角形全等于已知三角形是解题关键．
24．见解析
【分析】利用AAS证明三角形全等即可．
【详解】证明：在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定：找到∠A是公共角这一隐含条件是解题的关键．
25．如果①，③，那么②；证明见解析．（或如果②，③，那么①；证明见解析）
【分析】对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到，因为，，利用判定，得到，即得到；
对于如果②，③，那么①，先根据平行线的性质证明，再根据证明，根据判定，得出即可．
【详解】解：如果①，③，那么②，证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
即．
如果②，③，那么①，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法有，，，、等．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行可知角，再根据中点和对顶角相等可知全等三角形；
（2）根据全等三角形的性质可知，再根据线段的和差关系可以求出的长．
【详解】（1）解：∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
∴
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，中点的定义等相关知识点，熟记全等三角形的性质和判定是解题的关键．
27．见详解
【分析】根据HL证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：如图所示，
∵AE＝CD，
∴AE＋EC＝CD＋EC，
∴AC＝ED
在和中，
∵
∴，
∴∠BCE＝∠FED
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明和全等解答．
28．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再利用直角三角形全等判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，将四边形的面积转化为两个三角形的面积计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵
∴
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质以及面积公式是解决本题的关键．
29．
【分析】根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质可得∠DAC＝∠DAE，再根据三角形的内角和定理可得∠DAC的度数．
【详解】解：∵DE⊥AB，∠C＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，∠B＝50°，
∴∠BAC＝40°，
∴∠DAC＝20°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法HL是解题的关键．
30．(1)证明过程见解析
(2)16
【分析】（1）若①，利用证明；若②，利用证明；若③，利用证明；
（2）根据，可得，根据即可求解．
【详解】（1）证明：若①
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
若②
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
若③
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
（2）解：∵
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．12.3 角的平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在、两边高线的交点处 B．在、两内角平分线的交点处
C．在、两边中线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处
3．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，是中的平分线，，交于点E，，交于点F，若，则的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2022秋·湖南衡阳·八年级期末）如图，点 分别是 平分线上的点， 于点， 于点 ，下列结论错误的（ ）
A． B．与互余的角有两个 C． D．点是的中点
6．（2022春·湖南湘潭·八年级统考期末）如图，是的角平分线，若，则点的距离是（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2022春·湖南常德·八年级统考期末）如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，．Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．25 D．
9．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=8m，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）
A．2m B．3m C．4m D．6m
10．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，中，，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使．分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线BF交AC于点G，若，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
11．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，，平分，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图是用尺规作的平分线的示意图，那么这样作图的依据是( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
二、填空题
14．（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC＝5：3，则D到AB的距离为 ．
15．（2022春·湖南郴州·八年级期末）如图，在中，BD是边AC上的高，CE平分，交BD于点E，，，则的面积为 ．
16．（2022春·湖南常德·八年级统考期末）如图，在中，，平分，交于点，若，的面积为60，则长 ．
17．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）在中，，，．CD是角平分线．则 ．
18．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC 的周长为，面积为，则点O到AB的距离为 cm．
19．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ．
20．（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为 cm．
21．（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，已知，，，是的中点，只需添加 ，就可使，分别为和的平分线．
22．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD=2，△ABC的面积是 .
23．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，垂直平分线段于点的平分线交于点，连结，则∠AEC的度数是 ．
24．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是 ．
三、解答题
25．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在中，分别平分、，点在线段上，求证：．
26．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，于点E，于点F，若，，
(1)求证：平分；
(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．
27．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，在中，，， 于E，且，求的度数．
28．（2022春·湖南郴州·八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF
(2)求证：AD平分∠BAC；
(3)直接写出AB＋AC与AE之间的等量关系．
参考答案：
1．C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，
由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是20，30，40，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择．
【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等是解答本题的关键．
3．C
【分析】利用角平分线的性质，得出，再利用面积是，可求的长．
【详解】解：∵在中，为的平分线，于E，于F，
∴,
∵的面积是，，，
∴，
即，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及三角形的面积公式，根据角平分线的性质定理证得是解题的关键．
4．A
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．B
【分析】根据角平分线的性质得， 可以证明A选项正确；同样可得，可以证明C选项正确；证明 得 ，同理 ，可以证明D选项正确；
【详解】解：A、平分 ，，
同理： ，
选项正确，不符合题意；
B、与互余的角有： ；选项错误，符合题意；
C、 ；选项正确，不符合题意；
D、，
同理：
，即点是的中点；选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
6．B
【分析】过D作于E，则DE是点D到AC的距离，根据角平分线性质得出BD＝DE，代入求出即可．
【详解】解：过D作DE⊥AC于E，则DE是点D到AC的距离，
∵AD是∠BAC的角平分线，，，
∴BD＝DE，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
7．D
【分析】根据角平分线的性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
∴×AB×DE+AC×DF=S△ABC=20，
即×15×DE+×5×DE=20，
解得DE=2，
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质找到DE=DF．
8．B
【分析】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH=DC=2，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：如图，作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC=2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．
9．A
【分析】先由由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8m，，
∴DC＝2m，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2m，
∴点D到AB的距离等于2m，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．
10．B
【分析】过点G作于H．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，过点G作于H．
由作图可知，GB平分，
∵，，
∴，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为3．
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
11．A
【分析】先根据角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到的长．
【详解】解：，平分，于点，于点，
，，
，
，，
，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
12．C
【分析】如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】如图，过点D作于E，
，，
，
，BD平分，
，
即点D到AB的距离为2，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
13．A
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案.
