22.1 二次函数的图象和性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）若是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖南郴州·九年级期末）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知抛物线y＝ 上有三点A(﹣2， )，B(﹣1，)，C(2，)，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖南长沙·九年级期末）已知抛物线经过和两点，则n的值为( )
A． B． C．2 D．4
6．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022秋·湖南益阳·九年级统考期末）关于函数的图象，有下列说法：
①对称轴为直线 ②抛物线开口向上
③图象经过原点 ④从图象可以判断出当时，y随着x的增大而减小．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
8．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）已知y＝(k－2)x|k|＋2x－3是二次函数，则实数k＝
9．（2022秋·湖南郴州·九年级期末）二次函数的图象的顶点坐标是 ．
10．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）二次函数的最小值是 ．
11．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ．
12．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知函数，当x 时，y随x的增大而减少．
13．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）如图，函数图象，若直线与该图象仅有两个交点，则m的取值为 ．
14．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么，，，的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
15．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是 ．
16．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知抛物线y＝x2－2x＋5经过两点A(2，y1)和B(3，y2)，则y1和y2的大小关系是 ．
17．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，将抛物线平移得到抛物线m．抛物线m经过点和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）二次函数的最大值是 ．
19．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）把抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
三、解答题
20．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使与的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）当x取何值时，函数的值为0？
22．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）求抛物线分别与x轴、y轴的交点坐标，对称轴的方程，顶点的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象．
23．（2022秋·湖南株洲·九年级期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，顶点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上有一点，连接、，当时，求点坐标．
24．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，顶点为D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知二次函数.
(1)将化成的形式；
(2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而减小．
26．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标；
②连接AC，求△ACM的面积．
(3)如图2，P是x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA=∠PBC时，请直接写出点P的坐标．
27．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期末）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的函数关系式：________________；
(2)动点能否在抛物线上？请说明理由．
28．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；
(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．掌握二次函数的概念是解题的关键．
2．D
【分析】二次函数，显然，，可以按：（1）当；（2）当，来讨论分析问题，进而得到答案．
【详解】解：二次函数，显然，，
（1）当，此时二次函数开口向下，当时，随的增大而减小，符合题意，
；
（2）当，此时二次函数开口向上，当时，随的增大而增大，不符合题意；
综上所述，的取值范围为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数系数与函数图像的关系，掌握二次函数的系数与图像的关系是解题的关键．
3．A
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断＜；根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：因为a＝＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，C（2，）和（0，）关于直线x＝1对称，
因为﹣2＜﹣1＜0，故，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
4．D
【分析】由抛物线对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断b，c的符号．
【详解】∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴当时，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形结合思想的运用．
5．D
【分析】根据和两点，确定，确定b的值，回代解析式计算即可．
【详解】∵抛物线经过和两点，且它们是对称点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握这个关系是解题的关键．
6．B
【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键．
7．C
【分析】根据已知二次函数解析式求出对称轴，顶点坐标，再根据二次函数性质判断即可；
【详解】∵，
∴对称轴，故①正确；
∵，
∴抛物线开口方向向下，故②错误；
∵，
∴函数图像过原点，故③正确；
∵抛物线开口方向向下，对称轴为，
∴当时，y随着x的增大而减小，故④正确；
综上所述，正确的是①③④；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．
8．-2
【分析】直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值．
【详解】解：∵函数y＝(k－2)x|k|＋2x－3是二次函数，
∴=2且k-2≠0，
解得：k=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的形式为y=ax2+bx+c，（a、b、c为常数，a≠0）．
9．
【分析】根据二次函数的顶点坐标是，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标是是解题的关键．
10．
【分析】根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案．
【详解】由二次函数关系式，
可知抛物线的开口向上，顶点坐标是（1，-4），
即当x=1时，函数值y有最小值-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键．
11．-3
【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．将最大值为5n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣4，
当x=n时y取最大值，即5n=﹣（n﹣1）2+5， 解得：n=-4或n=1（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣4，
当x=1时y取最大值，即5n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=1，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
5m=-（n-1）2+5，n=1，
∴m=1，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣4+1=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键．
12．
【分析】解析式为顶点式，可求得其对称轴，再利用二次函数的增减性可求得答案．
【详解】解：
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-1，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
13．1
【分析】由直线与该图象仅有两个交点，则直线与有一个交点，与有一个交点，则过抛物线的顶点，从而可求解．
【详解】解：∵直线与该图象仅有两个交点，
则直线与有一个交点，过的顶点，
∴，
∵，
∴顶点坐标为，
∴；
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；熟练的利用数形结合的进行分析，得到过的顶点是解本题的关键．
14．
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口，则.
根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口，则.
