人教A版（2019）第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 762.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-02 16:39:05 | ||
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文档简介
人教A版（2019）第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知正三棱柱的棱长均为a，D是侧棱的中点，则平面ABC与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.0
2、已知正三棱柱的各棱长都是2，E，F分别是，的中点，则EF的长是( )
A.2 B. C. D.
3、在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4、已知P为正方形ABCD所在平面外一点，平面ABCD，若，则平面PAB与平面PCD所成角的大小为( )
A. B. C. D.
5、在边长为a的正三角形ABC中，于点D，将沿AD翻折后，，此时二面角的大小为( )
A. B. C. D.
6、已知在平面内，大小为，射线PC与PA，PB所成的角均为，则PC与平面所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7、已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( )
A.4 B. C. D.8
8、已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，且，直线PC与平面PAB所成的角为，则射线PA与PB的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
10、若，是直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题
11、在空间直角坐标系中，已知平面过点，及z轴上一点，如果平面与平面xOy所成的角为，则_________.
12、如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________.
13、在二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB，若，，，，则此二面角的大小为__________.
14、如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为__________.
四、解答题
15、某商品的包装纸如图1所示，四边形是边长为3的菱形，且，，.将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒.
（1）证明：平面；
（2）设T为边上的一点，且二面角的正弦值为，求与平面所成角的正弦值.
16、如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2.
(1)求证：平面平面AEG.
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为 若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则取，得.又平面ABC的一个法向量为，
所以，即平面ABC与平面所成角的余弦值为.
2、答案：C
解析：方法一：由题意知，，，又，所以，所以.
方法二：取AC的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，.
方法三：设AC的中点为G，连接GE，GF.在中，.
3、答案：D
解析：设平面ABCD的一个法向量为，则得取，则，所以这个四棱锥的高.
4、答案：B
解析：方法一：分析知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，.取PD的中点为E，连接AE，则，.又是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，，平面PAB与平面PCD所成角的大小为.
方法二：平面，平面，，又四边形ABCD为正方形，，，，平面，平面PAD，又平面，平面，平面平面PAD，平面平面，为平面PAB与平面PCD所成的角.，，.
5、答案：C
解析：，，就是二面角的平面角.在中，，为正三角形，.
6、答案：B
解析：设PC与平面所成的角为，则，所以.
7、答案：B
解析：因为平面，平面ABCD，所以，，又，所以以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，所以，.设平面PAC的一个法向量为，则取，得.又，与平面PAC所成角的正弦值为，所以，解得或(舍去)，则，所以.
8、答案：D
解析：如图，在PC上任取一点D，作平面PAB，连接PO，则是直线PC与平面PAB所成的角，所以，，因为，，所以，，所以，，即射线PA与PB的夹角为.
9、答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
10、答案：AC
解析：由题意得，，结合选项知A，C正确，B，D错误.
11、答案：
解析：由题意得，，平面xOy的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则即取，则.，且，.
12、答案：
解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设，则，所以，，，，所以，，.显然为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的一个法向量为，则令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值为.
13、答案：
解析：由题知，，，，，即，，即此二面角的大小为.
14、答案：3
解析：设的中点为，连接，，显然平面，所以为线段在平面内的射影，为与平面所成的角，所以，所以在中，.
15、
（1）答案：证明见解析
解析：由题意得，所以，同理可得.
在翻折的过程中，垂直关系保持不变，
所以，，
又，所以平面.
（2）答案：PB与平面PAT所成角的正弦值为
解析：因为平面，平面，所以.
又，所以为二面角的平面角.
因为，所以.
在中，，所以
，
由正弦定理，得.
如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则有，即，取，则，
设与平面所成角为，则，
所以PB与平面PAT所成角的正弦值为.
16、答案：(1)证明见解析
(2)线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且
解析：(1)因为，所以，
又，所以.
因为，，
所以四边形ABDE为等腰梯形，
又，所以，
所以，所以，即，
因为，，平面AEG，所以平面AEG，
又平面GEBF，所以平面平面AEG.
(2)由(1)知EA，EB，EG两两互相垂直.
以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，四边形GEBF是矩形，所以，
即，，.
假设线段FG上存在点M满足题意，
令，则，，.
设平面MAB的一个法向量为，
则令，则.
由题知平面AEG的一个法向量为.
设平面MAB与平面AEG所成角为，
则，，
所以，所以，即.
