人教A版（2019）第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷(含解析)

人教A版（2019）第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
2、已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
3、若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
4、已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、直线与椭圆的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6、已知椭圆，则长轴的端点为( )
A.， B.，
C.， D.，
7、已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
8、当椭圆的离心率最小时，它的焦距为( )
A.2 B. C.4 D.
二、多项选择题
9、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则( )
A.椭圆的短轴长为 B.当最大时，
C.离心率为 D.的最小值为3
10、已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A. B. C. D.
三、填空题
11、已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为_________.
12、给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是___________（填序号）.
13、已知椭圆的对称中心为原点、对称轴为坐标轴，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为8，且离心率为，则此椭圆的标准方程为__________.
14、设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则__________.
四、解答题
15、已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.
16、生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
参考答案
1、答案：C
解析：设弦两端点为，，
则，
①-②得即直线为，
化简得.
故选：C.
2、答案：A
解析：设，，，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或-1）时，取等号.
3、答案：A
解析：由题意，得点到点与点的距离之和为8.又，所以动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，所以，所以椭圆的方程为.故选A.
4、答案：D
解析：如图.若在椭圆上存在点P，使由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则只需P为椭圆长轴端点时，即，则，即.因为，所以，所以，即.又，所以，即.故选D.
5、答案：C
解析：由椭圆，可得，，则椭圆的右顶点为，上顶点为.又直线恰好过点A，B，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选C.
6、答案：A
解析：因为椭圆C的方程为，所以，且焦点在x轴上，所以长轴的端点为，.故选A.
7、答案：B
解析：设焦距为2c.因为的周长为18，所以，所以.因为长半轴长为5，即，所以，所以椭圆C的离心率.故选B.
8、答案：C
解析：因为曲线表示椭圆，所以.因为，所以，因此椭圆标准方程中的，.因为离心率，所以离心率最小时，的值最大.因为，当且仅当时取等号，所以此时椭圆的焦距.故选C.
9、答案：ABD
解析：由题意知，所以.因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确.当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确.由B的分析，不妨令，将点A的坐标代入椭圆方程，得.又，所以，解得，所以椭圆的短轴长为，故A正确.易得，所以，故C错误.选ABD.
10、答案：AC
解析：由椭圆的定义可得，.
因为椭圆G的离心率为，则，所以.
若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为；
若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为.故选AC.
11、答案：
解析：设椭圆上关于直线对称的两点分别为，，线段CD的中点为，直线CD的方程为.联立，所以，，所以，所以，所以.因为点G在直线上，所以，所以，所以，解得，所以实数m的取值范围为.
12、答案：①③④
解析：对于①，圆心到直线的距离为，等于半径，故①满足题意.对于②，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以②不满足题意.对于③，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以③满足题意.对于④，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以④满足题意.故满足题意的曲线是①③④.
13、答案：
解析：由题意，设椭圆的方程为.因为椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为8，所以.又，所以，，所以，所以椭圆的标准方程为.
14、答案：2
解析：由椭圆方程，知.因为P为椭圆上的点，所以.又因为，所以，，所以.
15、
（1）答案：
解析：（1）因为椭圆C过点，代入椭圆方程，可得①，
又因为离心率为，所以，从而②，
联立①②，解得，，
所以椭圆为.
（2）答案：把代入椭圆方程，
得，
所以，
设，，则，，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以P点坐标为.
又因为点P在椭圆上，
所以，即.
因为
.
又点O到直线l的距离，
所以平行四边形的面积：
，
即平行四边形的面积为定值.
16、答案：（1）
（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则，，.
又，所以，，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）设直线AB的方程为.
联立得方程组
消去y并整理，得，
则.
设，，则，.
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.
由得，
则直线BM的方程为.
令，则
.
又，
则，
所以直线BM过定点，
同理直线AN也过定点.
故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.