16.1.4通分
一．选择题（共8小题）
1．把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B．=
C．= D．=
2．分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
3．从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）
A． B． C． D．
4．若=﹣，则a﹣2b的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
5．在下列分式中，表示最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列分式是最简分式的（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
9．在分式，，，中，最简分式有 _________ 个．
10．分式，，，中，最简分式的个数是 _________ 个．
11．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 _________ ．
12．的最简公分母是 _________ ，通分的结果为 _________ ．
13．将通分后，它们分别是 _________ ， _________ ， _________ ．
14．与通分后的结果是 _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．通分：和．
16．通分：和．
17．通分：
（1）与
（2）与．
18．把下列各组分式通分：
（1），；
（2），，；
（3），
（4），．
19．通分：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与．
20．通分：、．
21．通分：，，．
22．通分：，，．
16.1.4通分
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A． 最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． =
C． = D． =
考点： 通分．版权所有
分析： 按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
解答： 解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；
B、=，通分正确；
C、=，通分正确；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）=2x﹣4；
故选D．
点评： 根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．
2．分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A． 6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C． 6a（a﹣b） D． 6a（a+b）
考点： 通分．版权所有
分析： 分式的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．
解答： 解：==．
故选C．
点评： 本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握．
3．从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）
A． B． C． D．
考点： 通分．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先求出这几个分数的和，看比1大多少，再看大的数是哪两个分数的和，这两个分数即为删去的数．
解答： 解：由，而，故删去后，可使剩下的数之和为1．
故选C．
点评： 本题考查了分数的通分和有理数的加法，是基础知识要熟练掌握．
4．若=﹣，则a﹣2b的值是（ ）
A． ﹣6 B．6 C．﹣2 D． 2
考点： 通分．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先去分母，得4x=（a﹣b）x+（﹣2a﹣2b），再根据对应相等求出a、b的值，代入计算即可．
解答： 解：化简得，4x=（a﹣b）x+（﹣2a﹣2b），
∴a﹣b=4，﹣2a﹣2b=0，
解得a=2，b=﹣2，
∴a﹣2b=2﹣2×（﹣2）=6，
故选B．
点评： 本题考查了通分以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．
5．在下列分式中，表示最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简分式．版权所有
分析： 根据最简分式的定义：分子与分母不能约分的分式叫最简分式，选择答案．
解答： 解：A、=，可以约分，不是最简分式；
B、=，可以约分，不是最简分式；
C、=，不可以约分，是最简分式；
D、=，可以约分，不是最简分式；
故选C．
点评： 考查了最简分式的定义，比较简单．
6．分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 最简分式．版权所有
分析： 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解答： 解：①④中分子分母没有公因式，是最简分式；
②中有公因式（a﹣b）；
③中有公约数4；
故①和④是最简分式．
故选B．
点评： 最简分式就是分式的分子和分母没有公因式，也可理解为分式的分子和分母的最大公因式为1．所以判断一个分式是否为最简分式，关键是要看分式的分子和分母的最大公因式是否为1．
7．下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简分式．版权所有
分析： 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解答： 解：A、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
B、；
C、=；
D、；
故选A．
点评： 分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
8．下列分式是最简分式的（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简分式；分式的基本性质；约分．版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
解答： 解：A、=，故本选项错误；
B、=，故本选项错误；
C、，不能约分，故本选项正确；
D、==，故本选项错误；
故选C．
点评： 本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．在分式，，，中，最简分式有 3 个．
考点： 最简分式．版权所有
分析： 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解答： 解：其中的=，故最简分式有3个．
故答案为3．
点评： 此题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
10．分式，，，中，最简分式的个数是 3 个．
考点： 最简分式．版权所有
分析： 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解答： 解：分式==，
因此最简分式只有，，，
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
11．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 6y2，4x，3y ．
考点： 通分．版权所有
分析： 解题关键是找到最简公分母，然后再用最简公分母除以原分母，得出结果．
解答： 解：2x、3y2、4xy的最小公倍数为12xy2，12xy2÷2x=6y2，12xy2÷3y2=4x，12xy2÷4xy=3y，
故依次填6y2，4x，3y．
点评： 最简公分母实际上就是求几个分母的最小公倍数．
12．的最简公分母是 （m﹣1）（m+2） ，通分的结果为 ， ．
考点： 通分；最简公分母．版权所有
分析： 观察两个分式的分母，不难得出最简公分母是（m﹣1）（m+2），再用最简公分母通分．
解答： 解：∵公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，
∴的最简公分母是（m﹣1）（m+2），
∴通分的结果为，．
点评： 公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，几个含分母的式子系数取其最小公倍数，字母取其最高次数即得公分母．
13．将通分后，它们分别是 ， ， ．
考点： 通分．版权所有
分析： 先确定三个分式的最简公分母是3ab，可得通分后的结果．
解答： 解：由三个分式的最简公分母是3ab，故通分后它们分别是：．
点评： 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
14．与通分后的结果是 =；= ．
考点： 通分．版权所有
分析： 首先找出两个分式的最简公分母是（1﹣a）（a+1）2，由此根据分式的基本性质化为同分母分式即可．
解答： 解：=；
=．
故答案为：=；=．
点评： 此题主要考查分式的通分，关键是找出最简公分母．
三．解答题（共8小题）
15．通分：和．
考点： 通分．版权所有
分析： 将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂．
解答： 解：和的分母分别是（x+y）2、x2﹣y2，它们的最小公倍数是（x+y）2（x﹣y），则
和通分可得：、．
点评： 本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
16．通分：和．
考点： 通分．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先确定最简公分母为10a2b3c，然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为10a2b3c即可．
解答： 解：最简公分母为10a2b3c，
==；
==．
点评： 本题考查了通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母．
17．通分：
（1）与
（2）与．
考点： 通分．版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）找出两式的最简公分母，通分即可；
（2）找出两式的最简公分母，通分即可．
解答： 解：（1）最简公分母为6y，
通分为：，；
（2）最简公分母为3a2b2，
通分为：，．
点评： 此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．
18．把下列各组分式通分：
（1），；
（2），，；
（3），
（4），．
考点： 通分．版权所有
分析： （1）根据公分母为母为12a2b2，直接通分，即可解决问题．
（2）根据公分母为母为abc，直接通分，即可解决问题．
（3）先将分式的分母变形，找出最简公分母2x（x﹣1），通分即可解决问题．
（4）先找出公分母x（x﹣1），通分，即可解决问题．
解答： 解：（1）∵，的最简公分母为12a2b2，
∴，．
（2）∵，，的最简公分母为abc，
∴．
（3）∵，
∴，的最简公分母为2x（x﹣1），
∴，．
（4）∵=，
∴，的最简公分母为x（x﹣1），
∴=，．
点评： 该题主要考查了分式的通分问题；解题的关键是运用因式分解法，正确找出每个分式分母中的公因式，准确找出公分母．
19．通分：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与．
考点： 通分．版权所有
专题： 计算题．
分析： 找出各项中两式的最简公分母，通分即可．
解答： 解：（1）最简公分母为6y2，
通分为：，；
（2）最简公分母为3a2b2，
通分为：，；
（3）最简公分母为2（x+y）2，
通分为：，；
（4）最简公分母为（2m+3）（2m﹣3），
通分为：，．
点评： 此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．
20．通分：、．
考点： 通分．版权所有
分析： 将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂．
解答： 解：∵=，=，
∴最简公分母是（x+1）（x﹣1）2，
则将、通分可得：，．
点评： 本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
21．通分：，，．
考点： 通分．版权所有
分析： 确定最简公分母，通分即可．
解答： 解：=，
=，
=﹣=．
点评： 本题主要考查了通分，解题的关键是确定最简公分母．
22．通分：，，．
考点： 通分．版权所有
专题： 计算题．
分析： 找出三式子的最简公分母，通分即可．
解答： 解：最简公分母为：y（y﹣2）2，
通分为：，﹣，．
点评： 此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．
第1页（共16页）16.2.1分式的乘除法
一．选择题（共8小题）
1．化简÷的结果是（ ）
A．m B． C．m﹣1 D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．2x+2
3．化简：（﹣）÷的结果是（ ）
A．﹣m﹣1 B．﹣m+1 C．﹣mn﹣m D．﹣mn﹣n
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．a3 a4=a12 C．=3 D．（）2=（a≠0）
6．化简÷的结果是（ ）
A．1 B．a（a+1） C．a+1 D．
7．化简（ab+b2）÷的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，设k=（a＞b＞0），则有（ ）
A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．
二．填空题（共6小题）
9．计算：÷= _________ ．
10．化简÷= _________ ．
11．化简：= _________ ．
12．计算：= _________ ．
13．化简= _________ ．
14．计算：= _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．计算： ．
16．计算： ．
17．化简：÷．
18．化简：．
19．化简：．
20．计算：．
21．化简：
22．化简：
16.2.1分式的乘除法
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．化简÷的结果是（ ）
A． m B． C．m﹣1 D．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=m．
故选：A．
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D． 2x+2
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式= （x﹣1）=．
故选C．
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．化简：（﹣）÷的结果是（ ）
A． ﹣m﹣1 B．﹣m+1 C．﹣mn﹣m D． ﹣mn﹣n
考点： 分式的乘除法．版权所有
分析： 直接利用分式乘除运算法则，首先将分母分解因式进而除法化成乘法化简求出即可．
解答： 解：（﹣）÷=（﹣）×=﹣m﹣1．
故选：A．
点评： 此题主要考查了分式的乘除法，正确分解因式是解题关键．
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=．
故选A．
点评： 此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． （a+b）2=a2+b2 B．a3 a4=a12 C．=3 D．（）2=（a≠0）
考点： 分式的乘除法；同底数幂的乘法；完全平方公式；二次根式的性质与化简．版权所有
分析： 根据完全平方根式、同底数幂的乘法、二次根式的化简以及分式的乘方进行计算即可．
解答： 解：A．（a+b）2=a2++2ab+b2，故A错误；
B．a3 a4=a7，故B错误；
C.=3，故C正确；
D．（）2=（a≠0），故D错误；
故选C．
点评： 本题考查了分式的乘除法、完全平方根式、同底数幂的乘法、二次根式的化简以及分式的乘方，要熟练掌握运算．
6．化简÷的结果是（ ）
A． 1 B．a（a+1） C．a+1 D．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式= =a（a+1）．
故选B
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．化简（ab+b2）÷的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=b（a+b）
=．
故选A．
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．如图，设k=（a＞b＞0），则有（ ）
A． k＞2 B．1＜k＜2 C． D．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．
解答： 解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，
乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），
则k====1+，
∵a＞b＞0，
∴0＜＜1，
∴1＜+1＜2，
∴1＜k＜2
故选B．
点评： 本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．计算：÷= ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式= =．
故答案为：．
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．化简÷= 1 ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
分析： 首先将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式乘除运算法则求出即可．
解答： 解：原式=×
=1．
故答案为：1．
点评： 此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键．
11．化简：= x2﹣2x ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
分析： 直接根据分式的除法法则进行计算即可．
解答： 解：原式=
=x（x﹣2）
=x2﹣2x．
故答案为：x2﹣2x．
点评： 本题考查的是分式的乘除法，在解答此类问题时要注意约分的灵活应用．
12．计算：= 3b ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 分子和分母分别相乘，再约分．
解答： 解：原式==3b，
故答案为3b．
点评： 本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．
13．化简= ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
