15.1.2分式的基本性质 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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人教版八年级数学上册 15.1.2 分式的基本性质 导学案
【知识清单】
1.分式的基本性质
　　（M为不等于0的整式）.
2．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
3．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
4．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　
【典型例题】
考点1：分式变形
例1．若，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．或
【答案】．C
【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即，
，
又分式的分母不能为0，
，
x应满足的条件是且，
故选C．
【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0．
考点2：利用分式的基本性质判断分式值的变化
例2．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【答案】．B
【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，代入求解即可．
【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，可得，
即分式的值扩大为原来的倍
故选：B
【点睛】此题考查了分式的基本性质，积的乘方，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，正确求解．
考点3：最简分式
例3．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】．C
【分析】根据和谐分式的定义去判断即可．
【详解】A. ，不符合要求；
B. ，无法因式分解，不符合要求；
C. ，符合题意；
D. ，不符合要求；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的新定义问题，熟练掌握定义是解题的关键．
考点4：约分
例4．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．C
【分析】根据最简分式的定义进行判断即可．
【详解】解：A．，故选项不是最简分式，不符合题意；
B．，故选项不是最简分式，不符合题意；
C．是最简分式，故选项符合题意；
D．，故选项不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了最简分式，分子和分母中除了1以外，没有其它公因式的分式叫做最简分式，熟练掌握最简分式的定义和分式的约分是解题的关键．
考点5：最简公分母
例5．分式，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．由此即可求解．
【详解】解：分式，的分母中，最简公分母为，
故选：．
【点睛】本题主要考查分式的最简公分母的计算方法，掌握最简公分母的概念及计算方法是解题的关键．
考点6：通分
例6．若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
【答案】．B
【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系数相等，即可求出A，B．
【详解】解：
．
∵，
∴，
∴，
得：，
∴．
将代入①中，解得：，
∴方程组的解为：．
故选B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．当时，代表的代数式是( )
A． B． C． D．
3．如果把分式中的，的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．保持不变
4．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
5．把方程中分母化整数，其结果应为( )
A． B．
C． D．
6．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
7．约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．分式和的最简公分母是（ ）
A．xy B． C． D．
9．把与通分后，的分母为，则的分子变为（）
A． B． C． D．
二、填空题
10．当，满足 时，．
11．，求的值 ．
12．计算： ．
13．约分的结果是 ．
14．分式和的最简公分母是 ．
15．把，通分，则= ， = .
三、解答题
16．填空
（1），；
（2），．
17．若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？
(1)
(2)
(3)
18．不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数：
(1)；
(2)．
19．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1)
(2)．
20．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．
(1)；
(2)．
21．约分：
(1)
(2)
22．按要求答题：
(1)约分
(2)通分，．
23．求下列各式的最简公分母，并通分．
(1)，，；
(2)，，．
参考答案
1．C
【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质再逐一分析判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，变形正确，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的约分，掌握分式的基本性质是解本题的关键．
2．B
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
3．D
【分析】把分式中的，的值都扩大为原来的倍，可得，根据分式的基本性质化简即可求得答案．
【详解】把分式中的，的值都扩大为原来的倍，可得
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，牢记分式的基本性质（分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变）是解题的关键．
4．B
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
5．D
【分析】方程利用分数的基本性质变形得到结果，即可做出判断．
【详解】解：利用分式的性质变形可得
故选：D
【点睛】本题考查了分式的性质，解题的关键是熟练掌握分式的有关性质．
6．C
【分析】根据最简分式的概念判断即可．
【详解】解：、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
7．C
【分析】首先找出分子分母的公因式，再约去即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】此题主要考查了约分，关键是正确找出分子分母的公因式．
8．C
【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．
【详解】解：分式和的最简公分母是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
9．B
【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．
【详解】解∶，
故的分子为．
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．
10．
【分析】根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：当，满足时，．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
11．
【分析】由可得，结合，再代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的求值，熟记分式的基本性质是解本题的关键．
12．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行分式的乘法，进行化简．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
13．/
【分析】根据分子分母提公因式约分即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查约分计算，掌握提公因式约分是关键．
14．
【分析】根据最简公分母的定义进行解答即可．
【详解】解：分式和的最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是理解最简公分母的定义，先找分母系数的最小公倍数，再找分母所含公共字母的最高次幂，这些数字字母的乘积就是最简公分母．
15．
【分析】先找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为即可．
【详解】解：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
16．（1），；（2）a，
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即
．
同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即．
所以，括号中应分别填：和．
（2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即
．
同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即
．
所以，括号中应分别填：a和．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
17．(1)不变
(2)不变
(3)不变
【分析】（1）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答；
（2）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答；
（3）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答．
【详解】（1）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变；
（2）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变；
（3）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质等知识点，灵活运用分式的基本性质是解答本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案；
（2）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答；
（2）根据分式的基本性质即可解答
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
20．(1)不是最简分式，化简见解析
(2)不是最简分式，化简见解析
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解.
【详解】（1）解：；
则不是最简分式；
（2）解：．
则不是最简分式．
【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
21．(1)
(2)
【分析】（1）分子分母同时约去公因式即可得到答案；
（2）分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键．
22．(1)
(2)，
【分析】（1）根据分子分母所含相同因式，直接约分即可得到答案；
（2）根据通分定义，将分母不同的分式化为分母相同的与原分式相等的分式直接通分即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，
两个分式的最简公分母为，
；．
【点睛】本题考查分式的通分、约分，熟记通分、约分的定义，掌握通分、约分运算方法是解决问题的关键．
23．(1)最简公分母为；通分后为，，
(2)最简公分母为，通分后为，，
【详解】（1）∵，，的最简公分母是
∴通分后为，，
故答案为：最简公分母为；通分后为，，
（2）∵，，
∴，，，最简公分母为，通分后为，，
【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键
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