人教A版（2019）第六章 计数原理 单元测试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）第六章 计数原理 单元测试卷(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 337.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-02 17:15:53 | ||
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文档简介
人教A版（2019）第六章 计数原理 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为( ).
A. B.60 C.120 D.240
2、的展开式中，的系数与常数项之差为( )
A.-3 B.-1 C.5 D.7
3、在二项式的展开式中，含项的二项式系数为( )
A.15 B.-15 C.10 D.-10
4、小林同学喜欢吃种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有种颜色的“每日坚果”袋．每个袋子中至少装种坚果，至多装种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为( )
A.20160 B.20220 C.20280 D.20340
5、用红、黄、蓝、绿、橙5种不同的颜色给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )
A.120种 B.720种 C.840种 D.960种
6、旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为( )
A.24 B.18 C.16 D.10
7、如图，以O，，，，，，，中3个点为顶点构成的三角形的个数为( )
A.30 B.42 C.54 D.56
8、某校开展“学党史知识竞赛”活动，有7名学生参加了该竞赛，赛后咨询比赛成绩排名，老师说：“甲的成绩排第四，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同.”那么他们7人不同的可能名次共有( )
A.120种 B.216种 C.384种 D.504种
二、多项选择题
9、某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，安排学生利用周末去社区义务劳动.高三共6个班，其中只有高三(1)班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加但不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( )
A.若高三(1)班不再分配名额，则共有种分配方法
B.若高三(1)班有除芀动模范之外的学生参加，则共有种分配方法
C.若高三(1)班恰有3人参加，则共有种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有种分配方法
10、若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231 354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则( )
A.组成的三位数的个数为30
B.在组成的三位数中，奇数的个数为36
C.在组成的三位数中，“凸数”的个数为24
D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
三、填空题
11、某市教育局人事部门打算将甲 乙 丙 丁 戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.
12、二项式的常数项为__________.
13、已知的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则__________.
14、将4个不同的小球分别放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰有1个空盒的放法有_________种.
四、解答题
15、有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐(旋转之后相同算一种坐法).
(1)若5对夫妇都相邻而坐，A，B相邻而坐，共有多少种坐法？
(2)5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法？
16、规定，其中，，且，这是组合数(，且的一种推广.
（1）求的值.
（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到(，) 若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：因为，所以.
所以展开式的通项为，
令得，所以展开式的常数项为.故选B.
2、答案：A
解析：由A，B不同色，共有种涂色方法，若D和B同色，则C有种涂色方法；若D与B不同色，则C只有1种涂色方法，故不同的信号总数为.故选A.
3、答案：A
解析：二项式的展开式的通项为,令,解得,所以展开式中 项的二项式系数为.
4、答案：A
解析：依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H,Y,X,Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：(1)H, H ,Y, Y ,X, X,Z，Z
若是“”，则其中的“4”必须是HYXZ，故种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能；
小计：；
(2)诸如“H, H, H, H ;Y,Y;X,X;Z,Z”类型，
若是“”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；
若是“”，则“”中有一个是H，“”中各一个H，“”中除了一个H外，另一个互异，故有种可能；
若是“”，则“”中各有个H，“”中各一个H，可以考虑含模式，，故有种可能；
若是“”，则可用下表进一步分类，有种可能；
YXZ H
H
YXZ H
H
若是“”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；
小计：；
(3)诸如“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X;Z,Z”类型，
若是“”，则“”必然重复，故0种可能；
若是“”，则列举“”的情况，发现仅可能；
若是“”，则考虑或，有种可能；
若是“”，则有或都成立，有2种可能；
若是“”，则枚举“”的情况，发现，有2种可能．
小计；
诸如“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X,X,X;Z,Z”类型
若是“”，则“”必然重复，故0种可能；
若是“”，则“”中至少有3个Z，故种可能；
若是“”，则“”至少有2个Z，考虑，其中有种可能，故此小类有3种可能；
若是“”，则“”中至少有3个Z，故0种可能；
小计；
“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X,X,X;Z,Z,Z,Z“
只有“”的搭配，有1种可能；
综上：共有个分堆可能，故不同的方案数为种．
故选A．
5、答案：D
解析：先涂A，B，D，共有种涂色方法，然后给C，E涂色，则C有4种涂色方法，E也有4种涂色方法.故不同的涂色方法共有(种).故选D.
6、答案：D
解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的路线有种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有种.所以小李可选的旅游路线数为.
7、答案：B
解析：先从这8个点中任取3个点，有种取法，其中三点共线有种取法，因此符合条件的三角形的个数为.
8、答案：D
解析：方法一：因为甲的成绩名次确定，所以只需考虑其余6人名次.因为乙不排第一名，丙不排最后一名，所以由间接法可得他们7人不同的可能名次共有(种).