分析： 原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式= =．
故答案为：
点评： 此题考查了分式的乘除法，分式的乘除法运算的关键是约分，约分的关键是找公因式．
14．计算：= ﹣x2y ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第一个因式提取公因式变形后，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣x（x﹣y） =﹣x2y．
故答案为：﹣x2y
点评： 此题考查了分式的乘除法，分式的乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式．
三．解答题（共8小题）
15．计算： ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 把式子中的代数式进行因式分解，再约分求解．
解答： 解： = =x
点评： 本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是进行因式分解再约分．
16．计算： ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=．
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．化简：÷．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=．
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．化简：．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先把各分式的分子和分母因式分解以及除法运算转化为乘法运算得到原式= ，然后约分即可．
解答： 解：原式=
=x．
点评： 本题考查了分式的乘除法：先把各分式的分子或分母因式分解，再把除法运算转化为乘法运算，然后进行约分得到最简分式或整式．
19．化简：．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据分式的乘法与除法法先把各分式的分子因式分解，再把分式的除法变为乘法进行计算即可．
解答： 解：原式=÷
=×
=﹣1．
点评： 本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
20．计算：．
考点： 分式的乘除法．版权所有
分析： 首先将除法运算化为乘法运算，要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
解答： 解：原式=y（x﹣y）÷
=y（x﹣y）
=y．
点评： 此题考查了分式的除法．此题难度不大，注意把分子分母中能够分解因式的部分首先因式分解，然后约分，化为最简分式．
21．化简：
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 本题可先将分式的除法运算转化为乘法运算，然后将各分式的分子、分母分解因式，进而可通过约分、化简得出结果．
解答： 解：原式=
=．
点评： 分式的除法计算首先要转化为乘法运算，然后对式子进行化简，化简的方法就是把分子、分母进行分解因式，然后进行约分．分式的乘除运算实际就是分式的约分．
22．化简：
考点： 分式的乘除法．版权所有
分析： 在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
解答： 解：原式=÷= =x．
点评： 分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，分子分母因式分解，进行约分．
第1页（共13页）16.2.4分式的化简求值
1．选择题（共8小题）
1．当a=2时，÷（﹣1）的结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．当x=，代数式（﹣）÷的值是（ ）
A． B． C． D．
3．当x=1时，（x﹣2﹣）÷=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．当a=21时，式子的值是（ ）
A．21 B．20 C． D．
5．当a=1，b=0时，+的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
6．已知x﹣3y=0，且y≠0，则（1+） 的值等于（ ）
A．2 B． C． D．3
7．已知，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
8．当a=2008时，分式的值是（ ）
A．2006 B．2008 C．2010 D．2012
二．填空题（共7小题）
9．若a=3，b=1，则+的值等于 _________ ．
10．若+=2，则的值为 _________ ．
11．如果实数x满足x2+x﹣3=0，那么代数式（1+）÷的值为 _________ ．
12．若﹣=2，则代数式= _________ ．
13．当a=时，分式+的值是 _________ ．
14．已知实数a、b满足式子|a﹣2|+（b﹣）2=0．则÷（a﹣）的值是 _________ ．
15．已知a2﹣2a﹣1=0，则= _________ ．
三．解答题（共7小题）
16．先化简，再求值：，其中．
17．先化简，再求值： ﹣3（x﹣1），其中x=2．
18．先化简，再求值：÷（2+），其中x=﹣1．
19．先化简，再求值：（x+1﹣）÷，其中x=2．
20．先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．
21．先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．
22．先化简，再求值：，其中a=﹣1．
16.2.4分式的化简求值
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．当a=2时，÷（﹣1）的结果是（ ）
A． B．﹣ C D． ﹣
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 通分、因式分解后将除法转化为乘法约分即可．
解答： 解：原式=÷
=
=，
当a=2时，原式==﹣．
故选：D．
点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法是解题的关键．
2．当x=，代数式（﹣）÷的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=﹣ =﹣，
当x=时，原式=．
故选B
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．当x=1时，（x﹣2﹣）÷=（ ）
A． 4 B．3 C．2 D． 1
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x=1代入计算即可求出值．
解答： 解：（x﹣2﹣）÷=，
当x=1时，
原式==2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．当a=21时，式子的值是（ ）
A． 21 B．20 C． D．
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=21代入进行计算即可．
解答： 解：原式=÷
=
=，
当a=21时，原式==．
故选D．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
5．当a=1，b=0时，+的值为（ ）
A． ﹣2 B．2 C．1 D． ﹣1
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=
=a+b，
当a=1，b=0时，原式=1+0=1．
故选C．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
6．已知x﹣3y=0，且y≠0，则（1+） 的值等于（ ）
A． 2 B． C． D． 3
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分析： 把小括号内分式通分并把分母分解因式，然后根据分式的乘法运算进行计算，再把x=3y代入进行计算即可得解．
解答： 解：（1+） ，
= ，
= ，
=，
∵x﹣3y=0，且y≠0，
∴x=3y，
∴原式==．
故选C．
点评： 本题考查了分式的化简求值，一般分子、分母能因式分解的先因式分解，本题先计算然后再对分母分解因式更简便．
7．已知，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．2 D． ﹣2
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可．
解答： 解：∵，
∴﹣=，
∴，
∴=﹣2．
故选D．
点评： 解答此题的关键是通分，认真观察式子的特点尤为重要．
8．当a=2008时，分式的值是（ ）
A． 2006 B．2008 C．2010 D． 2012
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 首先根据分式的基本性质，将所给的分式化简，然后再代值计算．
解答： 解：原式==a+2；
当a=2008时，原式=2008+2=2010；故选C．
点评： 在解答此类代值计算的问题时，首先要考虑的是将所给的代数式化简，而不应直接代值计算．
二．填空题（共7小题）
9．若a=3，b=1，则+的值等于 ．
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=+
=
=
=，
当a=3，b=1时，原式==．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
10．若+=2，则的值为 7 ．
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 先根据+=2得出x+y=2xy，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x+y=2xy值代入进行计算即可．
解答： 解：∵+=2，
∴=2，
∴x+y=2xy，
∴原式===7．
故答案为：7．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
11．如果实数x满足x2+x﹣3=0，那么代数式（1+）÷的值为 3 ．
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分析： 将括号内的部分通分后相加，再将除法转化为乘法，相乘即可．
解答： 解：原式=（+） x2= x2=x（x+1）=x2+x，
∵x2+x﹣3=0，
∴x2+x=3，
∴原式=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉通分及分式的乘法是解题的关键．
12．若﹣=2，则代数式= ．
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 根据﹣=2求出a﹣b=﹣2ab，再将原式化为，化简后整体代入，约分即可．
解答： 解：∵﹣=2，
∴=2，
∴b﹣a=2ab，
∴a﹣b=﹣2ab，
∴原式=
=
=
=．
故答案为．
点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉通分和约分以及能利用整体思想是解题的关键．
13．当a=时，分式+的值是 5 ．
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=+
=，
当a=时，原式==5．
故答案为：5．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
14．已知实数a、b满足式子|a﹣2|+（b﹣）2=0．则÷（a﹣）的值是 2+ ．
考点： 分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．版权所有
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，代入原式进行计算即可．
解答： 解：原式=÷
=
=，
∵实数a、b满足式子|a﹣2|+（b﹣）2=0，
∴a=2，b=，
∴原式==2+．
故答案为：2+．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
15．已知a2﹣2a﹣1=0，则= 2 ．
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 先根据a2﹣2a﹣1=0得出a2﹣1=2a，再代入所求代数式进行计算即可．
解答： 解：∵a2﹣2a﹣1=0，
∴a2﹣1=2a，
∴原式==2．
故答案为：2．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意约分的灵活运用．
三．解答题（共7小题）
16．先化简，再求值：，其中．
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．
解答： 解：
=÷（+）
=÷
=×
=，
把，代入原式====．
点评： 此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．
17．先化简，再求值： ﹣3（x﹣1），其中x=2．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第一项约分，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式= ﹣3x+3
=2x+2﹣3x+3
=5﹣x，
当x=2时，原式=5﹣2=3．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．先化简，再求值：÷（2+），其中x=﹣1．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，约分后得到原式=，再把x的值代入计算．
解答： 解：原式=÷
=÷
=
=，
当x=﹣1时，原式==．
点评： 本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
19．先化简，再求值：（x+1﹣）÷，其中x=2．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可化简．
解答： 解：原式=
=
=
=﹣，
当x=2时，原式=﹣=3．
点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法法则是解题的关键．
20．先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=﹣==，
当x=﹣1时，原式==．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=
=
=，
当x=3时，原式==．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．先化简，再求值：，其中a=﹣1．
考点： 分式的化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=÷
=
=a（a﹣2），
当a=﹣1时，
原式=﹣1×（﹣3）=3．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第1页（共15页）16.2.3分式的混合运算
一．选择题（共8小题）
1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A．2x% B．1+2x% C．（1+x%） x% D．（2+x%） x%
2．若（+） w=1，则w=（ ）
A．a+2（a≠﹣2） B．﹣a+2（a≠2） C．a﹣2（a≠2） D．﹣a﹣2（a≠﹣2）
3．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为（ ）
A．+1 B．1 C．﹣1 D．﹣5
4．计算1﹣的结果是（ ）
A．2m2+2m B．0 C．﹣m2﹣2m D．m2+2m+2
5．计算的结果是（ ）
A． B． C．x2+1 D．x2﹣1
6．计算÷（+）的结果是（ ）
A．2 B． C． D．
7．计算（﹣）÷的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．化简：的结果是（ ）
A．﹣mn+m B．﹣m+1 C．﹣m﹣1 D．﹣mn﹣n
二．填空题（共6小题）
9．化简（1+）÷的结果为 _________ ．
10．化简：（1+）= _________ ．
11．化简（1﹣）÷的结果是 _________ ．
12．化简：（1+）÷的结果为 _________ ．
13．化简+（1+）的结果是 _________ ．
14．计算：（﹣）÷2= _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．计算（﹣）÷．
16．计算：（﹣）÷．
17．化简：（a2+3a）÷．
18．化简：（x2﹣2x）÷．
19．已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．
20．化简：．
21．化简：﹣÷．
22．化简：．
16.2.3分式的混合运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A． 2x% B．1+2x% C．（1+x%） x% D． （2+x%） x%
考点： 一元二次方程的应用．版权所有
专题： 增长率问题．
分析： 根据题意列出正确的算式即可．
解答： 解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%） x%，
故选D
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．若（+） w=1，则w=（ ）
A． a+2（a≠﹣2） B．﹣a+2（a≠2） C．a﹣2（a≠2） D． ﹣a﹣2（a≠﹣2）
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式变形后，计算即可确定出w．
解答： 解：根据题意得：w===﹣（a+2）=﹣a﹣2．
故选：D．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为（ ）
A． +1 B．1 C．﹣1 D． ﹣5
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 已知等式变形求出a+的值，代入原式计算即可得到结果．
解答： 解：∵a2﹣3a+1=0，且a≠0，
∴同除以a，得a+=3，
则原式=3﹣2=1，
故选：B．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．计算1﹣的结果是（ ）
A． 2m2+2m B．0 C．﹣m2﹣2m D． m2+2m+2
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第二项变形后约分，再利用完全平方公式展开，合并即可得到结果．
解答： 解：原式=1﹣ （m+1）（m﹣1）=1+ （m+1）（m﹣1）=1+（m+1）2=m2+2m+2，
故选D
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C．x2+1 D． x2﹣1
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果．
解答： 解：原式= （x+1）（x﹣1）=2x+（x﹣1）2=x2+1，
故选C
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．计算÷（+）的结果是（ ）
