15.1 分式 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）下列代数式①，②，③，④中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）一位作家用了m天写完了一部小说的上集，又用了n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量是（ ）
A．万字/天 B．万字/天 C．万字/天 D．万字/天
3．（2022春·湖南衡阳·八年级统考期末）使分式有意义的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）若分式的值为零，则x等于（ ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．2或3
5．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）我们规定：如果分式的分子与分母的和为2，这样的分式称为“倍和分式”．若分式是“倍和分式”，则该分式的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖南长沙·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）若分式中的x和y都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是（ ）
A．2 B．y C． D．
11．（2022秋·湖南娄底·八年级统考期末）根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不改变
13．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）分式有意义的条件是 ．
15．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）分式，当时没有意义，则a的值为 ．
16．（2022秋·湖南张家界·八年级统考期末）若，则＝ ．
17．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）分式可以化简为 ．
18．（2022秋·湖南娄底·八年级期末）与的最简公分母为 ．
19．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）分式，，的最简公分母是 ．
三、解答题
20．（2022秋·湖南娄底·八年级期末）当为何值时，分式的值为零？
21．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)；
(2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值．
22．（2022秋·湖南娄底·八年级期末）化简约分
(1)
(2)
(3)
参考答案：
1．B
【分析】根据分式的定义，看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，即可得到答案
【详解】解：①和④分母中含有字母，是分式；②③分母中不含有字母，不是分式，
故选：B
【点睛】本题考查了分式的定义，明确π不是字母是无理数是解题的关键
2．C
【分析】根据总字数除以总天数求出所求即可．
【详解】解：根据题意得：
这位作家平均每天的写作量是万字/天．
故选：C．
【点睛】此题考查了列代数式（分式），弄清题意是解本题的关键．
3．B
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是掌握分式有意义的条件是分母不为0．
4．C
【分析】根据分式为0时，分子等于0且分母不等于0即可得出．
【详解】依题意得，且，
由解得或－2，
当时，，
当时，，
所以，或－2，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值为0 的条件，若分式的值为0，则同时具备分子等于0且分母不等于0．
5．B
【分析】根据分母为零,求x的值，求得解的，都是无意义的，继而判断即可．
【详解】∵2x+1=0，
∴x=，
故x=时，分式无意义，A不符合题意；
∵恒大于0，
故分式恒意义，B符合题意；
∵x=0时，分式无意义，
故C不符合题意；
∵x=1时，分式无意义，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
6．D
【分析】根据题目中给出的信息，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出答案．
【详解】解：∵分式是“倍和分式”，
∴，
解得：，
把代入得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求分式的值，解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出关于x的方程，求出x的值．
7．C
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有：共4个．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单．
8．C
【分析】根据分式的基本性质进行求解即可．
【详解】解：，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
10．C
【分析】x和y都扩大3倍，则2xy扩大到原来的9倍，要使分式的值不变，则x2+□也扩大到原来的9倍，所以□可以是y2．
【详解】解：∵x和y都扩大3倍，
∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍，
∵分式的值不变，
∴x2+□也扩大到原来的9倍，
∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□也要扩大到原来的9倍，
∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□可以是y2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
11．B
【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论．
【详解】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得，，
∴括号内应填x-1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
12．D
【分析】将的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，与原式比较即可．
【详解】解：的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍得：
所以，分式的值不变．
故选D
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键．
13．A
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值都同时扩大到原来的5倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式．
【详解】解：A、，分式的值保持不变，符合题意；
B、，分式的值改变，不符合题意；
C、，分式的值改变，不符合题意；
D、，分式的值改变，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
14．
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，根据条件列出不等式求解即可．
【详解】解：分式有意义的条件是，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式概念的内涵，掌握分式有意义的条件是解决此题的关键．
15．5
【分析】根据分式无意义的条件：分母为0时，分式没有意义，进行求解即可.
