课件16张PPT。北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 2. 直角三角形
（第1课时）驶向胜利的彼岸勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.驶向胜利的彼岸勾股定理的证明方法一: 拼图计算
方法二：割补法
方法三：赵爽的弦图
方法四：总统证法
方法五：青朱出入图
方法六：折纸法
方法七：拼图计算这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?总统证法驶向胜利的彼岸这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。
图中三个三角形面积的和是
2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;
比较可得:c2 = a2+b2 。伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 ．
勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！驶向胜利的彼岸勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.驶向胜利的彼岸逆定理的证明证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图),∴ AB2=A′B′2(等式性质).∴ AB=A′B′(等式性质).∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS).∴ ∠A=∠A′＝ 900(全等三角形的对应边).∴ △ABC是直角三角形(直角三角形意义).几何的三种语言驶向胜利的彼岸勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).驶向胜利的彼岸命题与逆命题直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.再观察下面三组命题:如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.驶向胜利的彼岸命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?驶向胜利的彼岸定理与逆定理一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
你还能举出一些例子吗?想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.蓄势待发驶向胜利的彼岸老师提示:
你是否能将有关命题的知识予以整理.说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假:四边形是多边形;
两直线平行,同旁内角互补;
如果ab=0,那么a=0,b=0.请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.学无止境
勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多种说明！
古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.驶向胜利的彼岸P19《读一读》：
勾股定理的证明.学无止境
历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。 驶向胜利的彼岸P19《读一读》：
勾股定理的证明.学无止境
学习永远是件快乐而有趣的事！
勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！驶向胜利的彼岸P19《读一读》：
勾股定理的证明.梦想成真1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.
试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?回味无穷勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.课件9张PPT。北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 2. 直角三角形
（第2课时）驶向胜利的彼岸三角形全等的判定公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.想一想:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如果其中一边的所对的角是直角呢?如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.请证明你的结论.驶向胜利的彼岸命题的证明命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;
由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;
因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.命题的证明驶向胜利的彼岸两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.老师期望:你能写出它的证明过程吗?
你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗?已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=900.
求证:△ABC≌△A′B′C′.分析:
要证明△ABC≌△A′B′C′,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.驶向胜利的彼岸直角三角形全等的判定定理及其三种语言定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 ,
∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知),
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).驶向胜利的彼岸用三角尺作角平分线再过点M作OA的垂线,如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线.请你证明OP平分∠AOB.●P老师期望:你能写出它的证明过程吗?已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.
求证:∠AOP=∠BOP.先把它转化为一个纯数学问题:蓄势待发驶向胜利的彼岸如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来.增加AC=BD;增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD ;增加∠CAB=∠DBA ;你能分别写出它们的证明过程吗?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?O你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?你能分别写出它们的证明过程吗?驶向胜利的彼岸知识在于积累判断下列命题的真假,并说明理由:两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两直角边对应相等的两个直角三角形全等;老师期望:
请分别将每个判断的证明过程书写出来.一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.回味无穷直角三角形全等的判定定理:
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
即(SSA)是一个假冒产品!!!课件12张PPT。1.2直角三角形（第3课时）北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1、我们已经证明过的判定两个三角形全等的方法有：
、 、 、 。SSSASAAASSAS2、判定两个直角三角形全等除了上面的方法外，还有其它的方法吗？思考探索
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”.你能证明这个结论吗？已知：如图，
在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，
AB=A′B′，AC=A′C′
求证： △ABC≌△A′B′C′说说你的证明思路。
还有其他的证明方法吗？在Rt Δ ABC和Rt Δ A′B′C′中，
AB=A′B′
AC=A′C′
∴ Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ 如图：AB＝AD，AC⊥BD，∠BAC＝30°， 求证：BC＝ AB如图：△ABC， ∠ BCA=90°, ∠BAC＝30°， 求证：BC＝ ABD你有什么发现？直角三角形30°角所对的直角边长等于斜边长的一半。直角三角形还有其他的性质吗？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，
求证：△ABC是等腰三角形。D如图AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，如果AD＝BC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明。已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.
求证:BD= AB在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．
（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 一、下列判断对吗?并说明理由:1、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 2、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;3、两直角边对应相等的两个直角三角形全等;4、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.回味无穷直角三角形全等的判定定理:
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;感悟与反思