综上，线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且.
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知正三棱柱的棱长均为a，D是侧棱的中点，则平面ABC与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.0
2、已知正三棱柱的各棱长都是2，E，F分别是，的中点，则EF的长是( )
A.2 B. C. D.
3、在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4、已知P为正方形ABCD所在平面外一点，平面ABCD，若，则平面PAB与平面PCD所成角的大小为( )
A. B. C. D.
5、在边长为a的正三角形ABC中，于点D，将沿AD翻折后，，此时二面角的大小为( )
A. B. C. D.
6、已知在平面内，大小为，射线PC与PA，PB所成的角均为，则PC与平面所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7、已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( )
A.4 B. C. D.8
8、已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，且，直线PC与平面PAB所成的角为，则射线PA与PB的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
10、若，是直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题
11、在空间直角坐标系中，已知平面过点，及z轴上一点，如果平面与平面xOy所成的角为，则_________.
12、如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________.
13、在二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB，若，，，，则此二面角的大小为__________.
14、如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为__________.
四、解答题
15、某商品的包装纸如图1所示，四边形是边长为3的菱形，且，，.将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒.
（1）证明：平面；
（2）设T为边上的一点，且二面角的正弦值为，求与平面所成角的正弦值.
16、如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2.
(1)求证：平面平面AEG.
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为 若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则取，得.又平面ABC的一个法向量为，
所以，即平面ABC与平面所成角的余弦值为.
2、答案：C
解析：方法一：由题意知，，，又，所以，所以.
方法二：取AC的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，.
方法三：设AC的中点为G，连接GE，GF.在中，.
3、答案：D
解析：设平面ABCD的一个法向量为，则得取，则，所以这个四棱锥的高.
4、答案：B
解析：方法一：分析知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，.取PD的中点为E，连接AE，则，.又是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，，平面PAB与平面PCD所成角的大小为.
方法二：平面，平面，，又四边形ABCD为正方形，，，，平面，平面PAD，又平面，平面，平面平面PAD，平面平面，为平面PAB与平面PCD所成的角.，，.
5、答案：C
解析：，，就是二面角的平面角.在中，，为正三角形，.
6、答案：B
解析：设PC与平面所成的角为，则，所以.
7、答案：B
解析：因为平面，平面ABCD，所以，，又，所以以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，所以，.设平面PAC的一个法向量为，则取，得.又，与平面PAC所成角的正弦值为，所以，解得或(舍去)，则，所以.
8、答案：D
解析：如图，在PC上任取一点D，作平面PAB，连接PO，则是直线PC与平面PAB所成的角，所以，，因为，，所以，，所以，，即射线PA与PB的夹角为.
9、答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
10、答案：AC
解析：由题意得，，结合选项知A，C正确，B，D错误.
11、答案：
解析：由题意得，，平面xOy的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则即取，则.，且，.
12、答案：
解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设，则，所以，，，，所以，，.显然为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的一个法向量为，则令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值为.
13、答案：
解析：由题知，，，，，即，，即此二面角的大小为.
14、答案：3
解析：设的中点为，连接，，显然平面，所以为线段在平面内的射影，为与平面所成的角，所以，所以在中，.
15、
（1）答案：证明见解析
解析：由题意得，所以，同理可得.
在翻折的过程中，垂直关系保持不变，
所以，，
又，所以平面.
（2）答案：PB与平面PAT所成角的正弦值为
解析：因为平面，平面，所以.
又，所以为二面角的平面角.
因为，所以.
在中，，所以
，
由正弦定理，得.
如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则有，即，取，则，
设与平面所成角为，则，
所以PB与平面PAT所成角的正弦值为.
16、答案：(1)证明见解析
(2)线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且
解析：(1)因为，所以，
又，所以.
因为，，
所以四边形ABDE为等腰梯形，
又，所以，
所以，所以，即，
因为，，平面AEG，所以平面AEG，
又平面GEBF，所以平面平面AEG.
(2)由(1)知EA，EB，EG两两互相垂直.
以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，四边形GEBF是矩形，所以，
即，，.
假设线段FG上存在点M满足题意，
令，则，，.
设平面MAB的一个法向量为，
则令，则.
由题知平面AEG的一个法向量为.
设平面MAB与平面AEG所成角为，
则，，
所以，所以，即.
综上，线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且.