A． 2 B． C． D．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=÷= =2．
故选A
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．计算（﹣）÷的结果为（ ）
A． B． C D．
考点： 分式的混合运算．版权所有
分析： 首先把括号内的式子通分、相减，然后把除法转化为乘法，进行通分即可．
解答： 解：原式=÷
=
=．
故选A．
点评： 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
8．化简：的结果是（ ）
A． ﹣mn+m B．﹣m+1 C．﹣m﹣1 D． ﹣mn﹣n
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣ =﹣（m+1）=﹣m﹣1．
故选C
点评： 此题考查了分式的混合运算，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
二．填空题（共6小题）
9．化简（1+）÷的结果为 x﹣1 ．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形约分即可得到结果．
解答： 解：原式= = =x﹣1．
故答案为：x﹣1．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．化简：（1+）= ．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=
=．
故答案为：．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．化简（1﹣）÷的结果是 x﹣1 ．
考点： 分式的混合运算．版权所有
分析： 根据分式混合运算的法则进行计算即可．
解答： 解：原式=
=x﹣1．
故答案为：x﹣1．
点评： 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
12.化简：（1+）÷的结果为 ．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=．
故答案为：
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．化简+（1+）的结果是 ．
考点： 分式的混合运算．版权所有
分析： 首先计算括号内的式子，然后通分相加即可．
解答： 解：原式=+
=+
=
=．
故答案是：．
点评： 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
14．计算：（﹣）÷2= ．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=×=×=．
故答案为：
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三．解答题（共8小题）
15．计算（﹣）÷．
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分析： 首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．
解答： 解：原式=（﹣）
=（﹣） （﹣），
=﹣ ，
=﹣．
点评： 此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
16．计算：（﹣）÷．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式= =x﹣1．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．化简：（a2+3a）÷．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第二项约分后，去括号合并即可得到结果．
解答： 解：原式=a（a+3）÷
=a（a+3）×
=a．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．化简：（x2﹣2x）÷．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=x（x﹣2） =x．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 已知等式两边除以a变形后求出a+的值，两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．
解答： 解：∵a2+1=3a，即a+=3，
∴两边平方得：（a+）2=a2++2=9，
则a2+=7．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．化简：．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先将除法化成乘法，再根据乘法的分配律进行计算即可．
解答： 解：原式=，
=a﹣（a+1），
=a﹣a﹣1，
=﹣1．
点评： 本题考查了分式的混合运算，乘法和除法是互为逆运算，是中档题，难度不大．
21．化简：﹣÷．
考点： 分式的混合运算．版权所有
分析： 首先把后边的两个分式转化为乘法，把分子、分母分解因式，进行乘法运算，然后进行分式的减法计算即可．
解答： 解：原式=﹣
=﹣
=﹣．
点评： 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
22．化简：．
考点： 分式的混合运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=
=a+1．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第1页（共11页）16.1.1分式的概念
一．选择题（共8小题）
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．5x B． C． D．
2．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥1
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣3的倒数是 B．﹣2的绝对值是﹣2
C．﹣（﹣5）的相反数是﹣5 D．x取任意实数时，都有意义
5．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
6．分式的值为0，则（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=±2 D．x=0
7．若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜ B．x＞0 C．0＜x＜ D．x＜且x≠0
8．分式的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
二．填空题（共6小题）
9．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是 _________ ．
10．一组按规律排列的式子：（xy≠0），第n个式子是 _________ （n为正整数）．
11．若分式有意义，则实数x的取值范围是 _________ ．
12．当分式有意义时，x的取值范围是 _________ ．
13．已知=1，则+x﹣1的值为 _________ ．
14．请你写出一个值永远不为0的分式 _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．观察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（其中x≠0）．
（1）根据上述分式的规律写出第6个分式；
（2）根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
16．已知当x=2时，分式无意义，那么x取何值时，分式的值为0？
17．若的值为0，试求x的值．
18．已知的值为正整数，求整数a的值．
19．当x=0，﹣2，时，求分式的值．
20．已知，求的值．
21．若==，试求的值．
22．已知y=，当x取何值时．
（1）y的值是正数；
（2）y的值是负数；
（3）y的值是零；
（4）分式无意义．
16.1.1分式的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A． 5x B． C． D．
考点： 分式的定义．21世纪教育网
分析： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．
解答： 解：根据分式的定义
A．是整式，答案错误；
B．是整式，答案错误；
C．是分式，答案正确；
D．是根式，答案错误；
故答案选C．
点评： 本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式的定义．21世纪教育网
分析： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答： 解：A、是整式，故选项错误；
B、是整式，故选项错误；
C、正确；
D、是整式，故选项错误．
故选C．
点评： 本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
3．使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x≠1 B．x=1 C．x≤1 D． x≥1
考点： 分式有意义的条件．21世纪教育网
分析： 根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．
解答： 解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
点评： 本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A． ﹣3的倒数是 B． ﹣2的绝对值是﹣2
C． ﹣（﹣5）的相反数是﹣5 D． x取任意实数时，都有意义
考点： 分式有意义的条件；相反数；倒数．21世纪教育网
分析： 根据倒数的定义，相反数的定义以及分式有意义的条件对各选项分析判断利用排除法求解．
解答： 解：A、﹣3的倒数是﹣，故A选项错误；
B、﹣2的绝对值是2，故B选项错误；
C、﹣（﹣5）的相反数是﹣5，故C选项正确；
D、应为x取任意不等于0的实数时，都有意义，故D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了分式有意义，分母不等于0，相反数的定义以及倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
5．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x≠1 B． x＞1 C． x＜1 D． x≠﹣1
考点： 分式有意义的条件．21世纪教育网
专题： 常规题型．
分析： 根据分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
点评： 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
6．分式的值为0，则（ ）
A． x=2 B．x=﹣2 C．x=±2 D． x=0
考点： 分式的值为零的条件．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 根据分式的值为零的条件得到x2﹣4=0且x+2≠0，然后分别解方程与不等式易得x=2．
解答： 解：∵分式的值为0，
∴x2﹣4=0且x+2≠0，
解x2﹣4=0得x=±2，而x≠﹣2，
∴x=2．
故选A．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分子为零并且分母不为零时，分式的值为零．
7．若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． x＜ B．x＞0 C．0＜x＜ D． x＜且x≠0
考点： 分式的值．21世纪教育网
分析： 根据平方数非负数判断出分子小于等于0，然后根据分母小于0，则分式的值是正数列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵﹣2x2≤0，且x≠0
∴3x﹣1＜0，分式的值为正数，
解得x＜，且x≠0．
故选：D．
点评： 此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子小于0是解题的关键．
8．分式的值为零，则x的值为（ ）
A． ﹣1 B．0 C．±1 D． 1
考点： 分式的值为零的条件．21世纪教育网
分析： 分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
解答： 解：由题意，得
x2﹣1=0，且x+1≠0，
解得，x=1．
故选D．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
二．填空题（共6小题）
9．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是 ．
考点： 分式的定义．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 式子的符号：第奇数个是正号．偶数个是负号，分子等于序号的平方，分母中a的指数是：序号的平方再加上1，据此即可求解．
解答： 解：∵=（﹣1）1+1 ，
﹣=（﹣1）2+1 ，
=（﹣1）3+1 ，
…
第10个式子是（﹣1）10+1 =，
故答案是：．
点评： 本题主要考查了式子的特征，正确理解式子的规律是解题的关键．
10．一组按规律排列的式子：（xy≠0），第n个式子是 （n为正整数）．
考点： 分式的定义．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 根据已知的式子可以得到规律：第奇数个式子的符号是正，偶数个的符号是负；第n个分式的分子中x的次数是：2n+1，分母中y的次数是n．
解答： 解：第n个式子是 ．
点评： 本题主要考查了列代数式，正确总结式子的规律是解题的关键．
11．若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠5 ．
考点： 分式有意义的条件．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．
解答： 解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，即x≠5．
故答案为：x≠5．
点评： 本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．
12．当分式有意义时，x的取值范围是 x≠2 ．
考点： 分式有意义的条件．21世纪教育网
分析： 分式有意义，则分母x﹣2≠0，由此易求x的取值范围．
解答： 解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．
故答案为：x≠2．
点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
13．已知=1，则+x﹣1的值为 2 ．
考点： 分式的值．21世纪教育网
分析： 由求得x的值，代入后面的代数式即可得到答案．
解答： 解：由=1，得：x=2，
经检验x=2是原方程的解．
将x=2代入+x﹣1得：原式=1+2﹣1=2．
故答案为2．
点评： 本题考查了分式方程的解法，在解方程中要注意对根进行检验．
14．请你写出一个值永远不为0的分式 ．
考点： 分式的值．21世纪教育网
专题： 开放型．
分析： 写出满足题意的分式即可．
解答： 解：根据题意得：．
故答案为：
点评： 此题考查了分式的值，弄清题意是解本题的关键．
三．解答题（共8小题）
15．观察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（其中x≠0）．
（1）根据上述分式的规律写出第6个分式；
（2）根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
考点： 分式的定义．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案．
解答： 解：（1）∵，﹣，，﹣，…
∴第6个分式为：﹣；
（2）由已知可得：第n（n为正整数）个分式为：（﹣1）n+1×，
理由：∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子底数是x，次数是连续的奇数，且偶数个为负，
∴第n（n为正整数）个分式为：（﹣1）n+1×．
点评： 此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．
16．已知当x=2时，分式无意义，那么x取何值时，分式的值为0？
考点： 分式有意义的条件；分式的值为零的条件．21世纪教育网
分析： 先把x=2代入分式，根据分式无意义的条件求出y的值，再把的值代入原式，根据分式的值为0的条件求出x的值即可．
解答： 解：∵当x=2时，分式无意义，
∴2x﹣3y=0，即4﹣3y=0，解得y=，
∴当y=时，原分式可化为，
∵分式的值为0，
∴2x+4=0，解得x=﹣2．
点评： 本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
17．若的值为0，试求x的值．
考点： 分式的值为零的条件．21世纪教育网
分析： 根据分式的值为零的条件得到：分子等于0，分母不等于0．
解答： 解：依题意，得
，
解得 x=2．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
18．已知的值为正整数，求整数a的值．
考点： 分式的值．21世纪教育网
分析： 根据分式的值是正整数，可得分子分母同号，分子是分母的倍数，可得答案．
解答： 解：的值为正整数，
∴2﹣a＞0，
2﹣a是2的约数，
当a=1时，=2；
当a=0时，=1；
综上所述，a=1或a=0时，的值为正整数．
点评： 本题考查了分式的值，利用分子分母同号，分子是分母的倍数解题是解题关键．
19．当x=0，﹣2，时，求分式的值．
考点： 分式的值．21世纪教育网
分析： 根据分式求值的方法，可得答案．
解答： 解：当x=0时，==﹣1；
当x=﹣2时，==﹣1；
当x=时，= ( http: / / www.21cnjy.com )==﹣．
点评： 本题考查了分式的值，把x的值代入是解题关键．
20．已知，求的值．
考点： 分式的值．21世纪教育网
分析： 由，可得a=b，代入求值即可．
解答： 解：∵，
∴a=b，
∴===5．
点评： 本题主要考查了分式的值，解题的关键是求出a与b的关系．
21．若==，试求的值．
考点： 分式的值；比例的性质．21世纪教育网
分析： 根据比例的性质，可用x表示y，可用x表示z，根据分式的性质，可得答案．
解答： 解：由==，得
y=，z=．
= ( http: / / www.21cnjy.com )==．
点评： 本题考查了分式的值，利用了比例的性质，分式的性质．
22．已知y=，当x取何值时．
（1）y的值是正数；
（2）y的值是负数；
（3）y的值是零；
（4）分式无意义．
考点： 分式的值；分式有意义的条件；分式的值为零的条件．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： （1）根据y为正数求出x的范围即可；
（2）根据y为负数求出x的范围即可；
（3）根据y为零求出x的值即可；
（4）根据分式无意义求出x的取值即可．
解答： 解：（1）根据题意得：＞0，即（2x﹣1）（3x﹣4）＜0，
解得：＜x＜；
（2）根据题意得：＜0，即（2x﹣1）（3x﹣4）＞0，