所以．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键．
15．
【分析】根据函数解析式得到二次函数的对称轴为直线，开口向上，由当时，随的增大而增大，得到，求解即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数的对称轴计算公式，熟记二次函数的性质是解题的关键．
16．/
【分析】根据二次函数图像上点的坐标特征，将A(2，)和B(3，)分别代入二次函数的关系式，分别求得和的值，最后比较它们的大小即可．
【详解】解：∵抛物线经过两点A(2，)和B(3，)，
∴=4-4+5=5，即=5，=9 6+5=8，即=8，
∵5＜8，
∴＜，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．
【分析】连接，先利用交点式写出平移后的抛物线m的解析式，再用配方出顶点式，得出，所以点P，Q关于x轴对称，于是得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】连接，如图
∵平移后的抛物线m的函数解析式为，
∴，抛物线m的对称轴为直线，
当时，，则点，
由于抛物线向右平移3个单位，在向上平移个单位得到抛物线
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18．1
【分析】把二次函数配成顶点式即可求解．
【详解】解：由可得：，
∵，
∴该二次函数的最大值为1；
故答案为1．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度，
得到的抛物线的解析式为，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
20．(1)；
(2)存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；
（2）设M的坐标为，由与的面积相等可得到，求得或，将或代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标．
【详解】（1）解：由题意得
将点和点的坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设的坐标为．
与的面积相等，
，
．
当时，，
解得或，
或，
当时，，
解得:或
或．
综上所述点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，求得点A和点B的坐标是解答问题（1）的关键，求得点M的纵坐标是解答问题（2）的关键．
21．或
【分析】令，则，再解一元二次方程即可．
【详解】解：当时，，
∴，
∴，，
解得：或．
【点睛】本题考查的是求解二次函数值，掌握“求解二次函数值的方法”是解本题的关键．
22．与x轴的交点坐标为或，与y轴的交点坐标为，对称轴为直线，顶点坐标为，画图见解析
【分析】令代入二次函数中即可求出与x轴的交点坐标，令代入二次函数中即可求出与y轴的交点坐标，用配方法可以求二次函数的顶点坐标与对称轴，利用与x轴的交点与y轴的交点和顶点坐标即可画出二次函数的大致图象．
【详解】解：把代入，
则，
解得：，，
∴与x轴的交点坐标为或，
把代入，
则，
∴与y轴的交点坐标为，
∵，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线；
图像如下：
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴，y轴的交点，二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
23．(1)
(2)不存在值，使得,理由见解析
(3)，或
【分析】（1）在中，求出，，用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）由，得，，而，即得或，当时， ，当时，，即可知不存在值，使得；
（3）设抛物线对称轴交轴于，过作于，由可得，抛物线对称轴为直线，由，，知是等腰直角三角形，设，可得，解得，从而可得，即得，或．
【详解】（1）解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：不存在值，使得，理由如下：
由得：，
整理得，
直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，
，为的两个实数解，
，，
，
，即，
解得或，
当时，一元二次方程，根的判别式，
此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点，
不符合题意，舍去，
当时，一元二次方程，根的判别式，
此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点，
不符合题意，舍去，
不存在值，使得；
（3）解：设抛物线对称轴交轴于，过作于，如图：
由可得，抛物线对称轴为直线，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，，
在中，，
，
解得，
，
，
，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，用勾股定理解决问题．
24．(1)；
(2)；
(3)存在，，或．
【分析】（1）设二次函数的解析式为，化为一般式对照条件中的解析式可求出，从而得解；
（2）当A，P，C三点共线时，的长度最小，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线对称轴，然后计算直线与抛物线对称轴交点坐标即可；
（3）先求出直线的解析式，然后设出点F、E的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，分情况列等式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式为，
化为一般式得，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴当A，P，C三点共线时，的长度最小，
此时点P坐标为直线AC与抛物线对称轴交点，
令，代入得，
∴点，
设直线AC的解析式为，将点A、C坐标代入得，
，
解得，
则直线AC的解析式为，
由题意可得，抛物线的对称轴为直线，
将代入得，
∴点P的坐标为；
（3）解： 由题可知点，点，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线BP上，
则设点的坐标为，点
已知以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点，点，
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
当为对角线时，，解得
点的坐标为；
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
综上可得，在直线BP上存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、抛物线对称性、最短路径问题、平行四边形存在性问题，灵活运用相关知识，采用数形结合的思想是解题关键．
25．(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标是
(3)＜2
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）利用描点法画出图象；再根据（1）中的二次函数解析式直接写出答案；
（3）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．
【详解】（1）解： y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
则该抛物线解析式是y=（x-2）2-1；
（2）解：列表，
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
描点，连线，
图象如图所示：
∵抛物线解析式是y=（x-2）2-1，
∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标是；
（3）解：由图象可知当＜2时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法，画二次函数的图象，二次函数的性质．属于基础题型，比较简单．
26．(1)y=-x2+5x-4；
(2)①M（，）；②
(3)P（2，2）
【分析】（1）将（1，0），（0，-4）代入y=ax2+5x+c即可求解；
（2）①连接BC交l于M，由对称性可知AM=BM，此时AM+CM最小，求出直线BC与对称轴的交点即为所求；
②由S△ACM=S△ABC-S△ABM求面积即可；
（3）过P作PH⊥AB于H，由题意可得∠PBA=∠ABC，PH=BH，设PH=BH=t，则OH=4-t，则可得P（4-t，t），再将P点代入抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）将（1，0），（0，-4）代入y=ax2+5x+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+5x-4；
（2）①连接BC交l于M，如图：
∵直线l为抛物线y=-x2+5x-4的对称轴，
∴AM=BM，直线l为x=，
∴AM+CM=BM+CM，
而此时B、M、C共线，故此时AM+CM最小，
在y=-x2+5x-4中，令y=0得x=1或x=4，
∴B（4，0），
由B（4，0），C（0，-4）得直线BC为y=x-4，
在y=x-4中令x=得y=，
∴M（，）；
②∵A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵C（0，-4），
∴S△ABC=AB |yC|=×3×4=6，
∵M（，），
∴S△ABM=AB |yM|=×3×=，
∴S△ACM=S△ABC-S△ABM=；
（3）过P作PH⊥AB于H，如图：
∵∠PBA=∠PBC，
∴∠PBA=∠ABC，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴OB=OC，
∴∠PBA=∠ABC=45°，
∴PH=BH，
设PH=BH=t，则OH=4-t，
∴P（4-t，t），
把P（4-t，t）代入y=-x2+5x-4得：
t=-（4-t）2+5（4-t）-4，
解得t=0（此时与B重合，舍去）或t=2，
∴P（2，2）
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
27．(1)（或）
(2)不在，理由见解析
【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
（2）令y=6，可得方程，根据方程有无实数解，即可判断
【详解】（1）解：根据的平移的方式得抛物线的函数关系式为：（或）；
（2）解：令y=6，可得方程，
即：，显然方程无实数解，
故P点不在抛物线上．
【点睛】本题考查了函数图象的平移的规律以及构造一元二次方程来判断动点是否在抛物线上的知识．掌握平移中图象“左加右减，上加下减”的平移规律是解答本题的关键．
28．(1)，
(2)线段长度有最大值为
【分析】（1）把抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解出二次函数解析式，再求出点D的坐标，即可求出直线BD的解析式；