【详解】解：∵分式，当时没有意义，
∴，即，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母为0是解题的关键．
16．
【分析】设=k，用k表示出a，b，c，再代入要化简的分式计算即可．
【详解】设=k(k≠0)，则a=2k，b=3k，c=4k
∴==
【点睛】本题考查了分式的化简求值，引入一个参数并熟练掌握分式化简的法则是解题的关键．
17．/
【分析】把分式的分子因式分解后，再把分式约分即可；
【详解】解：
＝
＝
＝
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简，关键是把分子和分母进行正确的因式分解．
18．4xy/4yx
【分析】利用最简公分母的定义求解即可．
【详解】、的分母分别是4x、y，则它们的最简公分母是4xy．
故答案是：4xy．
【点睛】本题主要考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
19．
【分析】根据最简公分母的概念即可求出答案．
【详解】解：三个分式的分母分别是2ab，b2，a-b，
∴分式，，的最简公分母是：2ab2（a-b）．
故答案为：2ab2（a-b）．
【点睛】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．
20．2
【分析】分式值为零，按照分子为零且分母不为零求解即可
【详解】解：∵的值为零
∴且
解得：，
当x=2时，
当x=-2时，，故舍去
综上：x=2
【点睛】本题考查了分式为零时的条件，要注意分母不为零，否则容易产生增根．
21．(1)②③④
(2)或或
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可；
（2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
①，是“和谐分式”；
②，分式可以约分，不是“和谐分式”；
③，分式可以约分，不是“和谐分式”；
④，分式可以约分，不是“和谐分式”；
综上，不是“和谐分式”的是②③④；
故答案为：②③④；
（2）解：∵为“和谐分式”，
∴可以进行因式分解，且不能有因式，
∴或或或，
∴或或．
【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键．
22．(1)6b
(2)
(3)
【分析】（1）原式约去分子与分母的公因式即可；
（2）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可；
（3）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可．
【详解】（1）=
（2）
=
=
（3）
=
=
【点睛】本题主要考查了分式的约分，能够正确进行因式分解是解答本题的关键15.2 分式的运算 同步练习
一、单选题
1．（2022春·湖南衡阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．0
2．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）计算 的结果为
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖南娄底·八年级期末）计算分式得（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）当x分别取2022、2020、2018、…、4、2、0、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得的结果全部相加，则其和等于（ ）
A． B．1 C．0 D．2022
5．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）计算的正确结果是（ ）
A．x B．2 C． D．
6．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）、为实数，且，设，，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
8．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022秋·湖南怀化·八年级期末）已知，，，，，，则 ．
10．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）计算：= ．
11．（2022春·湖南衡阳·八年级统考期末）化简：的结果是 ．
12．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）化简：＝ .
13．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）计算：= ．
14．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）计算的结果是 ．
15．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）计算的结果是
16．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）已知，，，…，（为正整数，且，1），则 （用含有的式子表示）．
17．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）如果一个长方体的体积为，其高为，则这个长方体的底面积是 ．
18．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末） ．
19．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）据《央视网》报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为 ．
三、解答题
20．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）阅读下列材料：
【材料一】
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式：再如这样的分式就是真分式．
类似的假分式也可以化为带分式．如：．
【材料二】
问题：用配方法求代数式的最值．
解：∵，而，
∴，
故当时，的最小值为．
解答下列问题：
(1)分式是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可以化为带分式_________的形式；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
(3)求分式的最值．
21．（2022秋·湖南长沙·八年级期末）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如．
(1)判断：分式是________，分式是________；（填“真分式”或“假分式”）
(2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(3)若x是整数，且分式的值为整数，求x的值．
22．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）先化简，再求值：（）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
23．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
24．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知，，，求的值．
25．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中
26．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）化简：
(1)；
(2)，再从1，0，，中选一个喜欢的数求值．
27．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中满足不等式组，且为整数．
28．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）计算：．
29．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）计算．
参考答案：
1．C
【分析】根据分式的乘法运算法则来求解．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式乘法的运算法则，理解约分是解答关键．
2．A
【详解】【分析】先计算（-a）2，然后再进行约分即可得.
【详解】
=
=b，
故选A.
【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键.