解得：x＜或x＞；
（3）根据题意得：=0，解得：x=；
（4）根据题意得：4﹣3x=0，解得：x=．
点评： 此题考查了分式的值，分式有意义的条件，以及分式值为0的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.3.4分式方程的应用
一．选择题（共8小题）
1．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
2．市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ ）
A．甲先做了4天 B．甲乙合做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合做了工程的
3．父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶．同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍．已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（ ）
A．1.1v B．1.2v C．1.3v D．1.4v
4．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．某乡镇决定对一段长6 000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修健的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A．+4= B．=﹣4
C．﹣4= D．=+4
6．甲、乙两个清洁队参加了某社区“城乡清洁工程”，甲队单独做2天完成了工程的三分之一，这时乙队加入，两队又共同做了1天，完成了全部工程．则乙队单独完成此项工程需要（ ）
A．6天 B．4天 C．2天 D．3天
7．某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（ ）
A．70平方米 B．65平方米 C．75平方米 D．85平方米
8．初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
二．填空题（共7小题）
9．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产 _________ 个零件．
10．小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为x米/分，根据题意可得方程 _________ ．
11．学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是 _________ ．
12．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 _________ 台机器．
13．某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工a件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，则手工每小时加工产品的数量为 _________ 件．
14．某市从今年1月1日起调整居民天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%，小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份燃气费是90元，则该市今年居民用天然气的价格是每立方米 _________ 元．
15．货车行驶30km与小汽车行驶40km所用的时间相同．若小汽车每小时比货车多行驶20km，则货车的速度为 _________ km/h．
三．解答题（共8小题）
16．某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．
17．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获得补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
18．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
19．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
20．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
21．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
22．为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？
23．某市修通一条与省会城市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会城市路程是500千米，普通列车走原铁路线路程是560千米．已知普通列车与动车的速度比是2：5，从该市到省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5小时，求普通列车、动车的速度．
16.3.4分式方程的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A． 每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B． 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C． 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D． 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
考点： 分式方程的应用．版权所有
分析： 工作时间=工作总量÷工作效率．那么3000÷x表示实际的工作时间，那么3000÷（x﹣10）就表示原计划的工作时间，15就代表现在比原计划少的时间．
解答： 解：设实际每天铺设管道x米，原计划每天铺设管道（x﹣10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间=15天，
那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．
故选C．
点评： 本题主要考查了根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．
2．开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ ）
A． 甲先做了4天 B． 甲乙合做了4天 C． 甲先做了工程的 D． 甲乙合做了工程的
考点： 分式方程的应用．版权所有
专题： 工程问题．
分析： 方程左边的代数式表示的是甲乙合作的工效，所以相对应的是时间．
解答： 解：由方程：，可知甲做了4天，乙做了x天．
故条件③是甲乙合做了4天．
故选B．
点评： 本题考查了分式方程的应用，用到的等量关系为：工效×工作时间=工作总量．
3．父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶．同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍．已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（ ）
A． 1.1v B．1.2v C．1.3v D． 1.4v
考点： 分式方程的应用．版权所有
分析： 根据“同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍”得出等式方程，求出即可．
解答： 解：设父亲的速度为x，
根据题意得出：=，
解得：x=1.2V．
故选：B．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，根据同向与逆向行驶所用时间得出等式是解题关键．
4．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）
A． 8 B．7 C．6 D． 5
考点： 分式方程的应用．版权所有
专题： 工程问题．
分析： 工效常用的等量关系是：工效×时间=工作总量，本题的等量关系为：甲工作量+乙工作量=1，根据从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，本题需注意甲比乙多做2天．
解答： 解：设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲、乙的工效都为：，
甲前两个工作日完成了，剩余的工作日完成了，，
则+=1，
解得x=8，
经检验，x=8是原方程的解．
故选：A．
点评： 本题主要考查分式方程的应用，还考查了工效×时间=工作总量这个等量关系．
5．某乡镇决定对一段长6 000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修健的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A． +4= B． =﹣4
C． ﹣4= D． =+4
考点： 分式方程的应用．版权所有
专题： 压轴题．
分析： 求的是工作效率，工作总量是6000，则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语是提前4天完成，等量关系为：原计划时间﹣实际用时=4，根据等量关系列出方程．
解答： 解：设原计划每天修建x米，因为每天修健的公路比原计划增加了50% 所以现在每天修健x（1+50%）m，
﹣=4，
即：﹣4=，
故选：C．
点评： 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
6．甲、乙两个清洁队参加了某社区“城乡清洁工程”，甲队单独做2天完成了工程的三分之一，这时乙队加入，两队又共同做了1天，完成了全部工程．则乙队单独完成此项工程需要（ ）
A． 6天 B．4天 C．2天 D． 3天
考点： 分式方程的应用．版权所有
分析： 设乙队单独完成此项工程需要的时间为x天由甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量建立方程就可以求出其解．
解答： 解：设乙队单独完成此项工程需要的时间为x天，由题意，得
×1+×1=1﹣，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的根．
∴x=2．
故选C．
点评： 本题是一道工程问题的运用题，考查了工作总量=工作效率×工作时间的运用，列分式方程解实际问题的运用，解答时根据两次完成的工作量之和等于1建立方程是关键．
7．某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（ ）
A． 70平方米 B．65平方米 C．75平方米 D． 85平方米
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分析： 设原计划每天铺x米，根据人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，可列方程求解．
解答： 解：设原计划每天铺x米，
=3++4
x=75．
经检验x=75是方程的解．
故原计划铺75平方米．
故选C．
点评： 本题考查理解题意的能力，设出计划铺多少，以时间做为等量关系列方程求解．
8．初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（ ）
A． 9 B．10 C．12 D． 14
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专题： 工程问题．
分析： 要求单独由男生完成，每人应植树多少棵，就要先设出未知数，根据题中的等量关系，列方程求解．
解答： 解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：
，
解得：x=10．
检验得x=10是方程的解．
因此单独由男生完成，每人应植树10棵．
故选B．
点评： 考查了分式方程的应用，本题为工作效率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
二．填空题（共7小题）
9．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产 15 个零件．
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分析： 设一个工人每小时生产零件x个，则机器一个小时生产零件12x个，根据这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，列方程求解，继而可求得机器每小时生产的零件．
解答： 解：设一个工人每小时生产零件x个，则机器一个小时生产零件12x个，
由题意得，﹣=2，
解得：x=1.25，
经检验：x=1.25是原分式方程的解，且符合题意，
则12x=12×1.25=15．
即这台机器每小时生产15个零件．
故答案为：15．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
10．小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为x米/分，根据题意可得方程 =+20 ．
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分析： 设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分．由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程．
解答： 解：设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分，根据题意得：=+20．
故答案是：=+20．
点评： 本题是一道行程问题的运用题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程是关键．
11．学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是 30 ．
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分析： 设原计划要分成的小组数是x个，则实际分成（x﹣6）个小组，根据实际每个小组比原计划多1人，列方程求解．
解答： 解：设原计划要分成的小组数是x个，则实际分成（x﹣6）个小组，
由题意得，﹣=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意．
故答案为：30．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
12．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 200 台机器．
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分析： 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
解答： 解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．
依题意得：=．
解得：x=200．
检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产200台机器．
故答案为：200．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．
13．某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工a件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，则手工每小时加工产品的数量为 27 件．
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分析： 先设手工每小时加工产品x件，根据机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，可以得到机器每小时加工产品（2x+9）件，然后根据加工a件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
解答： 解：设手工每小时加工产品的数量为x件，则机器每小时加工产品的数量为（2x+9）件，根据题意可得：
×=，
解得：x=27，
经检验，x=27是原方程的解，
答：手工每小时加工产品27件．
故答案为：27．
点评： 本题考查了列分式方程解应用题，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数，注意分式方程要检验．
14．某市从今年1月1日起调整居民天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%，小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份燃气费是90元，则该市今年居民用天然气的价格是每立方米 3 元．
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专题： 应用题．
分析： 有总费用，求的是单价，那么一定是根据数量来列等量关系的．关键描述语是：“5月份的用气量比去年12月份少10m3”．等量关系为：去年12月份的用气量﹣今年5月份的用气量=10．
解答： 解：设该市去年居民用气的价格为x元/m3，则今年的价格为（1+25%）x元/m3．
根据题意，得﹣=10，
解这个方程，得x=2.4，
经检验，x=2.4是所列方程的根，
∴2.4×（1+25%）=3（元）．
故答案为：3．
点评： 考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．货车行驶30km与小汽车行驶40km所用的时间相同．若小汽车每小时比货车多行驶20km，则货车的速度为 60 km/h．
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分析： 先设货车的速度为xkm/h，根据小汽车每小时比货车多行驶20千米，所以小车的速度为（x+20）km/h，再根据时间=及货车行驶30千米与小车行驶40千米所用时间相同，列出方程，求出x的值，再进行检验，即可得出答案．
解答： 解：设货车的速度为km/h，根据题意得：
=，
解得：x=60．
经检验：x=60是原方程的解．
答：货车的速度为60km/h．
故答案为：60．
点评： 本题考查了分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．
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专题： 工程问题．
分析： 根据题意设出该文具厂原计划每天加工x套这种画图工具，再根据已知条件列出方程即可求出答案．
解答： 解：设文具厂原计划每天加工x套这种画图工具．
根据题意，得﹣=4．
解得 x=125．
经检验，x=125是原方程的解，且符合题意．
答：文具厂原计划每天加工125套这种画图工具．
点评： 本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．
17．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获得补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