（2）设P点的横坐标为，则，则，由此求解即可．
【详解】（1）设二次函数的解析式为：
将B的坐标代入得：
∴二次函数的解析式为：即：，
∵点D是二次函数与y轴的交点，
∴D点坐标为：
设直线的解析式为：将B的坐标代入得：
∴直线的解析式为：；
（2）解：设P点的横坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，线段长度有最大值为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，熟知一次函数与二次函数的相关知识是解题的关键．22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，老师出示了小黑板上的题后，小华添加的条件是过点；小方添加的条件是过点；小明添加的条件是；小颖添加的条件是抛物线被轴截得的线段长为．你认为这四名同学添加的条件中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
3．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知二次函数（b为常数）的图象上一点为(2，m)，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
4．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）二次函数的图象与x轴有一个公共点．这对应着一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
5．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
6．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022春·湖南株洲·九年级统考期末）二次函数的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．关于的方程无实数根
8．（2022秋·湖南益阳·九年级期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
9．（2022秋·湖南永州·九年级统考期末）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根
10．（2022春·湖南岳阳·九年级统考期末）如图，抛物线过点（1，0）和点（0，－2），且顶点在第三象限，设p＝a－b＋c，则下列判断错误的是（ ）
A．a＋b＝2 B．方程有两个不相等的实数根
C．0＜b＜2 D．－1＜p＜0
二、填空题
11．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
12．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）抛物线和轴有公共点，则的取值范围是 ．
13．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）若函数的图象与x轴相切（顶点在x轴上），则常数a的值为 ．
14．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）抛物线与轴的交点的坐标为 ．
15．（2022秋·湖南娄底·九年级统考期末）已知抛物线与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式的值为 ．
16．（2022秋·湖南益阳·九年级期末）请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：．
解：令，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当或时函数的图象位于x轴的上方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为或．这一过程中渗透了转化的思想和数形结合的思想．
那么不等式的解集是 ．
17．（2022秋·湖南湘西·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 ．
三、解答题
18．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过B、C两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的另一交点A及其顶点P的坐标．
19．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值；
(2)方程是否有实数根？如有，请求出它的实数根．
(3)当时，求x的取值范围（直接写出结果）．
20．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）抛物线与直线交于A，B两点．
(1)求A，B两点坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
21．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知二次函数．
(1)求出该函数图象的顶点坐标；
(2)试画出该函数的草图，并说明二次函数的图象是由的图象先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到；
(3)结合图象直接写出当时，自变量x的取值范围．
22．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线，经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式．
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
23．（2022秋·湖南常德·九年级统考期末）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点．
(1)求的取值范围；
(2)若二次函数的图象经过点和点，比较和的大小，并说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据抛物线与轴交于点，可得，将小华，小方，小明，小颖添加的条件代入抛物线，联立二元一次方程组求解，分别得出的值，根据抛物线的对称轴的计算方法进行判定即可．
【详解】解：抛物线与轴交于点，
∴，
小华添加的条件是过点，
∴，
∴，解得，，
∴抛物线的对称轴为，符合题意，故小华添加的条件正确；
小方添加的条件是过点，
∴，
∴，解得，，
∴抛物线的对称轴为，符合题意，故小方添加的条件正确；
小明添加的条件是，
∴，解得，，
∴∴抛物线的对称轴为，符合题意，故小明添加的条件正确；
小颖添加的条件是抛物线被轴截得的线段长为，
∵抛物线与轴交于点，
∴抛物线与轴的另一个交点为或，
当另一个交点为时，，
∴，解得，，则抛物线的对称轴为，符合题意，故小颖添加的条件正确；
当另一个交点为时，，
∴，解得，，则抛物线的对称轴为，不符合题意，故小颖添加的条件不正确；
综上所述，四名同学添加的条件中正确的有小华，小方，小明，个，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，联立二元一次方程组求解，对称轴的计算方法的综合，掌握以上知识是解题的关键．
2．C
【分析】分情况讨论，当时，函数是一次函数，为：，此时图象和x轴有交点；当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，说明一元二次方程的，建立一个关于k的不等式，解不等式即可．
【详解】当时，函数是一次函数，
解析式为：，
此时图象和x轴有交点，
即满足要求；
当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，
∴一元二次方程的，
即：，
解得且，
综上：则k的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．解答时注意分类讨论的思想．
3．B
【分析】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．
【详解】∵二次函数（b为常数）的图象上一点为(2，m)，
∴当时，方程其中一个根是，设另一个根是
∴，解得
即关于x的一元二次方程的两实数根是，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数解析式与一元二次方程间的转化关系．
4．B
【分析】根据二次函数与轴的交点与一元二次方程根的关系判断即可．
【详解】解：由题意知有一个实数根也即两个相同的实数根
故答案为：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系．解题的关键在于理解二次函数与轴的交点与一元二次方程根的关系．
5．D
【分析】根据一元二次方程判别式判断抛物线与x轴交点个数，注意m﹣1≠0．
【详解】解：令（m﹣1）x2+3x﹣1＝0，
则Δ＝32+4（m﹣1）＝4m+5，
当4m+5≥0时，即m时图象与x轴有交点，
∵m﹣1≠0，
∴m且m≠1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点的个数的判断方法．
6．C
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
【详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，
∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程的两根分别为，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
7．B
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；x=1时，y＜0，可对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．
【详解】解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故A正确；
B．∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b=2a，
∴3a+c＜0，故B错误；
C．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，故C正确；
D．∵抛物线开口向下，顶点为（-1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．C
【分析】在图象中找到抛物线在直线上方时x的范围，即可．
【详解】解：由题意可知，当和时，，
结合图象可知时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图像的交点问题，根据图像解不等式，掌握数形结合的思想是解题的关键．
9．C
【分析】根据的图象与y＝－2有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案．
【详解】解：由函数图象可得：的图象与y＝－2有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧，
