21.1 一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．，－3，1 B．，3，－1
C．，－3，－1 D．，3，1
5．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知是方程的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
6．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）已知m是方程的根，则代数式的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2022
7．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期末）已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+4m的值为（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．2020 D．2022
二、填空题
8．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为 ．
9．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）将方程化为一般形式为 ．
10．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）把一元二次方程化成一般形式是 ．
11．（2022秋·湖南张家界·九年级统考期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值是 ．
12．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）若m是方程的一个根，则代数式的值等于 ．
13．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）已知x＝1是关于x的方程的一个根，则3a－6b+3＝ ．
14．（2022秋·湖南张家界·九年级统考期末）如果关于x的一元二次方程一个解是，则 ．
15．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为 ．
16．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ．
三、解答题
17．（2022秋·湖南长沙·九年级期末）已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，求代数式(a－2)2＋(a＋1)(a－1)的值．
参考答案：
1．D
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】解：A． 是二元二次方程，选项A不符合题意；
B．当时，是一元一次方程，选项B不符合题意；
C．是一元一次方程，选项C不符合题意；
D．是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：m=-2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．A
【分析】一元二次方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．
【详解】解：方程整理得：，
所以，二次项系数为；一次项系数为，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）其中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．B
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：化成一元二次方程一般形式是，
它的二次项是，一次项系数是3，常数项是 1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
5．C
【分析】将代入方程即可解出．
【详解】将代入可得
解得a=3，
故答案为C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，将一个根代入得到关于a的方程是本题的关键．
6．A
【分析】先把m代入方程中可得，然后利用整体代入进行求解即可．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
7．D
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2-4m=-1，再把2021﹣m2+4m变形为2021﹣（m2-4m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m为一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根．
∴m2-4m+1=0，
即m2-4m=-1，
∴2021﹣m2+4m =2021﹣（m2-4m）=2021-（-1）=2021+1=2022．
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的值与一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．
【分析】把代入方程得到关于m的方程，解关于m的方程，得出m的值，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值即可．
【详解】解：把代入(m+1)x2 3x+m2 1=0得，，
解得：，
∵当时，二次项系数，
∴不符合题意，
∴m的值为1．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．
【分析】去括号，移项，再合并同类项即可．
【详解】去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c为常数，且），能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解本题的关键．注意移项时符合的变化．
10．
【分析】移项，合并同类项，整理为一般形式即可．
【详解】解：移项，得4x2-4x+1-x2-6x-9=0，
合并同类项，得3x2-10x-8=0
故答案为：3x2-10x-8=0．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
11．
【分析】把x＝0代入已知方程，得到关于a的方程，通过解新方程求得a的值．注意二次项系数不等于零．
【详解】解：依题意得，|a|﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
12．2022
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求的值．
【详解】解：把代入方程，
可得：，
即．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及求代数式的值，解题的关键是利用整体代入的思想．
13．
【分析】将代入方程得出，再整体代入计算可得．
【详解】解：将代入方程，得：，即，
则原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
14．2021
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算即可解得答案．
【详解】解：把代入方程得：，
∴，
∴．
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．-2
【分析】把x=0代入方程计算，检验即可求出a的值．
【详解】解：把x=0代入方程得：a2-4=0，
（a-2）（a+2）=0，
可得a-2=0或a+2=0，
解得：a=2或a=-2，
当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为-2．
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
16．0
【分析】根据一元二次方程的定义可得出k-1≠0，进而可得出k≠1，将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1．
把x=0代入，得，
解得：k=1(舍去)，或k=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解题的关键．
17．5
【分析】先根据条件是方程的一个根，得出，然后把所给的代数式化简为，代入计算即可．
【详解】∵是方程的一个根，
∴．
∴．
∴
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念、利用整体代入的方法进行求解是解题的关键．21.2 解一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期末）将方程配方后，原方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）方程的根为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）关于的一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）下列方程中，没有实数根的是( )
A． B．
C． D．
6．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）不解方程，判别方程2x2﹣2x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
8．（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）若方程的两根为，，则的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022秋·湖南湘潭·九年级统考期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，将原方程变形为（x﹣a）2＝b的形式为 ．
10．（2022秋·湖南益阳·九年级统考期末）如果将一元二次方程化为的形式，则的值为 ．
11．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）填空 =
12．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）一个等腰三角形的两边长是方程的两个根，那么这个等腰三角形的周长是 ．
13．（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ ．
14．（2022秋·湖南长沙·九年级期末）已知，的是一元二次方程的两个实数根，则 ．
15．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
16．（2022秋·湖南益阳·九年级统考期末）已知a和b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
三、解答题
17．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）用适当的方法解一元二次方程：．
18．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
19．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x＝-1是方程的一个实数根，求实数k的值．（结果保留根号）
20．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程的一个实数根为1，求的值．
21．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）已知：平行四边形的两条边的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的边长；
（2）若，求平行四边形的周长．
22．（2022秋·湖南益阳·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求的取值范围．
23．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
24．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
25．（2022秋·湖南益阳·九年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
26．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）先化简，再求值，其中x是方程的解．
27．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值．
解：设，则原方程变形为，
即
∴
得t1＝﹣2，t2＝1
∴或
已知，求的值．
28．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长．
(1)m取何值时，方程有两个正实数根？
(2)当矩形的对角线长为 时，求m的值．
29．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）已知关于的方程.
