课件10张PPT。北师大 ? 八年级《数学 (下) 》第一章 三角形的证明 1、等腰三角形（第1课时）本节课学些什么？重点:难点:2、了解作为证明基础的几条公理的内容，
掌握证明的基本步骤和书写格式。3、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。能够用综合法
证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。了解作为证明基础的几条公理的内容，
掌握证明的基本步骤和书写格式。 1、回顾与巩固上学期证明的有关内容;几何的三种语言、平行线的判定公理、定理及由它们直接推出来的结论(推论),以后可以直接运用. 【公理】同位角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.∵∠1+∠2=180? , ∴ a∥b.几何的三种语言、平行线的性质【公理】两直线平行,同位角相等.∵ a∥b, ∴ ∠1=∠2.∵ a∥b, ∴ ∠1=∠2.【性质定理 1 】两直线平行,内错角相等.【性质定理 2 】两直线平行,同旁内角互补.∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=180? .公理、定理及由它们直接推出来的结论(推论),以后可以直接运用. 有关三角形全等的一些结论【公理】三边对应相等的两个三角形全等 .(SSS)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 .全等三角形的确对应边、对应角相等.两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 .(SAS)(ASA)(AAS)【公理】【公理】【推论】【公理】运用上述公理和已经证明的定理及其推论，
我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。驶向胜利的彼岸学好几何的标志是会“证明”证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言 写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言
条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);等腰三角形的性质——的验证与证明(2) 你能动手来证明这些结论吗吗？底边顶角等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角.验证方法用折纸重叠法.以底边的中线为折痕“等边对等角”——由实验到论证(2) 你能动手来证明这些结论吗吗？(3) 你能利用已有的公理和定理
来证明“等边对等角”这一结论吗 ？把折好的纸打开不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。由此实验得到启发——折痕就是
我们用于证明时要添加的辅助线。注意千万不要忘记书写的基本格式——写“已知”、“求证”、“证明”。等腰三角形的 “三线合一”在上述问题中，折痕AD是等腰三角形ABC的怎样的线？线段AD的还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 “等边对等角”定理 的
推论：线段AD是BC边的中线、∠BAC的平分线、边BC上的高。随堂练习 学好数学的诀窍1、证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60?。做题P4课件14张PPT。北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 1. 等腰三角形
（第2课时）等腰三角形 知 识 回 顾等腰三角形顶角的平分线、
底边上的中线、底边上的高 互相重合。顶角【定义】【性质定理】【性质定理
的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;高(简称:“三线合一”)如图,在△ABC中,
∵AB=AC, ∠1=∠2 (已知).
∴BD=CD,AD⊥BC (三线合一). 左边方框中的的格式,以后可以直接运用. 如图,在△ABC中,
∵AB=AC, BD=CD (已知).
∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一).如图,在△ABC中,
∵AB=AC, AD⊥BC(已知).
∴BD=CD, ∠1=∠2 (三线合一).轮换条件∠1=∠2,
BD=CD,AD⊥BC
可得三线合一的三种不同形式的运用.”三线合一“的三种语言 及 条件的轮换图形语言高线 ?？符号语言中线 ?？符号语言角平分线 ??符号语言本节课学些什么？等腰三角形还具有哪些重要的性质?
除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?这就是本节课的学习的主要内容。实践?观察?猜想?证明画一画先画一个等腰三角形,然后在等腰三角形中作出一些线段
(如角平分线、中线、高线)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？小结顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等。“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).图形语言已知:求证:BD=CE.如图, 在△ABC中, AB=AC,
BD,CE 是△ABC角平分线.证明: ∠2= (已知),又∵∠1= ， ∴∠1=∠2(等式性质).∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）, ∠1=∠2（已证）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)“等腰三角形的两腰上中线相等”的证明证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.BM=CN.已知:求证:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,
CN是△ABC两腰上的中线.证明:“等腰三角形两腰上的高相等”的证明证明: 等腰三角形两腰上的高相等.证明: ∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),
∴∠BPC= ∠CQB=90o(高的意义).
在△BPC与△CQB中
∵∠BPC=∠CQB（已证）,
∠PCB=∠QBC（已证）,
BC=CB（公共边）,
∴△BPC≌△CQB（SAS）.
∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)已知: 如图, 在△ABC中,
AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.