∴关于x的方程即有两个同号不等实数根，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象的交点与一元二次方程的解的关系，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
10．D
【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式就可以判断A选项；利用方程系数之间的数量关系，结合根的判别式就可以判断B选项；利用抛物线解析式系数之间的数量关系和抛物线对称轴的性质可以判断C选项；利用抛物线解析式系数之间的数量关系，可以判断D选项．
【详解】解：根据题意可知：，抛物线的对称轴：，．
把点（1，0）和点（0，－2）代入抛物线解析式得，解得．
A选项正确，不符合题意；
由知，，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故B选项正确，不符合题意；
∵，，
∴，
解得．
∴，
∴，即．
故C选项正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴．
故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图像及性质、根据函数图像判断相应一元二次方程根的情况、根据图像判断式子的符号等知识．能够准确地从函数图像中获取信息是解题的关键．
11．
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．
12．且
【分析】抛物线与轴有公共点，则关于的一元二次方程中，且二次项系数不能为零，由此即可求解．
【详解】解：抛物线，
∴，
∵抛物线与轴有公共点，
∴关于的一元二次方程的，
∴，解得，，
综上所述，的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次函数图象和性质，掌握二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的个数关系是解题的关键．
13．
【分析】根据题意可得：函数的图象与x轴只有一个交点，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵函数的图象与x轴相切（顶点在x轴上），
∴函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到函数的图象与x轴只有一个交点是解题的关键．
14．
【分析】根据y轴上的点的坐标特点：横坐标等于0，然后令x=0即可求出纵坐标，从而得出结论．
【详解】令x=0，得：y=-1
抛物线与轴的交点的坐标为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标的求法，熟练掌握y轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键．
15．2022
【分析】把把 (m，0)代入函数解析式得到m2-m=1，代入代数式求值．
【详解】解：把 (m，0)代入函数解析式y=x2 x 1，得
m2-m-1=0，
即m2-m=1，
则代数式m2 m+2021=1+2021=2022，
故答案为2022．
【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征以及求代数式的值，整体思想的应用是解决问题的关键．
16．
【分析】根据题干所给的解一元二次不等式的方法即可解答．
【详解】解：由题干及图象可知：
当时函数的图象位于x轴的下方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，运用转化的思想和数形结合的思想结合交点直观求解集是解题关键．
17．，
【分析】根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点，即可得出关于的方程的解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴关于的方程的解为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与轴的交点坐标和一元二次方程的解的关系．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先求出直线与x轴、y轴分别交于点B、点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）令，利用因式分解法解方程，即可得到抛物线与x轴的另一交点横坐标，将对称轴横坐标代入抛物线的解析式即可得到顶点纵坐标．
【详解】（1）解：将代入得，则，
将代入得，则，
将、分别代入得
解得，
故该抛物线的解析式为．
（2）解：，
当时，或，
故抛物线与x轴的另一交点；
对称轴为直线，将代入得，
则顶点坐标为．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、对称轴、顶点坐标，掌握待定系数法求解析式是解题关键．
19．(1)
(2)有，，．
(3)
【分析】（1）把代入，再解方程可得答案；
（2）先利用根的判别式判断方程有根，再由，再利用因式分解的方法解方程即可；
（3）先画的简易图象，再利用函数图象可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：．
（2）∵，
∴，
则，
∴方程有实数根，
由，
则，
解得：，．
（3）由（1）得：，
∴对称轴为直线，
∴，即顶点坐标为，
由（2）得：函数与x轴的交点坐标为：，；
如图，
当当时，x的取值范围为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一元二次方程的解法，利用二次函数的图象确定函数值小于0时，自变量的取值范围，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
20．(1)A（，4）；B（3，9）
(2)
(3)或
【分析】(1)令x2=x+6,求出x的值，然后将x的值代入抛物线解析式求解．
(2)把x=0代入直线解析式求出点C的坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC=求解．
(3)把变形得，由图像可知不等式的解集就是抛物线在直线上方时对应的x的取值范围．
【详解】（1）令x2=x+6
解得x1= -2，x2=3
把x= -2代入y=x2中得y=4，
把x=3代入y=x2中得y=9
∴A(-2，4)，B(3，9)
（2）把x=0代入y=x+6中得y=6
∴点C坐标为（0，6）
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=
=15
（3）由得
∵点A横坐标为-2，点B横坐标为3，
由图像知x<-2，或x>3时抛物线在直线上方．
∴不等式的解集为x<-2或x>3．
∴不等式的解集为x<-2或x>3．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握坐标系内三角形面积的求法．
21．(1)（-1，-1）
(2)图见解析，左、1、下、1
(3)自变量x的取值范围为全体实数
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解顶点坐标；
（2）由题意画出图象，根据抛物线的平移规律可得出答案；
（3）通过观察抛物线在x轴下方的x取值范围求解．
【详解】（1）解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣2＝﹣（x+1）2﹣1，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）解：画出该函数的草图如下：
二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣2的图象是由y＝﹣x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到；
故答案为：左，1；下，1；
（3）解：观察图象可知：当y＜0时，自变量x的取值范围为全体实数．
【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线的平移，二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22．(1)，，，；
(2)四边形ABCM面积最大值为8，此时M的坐标为．
【分析】（1）将、分别代入即可求得A、C两点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式，最后令即可求出B点坐标；
（2）利用割补法得，设点M的坐标，表示出，再利用配方法即可求出最大值和M的坐标．
【详解】（1）解：令x＝0，得，
∴，令y＝0，得，解得x＝4，
∴，
把A、C两点代入得， ，解得，
∴抛物线的解析式为，
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，
设，则，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合——面积最值问题，熟练掌握表示四边形面积的方法是解题关键．
23．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴．
解得，即为所求．
（2）. 理由如下:
∵二次函数图象的对称轴为，且二次项系数1＞0．
∴二次函数的图象是开口向上，以直线为对称轴的抛物线，
在对称轴左侧y随x的增大而减小．
又∵，即A，B两点在对称轴的左侧，
∴．
【点睛】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．22.3 实际问题与二次函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖南长沙·九年级期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=2．动点P沿AB从点A向点B移动（点P不与点A，点B重合），过点P作AB的垂线，交折线A-C-B于点Q．记AP=x，△APQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
2．（2022秋·湖南娄底·九年级期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
3．（2022秋·湖南株洲·九年级期末）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0）和B(b,0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=3；③抛物线上有两点P(x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<12，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDGF周长的最小值为，其中，判断正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②③④
4．（2022秋·湖南长沙·九年级期末）用长度为的铁丝围成一个矩形，矩形的最大面积是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．16
二、填空题
5．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为 m.