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求的值.
参考答案：
1．B
【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
2．C
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．
【详解】解：，
移项得，
系数化1得，
开方得，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的关键．
3．D
【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．
【详解】解：A、，故有两个不相等的实数根，不合题意；
B、，故有两个不相等的实数根，不合题意；
C、，故有两个不相等的实数根，不合题意；
D、，故没有实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解决问题的关键．
4．C
【分析】根据一元二次方程有两个不同的实数根，可知．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不同的实数根，
．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：当有两个不同的实数根时，．
5．A
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：A．，
方程没有实数根；
B．，
方程有两个相等的实数根；
C．，
方程有两个不相等的实数根；
D．，
方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
6．B
【分析】找出方程a，b及c的值a=2，b=，c=1，计算出根的判别式的值△=b2﹣4ac=0，即可判断．
【详解】解：∵，
∴a=2，b=，c=1，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握当△=0时方程有两个相等的实数根是解题的关键．
7．A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8．B
【分析】根据两根之和与之积，再根据即可求出答案．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟记：，．
9．
【分析】根据解一元二次方程的方法：配方法进行化简即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查用配方法解一元二次方程，掌握方法是解题关键．
10．11
【分析】先把常数项移到方程右侧，两边加上，利用完全平方公式得到，从而得到，，然后计算即可．
【详解】解：，
，
，
所以，，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，掌握配方法是解题关键．
11．
【分析】根据完全平方式的结构求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了配方法的应用和完全平方式的计算，掌握完全平方式的结构是解题的关键．
12．10
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值为2或4，然后分两种情况考虑： 2为腰，4为底边；2为底，4为腰．
【详解】解：方程，
分解因式得：（x-2）（x-4）=0，
可得x-2=0或x-4=0，
解得：，，
当等腰三角形的边长是2、2、4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是4、4、2时，这个三角形的周长是4+4+2=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用．
13．2
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【详解】解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
14．
【分析】利用根与系数的关系定理计算即可．
【详解】∵，的是一元二次方程的两个实数根，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，正确理解定理是解题的关键．
15．2029
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，即，
．
故答案为：2029．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
16．/0.75
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后变形求出结果即可．
【详解】解：和是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
17．，
【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
配方，得，即，
解得，
所以方程的解为，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题关键．
18．(1)；
(2)
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．(1)
(2)，
【分析】（1）该一元二次方程有两个不相等的实数根，则，从而求k的取值范围．
（2）将x＝-1代入中，结合（1）k的取值范围，即可求k的值．
【详解】（1）解：由题意知
解得：
（2）解∶把代入方程
并整理得：
配方得
解得：，，满足．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别，掌握一元二次方程根的判别方法是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式列出不等式计算即可；
（2）把代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得：，即实数的取值范围是．
（2）解：当时，方程变为：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解方程，准确计算是解题的关键．
21．（1）m=1，；（2）5
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x=2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出 ABCD的周长．
【详解】解：（1）四边形是菱形，
．
又、的长是关于的方程的两个实数根，
△，
，
当为1时，四边形是菱形．
当时，原方程为，即，
解得：，
菱形的边长是．
（2）把代入原方程，得：，
解得：．
将代入原方程，得：，
方程的另一根，
的周长是．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．
22．（1）；（2）
【分析】（1）把代入方程得，然后求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：（1）把代入方程得，
∴，即，
解得：；
（2）∵该方程无实数根，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）一元二次方程有实数根，则，由此即可求解；
（2）根据（1）中的取值范围求出的值，由此可求出方程的解，把的值代入一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得，
∴的取值范围．
（2）解：由（1）可知，，
∴的最大整数是，
∴方程可化为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
又，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握一元一次方程的定义，有实根的计算方法，解一元二次方程的方法的知识是解题的关键．
24．(1)，
(2)
【分析】（1）运用分解因式法解一元二次方程即可；
（2）运用完全平方公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得，，
当时，；当时，；