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专题： 应用题．
分析： 设该款空调补贴前的售价为每台x元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，可建立方程，解出即可．
解答： 解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得：×（1+20%）=，
解得：x=3000．
经检验得：x=3000是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
点评： 本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
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专题： 应用题．
分析： 设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．
解答： 解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得：=，
解得：x=90，
经检验得：x=90是这个分式方程的解．
x+54=144．
答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．
19．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
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专题： 应用题．
分析： 设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
解答： 解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×=，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
点评： 本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．
20．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
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专题： 行程问题．
分析： 设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走1600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．
解答： 解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得
=+10，
解得 x=80．
经检验，x=80是原方程的根．
答：马小虎的速度是80米/分．
点评： 本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
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专题： 销售问题．
分析： （1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据利润=售价﹣进价，可求出结果．
解答： 解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得=2×+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
点评： 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？
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专题： 工程问题．
分析： 设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5x米2．则依据“乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务”列出方程．
解答： 解：设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5 x米2，根据题意得．
﹣=15，
解得x=160，
经检验，x=160，是所列方程的解．
答：甲队每天完成160米2．
点评： 本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．某市修通一条与省会城市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会城市路程是500千米，普通列车走原铁路线路程是560千米．已知普通列车与动车的速度比是2：5，从该市到省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5小时，求普通列车、动车的速度．
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分析： 首先设普通列车的速度2x千米/小时，则动车的速度是5x千米/小时，根据题意可得等量关系：动车比普通列车少用4.5小时，根据时间关系列出方程即可．
解答： 解：设普通列车的速度2x千米/小时，则动车的速度是5x千米/小时，
由题意有：
解得：x=40，
经检验：x=40是分式方程的解，
∴2x=80，5x=200．
答：普通列车的速度80千米/小时，动车的速度是200千米/小时．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出动车和普通列车从该市到省会城市所用时间．
第1页（共18页）16.3.2解分式方程
一．选择题（共8小题）
1．分式方程的解是（ ）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
2．分式方程的解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．分式方程=的解是（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．无解
4．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（ ）
A．1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=3
5． 分式方程的解为（ ）
A．x=﹣ B．x= C．x= D．
6． 将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（ ）
A．x﹣2=2x B．x2﹣2x=2x C．x﹣2=x D．x=2x﹣4
7． 如果方程+1=有增根，那么m的值等于（ ）
A．﹣5 B．4 C．﹣3 D．2
8． 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
二．填空题（共6小题）
9．方程的解是 _________ ．
10．分式方程=0的解是 _________ ．
11．分式方程=的解为 _________ ．
12．若分式方程有增根，则a的值为 _________ ．
13．若解分式方程产生增根，则m的值为 _________ ．
14．关于x的方程=0有增根，则m= _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．解方程：．
16．解方程：．
17．解分式方程：+=1．
18．解方程：﹣=．
19．若关于x的方程+=有增根，求增根和m的值．
20．（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．
（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．
21．当m为何值时，=有增根．
22．若关于x的方程+=有增根，试求k的值．
16.3.2解分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．分式方程的解是（ ）
A． x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D． x=1或x=2
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专题： 计算题．
分析： 观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘（x﹣2），得
2x﹣5=﹣3，
解得x=1．
检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=1．
故选：C．
点评： 考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
2．分式方程的解为（ ）
A． 1 B．2 C．3 D． 4
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专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：5x=3x+6，
移项合并得：2x=6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选：C．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
3．分式方程=的解是（ ）
A． x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D． 无解
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专题： 转化思想．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x+1=3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故选：C
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（ ）
A． 1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D． x﹣1+2x=3
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专题： 计算题．
分析： 分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．
解答： 解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，
故选：B．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．分式方程的解为（ ）
A． x=﹣ B．x= C．x= D．
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专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：3x=2，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
故选：B
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（ ）
A． x﹣2=2x B．x2﹣2x=2x C．x﹣2=x D． x=2x﹣4
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专题： 常规题型．
分析： 分式方程两边乘以最简公分母x（x﹣2）即可得到结果．
解答： 解：去分母得：x﹣2=2x，
故选：A．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．如果方程+1=有增根，那么m的值等于（ ）
A． ﹣5 B．4 C．﹣3 D． 2
考点： 分式方程的增根．版权所有
专题： 计算题．
分析： 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣4）=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
解答： 解：方程两边都乘（x﹣4），
得x+1+（x﹣4）=﹣m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣4）=0，
解得x=4，
当x=4时，m=﹣5．
故选A．
点评： 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A． 3 B．2 C 1 D． ﹣1
考点： 分式方程的增根．版权所有
专题： 计算题．
分析： 有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值．
解答： 解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x=0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=2．
故选：B．
点评： 增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二．填空题（共6小题）
9．方程的解是 x=2 ．
考点： 解分式方程．版权所有
专题： 计算题．
分析： 观察可得最简公分母是x（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘x（x+2），得
2x=x+2，
解得x=2．
检验：把x=2代入x（x+2）=8≠0．
∴原方程的解为：x=2．
故答案为：x=2．
点评： 本题考查了分式方程的解法，注：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
10．分式方程=0的解是 x=﹣3 ．
考点： 解分式方程．版权所有
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x+1+2=0，
解得：x=﹣3
经检验x=﹣3是分式方程的解．
故答案为：x=﹣3
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
11．分式方程=的解为 x=1 ．
考点： 解分式方程．版权所有
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，
移项合并得： 4x=4，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：x=1．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．若分式方程有增根，则a的值为 4 ．
考点： 分式方程的增根．版权所有
专题： 计算题．
分析： 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣4）=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
解答： 解：方程两边都乘（x﹣4），
得x=2（x﹣4）+a
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4=0，
解得x=4，
当x=4时，a=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．若解分式方程产生增根，则m的值为 3 ．
考点： 分式方程的增根．版权所有
专题： 计算题．
分析： 方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），化为整式方程，进而把增根x=3代入可得m的值．
解答： 解：去分母得：x=2（x﹣3）+m，
当x=3时，m=3，
故答案为3．
点评： 考查增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．关于x的方程=0有增根，则m= 9 ．
考点： 分式方程的增根．版权所有
专题： 计算题．
分析： 首先将方程化为整式方程，求出方程的根，若方程有增根，则方程的根满足分母x2﹣m=0，由此求得m的值．
解答： 解：方程两边都乘以（x2﹣m），得：x﹣3=0，即x=3；
由于方程有增根，故当x=3时，x2﹣m=0，即9﹣m=0，解得m=9；
故答案为：m=9．
点评： 解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三．解答题（共8小题）
15．解方程：．
考点： 解分式方程．版权所有
专题： 计算题．
分析： 本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解答： 解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x=3（x+1），
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是方程的解，
∴原方程的解为x=﹣．
点评： 当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
16．解方程：．
考点： 解分式方程．版权所有
分析： 首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可．
解答： 解：
方程两边同乘以x﹣2得：
1=x﹣1﹣3（x﹣2）
整理得出：
2x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．
点评： 此题主要考查了解分式方程，正确去分母得出是解题关键．
17．解分式方程：+=1．
考点： 解分式方程．版权所有
分析： 根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．
解答： 解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得
3+x（x+3）=x2﹣9
3+x2+3x=x2﹣9
解得x=﹣4
检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴x=﹣4是原分式方程的解．
点评： 本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．
18．解方程：﹣=．
考点： 解分式方程．版权所有
专题： 计算题；转化思想．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，
整理得：x2+x=0，即x（x+1）=0，
解得：x=0或x=﹣1，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=0．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．若关于x的方程+=有增根，求增根和m的值．
考点： 分式方程的增根．版权所有
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解答： 解：去分母得：﹣3（x+1）=m，
由分式方程有增根，得到x2﹣1=0，即x=1或x=﹣1，
把x=1代入整式方程得：m=﹣6；
把x=﹣1代入整式方程得：m=0．
点评： 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．
（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．
考点： 分式方程的增根；解分式方程．版权所有