6．（2022秋·湖南益阳·九年级期末）如图，用长为的铝合金条制成“日”字形矩形窗户，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是 ．
三、解答题
7．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花设种草部分的面积为，种草所需费用（元）与的函数解析式为，其图像如图所示，栽花所需费用（元）与的函数解析式为．
(1)求的值；
(2)设这块空地的绿化总费用为（元），请利用与的函数解析式，求出的最大值；
(3)若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值．
8．（2022秋·湖南长沙·九年级期末）如图1，点，，a，b满足，抛物线经过A，B两点，点关于点B的对称点M刚好落在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作平行于轴交于点，若点为抛物线上的一点，点在轴上，连接，，．是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
(3)该店主从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，同时最大限度的让利于顾客，求销售单价x应定为多少？
10．（2022秋·湖南郴州·九年级期末）2022年秋天，某地发生旱情，为抗旱保丰收，当地政府制定农户投资购买抗旱设备的补贴方法：购买A型设备，政府补贴金额（：万元）与投资的金额（x：万元）的函数对应关系为：，当时；购买型设备，政府补贴金额（：万元）与投资的金额（x：万元）的函数对应关系为，当时，，时．
(1)分别求出的函数表达式；
(2)有一农户投资10万元同时购买A型和型两种设备，获得的政府补贴为万元．请你设计一个能获得最大补贴的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴．
11．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，作轴交函数图象上于点E，已知，，直线是抛物线的对称轴，D是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)连接AD，线段上的点N关于直线l的对称点恰好在线段上，求点N的坐标；
(3)探究：抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段绕点T逆时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）某销售商准备采购一批衣服，经调查得知，用12000元采购A款服装的件数与用9600元采购B款服装的件数相等，一件A款服装进价比一件B款服装进价多100元．
(1)求一件A、B款服装的进价分别为多少元？
(2)若销售商购进A、B款服装共50件，其中A款服装的件数不多于B款服装的件数，且不少于18件，设购进A款服装m件．
①求m的取值范围；
②假设购进的A、B款的衣服全部售出，据市场调研发现A款服装售价y与A的销售件数m的关系如图．若B款服装售价为600元，则当m为多少时，销售商能获得最大利润，最大利润为多少？
13．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益＝日租金收入-平均每日各项支出）．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为多少元？（用含x的代数式表示）；
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
14．（2022秋·湖南岳阳·九年级统考期末）某商场以每件40元的价格购进一批商品，当商场按每件50元出售时，可售出500件，经调查，该商品每涨价1元，其销售量就会减少10件；问：
(1)这批商品商场为了能获利8000元，当要求售价不高于每件70元时，售价应定为多少？
(2)总利润能否达到9500元，为什么？
(3)当涨价多少元时，总利润最大，最大利润是多少？
15．（2022秋·湖南衡阳·九年级期末）如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．
(1)设矩形一边为（米），面积为（平方米），求与的函数表达式；
(2)当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长；
(3)当为何值时，所围苗甫面积最大，最大值是多少？
16．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
17．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
18．（2022秋·湖南湘西·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与、重合）．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点的坐标；
(2)过点作轴于点，连接．求面积的最大值．
19．（2022秋·湖南益阳·九年级期末）已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为．
(1)求的表达式；
(2)若直线与仅有唯一的交点，求m的值；
(3)若抛物线关于y轴对称的抛物线记作，平行于x轴的直线记作，试结合图形回答：当n为何值时，与和共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
20．（2022秋·湖南怀化·九年级期末）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
21．（2022秋·湖南邵阳·九年级期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
(1)当该商品的销售价为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
22．（2022秋·湖南永州·九年级期末）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）
(1)求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
(2)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？注：销售利润售价成本．
23．（2022秋·湖南衡阳·九年级期末）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商家开始古样物“冰墩墩”纪含品的销售．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元．且不高于52元．销售期间发现．当销售单价定为44元时．每天可出售300个．销售单价每上涨1元．每天销量减少10个．现商家决定提价销售．设每天销售量为y个．销售单价为x元．
(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时．商家每天获利2400元：
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时．商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
24．（2022秋·湖南娄底·九年级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P（m，n）在第三象限内的二次函数图象上运动．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，设四边形BAPC的面积为S，试求S的最大值并求出此时点P坐标；
(3)如图2，点Q在二次函数图象上，且位于直线AC下方，过点Q作QM⊥AC，
垂足为点M，连接CQ，若△CMQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
25．（2022秋·湖南衡阳·九年级期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于45元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
(3)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
26．（2022秋·湖南长沙·九年级期末）国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远？
参考答案：
1．B
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【详解】解：当点Q在AC上时，y=×AP×PQ= x x tan∠A=x2（0≤x≤1）；
当点Q在BC上时，如下图所示，
y=AP PQ=x(2 x)tan∠B= x2+x（1＜x≤2），
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
观察四个选项，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
2．D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
3．B
【分析】根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可判断①；先求出抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性求出b可判断②；先求出抛物线的对称轴，然后比较点P和Q到对称轴距离的大小，然后可以确定函数值的大小，即可判断③；先求出D、E两点的坐标，然后求出符合题意的对称点坐标分别为（-1,4）（2，-3）,然后根据勾股定理计算即可判断④.
