人教A版（2019） 第四章指数函数与对数函数 单元测试卷(含答案)

人教A版（2019） 第四章指数函数与对数函数 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知，.设，，，则( )
A. B. C. D.
2、某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的关系是，，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是( )
A.3台 B.5台 C.6台 D.10台
3、某市家庭煤气的使用量和煤气费（元）满足关系已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量 4 5 25 35
煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为( )
A.12.5元 B.12元 C.11.5元 D.11元
4、对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在R上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
5、若函数与有3个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、已知是R上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是( )
A.12 B.10 C.6 D.5
7、著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：，满足：)若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为( )(参考数据：)
A.39分钟 B.41分钟 C.43分钟 D.45分钟
8、设，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知定义在R上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是( )
A.的图象关于直线对称 B.当时，
C.当时，单调递减 D.a的取值范围是
10、已知函数，则( )
A.当时，
B.，方程有实根
C.方程有3个不同实根的一个必要不充分条件是“”
D.若，且方程有1个实根，方程有2个实根，则
三、填空题
11、已知函数的定义域为R,则实数a的取值范围为___________.
12、某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过__________平方米.
13、计算：_________.
14、已知函数 在 上是增函数, 则a 的取值范围是__________.
四、解答题
15、某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，对市场进行调研分析发现养鱼的收益M（单位：万元）、养鸡的收益N（单位：万元）与各自投入a（单位：万元）满足，.设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.
（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益.
（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？
16、已知函数是指数函数.
（1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：.
参考答案
1、答案：A
解析：由，
而，，
即；，，，，
，，，，
综上，.
故选：A.
2、答案：A
解析：依题意，得，即，解得或（舍去）.因为，所以，所以生产者不亏本时的最低产量是3台.故选A.
3、答案：A
解析：根据题表，得.由三月份和四月份的数据，得解得，.所以所以（元）.故选A.
4、答案：A
解析：由不等式，
得.
设函数，则，
所以在R上单调递增.
因为，
所以.解得或.
故选：A.
5、答案：D
解析：
6、答案：B
解析：
由得函数周期是，又偶函数，
且在时，，因此可得，
是偶函数，作出函数与时，的图象，
由图象可知，当时，两函数图象有5个交点.
又函数与均为偶函数，
所以函数的零点个数是10.，
即函数的零点个数是10．
故选：B．
7、答案：B
解析：由题知，，，
，，，，.
8、答案：C
解析：，
，
所以，
又，
，
因，
所以，
综上，
故选：C.
9、答案：ABD
解析：由知是偶函数，
由，知是周期为2的周期函数，
因为当时，，
可作出函数图像如图，
由图可知，所以图象关于对称，所以A正确
当时，，所以B正确
当时，由周期为2可知此时单调性与时的单调性相同，易知当时，单调递增，所以C错误设，则函数在上至少有三个不同的零点，等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，结合图像得：
则有，且，即，解得，所以D正确．
故选ABD．
10、答案：ACD
解析：因为，所以当时，，，所以在y轴左侧的图象恒在x轴下方，故A正确；因为，令，得，令，得或，所以在，上单调递减，在上单调递增，作出其大致图象如图所示.由图可知，当时，方程有实根，故B错误；若方程有3个不同实根，则，故“”是方程有3个不同实根的一个必要不充分条件，故C正确；由，及方程有1个实根，方程有2个实根，可得，，则，故D正确.故选ACD.
11、答案：
解析：因为 的定义域为R,所以 恒成立,
所以, 所以 .故实数a的取值范围是 .
故答案为:.
12、答案：80
解析：设李明家的建筑面积为x平方米，按照方案（1），李明家需缴纳供暖费（元）；按照方案（2），李明家需缴纳供暖费3x元.因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，所以，解得.所以他家的建筑面积最多不超过80平方米.
13、答案：
解析：
14、答案：
解析：函数在上是增函数，可得解得，所以a的取值范围函数，可得为.
15、
（1）答案：88.5万元
解析：当甲合作社的投入为25万元时，乙合作社的投入为47万元，
此时两个合作社的总收益为（万元）.
（2）答案：在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元
解析：甲合作社的投入为x万元，则乙合作社的投入为万元.
①当时，，
.
令，则，
则总收益为.
显然当，即时，，
即甲合作社的投入为16万元，乙合作社的投入为56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.
②当时，，.
显然在上单调递减，所以，
即此时甲、乙合作社的总收益小于87万元.
因为，
所以在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.
16、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为指数函数的图象经过点，所以，
解得，所以；
（2）因为是单调递减函数，由得，
解得，
所以不等式的解集为.