求证: BP=CQ.等腰三角形中的相等的线段(2) 这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.′1.已知:如图,在△ABC中,
(1)如果∠ABD= , ∠ACE= ,
那么BD=CE吗?
如果∠ABD= , ∠ACE= 呢?
由此你能得到一个什么结论?
(2)如果AD= , AE= , 那么BD=CE吗?
(3)你能证明得到的结论吗？如果AD= , AE= 呢?
由此你能得到一个什么结论?过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.等腰三角形的 判 定 定 理你是如何思考的?
请与同伴交流你的做法.′ 2. 前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗?
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.如：作BC边上的中线；
作∠A的平分线或作BC边上的高.分析:有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.这又是一个判定两条线段相等的依据之一.结论论证命题的新思维与新方法 小明说,
在一个三角形中，如果两个角不相等,
那么这两个角所对的边也不相等.即在△ABC中, 如果∠B≠∠C,
那么AB≠AC. 你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗? 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时,AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，
因此， AB≠AC.你能理解他的证明过程吗?论证的新方法----反证法 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.
这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity)你可要结识“反证法”这个新朋友噢! 假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”
定理可得∠B=∠C .
但已知条件是∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾,
因此,AB≠AC.反证法是一种重要的数学证明方法.
在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.用反证法证题的一般步骤1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,
得出与定义，公理、已证定理或已知条件
相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,
从而肯定命题的结论正确.牛刀小试1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．2.用反证法证明：
在一个三角形中, 至少有一个内角小于或等于600.
课件18张PPT。北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 1.等腰三角形
（第3课时）驶向胜利的彼岸八仙过海一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？驶向胜利的彼岸命题的证明定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),
∴∠C=∠B=600.(等边对等角).
∴∠A=600(三角形内角和定理).
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=600.
求证:△ABC是等边三角形.几何的三种语言驶向胜利的彼岸定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=600(已知).
∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据之一.驶向胜利的彼岸命题的证明定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC,(等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知),
∴ AB=AC,(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.几何的三种语言驶向胜利的彼岸定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.在△ABC中,
∵∠A=∠B=∠C(已知),
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据之一.驶向胜利的彼岸命题的猜想1 操作:用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？30°结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你想到，在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？驶向胜利的彼岸命题的证明定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知),
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
又∵ ∠ACB=900, (已知),
∴∠ACD=900(平角意义).
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）,
∠ACB=∠ACD（已证）,
AC=AC（公共边）,
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形)
∴BC=BD/2=AB/2(等式性质).已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300.
求证:BC=AB/2.证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.几何的三种语言驶向胜利的彼岸这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300.
∴BC=AB/2.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半).学无止境这里有一个化归的数学思想——即把问题转化为一个纯数学问题.驶向胜利的彼岸分析:如图,在△ABC中AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150,CD⊥AB于D.
求:CD=?解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).
∴CD=AC/2=1/2×2a=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求:腰上的高.含300角的直角三角形驶向胜利的彼岸1.已知:如图,
在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.
求证:BD=AB/4.分析:因为∠A=300,所以BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此时若∠BCD=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得.你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?三角形,认识我吗2.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H.
(1)求证:AB=AC;
(2)试在图中标出各个角的度数;
(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.驶向胜利的彼岸胜利属于敢想敢干的人！
你能与同学们交流探索证题的全过程吗?逆向思维命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗?
如果是,请你证明它.驶向胜利的彼岸已知:如图,在△ABC中，∠ACB=900,BC=AB/2.
求证:∠A=300.逆向思维在△ABD中,∵∠ACB=900(已知),
∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
又∵BC=AB/2(已知),
BC=BD/2(作图),
∴AB=BD(等量代换).
∴AB=BD=AD(等式性质）.
∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义).
∴∠B=600(等边三角形意义).
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).驶向胜利的彼岸证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.几何的三种语言驶向胜利的彼岸这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.在△ABC中
∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),
∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).成功者的摇篮1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?成功者的摇篮1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?答:∠ADG等于150. 证明:∵DF=DC/2(中点意义),A1D=AD=CD(正方形各边都相等),∴DF=A1D/2(等量代换).∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).又∵AD∥EF(中点意义),∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等).∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).●●300回味无穷等边三角形的判定:
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
老师提醒:
反证法还认识你吗?