∴原方程的解为：，．
（2）解：，
原式变形得，，
运用公式法因式分解得，，
当时，，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握分解因式法，公式法解一元二次方程是解题的关键．
25．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用完全平方式整理等式左边、再移项然后用平方差公式进行因式分解、最后分别令两个一次式为0，解方程即可；
（2）对等式右边利用平方差公式进行整理、移项后利用提公因式法进行因式分解、最后分别令两个一次式为0，求解方程即可．
【详解】（1）解：原方程可化为，
移项得：，
分解因式得：，
即，
∴或，
∴．
（2）原方程可化为，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
∴
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解；熟练掌握因式分解法、正确求解方程是解题的关键．
26．，
【分析】先化简分式，再解一元二次方程，将一元二次方程的解代入分式即可求值．
【详解】解：
∵，
解得
又∵，
∴．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，和化简分式，熟知一元二次方程的解法和分式的化简法则是解题的关键．
27．
【分析】先换元，再求出t的值，最后求出答案即可．
【详解】解：设
∴
即，
∴，
解得：，（舍去）
∴
即的值为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
28．(1)
(2)2
【分析】（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据的意义得到，即， 解得，而a，b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有，可解得，综合可得到m的取值范围；
（2）根据矩形的性质和勾股定理得到，变形有，把代入得，整理得到，解方程得到，然后即可得到符合条件的m的值．
【详解】（1）解：设矩形两邻边长为a、b，
关于x的一元二次方程的两根是矩形的两邻边长，
，即 解得，
又 ， 解得，
时，方程有两个正实数根；
（2）解：设矩形两邻边长为a、b，
矩形的对角线长为，
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根； 当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理以及矩形的性质．
29．(1)见解析
(2).
【分析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断的值，就有实数根；
设直角三角形的两条直角边长分别为，，利用根与系数的关系可以得到，的值，利用勾股定理化简带入求k的值．
【详解】（1）证明：∵
∴无论取何值，方程总有实数根．
（2）设直角三角形的两条直角边长分别为，，
则，，∴，
又，，，
解得：，
∵，
∴应舍去，故．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，注意直角三角形边长为正值是解题的关键．21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，设这个小组有人．则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·湖南益阳·九年级统考期末）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为元，则可卖出件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期末）某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）将一块长方形桌布铺在长为3m、宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍，那么桌布下垂的长度为（ ）
A．－2.5 B．2.5 C．0.5 D．－0.5
7．（2022秋·湖南益阳·九年级期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每星期可卖出件，为占有市场份额，现需降价处理，且经市场调查：每降价一元，每星期可多卖出件，现在要使利润为元，每件商品应降价（ ）
A．3元 B．元 C．2元 D．元
二、填空题
8．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．人行道的宽度为 米．
9．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．若设较小的偶数为x，列方程为 ．
10．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的100元降到81元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
11．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为 ．
12．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）某种商品原价50元，因销售不畅，3月份降价10%后，销量大增，4、5两月份又连续涨价，5月份的售价为64.8元，则4、5月份两个月平均涨价率为 ．
13．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程 ．
三、解答题
14．（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
15．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，今年四月份共生产720个“冰墩墩”，若该工厂平均每月生产量增加的百分率相同，求该工厂这两个月的月平均增长率．
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
16．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
17．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元．
(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
18．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
(1)若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
19．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
20．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克128元，连续两次降价后每千克98元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若该水果每千克盈利20元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该水果每天盈利9000元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？
21．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）为执行国家新冠病毒核酸检测降价政策，给人民群众带来实惠，某地核酸检测（样本单采）自费价格经过两次降价，由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．
22．（2022秋·湖南益阳·九年级统考期末）年，某贫困户的家庭年人均纯收入为元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到年，家庭年人均纯收入达到了元．
(1)求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