3．C
【分析】分别给分子、分母运用积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘方，分式的乘方即给分子、分母分别乘方．
4．A
【分析】把互为倒数的两个数代入分式可得它们的和是0，把0代入分式得，故得出结果为．
【详解】解：当时，，
当时，，
∵，
即互为倒数的两个数代入分式的和为0，
当时，，
∴将所得的结果全部相加，其和等于
故选：A
【点睛】本题考查数字的变化规律，总结出数字的变化规律是解题的关键．
5．B
【分析】直接利用分式的加减运算的法则进行求解即可．
【详解】解：
=2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的加减，解答的关键是熟记分式的加减的法则并熟练运用．
6．C
【分析】分别通分化成同分母的分式相加，再根据同分母分式相加的法则进行计算，最后比较即可．
【详解】解：Q
∵ab＝1，
∴P
，
∴P＝Q，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减法则的运用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
7．D
【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．
【详解】解：设上山的路程为x千米，
则上山的时间小时，下山的时间为小时，
则上、下山的平均速度千米/时．
故选D．
【点睛】本题考查了列代数式以及分式的化简，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．
8．B
【分析】根据分式乘法运算法则进行计算，判断A，根据分式加法运算法则进行计算，判断B，根据平方差公式进行计算，判断C，先算乘方，然后算减法进行计算，判断D．
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B正确；
C．，故C错误；
D．，故D错误；
故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握平方差公式是解题关键．
9．
【分析】先计算，，从而找到规律：（n为正整数），再根据规律求解．
【详解】解：∵，，，，，，
∴，
，
，
∴（n为正整数），
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的运算和规律探寻，正确找到规律是解题的关键．
10．
【分析】直接利用分式除法运算法则进行化简求出答案．
【详解】解：
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的除法，要熟练掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
11．－1
【分析】根据分式的减法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查的是分式的减法，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．
12．x+y
【详解】，
=，
=x+y，
故答案为：x+y.
13．
【分析】先将分式化为同分母分式，再计算加减并化简即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的加减计算和分式的化简，熟练掌握分式的加减和化简的运算法则是解答本题的关键．
14．
【分析】根据分式的减法法则进行计算即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟记运算法则是解题关键．
15．
【分析】先通分，然后根据同分母分式加减法法则进行计算即可.
【详解】原式=
=
=
=，
故答案为.
【点睛】本题考查了异分母分式的加减法，熟练掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键.
16．
【分析】根据题意求出，并从中找出规律即可求出答案．
【详解】∵，
，
，
，
∴结果每3个一循环，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律．
17．
【分析】利用单项式除以单项式法则计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个长方体的底面积是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式的应用，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
18．
【分析】根据负整数指数幂和积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了负整数指数幂和积的乘方，熟练掌握负整数指数幂和积的乘方的运算法则是解题的关键．
19．
【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
20．(1)真分式；
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料一的定义与例题判断化简即可；
（2）将化为真分式，然后对分母进行赋值即可；
（3）先将根据材料一化为真分式，然后根据材料二对分母转化求最值即可．
【详解】（1）解：1为0次，为1次，
故分式是真分式；
；
故答案为：真分式，
（2）解：，
，解得；
，解得；
，解得；
，解得．
故满足条件的整数x的值为
（3）解：，
故当时，分式的最小值为．
【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：分式加法的逆用，多项式的配方等知识点，充分理解题意是解题关键．
21．(1)真分式；假分式
(2)
(3)
【分析】（1）分式的分子的次数低于分母的次数，所以是真分式；分式的分子的次数高于分母的次数，所以是假分式．
（2）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
（3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】（1）分式的分子的次数为0，低于分母的次数1，所以是真分式；分式的分子的次数为2，高于分母的次数1，所以是假分式．
（2）由题可得，；
（3），
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴，，
∴，
故的值为：，，，，，．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．；．
【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入求值即可．
【详解】解：
=
=
=；
∵，，，
∴，，
当时，．
【点睛】本题考查分式的化简求值，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先算括号内的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为0．
23．x，5．
【分析】采用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，将式子因式分解，约分化为最简，再代入数值计算即可．
【详解】解：
当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．
【分析】先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得，
，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．
25．，
【分析】先将括号内通分合并，然后再计算除法，最后利用零指数幂计算出代入即可．
【详解】解：原式，
，
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的基本性质化简是解题关键．
26．(1)；
(2)，时，原式．
【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式进行化简即可得到答案；
（2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定x的值，戴尔计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，，时，原分式无意义，
故当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
27．；1
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，再由满足不等式组且为整数，确定
的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
由不等式组，得，
为整数，，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的计
算方法．
28．
【分析】先根据绝对值意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则，准确计算．
29．
