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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第一章：直角三角形的边角关系
选择题：（每小题3分共30分）
1．在，， ，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为( )
A． B． C． D．无法计算
3．如图，在四边形中，，，，对角线平分，，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
4．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知：在锐角中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．2
7．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，在矩形纸片中，点E、F分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若，，，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．在中，，，，则的值为 ．
12．计算： ．
13．如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为 nmile（结果保留根号）．
14．如图，在 ，点E是中点，，则 ．
15．如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
三、解答题：（共55分）
16．（8分）计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)
17．（6分）（1）计算：．
（2）计算：．
18．（8分）（1）在中，，求和的长；
（2）在中，，解这个直角三角形．
19．（8分）如图，在中，，，，D为线段上一点，并且，求及的值．
20．（8分）如图，在平行四边形中，对角线交于点M，过点B作交于点N，交的延长线于点E，点D恰为的中点．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，的长为________．
21．（8分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，把绕原点O顺时针旋转，得到，记旋转角为．
（Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标．
（Ⅱ）设直线与直线相交于点M，如图②，当时，求的面积．
22．（9分）如图，和都是等边三角形，点、、三点在同一直线上，连接，，交于点．
（1）若，求证：；
（2）若，．
①求的值；
②求的长．
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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第一章：直角三角形的边角关系
选择题：（每小题3分共30分）
1．在，， ，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
∵在中，，，
∴，
故选：A．
2．如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为( )
A． B． C． D．无法计算
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
3．如图，在四边形中，，，，对角线平分，，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
解：过点作，交于点，
在中，，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴；
故选A．
4．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
解：
，
故选：B．
5．已知：在锐角中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
故选：D．
6．如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．2
解：根据题意可得，
∵为的中点，
∴，
∵是矩形，
∴，
在中，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴
故选：B．
7．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解∶ 在中，，，，
∴，
∴．
故选∶C．
8．在中，，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：在中，，，
则，
∴，
，
，
，
故选：B．
9．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，
∴
∴，
∴（1-）x=1，
∴x=．
故选C．
10．如图，在矩形纸片中，点E、F分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若，，，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
解：如图，延长交于点，过点作于， 交于点M，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．在中，，，，则的值为 ．
解：∵在中，，，，
∴，
∴．
故答案为：．
12．计算： ．
解：
故答案为：5．
13．如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为 nmile（结果保留根号）．
解：作于点，
由已知可得，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，在 ，点E是中点，，则 ．
解：在上截取，连接
设
∵
∴,
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵点E是中点
∴
∵
∴
∴,
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
15．如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
解：过点F作于点G，如图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，
∵点E是的中点，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
综上：的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：（共55分）
16．（8分）计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)
解（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
，
，
∴，
∴，；
（4）解：，
，
或，
或，
，．
17．（6分）（1）计算：．
（2）计算：．
解：（1）
；
（2）
．
18．（8分）（1）在中，，求和的长；
（2）在中，，解这个直角三角形．
解（1）解：∵在中，，即，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：在中，由勾股定理可知：，
∵，
∴，．
19．（8分）如图，在中，，，，D为线段上一点，并且，求及的值．
解：在中，，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
在中，
∴，
∴．
20．（8分）如图，在平行四边形中，对角线交于点M，过点B作交于点N，交的延长线于点E，点D恰为的中点．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，的长为________．
（1）解：在中
，，
是AE的中点，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，
．
21．（8分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，把绕原点O顺时针旋转，得到，记旋转角为．
（Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标．
（Ⅱ）设直线与直线相交于点M，如图②，当时，求的面积．
解：（Ⅰ）当α＝30°时，由已知，得OA＝1，，
∴，
∴∠ABO＝30°，
∵△A'B'O是△ABO旋转得到的，
∴，∠A'B'O＝∠ABO＝30°，
∵∠BOB'＝30°，
∴∠B'OA＝60°，
设B'C⊥x轴于点C，
∴，
．
∴点B'的坐标为；
（Ⅱ）当时，A'坐标为（0，－1），B'坐标为，
设A A'解析式为y＝kx＋b，把A、A'坐标代入得，
，
，
A A'解析式为，
同理可得B B′解析式为，
联立方程组得，，
解得，
点M的坐标为
∴．
22．（9分）如图，和都是等边三角形，点、、三点在同一直线上，连接，，交于点．
（1）若，求证：；
（2）若，．
①求的值；
②求的长．
（1）证明：，
又，，．
和均为等边三角形，
，，
，，
，．
（2）①，，，
，，
，．
，，，
过点作于点，
为等边三角形，
，．
在Rt中，，
．
②在Rt中，，
，，，
，，．
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