(2)若年平均增长率保持不变，年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到元？
23．（2022秋·湖南益阳·九年级期末）要在一块长、宽的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积为荒地面积的一半，如图分别是小明和小亮的设计方案．
(1)你认为小明的结果正确吗？为什么？
(2)你能帮小亮求出图中的值吗(精确到)？
(3)你还有其他设计方案吗？与同伴交流．
24．（2022秋·湖南郴州·九年级期末）今年9月中下旬，我市举办了以“山水福地·遇见郴州”为主题的首届旅游发展大会，“半条被子”的故乡汝城县沙洲村也因此迎来了旅游的高峰期，据了解，今年9月份该地接待参观人数为10万人，11月份接待参观人数增加到14.4万人．
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计12月份的参观人数是多少？
25．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，中国创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．在脱贫过程中，某贫困户2018年家庭年人均纯收入3200元，通过政府的产业扶植，大力发展花木栽培，到2020年家庭年人均纯收入5000元，顺利实现脱贫．
(1)求该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
(2)若年平均增长率保持不变，预计2021年底，该户居民的家庭年人均纯收入能否达到6000元，并说明理由．
26．（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）某商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？
参考答案：
1．D
【分析】根据两天后共有64人患上流感，列出方程求解即可．
【详解】解：依题意得1+x+x（1+x）=64，
解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
故x值为7．
故选：D．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
2．C
【分析】若设这小组共有名学生，此题可类比数线段来做，根据某小组同学新年时互送贺卡，共送出贺卡56张，可列出方程．
【详解】解：若设这小组共有名学生，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程方程的应用，能理解题意是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可．
【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键．
4．B
【分析】由销售问题的数量关系总利润＝单件利润×数量建立方程求出其解即可．
【详解】解：根据题意，得 （x﹣21）（350﹣10x）＝400，
故选：B.
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系：总利润＝单件利润×数量的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．
5．B
【分析】第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元，由此列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
6．C
【分析】设桌布下垂的长度为米，则有，计算求解即可．
【详解】解：设桌布下垂的长度为米
则有
解得（负值舍去）
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于列出正确的一元二次方程．
7．A
【分析】设售价为x元时，每星期盈利为6125元，那么每件利润为，原来售价为每件60元时，每星期可卖出300件，所以现在可以卖出件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题．
【详解】解：设售价为x元时，每星期盈利为6120元，
由题意得，
解得：，，
由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去．
∴每件商品应降价元．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
8．1
【分析】设人行道的宽度为米，则矩形绿地的长为米，宽为米，再结合题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，再舍去不合题意的值即可．
【详解】设人行道的宽度为米，则矩形绿地的长为米，宽为米，
∵这两块相同的矩形绿地的面积之和为60平方米，
∴，
解得：，（舍）．
∴人行道的宽度为1米．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题的关键．
9．
【分析】设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)，列方程即可．
【详解】设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)，
∵两个相邻偶数的积是168，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，表示出较大的相邻偶数是解题的关键．
10．
【分析】增长率问题，列出一元二次方程即可．
【详解】∵某药品销售单价由原来的100元降到81元，经过两次连续降价
∴即
故答案为：
【点睛】本题考查了增长率问题的一元二次方程，难点在于根据题意列出方程．
11．x2+（x+6）2＝102
【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
【详解】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，正确应用勾股定理是解题关键．
12．20%
【分析】4月份价格从50×（1-10%）元开始涨价，如果两个月平均涨价率为x，根据“5月份的售价为64.8元”作为相等关系得到方程50（1-10%）（1+x）2=64.8，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍．
【详解】解：设两个月平均涨价率为x，根据题意得50（1-10%）（1+x）2=64.8
解得x1=0.2，x2=-2.2（不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均涨价率为20%．
故答案为：20%
【点睛】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．
13．
【分析】设每件衬衫降价x元，根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件可得销售量为，则每件衬衫的利润为，根据销售量乘以每件衬衫的利润等于1200元，列出一元二次方程即可
【详解】解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
14．(1)；
(2)不会，理由见解析．
【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
【详解】（1）解：由题意可知：
第一轮传染后患病的人数人，
（2）解：设在每轮传染中一人将平均传给人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．
15．(1)
(2)4元
【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量该工厂平均每月生产量的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为．
（2）解：设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：0，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．(1)
(2)能，理由见解析
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