分析： （1）根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据两个分式值的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
解答： 解：（1）方程两边都乘以（x﹣5），得
x=2（x﹣5）+m．
化简，得m=﹣x+10．
分式方程的增根是x=5，
把x=5代入方程得m=﹣5+10=5；
（2）分式的值比分式的值大3，得
﹣=3．
方程得两边都乘以（x﹣2），得
x﹣3﹣1=3（x﹣2）．
解得x=1，
检验：把x=1代入x﹣5≠0，
x=1是原分式方程的解，
当x=1时，分式的值比分式的值大3．
点评： 本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程得出关于m的方程是解题关键．
21．当m为何值时，=有增根．
考点： 分式方程的增根．版权所有
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解答： 解：去分母得：（m﹣1）x﹣（x+1）=（m﹣5）（x﹣1），
去括号得：（m﹣2）x﹣1=（m﹣5）x﹣m+5，
移项合并得：3x=﹣m+6，
解得：x=，
由分式方程有增根，得到x（x+1）（x﹣1）=0，
即x=0或1或﹣1，
当x=0时，m=6；当x=1时，m=3；当x=﹣1时，m=9．
点评： 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
22．若关于x的方程+=有增根，试求k的值．
考点： 分式方程的增根．版权所有
分析： 根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
解答： 解：去分母，得
（x+1）+（k﹣5）（x﹣1）=（k﹣1）x．
化简，得
3x+6﹣k=0．
当x=1时，3+6﹣k=0，解得k=﹣9；
当x=0时，6﹣k=0，解得k=6；
当x=﹣1时，﹣3+6﹣k=0，解得k=3．
点评： 本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程是解题关键．
第1页（共15页）16.3.1分式方程的定义
一．选择题（共8小题）
1．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（ ）
①；②；③；④．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2．在下列各式中，是关于x的分式方程的是（ ）
A．2x﹣3y=0 B．﹣3= C．= D．+3
3．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程=0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+=1+是分式方程．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．方程的解为（ ）
A．x= B．x= C．x=﹣2 D．无解
5．若x=﹣1是方程﹣=0的根，则（ ）
A．a=6 B．a=﹣6 C．a=3 D．a=﹣3
6．若关于x的分式方程=1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠1 D．m＞﹣3且m≠﹣2
7．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
9．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 _________ ．
10．分母中含有 _________ 的方程，叫做分式方程．
11．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 _________ ．
12．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为 _________ ．
13．分式方程的解为 _________ ．
14．关于x的分式方程无解，则m的值是 _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．若关于x的方程+1=无解，则m= _________ ．
16．若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
17．已知x=5是方程=的解，求a的值．
18．关于x的方程﹣=﹣1无解，求m的值．
19．当a为何值时，关于x的方程的根是1？
20．当m为何值时，分式方程=无解？
16.3.1分式方程的定义
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（ ）
①；②；③；④．
A． 2个 B．3个 C．4个 D． 1个
考点： 分式方程的定义．版权所有
分析： 根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
解答： 解：①方程分母中不含未知数，故①不是分式方程；
②方程分母中含未知数，故②是分式方程；
③方程分母中含表示未知数的字母，故③是分式方程；
④方程分母中含未知数x，故④是分式方程；
故选：B．
点评： 本题考查了分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．在下列各式中，是关于x的分式方程的是（ ）
A． 2x﹣3y=0 B．﹣3= C．= D． +3
考点： 分式方程的定义．版权所有
分析： 根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、2x﹣3y=0是整式方程，故本选项错误；
B、﹣3=是整式方程，故本选项错误；
C、=是分式方程，故本选项正确；
D、+3不是方程，故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
3．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程=0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+=1+是分式方程．
其中正确的个数是（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 分式方程的定义；分式方程的解；解分式方程；分式方程的增根．版权所有
分析： 根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
解答： 解：①解分式方程不一定会产生增根；
②方程=0的根为2，分母为0，所以是增根；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；
所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．
故选：A．
点评： 判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
4．方程的解为（ ）
A． x= B．x= C．x=﹣2 D． 无解
考点： 分式方程的解．版权所有
专题： 计算题．
分析： 可以解方程：先去分母得到3（x+1）=x+2，解得x=﹣，然后经验确定分式方程的解；也可以把x=、﹣、﹣2分别代入方程，计算方程左右两边，根据分式方程的解进行判断．
解答： 解：去分母得，3（x+1）=x+2，
解得x=﹣，
经经验x=﹣是原方程的根，
所以原方程的解为x=﹣．
故选B．
点评： 本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解．也考查了解分式方程．
5．若x=﹣1是方程﹣=0的根，则（ ）
A． a=6 B．a=﹣6 C．a=3 D． a=﹣3
考点： 分式方程的解．版权所有
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，将x=﹣1代入计算即可求出a的值．
解答： 解：去分母得：ax﹣3x+3=0，
将x=﹣1代入得：﹣a+3+3=0，
解得：a=6，
故选A
点评： 此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
6．若关于x的分式方程=1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． m＞3 B．m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠1 D． m＞﹣3且m≠﹣2
考点： 分式方程的解．版权所有
分析： 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
解答： 解：去分母得，m+2=x﹣1，
解得，x=m+3，
∵方程的解是正数，
∴m+3＞0，
解这个不等式得，m＞﹣3，
∵m+3﹣1≠0，
∴m≠﹣2，
则m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．
故选D．
点评： 考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．注意分式方程分母不等于0．
7．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C. D．
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分析： 根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
解答： 解：A、B、C方程中分母中都含有字母，都是分式方程，
D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选D．
点评： 判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
8．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式方程的定义．版权所有
分析： 根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
解答： 解：A、方程分母中含未知数x，故是分式方程；
B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选A．
点评： 判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
二．填空题（共6小题）
9．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 3 ．
考点： 分式方程的定义．版权所有
分析： 根据分式方程的概念，直接得出结果即可．
解答： 解：分式方程有：③④⑤，
故答案为3．
点评： 本题考查了分式方程的概念，分母中含有未知数的方程叫分式方程．
10．分母中含有 未知数 的方程，叫做分式方程．
考点： 分式方程的定义．版权所有
分析： 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
解答： 解：分母中含有字母的方程叫做分式方程．
故答案是：未知数．
点评： 本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
11．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠1 ．
考点： 分式方程的解．版权所有
分析： 先解关于x的分式方程，它的解x用含有m的代数式表示，然后再依据“原方程有解”和“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
解答： 解：原方程整理得：m﹣1=2x﹣2，
解得：x=，
∵原方程有解，
∴x﹣1≠0，
即，
解得m≠1，
∵方程的解是正数，
∴＞0，
解得m＞﹣1，
∴m＞﹣1且m≠1，
故应填：m＞﹣1且m≠1．
点评： 本题主要考查分式程的解，根据“原方程有解”和“解是正数”这两点建立不等式求m的取值范围．
12．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为 m＞﹣8且m≠﹣4 ．
考点： 分式方程的解．版权所有
分析： 求出分式方程的解x=﹣，得出﹣＜0，求出m的范围，根据分式方程得出﹣≠﹣2，求出m，即可得出答案．
解答： 解：，
2x﹣m=4x+8，
﹣2x=8+m，
x=﹣，
∵关于x的方程的解是负数，
∴﹣＜0，
解得：m＞﹣8，
∵方程，
∴x+2≠0，
即﹣≠﹣2，
∴m≠﹣4，
故答案为：m＞﹣8且m≠﹣4．
点评： 本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出﹣＜0和﹣≠﹣2，题目具有一定的代表性，但是有一定的难度．
13．分式方程的解为 x= ．
考点： 分式方程的解．版权所有
专题： 计算题．
分析： 去分母后即可化为整式方程，即可求得x的值，再检验一下即可．
解答： 解：去分母得：1=2（x﹣1），
解得x=，
经检验得；x=是原方程的解．
点评： 解分式方程的基本思想是转化为整式方程，解分式方程时一定要注意检验．
14．关于x的分式方程无解，则m的值是 1 ．
考点： 分式方程的解．版权所有
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣1=0，求出x=1，代入整式方程即可求出m的值．
解答： 解：分式方程去分母得：x﹣2（x﹣1）=m，
由分式方程无解得到x﹣1=0，即x=1，
代入整式方程得：m=1．
故答案为：1．
点评： 此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
三．解答题（共6小题）
15．若关于x的方程+1=无解，则m= ﹣4 ．
考点： 分式方程的解．版权所有
分析： 方程无解，说明方程有增根x=2，只要把增根代入方程然后解出m的值即可．
解答： 解：∵+1=，
∴5+m+x﹣2=1，
∵关于x的方程无解，
∴x=2，
∴5+m+2﹣2=1，
∴m=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评： 此题主要考查方程的增根问题，计算时要小心，是一道基础题．
16．若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
考点： 分式方程的解．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．
解答： 解：去分母，得2x+a=2﹣x
解得：x=，∴＞0
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a＜2且a≠﹣4．
点评： 由于我们的目的是求a的取值范围，因此也没有必要求得x的值，求得3x=2﹣a即可列出关于a的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉a≠﹣4，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
17．已知x=5是方程=的解，求a的值．
考点： 分式方程的解．版权所有
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，把x=5代入整式方程求出a的值即可．
解答： 解：分式方程去分母得：3=2（x﹣a）（2x+a），
把x=5代入得：3=2（5﹣a）（10+a）=2（50+5a﹣10a﹣a2）=100﹣10a﹣2a2，
整理得：2a2+10a﹣97=0，即a2+5a=，
配方得：a2+5a+=+，即（a+）2=，
开方得：a+=±，
解得：a=．
点评： 此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
18．关于x的方程﹣=﹣1无解，求m的值．
考点： 分式方程的解．版权所有
分析： 先化简方程，再把x的值代入即可求出m的值．
解答： 解：∵化简x的方程﹣=﹣1，得2m﹣3=﹣（2x+2）
∵x的方程﹣=﹣1无解，
∴方程的解为x=﹣1，
∴2m﹣3=﹣（﹣2+2），解得m=．
点评： 本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是化简方程，再把x的值代入．
19．当a为何值时，关于x的方程的根是1？
考点： 分式方程的解．版权所有
分析： 先把分式方程转化为整式方程，然后把x=1代入方程求解即可．
解答： 解：方程两边都乘以4（a﹣x）得，
4（2ax+3）=5（a﹣x），
∵方程的根是1，
∴4（2a+3）=5（a﹣1），
解得a=﹣．
点评： 本题考查了分式方程的解，熟练掌握方程的解的定义把方程的解代入方程，然后准确计算是解题的关键．
20．当m为何值时，分式方程=无解？
考点： 分式方程的解．版权所有
分析： 首先去分母，进而利用分式方程=无解，得出x=3进而得出即可．
解答： 解：去分母得：
x﹣1=m，
x=1+m，
∵分式方程=无解，
∴x﹣3=0，
∴x=3，
1+m=3，
解得；m=2．
点评： 此题主要考查了分式方程的解，根据分式方程无解得出x=3是解题关键．
第2页（共13页）16.2.2分式的加减法
一．选择题（共8小题）
1．化简的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x
2．化简：﹣=（ ）
A．0 B．1 C．x D．
3．化简+的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+b=ab B．（a3）2=a5 C．+= D．ab+bc=b（a+c）
5．计算的结果为（ ）
A． B． C．﹣1 D．2
6．下列计算正确的是（ ）
A．a2×a3=a6 B．﹣= C．8﹣1=﹣8 D．（a+b）2=a2+b2
7．计算的结果为（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．a2﹣b2
8．化简的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
二．填空题（共7小题）
9．计算：= _________ ．
10．化简：= _________ ．
11．化简﹣的结果是 _________ ．
12．计算：﹣= _________ ．
13．简+的结果是 _________ ．
14．计算：+= _________ ．
15．计算：+的结果是 _________ ．
三．解答题（共7小题）
16．化简﹣．
17．化简：﹣．
18．化简：．
19．化简 ﹣．
20．按要求化简：．
21．（1）计算：．
（2）化简：．
22．计算：．
16.2.2分式的加减法
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．化简的结果是（ ）
A． x+1 B．x﹣1 C．﹣x D． x
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．
解答： 解：=﹣
=
=
=x，
故选：D．
点评： 本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
2．化简：﹣=（ ）
A． 0 B．1 C．x D．
考点： 分式的加减法．版权所有
分析： 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式==x．
故选：C
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．化简+的结果为（ ）
A． 1 B．﹣1 C D．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣==1．
故选A
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A． a+b=ab B．（a3）2=a5 C．+= D． ab+bc=b（a+c）