【分析】先计算有理数的乘方，零次幂及负整数指数幂，然后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】题目主要考查有理数的乘方，零次幂及负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．15.3 分式方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）若，则的值为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．（2022秋·湖南邵阳·八年级期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．（2022秋·湖南长沙·八年级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．21 B．24 C．27 D．36
4．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）若数m使关于x的不等式组有且只有三个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
5．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）已知关于x的分式方程无解，则m的取值为（ ）
A． B．或2 C．或或2 D．不能确定
6．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）张吉怀高铁于2021年12月6日正式开通，湘西正式进入高铁时代．在高铁收官冲刺阶段，为确保高铁如期高质量依法投入运营，中铁W集团计划将全长246公里的张吉怀高铁项目进行验收，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周完成公里，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）因新冠肺炎疫情防控的需要，某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天，设乙厂房每天生产口罩x箱，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米长的河道整治任务，开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治米，那么所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022春·湖南衡阳·八年级统考期末）某地为了响应习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，计划在山坡上种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务，列出方程，则表示（ ）
A．原计划每天种植树木的数量 B．志愿者加入后实际每天种植树木的数量
C．原计划参与种植树木的人数 D．志愿者加入后实际参与种植树木的人数
二、填空题
12．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝ ．
13．（2022春·湖南益阳·八年级统考期末）5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是 ．
三、解答题
14．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
15．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）解方程：
16．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）解方程：
17．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）对于实数x，规定：．
例如：，，．
(1)求值：___________；___________．
(2)猜想：___________，并证明你的结论；
(3)求：的值；
(4)解方程：．
18．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程■有解，其中“■”表示一个数．
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是或0，试确定“■”表示的数．
19．（2022春·湖南衡阳·八年级统考期末）若分式方程：无解，求k的值．
20．（2022秋·湖南邵阳·八年级期末）若分式方程无解，求a的值．
21．（2022春·湖南益阳·八年级统考期末）已知关于x的方程有增根，求k的值．
22．（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）据报道：阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序（其主要工作原理是“深度学习”），堪称人工智能发展的一个重要里程碑，也让全世界的目光聚焦在人工智能这个热门科技领域．目前人工智能应用非常广泛，其中，机器人的需求日益增大，请根据以下情境解决问题：
某工厂采用A型、B型两种机器人代替人力搬运危险产品．A型机器人比B型机器人每小时多搬运10kg产品，A型机器人搬运800kg所用时间与B型机器人搬运600kg产品所用时间相等．问B型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
(1)小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为 ；
小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为 ；
(2)请你选择（1）中两位同学的其中一种解题思路或自己另想一种思路，写出完整的解答过程，解决问题．
23．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）在疫情期间，某药店用4000元购进若干包医用口罩，很快售完，该店又用9000元钱购进第二批这种口罩，购进的包数是第一批的1.5倍，但每包的进价比第一批进价多1元，请解答下列问题：
(1)求购进第一批医用口罩有多少包？
(2)若两批医用口罩按相同的价格售出，且售完后总利润不高于7000元，那么每包口罩的最高售价是多少元？
24．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）2022年10月12日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价比B款套装单价贵，用7200元购买的A款套装数量比用5000元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
25．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
26．（2022秋·湖南郴州·八年级期末）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米和10厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，）
(1)用含a，b的代数式分别表示这三块木板的面积．
(2)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为15000立方厘米，求乙块木板的面积．
(3)如果购买一块长为100厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为90%，试求分式的值．
27．（2022秋·湖南怀化·八年级期末）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格(万元/台)
月处理污水量(吨/台)
(1)求m的值；
(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
28．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）某市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的件数与320元单独购进足球的件数相同．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买方案？
29．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）学校后勤部门计划从某商店购进一些台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，用200元购买的台灯的数量与用40元购买的手电筒的数量相等．
(1)求购买一个台灯、一个手电筒各需多少元？
(2)如果学校需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么学校最多可以购买多少个台灯？
参考答案：
1．C
【分析】由可得，采用整体代入法，即可求解．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，采用整体代入法是解决本题的关键．
2．B
【分析】先用m的代数式表示该方程的解，再根据解为非负数列出不等式，还要排除解为增根的情况，即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
移项、合并，得：，
∵分式方程的解为非负数，
且，
解得：且，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解．注意要排除无解的情况．
3．B
【分析】根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解为非负整数，进而确定a的所以可能的值，再求和即可．