方法二：因为甲的成绩确定，所以只需考虑其余6人名次.因为乙不排第一名，丙不排最后一名，所以可按乙的名次分两类：
第一类，乙排最后一名，则其余5人不同的可能名次有种；
第二类，乙不排最后一名，则乙排在除第一名和最后一名外的4个名次中的一个，可能名次有4种，丙排在除乙所占名次和最后一名外的4个名次中的一个，可能名次有4种，其余4人全排列，所以不同的可能名次有种.
综上，他们7人不同的可能名次共有(种).
9、答案：BD
解析：对于A，若高三(1)班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，知有种分配方法，故A错误；
对于B，若高三(1)班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故B正确；
对于C，若高三(1)班恰有3人参加，则高三(1)班需再分配1个名额，剩余19个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故C错误；
对于D，先分给除高三(1)班外的每个班级2个名额，剩余10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故D正确.故选BD.
10、答案：BD
解析：A：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A错误；
B：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B正确；
C：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；
③十位数为3，则有个，所以共有个，故C错误；
D：由选项C的分析可知，D正确；
故选：BD.
11、答案：240
解析：先将5名学生分成4组共有种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.
故答案为：240.
12、答案：10
解析：的展开式的通项公式为,
而,
令,得；令,得
所以的展开式中的常数项为.
故答案为:10
13、答案：5
解析：的展开式中, 第三项和第四项的 二项式系数相等,
即,
故答案为:5.
14、答案：144
解析：方法一：先从4个盒子中选出3个，有种方法，然后将4个小球按2，1，1分为三组，有种方法，再将三组小球分别放入选出的3个盒子中，有种方法，故共有种放法.
方法二：从4个小球中取出2个作为一组，与另外2个小球分别放入4个盒子中的3个，共有种放法.
15、答案：(1)7680种
(2)1152种
解析：(1)若5对夫妇都相邻，A，B相邻，可将每对夫妇划分为1组，A，B划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法.
考虑到组内两人还有顺序问题，故共有种坐法.
(2)分成三步来完成：第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定；
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法；
第三步，排A，B二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法.
16、
（1）答案：-84
解析：由题意得.
（2）答案：性质①不能推广，性质②能推广
解析：性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.
性质②能推广，它的推广形式是(，).证明如下：
当时，有；
当时，有
.
综上，性质②的推广得证.
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为( ).
A. B.60 C.120 D.240
2、的展开式中，的系数与常数项之差为( )
A.-3 B.-1 C.5 D.7
3、在二项式的展开式中，含项的二项式系数为( )
A.15 B.-15 C.10 D.-10
4、小林同学喜欢吃种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有种颜色的“每日坚果”袋．每个袋子中至少装种坚果，至多装种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为( )
A.20160 B.20220 C.20280 D.20340
5、用红、黄、蓝、绿、橙5种不同的颜色给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )
A.120种 B.720种 C.840种 D.960种
6、旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为( )
A.24 B.18 C.16 D.10
7、如图，以O，，，，，，，中3个点为顶点构成的三角形的个数为( )
A.30 B.42 C.54 D.56
8、某校开展“学党史知识竞赛”活动，有7名学生参加了该竞赛，赛后咨询比赛成绩排名，老师说：“甲的成绩排第四，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同.”那么他们7人不同的可能名次共有( )
A.120种 B.216种 C.384种 D.504种
二、多项选择题
9、某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，安排学生利用周末去社区义务劳动.高三共6个班，其中只有高三(1)班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加但不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( )
A.若高三(1)班不再分配名额，则共有种分配方法
B.若高三(1)班有除芀动模范之外的学生参加，则共有种分配方法
C.若高三(1)班恰有3人参加，则共有种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有种分配方法
10、若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231 354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则( )
A.组成的三位数的个数为30
B.在组成的三位数中，奇数的个数为36
C.在组成的三位数中，“凸数”的个数为24
D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
三、填空题
11、某市教育局人事部门打算将甲 乙 丙 丁 戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.
12、二项式的常数项为__________.
13、已知的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则__________.
14、将4个不同的小球分别放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰有1个空盒的放法有_________种.
四、解答题
15、有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐(旋转之后相同算一种坐法).
(1)若5对夫妇都相邻而坐，A，B相邻而坐，共有多少种坐法？
(2)5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法？
16、规定，其中，，且，这是组合数(，且的一种推广.
（1）求的值.
（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到(，) 若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：因为，所以.
所以展开式的通项为，
令得，所以展开式的常数项为.故选B.