【详解】①当x＞0时，y不一定大于0，故错误;
②对称轴为1，当a=-1，b=3，故正确;
③＞1，∴
Q点距离对称轴较远，∴y1＞y2，故正确;
④m=2时，D(1,4),E(2,3),
可得出DE的对称点为（-1,4）（2，-3）,
四边形DEFG的周长为，故错误;
故答案为B.
【点睛】本题考查了二次函数的解析式和二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质结合图象提取所需要的信息是解题的关键.
4．A
【分析】设矩形面积为Scm2，长为xcm,则宽为(6-x)cm，面积S=x(6-x),利用二次函数的性质即可求得矩形的最大面积.
【详解】设矩形面积为Scm2，长为xcm,则宽为(6-x)cm，
由题意得，
S=x(6-x)
=-(x-3)2+9.
∴当x=3时，S取得最大值9.
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数的应用及一般式与顶点式的转化，熟练掌握配方法是解答本题的关键.
5．2
【详解】试题解析：如图，建立平面直角坐标系，
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米．
6．
【分析】设出矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值．
【详解】解：设矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，根据题意得：
，
整理得，
∵，
∴抛物线开口向下，取得最大值，最大值为，
故答案为：．
【点睛】此题注意考查了二次函数的应用，解题的关键是得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想．
7．(1)，，
(2)34500
(3)29900
【分析】（1）把代入得，把和、代入可求得；
（2）分和两种情况，根据绿化总费用＝种草所需总费用+种花所需总费用结合二次函数的性质可得答案；
（3）根据种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，求得x的范围，根据二次函数的性质可得．
【详解】（1）解：把代入得：，
把和、代入得，
解得；
（2）解：当时，
，
当时，取得最大值，最大值为34500．
当时，
.
，
当时，随的增大而减小．
当时，取得最大值，为34400．
. ，
的最大值为34500．
（3）解：由题意，得，解得，
又，
，
当时，随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为29900．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．
8．(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)点的坐标为，或，或，或，或，
【分析】（1）先求出点、的坐标，再根据点与点关于点对称，得出，，再利用待定系数法把点、的坐标代入，解方程组即可；
（2）设，，根据待定系数法求出直线的解析式，表示出，再根据∽，表示出，从而求出关于的式子，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）设，，过点作平行于轴交于点，交轴于点，先解直角三角形得出：，，再根据与相似分类讨论即可．
【详解】（1）解：，
，
，，
又∵点，，，，
∴，，，，
∵点，和点关于点，对称，设点，，
，解得，
，；
设二次函数解析式为，由，，，，，三点在二次函数上，则
，解得
∴该抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴于点，
设，，则
设直线的解析式为，将，，，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴交直线于点，
∴，
∴，
，
∵，轴于点，
∴，，
∴∽，
∴，
又∵中，，
∴，
∴，
，
，且
时，的值最大，为；
（3）存在．设，，
过点作平行于轴交于点，交轴于点，
∵，，，，，，
∴，，，，
∴，,
，，
，，
，，
当点与点重合，即，时，如图1，
若，则∽，此时点与点关于轴对称，，；
若，则∽，则，即，，，
，
，解得：，
，；
当点在轴下方对称轴左侧抛物线上时，如图2，设，，
，
，
解得：（舍去）或，
，，
若，则∽，
∴点与点关于轴对称，，；
∴，则∽，
∴，即，，，
，
，解得：，
，；
当点与点重合，即，时，如图3，
点在点的，即，
若，则∽，
，
，
∴，
，；
综上所述，点的坐标为，或，或，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，中心对称、轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，注意分类讨论是解题的关键．
9．(1)
(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元
(3)捐款后每天剩余利润不低于元，为最大让利，销售单价为50元
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）根据题意得：
，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；
（3）依题意剩余利润为元，
∵捐款后每天剩余利润不低于元，
∵，随x增大而增大，
由得或，
∴捐款后每天剩余利润不低于元，，销售价最少50元．
答：捐款后每天剩余利润不低于元，为最大让利，销售单价为50元．
【点睛】本题考查列一次函数关系式，二次函数应用，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
10．(1)，
(2)当购买A型设备的金额为8万元、型设备的金额为2万元时能获得最大补贴金额，最大补贴金额为9万元．
【分析】（1）由题意可将代入进行求解，然后将代入进行求解即可；
（2）设投资购买型设备的金额为万元，则A型设备的金额为万元，获得的政府补贴为万元，由题意可得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：．
故：，
将代入得：
，
解得，
∴；
（2）解：设投资购买型设备的金额为万元，则A型设备的金额为万元，获得的政府补贴为万元，依题意得：
，
∴，即该函数图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大补贴为，
∴当购买A型设备的金额为8万元、型设备的金额为2万元时能获得最大补贴金额，最大补贴金额为9万元．
【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，根据题意求出函数解析式是解题的关键．
11．(1)
(2)N点坐标为
(3)存在，点T的坐标为或
【分析】（1）先确定，则确定抛物线的对称轴为直线，则利用对称性可得到，设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）把解析式配成顶点式得到，再利用待定系数法求出直线的解析式为；设，利用对称的性质得到，然后把代入求出t，从而得到T点坐标；
（3）直线交x轴于M，作直线于N，如图，设，利用旋转的性质得，再证明得到，，则点的坐标为，然后把代入得，接下来解关于m的方程即可得到点T的坐标．
【详解】（1）∵，
∴，
∵轴，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∴，
设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）∵，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
∴直线的解析式为；
设，
∵点N关于直线的对称点为，
∴，
把代入得，
∴N点坐标为；
（3）存在．
直线交x轴于M，作直线于N，如图，设，
∵线段绕点T逆时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
把代入得，解得，
∴点T的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．