【详解】解：不等式组，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
由于不等式组的解集为，
所以，
解得，
关于y的分式方程的解为，
由于分式方程的解是非负整数，
∴整数a可能的值为0或3或6或9或12或15，
而是分式方程的增根，
∴，即，
∴，
∴符合条件所有的整数a的和为：，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，理解一元一次不等式组的解集以及分式方程的解是解决问题的关键．
4．D
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有3个整数解确定出m的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数m的值，进而求出之和．
【详解】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有三个整数解，得到，
解得：，即整数，
，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到m为﹣1，0，2，之和为1．
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．C
【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论，当时，当时，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
整理得：，
当时，方程无解，此时；
当时，，
∵分式方程无解，
∴或，
∴或，
解得：或．
综上所述， m的取值为或或2．
故选∶C
【点睛】本题主要考查了分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
6．B
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．A
【分析】设原计划每周完成公里，根据第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务，可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原计划每周完成公里，根据第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务，
得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8．B
【分析】根据“甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍”，可得出甲厂房每天生产2x箱口罩，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，根据“两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩．
依题意得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．C
【分析】根据等量关系“原计划用时 实际用时＝4天”，列出方程，即可得到答案．
【详解】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：天，实际用时为：天．
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．B
【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，
【详解】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：
故选B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11．A
【分析】根据给定方程找出利用的等量关系式，进而可找出表示的意义即可得到答案．
【详解】解：∵实际比原计划提前3天完成任务，且所列分式方程为－＝3．
∴利用的等量关系为：原计划完成树木种植的天数－志愿者加入后实际完成树木种植的天数=提前完成任务的天数，
∴表示原计划完成树木种植的天数，
∴表示原计划每天植树的数量，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据给定的方程，找出利用的等量关系式是解题的关键．
12．2
【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．
【详解】解：﹣1＝，
方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，
去括号，得2x﹣x＋1＝m，
移项、合并同类项，得x＝m﹣1，
∵方程无解，
∴x＝1，
∴m﹣1＝1，
∴m＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.
13．
【分析】直接利用“5G网络比4G网络快45秒”得出方程进而得出答案．
【详解】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意：
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
14．(1)分式方程无解
(2)
【分析】（1）方程两边同乘变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）方程两边同乘变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴分式方程无解；
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，准确计算，注意解分式方程要进行检验．
15．
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
16．
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
经检验是原分式方程的解.
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．(1)1；1
(2)1；理由见详解
(3)
(4)
【分析】（1）分别算出，的值，再求和即可；
（2）将代入所给式子，求和即可得出结论；
（3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可．
（4）先去分母，化成整式方程，解出方程即可．
【详解】（1）∵；；
∴1；
∵；；
∴1；
故答案为：1；1；
（2）∵；
∴1；
故答案为：1；
（3）
＝
＝
＝．
（4）
去分母得：
合并同类项得：
系数化为1得：
经检验：是方程的解
【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
18．(1)
(2)0
【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可；
（2）把和0分别代入方程，求出解判断即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
（2）解：当“■”是时，，解得，此时方程无解；
当“■”是0时，，解得，经检验：是分式方程的解，符合题意，
∴“■”表示的数是 ．
【点睛】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
19．3或1
【分析】根据分式方程无解分为有增根或去分母后的整式方程无解两种情况进行讨论即可．
【详解】
去分母得：，
整理得：，
∴当时或时原方程无解，
当时，，
当时，即时，，得，
∴当或时，原方程无解，
故答案为：3或1．
【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成ax=b的形式，如果a=0，b≠0，此时分式方程也无解．
20．或3
【分析】先解分式方程得出，当时，无意义，求出当时，原方程无解；根据当或2时方程无解，得出或，求出a的值即可．
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
解得，
∵当时，无意义，
∴当时，原方程无解；
∵当或2时方程无解，
或，
解得；
综上所述，或3．
【点睛】本题主要考查了分式方程的无解问题，解题的关键是熟练掌握分式方程无解的情况，注意进行分类讨论．
21．
【分析】根据分式方程有增根，得出，求出，方程两边同乘以，得①，把代入①求出k的值即可．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
即，
方程两边同乘以，得①，
将代入①可得．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是根据分式方程有增根，求出．
22．(1)，
(2)B型机器人每小时搬运30kg产品
【分析】（1）小佳同学的解法根据时间相等建立等量关系，小惠同学的解法根据搬运的速度相差10千克建立等量关系；
（2）从（1）中任选一种或另做解法解答出答案即可．
【详解】（1）解：小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为：；
小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为：；
故答案为：，
（2）设B型机器人每小时搬运xkg产品，根据题意可得：
，解得：x＝30，
经检验得：x＝30是原方程的解，且符合题意.