2、答案：A
解析：由A，B不同色，共有种涂色方法，若D和B同色，则C有种涂色方法；若D与B不同色，则C只有1种涂色方法，故不同的信号总数为.故选A.
3、答案：A
解析：二项式的展开式的通项为,令,解得,所以展开式中 项的二项式系数为.
4、答案：A
解析：依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H,Y,X,Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：(1)H, H ,Y, Y ,X, X,Z，Z
若是“”，则其中的“4”必须是HYXZ，故种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能；
小计：；
(2)诸如“H, H, H, H ;Y,Y;X,X;Z,Z”类型，
若是“”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；
若是“”，则“”中有一个是H，“”中各一个H，“”中除了一个H外，另一个互异，故有种可能；
若是“”，则“”中各有个H，“”中各一个H，可以考虑含模式，，故有种可能；
若是“”，则可用下表进一步分类，有种可能；
YXZ H
H
YXZ H
H
若是“”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；
小计：；
(3)诸如“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X;Z,Z”类型，
若是“”，则“”必然重复，故0种可能；
若是“”，则列举“”的情况，发现仅可能；
若是“”，则考虑或，有种可能；
若是“”，则有或都成立，有2种可能；
若是“”，则枚举“”的情况，发现，有2种可能．
小计；
诸如“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X,X,X;Z,Z”类型
若是“”，则“”必然重复，故0种可能；
若是“”，则“”中至少有3个Z，故种可能；
若是“”，则“”至少有2个Z，考虑，其中有种可能，故此小类有3种可能；
若是“”，则“”中至少有3个Z，故0种可能；
小计；
“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X,X,X;Z,Z,Z,Z“
只有“”的搭配，有1种可能；
综上：共有个分堆可能，故不同的方案数为种．
故选A．
5、答案：D
解析：先涂A，B，D，共有种涂色方法，然后给C，E涂色，则C有4种涂色方法，E也有4种涂色方法.故不同的涂色方法共有(种).故选D.
6、答案：D
解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的路线有种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有种.所以小李可选的旅游路线数为.
7、答案：B
解析：先从这8个点中任取3个点，有种取法，其中三点共线有种取法，因此符合条件的三角形的个数为.
8、答案：D
解析：方法一：因为甲的成绩名次确定，所以只需考虑其余6人名次.因为乙不排第一名，丙不排最后一名，所以由间接法可得他们7人不同的可能名次共有(种).
方法二：因为甲的成绩确定，所以只需考虑其余6人名次.因为乙不排第一名，丙不排最后一名，所以可按乙的名次分两类：
第一类，乙排最后一名，则其余5人不同的可能名次有种；
第二类，乙不排最后一名，则乙排在除第一名和最后一名外的4个名次中的一个，可能名次有4种，丙排在除乙所占名次和最后一名外的4个名次中的一个，可能名次有4种，其余4人全排列，所以不同的可能名次有种.
综上，他们7人不同的可能名次共有(种).
9、答案：BD
解析：对于A，若高三(1)班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，知有种分配方法，故A错误；
对于B，若高三(1)班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故B正确；
对于C，若高三(1)班恰有3人参加，则高三(1)班需再分配1个名额，剩余19个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故C错误；
对于D，先分给除高三(1)班外的每个班级2个名额，剩余10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故D正确.故选BD.
10、答案：BD
解析：A：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A错误；
B：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B正确；
C：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；
③十位数为3，则有个，所以共有个，故C错误；
D：由选项C的分析可知，D正确；
故选：BD.
11、答案：240
解析：先将5名学生分成4组共有种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.
故答案为：240.
12、答案：10
解析：的展开式的通项公式为,
而,
令,得；令,得
所以的展开式中的常数项为.
故答案为:10
13、答案：5
解析：的展开式中, 第三项和第四项的 二项式系数相等,
即,
故答案为:5.
14、答案：144
解析：方法一：先从4个盒子中选出3个，有种方法，然后将4个小球按2，1，1分为三组，有种方法，再将三组小球分别放入选出的3个盒子中，有种方法，故共有种放法.
方法二：从4个小球中取出2个作为一组，与另外2个小球分别放入4个盒子中的3个，共有种放法.
15、答案：(1)7680种
(2)1152种
解析：(1)若5对夫妇都相邻，A，B相邻，可将每对夫妇划分为1组，A，B划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法.
考虑到组内两人还有顺序问题，故共有种坐法.
(2)分成三步来完成：第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定；
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法；
第三步，排A，B二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法.
16、
（1）答案：-84
解析：由题意得.
（2）答案：性质①不能推广，性质②能推广
解析：性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.
性质②能推广，它的推广形式是(，).证明如下：
当时，有；
当时，有
.
综上，性质②的推广得证.