)圣场偏生
考使型方法茱究篇
B00
专题12角含半角模型
角含半角模型，即一个角包含着它的一半大小的角.这是几何图形中常见的一种模型
通常出现在等腰直角三角形和正方形中，可类推到一般四边形.解决类似问题的常见办法
主要是通过旋转变换把半角关系转化成等角关系，从而构造全等三角形，实现线段和角的
转化，然后得出线段之间的关系.
引例热身>》
如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC
上，且∠DAE=45°，求证：BD2+CE2=DE2
思路指引
旋转图形
转化
例热身题图
半角关系
等玉角关系
构造全等三角形
线段关系
转化
点拨分析
由∠DME=∠BAC,可知∠BAD+∠CME=∠DME,将△ABD绕
着点A逆时针旋转90°到△AFC,可得∠DAE=∠EAF,从而可构造这
两个等量角所在三角形全等，即△ADE≌△AFE(SAS),然后把边进行
引例热身题答图
转换，DE=EF.在Rt△EFC中，∠FCE=90°，∴.FC2+EC2=EF2.从而转化成BD2+CE
=DE2.还可考虑从结论入手，思考如何构造BD,CE,DE所在直角三角形.在角含半角
模型中，往往通过图形旋转构造等量角，从而构造所在三角形全等.若半角未完全含在角
内，例如上题中的点D,E其中一点不在线段BC上，而是在直线BC上，结论是否依然
成立？
典例串烧>>》
例1如图，在正方形ABCD中，点M,N分别是BC,CD边上的点，
∠MAN=45°，证明：MN=BM+DN.
思路指引
例1题图
旋转图哆
转化
半角关系
节量角关系
构进全等三角形
线段关系
转化
95
圣场偏生中考满分数学世·会·通
B00
迷津指点，将△AND绕着点A顺时针旋转90°至△AEB,证点E,B,C三点共线（或
延长CB到点E,使得EB=DN,连接AE,证△AEB≌△AND)
则∠EAM=∠MAN=45°，AE=AN,证得△AEM≌△ANM(SAS),
∴.EM=EB+BM=MN.又：EB=DN,∴.MN=BM+DN.
本题一方面从已知条件入手分析，根据题目出现的角含半角模型
构造等角；另一方面从问题入手，证线段的和差关系往往用截长补短
的方法.若半角未完全含在角内，例如上题中的点M,N其中一点不
例1题答图
在线段BC或线段CD上，而是在直线BC或直线CD上，结论是否依然成立？
大针对训练1.如图，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN分别交边CB,DC
的延长线于点M,N,求线段BM,DN和MW之间的数量关系.请写出你的猜想，并加
以证明.
针对训练1题图
96初子场锦生
中考满分数学世·会·通
09
B00
AC+BC=√10+3W2
5.过点B作BE∥DC,取BE=2,则BE=DC
作点E关于y=-x的对称点E',连接EA交y
=-x于点D.BE∥CD,BE=DC,∴四边形
45°，∴.∠DAE=∠DAB+∠CAE+∠BAC=
135°，以DE为斜边向下作等腰直角三角形
0DE,以点0为圆心，OD为半径作⊙0
DCBE为平行四边形，ED=BC.,BE=N2,
∠DOE=90°，∴.∠DOE所对的圆周角等于
.EF=1,BF=1.:点B的坐标为(-3,1)，
45.又，∠DAE=135,,弦DE所对两圆周
点E的坐标为(-4,2).点E与点E关于
角互补，.点A在弦DE所对的圆周角互补，
y=-x对称，点E的坐标为(-2,4).设直
.点A在弦DE所对的劣弧上，过点A作AP⊥
线AE的解析式为y=kx+b,根据题意，得
DE于点P,过点O作OH⊥DE于点H,连接
{-2k+b=4解得
。1
0A,则AP=2.设DH=x,则DE=2x,OH=x,
k=2':直线AE"的解析式
OA=OD=√2x,则AP+OH≤A0,可得2+x≤
0-8k+b=1,
b=5
2,≥2
DE的最小值为2x=4
为y=分+5.将=-x与y=方+5组成方
1
w2-1
2-1
42+4,.AB+BC+AC的最小值为(42+
=-x,
10
4)km.
1
程组，得
1
(y=
2x+5.
解得
.点D
10
专题12角含半角模型
31
针对训练1：
的坐标为(-号3)
1010
根据两点间的距离公
解：MN=DN-BM,理由如下：在DC上截取DF=
BM,连接AF,可证得△ABM≌△ADF,,AM=
式，得AE=√62+32=35，.四边形周长的
最小值为AB+DC+AE'=5+2+35.
6.(1)3理由如下：：AD是△ABC边BC的高，
点E是BC上任意点，AD=3,则AE的最小值
为3.
(2)AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=
2(180-120)=30、0E是4c的垂直平
AF,∠MAB=∠FAD,∴.∠MAB+∠BAF=
分线，.AD=CD,∠DAC=∠C=30°，
∠FAD+∠BAF=90°，即∠MAF=∠BAD=
∴.∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90
90°.又∠MAN=45°，∴.∠NAF=∠MAN=
在Rt△CDE中，DE=1cm,.AD=CD=2DE=
45.可证得△MAW≌△FAN,.MN=FN,即
2cm,在Rt△ABD中，BD=2AD=2CD=4cm,
MN DN -DF=DN-BM.
AB=AD tan60°=23(cm),∴.△ABD的周长
针对训练2：
为AD+BD+AB=2+4+23=6+23(cm).
解：延长BC至点E,使得CE=AK,连接BD,
(3)延长CB到点D,使得AB=DB,延长BC到
DE,易证得△ABD≌△CBD(HL),则AD=CD,
点E,使得CE=AC,连接AD,AE,,∠ADB=
∠DAB=3∠ABC,∠AEC=∠CE=7∠ACB,
AB+BC+AC=DB+BC+CE=DE,.DE的最
小值即为AB+BC+AC的最小值.∠DAB+
∠cE=(∠Ac+∠A0)=2(-∠BC)=
248