考点： 分式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；因式分解-提公因式法．版权所有
专题： 计算题．
分析： A、原式不能合并，错误；
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
解答： 解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=a6，错误；
C、原式=，错误；
D、原式=b（a+c），正确，
故选D
点评： 此题考查了分式的加减法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．计算的结果为（ ）
A． B． C．﹣1 D． 2
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式==﹣=﹣1，
故选C
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下列计算正确的是（ ）
A． a2×a3=a6 B． ﹣= C． 8﹣1=﹣8 D． （a+b）2=a2+b2
考点： 分式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；负整数指数幂．版权所有
专题： 计算题．
分析： A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．
解答： 解：A、原式=a5，故选项错误；
B、原式==，故选项正确；
C、原式=，故选项错误；
D、原式=a2+2ab+b2，故选项错误．
故选B．
点评： 此题考查了分式的加减法，同底数幂的乘法，完全平方公式，以及负指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.计算的结果为（ ）
A． a+b B．a﹣b C． D． a2﹣b2
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=
=a+b．
故选A．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．化简的结果为（ ）
A． ﹣1 B．1 C． D．
考点： 分式的加减法．版权所有
分析： 先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．
解答： 解：
=﹣
=
=1；
故选B．
点评： 此题考查了分式的加减，根据在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减即可．
二．填空题（共7小题）
9．计算：= a﹣2 ．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据同分母分式加减运算法则，分母不变只把分子相加减即可求解．
解答： 解：==a﹣2．
故答案为：a﹣2．
点评： 本题主要考查同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．化简：= x+2 ．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．
解答： 解：+
=﹣
=
=x+2．
故答案为：x+2．
点评： 本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．
11．化简﹣的结果是 ﹣ ．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣
=﹣
=﹣．
故答案为：﹣．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．计算：﹣= ．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣
=
=．
故答案为：．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．化简+的结果是 ．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=+==．
故答案为：
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．计算：+= 1 ．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案．
解答： 解：原式==1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．
15．计算：+的结果是 ﹣1 ．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣
=
=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三．解答题（共7小题）
16．化简﹣．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先把原式的分母通分，化为同分母的分数后再相加减．
解答： 解：原式=﹣
=
=
=﹣．
点评： 本题考查了分式的加减法，要牢记异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：
17．化简：﹣．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣===．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．化简：．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣===．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．化简 ﹣．
考点： 分式的加减法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣
=
=
=．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．按要求化简：．
考点： 分式的加减法．版权所有
分析： 首先通分，把分母化为（a+1）（a﹣1），再根据同分母分数相加减，分母不变，分子相加减进行计算，注意最后结果要化简．
解答： 解：原式=﹣
=
=
=．
点评： 此题主要考查了分式的加减，关键是掌握异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
21．（1）计算：．
（2）化简：．
考点： 分式的加减法；实数的运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）原式先计算乘方运算及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算，即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的加减运算法则计算即可得到结果．
解答： 解：（1）原式=4×5+（π﹣1）﹣3
=20+π﹣1﹣3
=16+π；
（2）原式=+﹣
=
=
=．
点评： 此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
22．计算：．
考点： 分式的加减法．版权所有
分析： 首先把的分母分解因式，再约分，然后根据同分母分式加法法则：同分母的分式相加，分母不变，把分子相加，进行计算即可．
解答： 解：原式=+
=+
=
=1．
点评： 此题主要考查了分式的加减法，关键是熟练掌握计算法则，注意观察式子特点，确定方法后再计算．16.1.2分式的基本性质
一．选择题（共8小题）
1．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．已知a﹣b≠0，且2a﹣3b=0，则代数式的值是（ ）
A．﹣12 B．0 C．4 D．4或﹣12
3．下列变形正确的是（ ）
A．=x3 B．= C．=x+y D．=﹣1
4．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B．= C．= D．=
5．如果=3，则=（ ）
A． B．xy C．4 D．
6．如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的
7．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变
8．如果，则=（ ）
A． B．1 C． D．2
二．填空题（共6小题）
9已知a：b：c=2：3：5，则的值为 _________ ．
10．若实数x，y满足，则分式的值等于 _________ ．
11．若代数式的值为零，则x的值为 _________ ；若，则= _________ ．
12．如果：，那么：= _________ ．
13．如果，那么= _________ ．
14．如果=，那么= _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：
x2﹣4xy+4y2，x2﹣4y2，x﹣2y．
16．在括号里填上适当的式子或数字，使等式成立：．
17．不改变分式的值，把分式的分子、分母中含x的项的系数都化为正数．
18．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数，且使分子和分母不含公因式．
（1）；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
19．不改变分式的值，使分式的分子与分母中最高次项的系数都是正的．
（1）= _________ ；
（2）= _________ ；
（3）= _________ ；
（4）= _________ ．
20．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数．
（1）；
（2）．
16.1.2分式的基本性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D． ﹣
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： 根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案．
解答： 解：分式的分子分母都乘以﹣1，
得﹣，
故选：D．
点评： 本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．已知a﹣b≠0，且2a﹣3b=0，则代数式的值是（ ）
A． ﹣12 B．0 C．4 D． 4或﹣12
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 由2a﹣3b=0，得a=，代入所求的式子化简即可．
解答： 解：由2a﹣3b=0，得a=，
∴=．
故选C．
点评： 解答此类题一定要熟练掌握分式的 ( http: / / www.21cnjy.com )基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
3．下列变形正确的是（ ）
A． =x3 B．= C．=x+y D． =﹣1
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： 根据分式的基本性质进行约分即可．
解答： 解：A、结果为x4，故本选项错误；
B、不能约分，故本选项错误；
C、不能约分，故本选项错误；
D、结果是﹣1，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生对分式的基本性质的理解能力和应用能力．
4．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B．= C．= D． =
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： 分式的基本性质是分式的分子 ( http: / / www.21cnjy.com )、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．而如果分式的分子、分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值改变．
解答： 解：A、在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A错误；
B、当c=0时，不成立，故B错误；
C、分式的分子与分母上同时乘以3，分式的值不变，故C正确；
D、分式的分子与分母分别乘方不符合分式的基本性质，故D错误；
故选C．
点评： 本题主要考查了分式的性质．注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是1，而不是0．
5．如果=3，则=（ ）
A． B．xy C．4 D．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 由=3，得x=3y，再代入所求的式子化简即可．
解答： 解：由=3，得x=3y，
把x=3y代入==4，
故选C．
点评： 找出x、y的关系，代入所求式进行约分．
6．如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）
A． 不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D． 缩小到原来的
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 计算题；压轴题．
分析： 依题意分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解答： 解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得
==，可见新分式与原分式的值相等；
故选A．
点评： 本题考查了分式的基本性质．解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A． 是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D． 不变
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 计算题；压轴题．
分析： 依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
解答： 解：分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，得
==，
可见新分式与原分式相等．
故选：D．
点评： 本题主要考查了分式的基本性质 ( http: / / www.21cnjy.com )．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
8．如果，则=（ ）
A． B．1 C． D． 2
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： 已知，就可以变形为a=2b，把它代入所要求的式子就可以求出式子的值．
解答： 解：∵，
∴a=2b，
∴=．
故选C．
点评： 把已知中的，变形成a=2b，是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．（2011 黄浦区一模）已知a：b：c=2：3：5，则的值为 ．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．
解答： 解：∵a：b：c=2：3：5，
∴可设a=2k、b=3k、c=5k，
∴，
=，
=．
故答案为：．
点评： 本题是基础题，考查了分式的基本性质，比较简单．
10．若实数x，y满足，则分式的值等于 ．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 整体思想．
分析： 由，得y﹣x=5xy，∴x﹣y=﹣5xy．代入所求的式子化简即可．
解答： 解：由，得y﹣x=5xy，
∴x﹣y=﹣5xy，
∴原式==．
故答案为．
点评： 解题关键是用到了整体代入的思想．
规律总结：（1）利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零．
（2）同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变．
11．若代数式的值为零，则x的值为 x=1 ；若，则= ．
考点： 分式的基本性质；分式的值为零的条件．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： （1）若分式的值为0，那么分子必为0，且分母不等于0，根据这两个条件来进行判断．
（2）根据分式的基本性质，可将已知的等式两边都乘以y（y≠0），得到x的表达式，然后代入所求分式中进行计算即可．
解答： 解：若代数式的值为零，则x﹣1=0，且x+2≠0；
解得x=1，且x≠﹣2；
故x的值为x=1．
根据分式的基本性质知：
x=y；
∴==．
故答案为x=1、．
点评： 此题主要考查了分式的基本性质以 ( http: / / www.21cnjy.com )及分式的值为零的条件，需要注意的是若分式的值为零，那么①分子为0，②分母不为0，两个条件必须同时成立，缺一不可．
12．如果：，那么：= ．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 由已知可知，2a=3b，再代入所求式进行化简．
解答： 解：∵，
∴2a=3b，
∴===．
故答案为．
点评： 本题的关键是找到a，b的关系．
13．如果，那么= ．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 由可知：若设a=2x，则b=3x．代入所求式子就可求出．
解答： 解：∵，
∴设a=2x，则b=3x，
∴．
故答案为．
点评： 解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
14．如果=，那么= ．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 由已知可得出，3x=2y，让等式两边都加上3y，那么3x+3y=5y即3（x+y）=5y，那么=．
解答： 解：∵=
∴3x=2y
∴3（x+y）=5y
∴=．
故答案为．
点评： 本题主要考查分式的基本性质，比较简单．
三．解答题（共6小题）
15．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：
x2﹣4xy+4y2，x2﹣4y2，x﹣2y．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
专题： 开放型．
分析： 根据分式的定义和概念进行作答．
解答： 解：（4分）
=（6分）
=．（8分）
点评： 本题是一道开放型题目，但所求的结果一定要符合题目的限制条件．
16．在括号里填上适当的式子或数字，使等式成立：．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
解答： 解：，
故答案为：2x2．
点评： 本题考查了分式的基本性质，根据分母的变化，可知分母乘以﹣x，分子也乘以﹣x．
17．不改变分式的值，把分式的分子、分母中含x的项的系数都化为正数．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： 根据分式的基本性质，分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可．
解答： 解：=．
点评： 本题考查了分式的基本性质，解题的关键是利用分式的变号不变大小的性质．
18．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数，且使分子和分母不含公因式．