12．(1)一件、款服装的进价分别为500元和400元
(2)①；②当为18时，销售商能获得最大利润，最大利润为8560元
【分析】（1）设一件款服装的进价为元，则一件款服装的进价元，根据用12000元采购款服装的件数与用9600元采购款服装的件数相等建立方程，解方程即可得；
（2）①设购进款服装件，则购进款服装件，根据题意建立一元一次不等式组，解不等式组即可得；
②设款服装售价与的销售件数之间的函数关系式为，利用待定系数法可得，设销售商能获得的利润为，则，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设一件款服装的进价为元，则一件款服装的进价元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，
则，
答：一件、款服装的进价分别为500元和400元．
（2）解：①设购进款服装件，则购进款服装件，
由题意得：，
解得；
②设款服装售价与的销售件数之间的函数关系式为，
将点代入得：，解得，
则，
设销售商能获得的利润为，
则，
整理得：，
由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
答：当为18时，销售商能获得最大利润，最大利润为8560元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数与二次函数的应用，正确建立方程，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
13．(1)（，为整数）
(2)当日租出15辆时， 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元
【分析】（1）由题意可得，每辆车的日租金收入为：500+（20-x）×50，从而可以解答本题；
（2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，可以得出租赁公司日收益，然后根据二次函数的性质，即可求问题的答案．
【详解】（1）解：（，为整数）．
（2）解∶根据题意得：日租金收入为元．
∴
．
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
∴．
∴当＝15时，有最大值5000．
∴当日租出15辆时， 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式．
14．(1)60元
(2)不能，理由见解析
(3)当涨价20元时，利润最大，最大为9000元
【分析】（1）设每件商品涨价x元，由题意得，（50＋x 40）（500 10x）＝8000，解方程可得答案；
（2）把y＝ 10（x 20）2＋9000配成二次函数的顶点式，然后根据二次函数的性质求出最大值即可得到答案；
（3）根据二次函数的顶点式可得答案．
【详解】（1）解：设每件商品涨价x元，
由题意得，（50＋x 40）（500 10x）＝8000，
解得x1＝10，x2＝30，
因为售价不高于每件70元，
所以售价应定为每件60元；
（2）解：不能，理由如下：
设总利润为y元，y＝（50＋x 40）（500 10x）
＝ 10x2＋400x＋5000
＝ 10（x 20）2＋9000，
∵a＝ 10＜0，
∴x＝20时，y有最大值9000，
所以总利润不能达到9500元；
（3）解：因为y＝ 10（x 20）2＋9000，
所以当涨价20元时，总利润最大，最大利润是9000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意得到二次函数的解析式是解题关键．
15．(1)y=-x2+18x
(2)矩形的一边长为6米，另一边长为12米
(3)当x=9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81平方米．
【分析】（1）根据题意可知，矩形的一边长为x米，则另一边长为（18-x）米，故矩形的面积y=x（18-x），然后化简，即可得到y关于x的函数表达式；
（2）令y=72，解关于x的一元二次方程即可；
（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解决问题．
【详解】（1）由题意可得，
y=x（18-x）=-x2+18x，
即y关于x的函数表达式为y=-x2+18x；
（2）当y=72时，则-x2+18x=72，
解得：x1=6，x2=12，
∴矩形的一边长为6米，另一边长为12米；
（3）由（1）知，y=-x2+18x=-（x-9）2+81，
∵-1＜0，
∴当x=9时，y取得最大值，最大值为81，
∴当x=9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81平方米．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．(1)y＝﹣20x2+100x+6000，0≤x＜20
(2)当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元
【分析】（1）根据总利润=单件获得利润×数量得出解析式；
（2）首先利用配方法把二次函数化为顶点式，再求出最大自．
【详解】（1）解：根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣2.5）2+6125，
∴当x＝2.5时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点睛】本题考查利用二次函数解决利润最大问题，解决问题的关键是构造函数解析式，利用解析式的性质求出极值．
17．当矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
【分析】设矩形的长是a，宽各为b，由矩形的周长为36，得a＋b＝18．因为旋转形成的圆柱侧面积是：2πab，所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，由此能求出结果．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形的周长为36，
∴2（a＋b）＝36，
解得：b＝18 a，
∵旋转形成的圆柱侧面积是：2πab，
∴要求侧面积最大，即求ab的最大值，
ab＝a（18 a）＝18a a2
＝ （a 9）2＋81，
∴当a＝9时ab有最大值81，
此时b＝9．
答：矩形的长，宽都为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度一般，熟练掌握求二次函数最值的方法是解题的关键．
18．(1)抛物线的函数解析式为，顶点的坐标为
(2)面积的最大值为
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意先求出直线的解析式，设，则，用含的式子表示，，，根据，可得与的关系式，运用配方法即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点，
∴，解得，，
∴抛物线的函数解析式为，
将抛物线解析式变为顶点式得，，
∴顶点的坐标为．
（2）解：抛物线的函数解析式为，、，，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点是线段上一个动点（不与、重合），，
∴设，则，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，有最大面积，且最大面积为，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形面积的计算方法是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)当时，有两个交点；当时，有三个交点；当或时，有四个交点
【分析】（1）设的表达式为，由于顶点是，则可得，进而可得，代入点即可求解．
（2）由题意可得，整理得，由于仅有一个交点，则，进而可求解．
（3）由于与轴平行，故结合图象即可求解．
【详解】（1）设的表达式为，顶点是，
则可得，
∴，代入点，
则： ，
∴，
∴．
（2）∵直线与抛物线有唯一的交点，
，
则：，
∴，
∴．
（3）由题意可作如图所示：
结合图象可知：当时，，有两个交点；