【详解】连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC(SSS)，
故答案选A.
【点睛】本题考查的知识点是作图-基本作图，解题的关键是熟练的掌握作图-基本作图.
14．3cm/3厘米
【分析】过点D作DE⊥AB于E，求出DC，利用角平分线的性质得DE＝CD，可得答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8cm，BD：DC＝5：3．
∴CD＝3cm，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3cm，
∴D到AB的距离为3cm，
故答案为：3cm．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
15．6
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE=BC·EF=×6×2=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
16．6
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，再由△ABD的面积为60，可得DE=6，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵AB=20，△ABD的面积为60，
∴=60，
解得：DE=6，
∴CD=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
17．3：4
【分析】过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F，由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴DE＝DF，
∵AC＝3，BC＝4，
∴S△ACD：S△BCD＝AC DE：BC DF＝AC：BC＝3：4，
故答案为：3：4．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解本题的关键．
18．3
【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE，
同理，OD=OE=OF，
∵△ABC 的周长为，面积为，
则AB OD+AC OF+CB OE=36，即×（AB+AC+BC）×OD=36，
∴OD=3（cm），
∴点O到AB的距离为3
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
19．3
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD=∠CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=3，即可得出选项．
【详解】
解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠C+∠CBD=90°，
∵∠A=90°
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP=AD，
∵AD=3，
∴DP的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小，是解题的关键．
20．3.5
【分析】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．
【详解】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF=CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∵AF=AE，
∴AB+BF=AD-DE，
即11+DE=18-DE，
∴DE=3.5cm．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
21．（答案不唯一）
【分析】利用角平分线的判定定理即可得．
【详解】解：只需添加，就可使，分别为和的平分线．
理由：，，，且点在的内部，
点在的角平分线上，即为的平分线，
点是的中点，
，
，
又，点在的内部，
点在的角平分线上，即为的平分线，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．
22．16
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答．
【详解】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC，
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD，
=×2×（AB+AC+BC），
=×2×16=16，
故答案为16．
【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
23．115°
【详解】试题分析：根据垂直平分线的性质可得BE=CE，即可得到∠EBC=∠ECB=25°，再根据三角形外角的性质即可求得∠AEC=∠EDC+∠ECB=115°．
考点：角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质
24．2
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积=，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
25．见解析
【分析】如图：过C作，运用角平分线的性质定理和证明三角形全等可得、，最后根据即可证明结论．
【详解】证明：如图：过C作,
∵平分， ，
∴，
在和中
,
∴,
∴，
同理可得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．
26．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据得出，得出，所以平分；
（2）根据证明，所以，进而可得答案．
【详解】（1）证明：于，于，
，
与均为直角三角形，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，
理由：平分，
，
于，于，
，
在与中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等．
27．
【分析】先根据角平分线的判定得到 平分，在根据直角三角形两锐角互余即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴点D在的平分线上，
∴ 平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用，解题的关键是熟练掌握直角三角形全等的判定方法．
28．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)AB+AC=2AE，理由见解析
【分析】（1）直接利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
（2）根据全等三角形的性质得到DE=DF，又DE⊥AB，DF⊥AC，即可证明结论；
（3）只需要证明Rt△DEA≌Rt△DFA得到AE=AF，即可证明AB+AC=2AE．
（1）
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵BD=CD，BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；
（2）
解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（3）
解：AB+AC=2AE，理由如下：
∵DE=DF，AD=AD，∠DEA=∠DFA，
∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），
∴AE=AF，
∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