答：B型机器人每小时搬运30kg产品．
【点睛】本题考查分式方程的建立和求解，找到等量关系是本题关键．
23．(1)第一批购进医用口罩2000包
(2)每包口罩的最高售价为4元
【分析】（1）设第一批购进医用口罩包，根据题意列方程计算即可；
（2）设每包口罩的售价为元，根据题意列不等式计算即可．
【详解】（1）设第一批购进医用口罩包，依题意得
解得
经检验：是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批购进医用口罩2000包．
（2）设每包口罩的售价为元，依题意得
解得
答：每包口罩的最高售价为4元．
【点睛】本题考查了分式方程和不等式的实际应用，求出解后注意要检验．
24．A款套装的单价是240元、B款套装的单价是200元
【分析】设B款套装的单价是元，则A款套装的单价是元，根据题意列出关于的分式方程，解方程后检验即可得出结论．
【详解】解：设B款套装的单价是元，则A款套装的单价是元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A款套装的单价是240元、B款套装的单价是200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
25．(1)该种干果的第一次进价是每千克5元
(2)超市销售这种干果共盈利5820元
【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据利润=售价 进价，可求出结果．
【详解】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）第一次购进（千克），
第二次购进（千克）．
（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系列出相应的方程求解．
26．(1)甲块木板的面积为平方厘米；乙块木板的面积为平方厘米；丙块木板的面积为平方厘米
(2)乙块木板的面积为800平方厘米
(3)
【分析】（1）利用展开图，结合立体图形的边长即可得出答案；
（2）利用“甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米”，结合（1）中所求得出等式即可求解；
（3）利用（1）中所求表示出箱子的侧面积以及木板的利用率为，得出等式求出，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：由图可得：甲块木板的面积：平方厘米；乙块木板的面积：平方厘米；丙块木板的面积：平方厘米；
（2）解：由题意可得：，
即，
则，
则乙块木板的面积为；
（3）解：由题意可得：，
化简得，
则．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，正确利用已知得出等量关系是解题关键．
27．(1)；
(2)有种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为吨．
【分析】（1）由万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出分式方程即可求解．
（2）设买型污水处理设备台，则B型台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；然后根据题意求得整数解，再分别求得各方案的处理污水量的吨数，即可求解．
【详解】（1）解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，
即可得：，
解得，
经检验是原方程的解，即；
（2）设买型污水处理设备台，则B型台，
根据题意得：，
解得，由于是整数，则有种方案，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为吨．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键．
28．(1)足球单价为40元，篮球的单价为60元
(2)共有1种购买方案，足球购买16个，则篮球购买24个
【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，利用数量=总价÷单价，结合用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出足球的单价，再将其代入（x+20）中即可求出篮球的单价；
（2）设购买足球y个，则购买篮球（40-y）个，根据“每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球，且投入的经费不超过2100元”，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出购买方案．
【详解】（1）设足球单价为元，则篮球的单价为（）元．
依题意得： ，
解得： ，
经检验符合题意．
∴足球单价为40元，篮球的单价为60元．
（2）设足球购买个，则篮球购买（）个．
依题意得：
解得：
只有一种购买方案为：足球购买16个，篮球购买24个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
29．(1)购买一个台灯需25元、一个手电筒需5元
(2)学校最多可购买18个台灯
【分析】（1）设购买一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设学校最多可购买台灯个，则购买手电筒个，根据题意得出不等式，然后求解即可
【详解】（1）解：设购买一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元
根据题意，得
解得
经检验，是原方程的解且符合题意
当时，
答：购买一个台灯需25元、一个手电筒需5元．
（2）设学校最多可购买台灯个，则购买手电筒个
由题意得
解得
答：学校最多可购买18个台灯．
【点睛】题目主要考查分式方程及不等式的应用，理解题意，列出分式方程及不等式是解题关键．