当时，有三个交点；
当或时，有四个交点．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求函数解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
20．(1)
(2)当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元
【分析】（1）设出解析式，把代入求出系数即可；
（2）根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）由题意，可设，把代入得：
，
所以y与x之间的关系式为：；
（2）设利润为W，则
＝
＝
＝
＝
因为，所以当时，W最大为400元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和二次函数的应用，正确运用待定系数法、掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．(1)当售价为326元时，获利最大，最大为10580元
(2)每件降价60元
【分析】（1）设每件商品应降价x元，则售价为元，此时销量为：件，设利润为W，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可作答；
（2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）设每件商品应降价x元，则售价为元，此时销量为：件，设利润为W，
根据题意有：，
整理，得：，
即当降价34元时，所获的利润最大，且最大利润为：10580元，
此时售价为（元），
即当售价为326元时，获利最大，最大为10580元；
（2）设每件商品应降价x元，则销售量为：件，
由题意得，
整理，得：，
解得， ，
当时，销售量为：（件）；
当时，销售量为：（件）；
要更有利于减少库存，则，
即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及列一元二次方程解实际问题的知识，解答时，明确题意，根据销售问题的数量关系建立函数关系式和一元二次方程是关键．
22．(1)p= 2x+80
(2)第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元
【分析】（1）设日销售量（盒与时间（天之间的函数关系式为，把，代入求出即可；
（2）设日销售利润为元，根据销售利润售价成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
【详解】（1）解：设日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为，
把，代入得：，
解得：，
即日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为；
（2）解：设日销售利润为元，
；
，，且为整数，
当时，取得最大值，最大值是450；
在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，根据数量关系列出函数解析式是关键．
23．(1)当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元
(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是2640元
【分析】（1）根据题意可得出y与x的关系式．再根据总利润=单件利润×销售量，可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的值即可；
（2）根据题意可求出w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）由题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
当获利2400元时，即得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；
（2）根据题意得：，
∵-10<0，
∴当时，w随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值．
将代入，得：，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是2640元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．
24．(1)
(2)当m＝﹣2时，S最大值＝9，此时P（﹣2，﹣3）
(3)点Q的坐标为（﹣3，﹣2），
【分析】（1）利用待定系数法可以得到解答；
（2）把S表示为关于m的函数，再利用函数的性质可以得到解答；
（3）分∠QCM＝∠OAC和∠QCM＝∠ACO两种情况讨论，在讨论过程中，注意三角形相似的性质及二次函数与一元二次方程的联系．
【详解】（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2中，
可求得， ， ，
∴；
（2）连接OP，如图1，
由（1）可得C为（0，-2），
∵P（m，n），
∴S＝S△OAP+S△OCP+S△OBC＝ OA |yP|+ OC |xP|+ OB OC＝﹣2n﹣m+1＝﹣m2﹣4m+5=-（m+2)2+9，
当m＝﹣2时，S最大值＝9，此时P为（﹣2，﹣3）；
（3）①当∠QCM＝∠OAC时，如图2，
∴yQ＝yC＝﹣2，
∴，
解得x＝﹣3，
∴Q1（﹣3，﹣2）；
②∠QCM＝∠ACO时，如图3，
过点M作DE⊥OC，QD⊥DE，
设CE＝a，
∵∠DMQ+∠DQM＝90°，∠DMQ+∠EMC＝90°，
∴∠DQM＝∠EMC，
∴△CEM∽△MDQ，
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠ACO+∠EMC＝90°，
∴∠EMC＝∠OAC，
∴△CEM∽△CAO，
∴△CEM∽△COA∽△MDQ∽△CMQ，
∴=2，，
∴ME=2a，DM＝2a，DQ＝4a，
∴|yQ|＝4a+2﹣a＝3a+2，
∴Q（﹣4a，﹣3a﹣2），
将Q点代入，
得， ，
∴，
综上所述，点Q的坐标为（﹣3，﹣2）或．
【点睛】本题考查二次函数的动点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、二次函数最值的求法、三角形相似的判定与性质、一元二次方程的求解等是解题关键．
25．(1)
(2)每件商品的售价应定为30元
(3)当每件商品的售价定为40元时，每天销售利润最大，最大利润是800元
【分析】（1）、利用待定系数法求解即可；
（2）、根据：总利润=（每件的售价-每件的进价）×销售量，列出方程求解即可
（3）、根据：总利润=（每件的售价-每件的进价）×销售量，列出函数关系式，配成顶点式求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
将 代入解析式，
可得： ，
解得： ，
；
（2）根据题意可得： ，
整理得： ，
解得： ，
，
，
∴每件商品的售价应定为30元；
（3）
，
，
时，w取最大值，且最大值为800元．
∴当每件商品的售价定为40元时，每天销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程方程应用，二次函数的应用，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式，找出题中的等量关系是解题的关键．
26．（1）y=-（x-9）2+10；（2）19米
【分析】（1）设抛物线为顶点式，再代入（0，1.9）即可求解；
（2）令y=0,，即可求解志愿军同志的手榴弹扔的距离．
【详解】（1）根据题意可得抛物线的顶点为（9，10），
可设抛物线解析式为y=a（x-9）2+10
代入（0，1.9）得1.9= a×81+10
解得a=-
∴抛物线解析式为y=-（x-9）2+10；
（2）由图可知令y=0
即-（x-9）2+10=0
解得x1=-1，x2=19
∴志愿军同志的手榴弹扔了19米．
【点睛】此题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟知求解析式的方法．