（1）；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： （1）分式的分子分母都乘以12，可得答案；
（2）分式的分子分母都乘以20，可得答案．
解答： 解：（1）原式=；
（2）原式=．
点评： 本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
19．不改变分式的值，使分式的分子与分母中最高次项的系数都是正的．
（1）= ﹣ ；
（2）= ；
（3）= ﹣ ；
（4）= ．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： （1）、（3）分式分子提取﹣1变形即可得到结果；
（2）、（4）分式的分子与分母同时乘以﹣1即可得出结论．
解答： 解：（1）原式==﹣．
故答案为：﹣；
（2）原式=
=．
故答案为：；
（3）原式=
=﹣．
故答案为：﹣；
（4）原式=
=．
故答案为：．
点评： 本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
20．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数．
（1）；
（2）．
考点： 分式的基本性质．21世纪教育网
分析： （1）先找出各式分子与分母的分母的公因式，再根据分式的基本性质进行解答即可；
（2）把分子与分母同时乘以100即可得出结论．
解答： 解：（1）分式的分子与分母同时乘以6得，
原式=．
（2）分式的分子与分母同时乘以100得，
原式=．
点评： 本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数（或整式），分式的值不变．16.3.3由实际问题抽象出分式方程
一．选择题（共8小题）
1．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
3．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是（ ）
A．﹣=2 B．﹣=2 C．﹣=2 D．=
4．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（ ）
A．﹣=5 B．﹣=5 C．﹣=5 D．
6．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
7．北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A．+1. 8= B．﹣1.8= C．+1.5= D．﹣1.5=
8．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A．+= B．﹣= C．+10= D．﹣10=
二．填空题（共6小题）
9．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是 _________ ．
10．小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为 _________ ．
11．A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为 _________ ．
12．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是 _________ ．
13．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 _________ ．
14．新兴文具店现要用10000元资金购进一批计算器，有两种款式可供选择．甲种款式每台比乙种款式的每台贵10元，用4000元所购甲种款式的数量是用4000元购买乙种款式数量的．甲种款式计算器和乙种款式计算器每台进价分别为多少元？若设乙种款式计算器每台进价x元，那么根据题意，可得方程 _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于x的分式方程．
16．某市今年1月1日起调整居民用天然气价格，每立方米天然气费上涨25%．小明家去年12月份的天然气费是96元，而今年5月份的天然气费是90元．已知小明家今年5月份的用天然气量比去年12月份少10m3，求该市今年居民用天然气的价格．如果设去年用气价为x元，怎么列方程？
17．解方程：．
18．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数x人，那么x应满足怎样的方程？
19．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简）
20．一条小船顺流航行50km后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？
21．一项工作由甲单独做需a天完成；如果甲、乙合做，则可提前b天完成．问乙每天可完成这项工作的几分之几？
22．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，A、B两地距离为150千米，则该船从A港出发到返回A港共用了7.25小时，如果设水流速度是x千米/时，那么x应满足怎样的方程？
16.3.3由实际问题抽象出分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．
解答： 解：根据题意，得
．
故选：C．
点评： 理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．
2．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． = B．= C．= D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
解答： 解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得：=．
故选：A．
点评： 此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
3．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是（ ）
A ﹣=2 B． ﹣=2 C﹣=2 D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可．
解答： 解：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米，
由题意得，﹣=2．
故选：A．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
4．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
专题： 行程问题．
分析： 设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．
解答： 解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，
由题意得，=．
故选：B．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
5．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（ ）
A． ﹣=5 B．﹣=5 C．﹣=5 D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可．
解答： 解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意得，﹣=5．
故选：A．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
6．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． = B．= C．= D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
专题： 销售问题．
分析： 设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，列方程即可．
解答： 解：设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，
由题意得，=．
故选：D．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． +1.8= B． ﹣1.8=
C． +1.5= D． ﹣1.5=
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，列方程即可．
解答： 解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，
由题意得，﹣1.5=．
故选：D．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
8．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A． += B．﹣= C．+10= D． ﹣10=
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
专题： 行程问题．
分析： 设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．
解答： 解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，
﹣=．
故选：B．
点评： 此题考查列分式方程解应用题，找出题中蕴含的等量关系是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是 = ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设第一块试验田每亩的产量为x千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，根据两块地的面积相同，列出分式方程．
解答： 解：设第一块试验田每亩的产量为x千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，
由题意得，=．
故答案为；=．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．
10．小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为 （x+2）（﹣0.5）=12 ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：周日买的奶粉的单价×周日买的奶粉的总数=总钱数．
解答： 解：设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为：
（x+2）（﹣0.5）=12．
故答案为：（x+2）（﹣0.5）=12．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．
11．A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为 ﹣= ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设骑自行车的速度为x千米/时，则摩托车的速度为2x千米/小时，根据骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，列方程即可．
解答： 解：设骑自行车的速度为x千米/时，则摩托车的速度为2x千米/小时，
由题意得，﹣=．
故答案为：﹣=．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
12．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是 ﹣=3 ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设每人每小时的绿化面积为x平方米，等量关系为：6名工人比8名工人完成任务多余3小时，据此列方程即可．
解答： 解：设每人每小时的绿化面积为x平方米，
由题意得，﹣=3．
故答案为：﹣=3．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
13．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 ﹣=24 ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，根据提前24小时完成任务，列出方程即可．
解答： 解：设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，
由题意得，﹣=24．
故答案为：﹣=24．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是设出未知数，找出合适的等量关系列方程．
14．新兴文具店现要用10000元资金购进一批计算器，有两种款式可供选择．甲种款式每台比乙种款式的每台贵10元，用4000元所购甲种款式的数量是用4000元购买乙种款式数量的．甲种款式计算器和乙种款式计算器每台进价分别为多少元？若设乙种款式计算器每台进价x元，那么根据题意，可得方程 =× ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 乙种款式计算器每台进价x元，则甲种计算器每台（x+10）元．依据题中的等量关系列出方程．
解答： 解：若设乙种款式计算器每台进价x元，则甲种计算器每台（x+10）元．
依题意得 =×．
故答案是：=×．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
15．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于x的分式方程．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．
解答： 解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．
由题意得：=．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
16．某市今年1月1日起调整居民用天然气价格，每立方米天然气费上涨25%．小明家去年12月份的天然气费是96元，而今年5月份的天然气费是90元．已知小明家今年5月份的用天然气量比去年12月份少10m3，求该市今年居民用天然气的价格．如果设去年用气价为x元，怎么列方程？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 设去年用气价为x元，则今年用气价为（1+25%）x元，根据小明家今年5月份的用天然气量比去年12月份少10m3，列方程即可．
解答： 解：设去年用气价为x元，则今年用气价为（1+25%）x元，
由题意得，﹣=10．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
17．解方程：．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 去分母，将分式方程转化为整式方程，即可解决问题．
解答： 解：∵，
∴1440﹣1260=6x，
即180=6x，
解得：x=30．
经检验：x=30是原方程的解．
点评： 该题主要考查了解分式方程的问题；按照解分式方程的一般思路逐一解析，是解题的关键．
18．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数x人，那么x应满足怎样的方程？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
专题： 应用题．
分析： 要求的未知量是人数，有捐款总额，一定是根据人均捐款额来列等量关系的．关键描述语是：两次人均捐款额相等．等量关系为：第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，也就是：第一次的捐款总额÷第一次的捐款人数=第二次的捐款总额÷第二次的捐款人数．
解答： 解：设第一次捐款人数x人，第二次捐款人数（x+20）人，
由第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，
故可得：．
点评： 题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．根据关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
19．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简）
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
专题： 行程问题．
分析： 从A港出发到返回A港共用的时间=顺流时间+逆流时间=顺流路程÷顺流速度+逆流路程÷逆流速度．
解答： 解：船从A到B所需时间为，逆流而上从B返回A所需时间为，
∴船从A港出发到返回A港共用时间为+1．
点评： 找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意时间等于相应的路程÷相应的速度；顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度﹣水流速度．
20．一条小船顺流航行50km后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
专题： 应用题．
分析： 先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间．
解答： 解：依题意有﹣==小时．
答：顺流航行比逆流航行少用小时．
点评： 本题考查了顺流航行与逆流航行问题，注意顺流速度=静水中的速度+水流的速度，逆流速度=静水中的速度﹣水流的速度．
21．一项工作由甲单独做需a天完成；如果甲、乙合做，则可提前b天完成．问乙每天可完成这项工作的几分之几？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
专题： 应用题．
分析： 甲乙合作需（a﹣b）天，那么甲乙合作的工效为；
甲单独做需a天完成，甲的工效是，那么乙的工效=甲乙合作的工效﹣甲的工效=﹣．
解答： 解：根据分析可以得到：﹣=．故答案为．
点评： 找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意：问乙每天可完成这项工作的几分之几实际是求乙的工效．
22．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，A、B两地距离为150千米，则该船从A港出发到返回A港共用了7.25小时，如果设水流速度是x千米/时，那么x应满足怎样的方程？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 题中等量关系为：从A港顺流而下直达B港所用的时间+1小时+从B港出发逆流返回到A港共用的时间=7.25小时，据此列出方程即可．
解答： 解：设水流速度是x千米/时，由题意，得
+1+=7.25．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意时间等于相应的路程÷相应的速度；顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度﹣水流速度．
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