，
化简得：，
∴，
∴，或(舍去)，
答：进馆人次的月平均增长率为；
（2）∵进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用题——增长率问题，找出等量关系并列出方程是解题的关键．
17．(1)每次下降的百分率为；
(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为，列出方程求解即可；
（2）设每千克涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设每次下降百分率为，
根据题意，得，
解得：， (不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克涨价x元，
由题意得：
解得：或，
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，且要尽快减少库存，
∴，
答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
18．(1)
(2)75元
【分析】（1）设丝绸条带的宽度为，根据题意得：，然后求解即可；
（2）设每件工艺品降价y元出售，根据题意可列方程，求解得到降价多少元，再用定价减去降价的钱即可．
【详解】（1）解：设丝绸条带的宽度为，
根据题意，得．
整理，得，
解得，（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为．
（2）解：设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：，
整理可得：
解得：．
所以售价为（元）．
答：该公司每天把销售单价定为75元时，当日所获利润为22500元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可．
19．5
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．
【详解】解：设这个最小数为．
根据题意，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．
20．(1)12.5%
(2)10元
【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1-a）2为两次降价的百分率，可列出方程，求解即可；
（2）根据总盈利=每千克盈利×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
128（1-a）2=98，
解得：a1=（舍去），a2=0.125=12.5%，
答：每次下降的百分率为12.5%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：
（20+x）（500-20x）=9000，
整理，得 x2-5x-50=0，
解得：x1=10，x2=-5（不合题意舍去），
答：该商场要保证每天盈利9000元，那么每千克应涨价10元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
21．
【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据价格经过两次降价，由100元降为64元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率，由题意得
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．(1)40%
(2)能达到6800元
【分析】（1）设该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，利用该贫困户年家庭年人均纯收入该贫困户年家庭年人均纯收入增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该贫困户年家庭年人均纯收入该贫困户年家庭年人均纯收入增长率，可求出该贫困户年家庭年人均纯收入，再将其与比较后即可得出结论．
【详解】（1）设该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率为；
（2）元，
，
年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方找出等量关系：该贫困户年家庭年人均纯收入该贫困户年家庭年人均纯收入增长率是解题的关键．
23．(1)小明的结果不正确，见解析
(2)的值约为
(3)还有其他方案，见解析
【分析】（1）设小路的宽为，根据题意列出方程，解方程，根据实际情况取舍方程的解，即可求解；
（2）在矩形荒地四角留下相同的扇形空地个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积，建立方程，解方程，根据实际情况取舍方程的解，即可求解；
（3）根据题意设计方案，使得花园的占地面积为荒地面积的一半，根据题意建立方程即可求解．
【详解】（1）解：小明的结果不正确．
理由：设小路的宽为，根据题意，得
，
即，解得，
因为荒地的宽为，若小路的宽为，则不符合实际情况，故不合题意，舍去．所以，即小路的宽为．
（2）小亮的设计方案：在矩形荒地四角留下相同的扇形空地个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积．
根据题意，得，，
因为，所以不合题意，舍去，
所以，
所以小亮的设计方案中的值约为，
（3）(答案不唯一)还有其他方案，如图所示，
根据题意，得，即，
化简，得，
，
所以(不合题意，舍去)．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
24．(1)这两个月参观人数的月平均增长率为20%
(2)按照这个增长率，预计12月份的参观人数为17.28万人
【分析】（1）设参观人数的月平均增长率为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据（1）求出的增长率列出算式，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：设参观人数的月平均增长率为，
由题意，得：
解得，（不合题意，舍去）
答：这两个月参观人数的月平均增长率为20%．
（2）解：（万人）
答：按照这个增长率，预计12月份的参观人数为万人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解题关键．
25．(1)25%
(2)能，理由见解析
【分析】（1）设该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，利用该户居民2020年家庭年人均纯收入=该户居民2018年家庭年人均纯收入×（1+家庭年人均纯收入的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该户居民2021年家庭年人均纯收入=该户居民2020年家庭年人均纯收入×（1+家庭年人均纯收入的年平均增长率），可预计出2021年底该户居民的家庭年人均纯收入，将其与6000元比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意得：3200（1+x）2=5000，
解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合题意，舍去）．
答：该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为25%．
（2）解：2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6000元，理由如下：
5000×（1+25%）=6250（元），
∵6250＞6000，
∴2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
26．销售单价为80元．
【分析】设销售单价为x元，则每件盈利元，销售量为件，利用总利润=每件的销售利润销售数量，即可得到关于x的一元二次方程，解方程后再结合题意，即可得到答案．
【详解】解：设销售单价为x元，则：
，
∴，．
∵为了减少进货量，
∴（舍），．
答：销售单价为80元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
