新人教A版必修第一册高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 过关检测（含解析）

第一章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则 U(M∪N)=(　　)
A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}
2.集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=-x},则A∩B的子集的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.命题“ x>1,x>2”的否定是(　　)
A. x>1,x<2 B. x>1,x≤2
C. x≤1,x≤2 D. x>1,x≤2
4.已知全集U=R,则能正确表示集合U,M={-7,0,3},N={x|x2+5x=0}之间关系的Venn图是(　　)
5.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的 (　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　)
A.5 B.6 C.8 D.9
7.已知全集为R,若集合P={x|x<1},Q={x|2≤x≤7},则(　　)
A.P Q B. RQ P
C. RP Q D.Q RP
8.“集合A={x|x2+6x+m=0,m∈R}为空集”是“ x>0,x-m=0为真命题”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列命题中是全称量词命题,且是真命题的有(　　)
A. x∈R,x2+2>0
B. x∈N,x4≥1
C.二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点
D. a∈N,使得方程ax+1=0无实数根
10.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4A. UA={x|x<1,或36}
B. UB={x|x<2,或x≥5}
C.A∩( UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6}
D.( UA)∪B={x|x<1,或26}
11.下列说法正确的是(　　)
A.的充要条件是b2=ac
B.方程x2+2x+m=0有实根的充要条件是m≤1
C.a2+b2=2ab的充要条件是a=b
D.a+=-2的充要条件是a=-1
12.下列命题为真命题的是(　　)
A. a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0
B. a∈R, x∈R,使得ax>2
C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件
D.0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.命题“梯形是轴对称图形”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
14.已知全集U=R,集合A={x||x|<1},B=,则A∪B=　　　　　　　,A∩B=　　　　　　　
15.已知集合A={2+a2,a},B={0,1,3},且A∩B=A,则实数a=　　　　　.
16.若“函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交”是“a>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)存在实数a,使二次函数y=2x2+a的图象关于y轴对称;
(2)任何一个四边形的对边都平行.
18.(12分)已知命题p: x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.
(1)求实数a的取值集合A;
(2)设集合B={x|6m-4<2x-4<2m},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数m的取值集合.
19.(12分)请在“①充分不必要,②必要不充分,③充要”这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+m,m>0},若“x∈A”是“x∈B”成立的　　　　　　条件,判断实数m是否存在(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分).
20.(12分)设集合A={x|-1(1)若C= ,求实数a的取值范围;
(2)若C≠ ,且C (A∩B),求实数a的取值范围.
21.(12分)求证:“方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根”的充要条件是“-22.(12分)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作A×B.例如,A={1,2},B={3,4},则有:A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.
据此,试回答下列问题:
(1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D;
(2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B;
(3)若集合A中有3个元素,集合B中有4个元素,试确定A×B中有多少个元素.
第一章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则 U(M∪N)=(　　)
A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}
答案A
解析(方法一)∵M∪N={1,2,3,4},
∴ U(M∪N)={5}.
(方法二)∵ UM={3,4,5}, UN={1,2,5},
∴ U(M∪N)=( UM)∩( UN)={5}.
2.集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=-x},则A∩B的子集的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案D
解析由
即A∩B={(0,0),(-1,1)},有2个元素.
所以A∩B的子集有4个.
3.命题“ x>1,x>2”的否定是(　　)
A. x>1,x<2 B. x>1,x≤2
C. x≤1,x≤2 D. x>1,x≤2
答案B
4.已知全集U=R,则能正确表示集合U,M={-7,0,3},N={x|x2+5x=0}之间关系的Venn图是(　　)
答案A
解析由已知得N={-5,0},所以M∩N={0}.
故选A.
5.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的 (　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案B
解析当a=3时,A={1,3},满足A B;
当A B时,a=2或3,故“a=3”是“A B”的充分不必要条件.
6.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　)
A.5 B.6 C.8 D.9
答案A
解析当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
7.已知全集为R,若集合P={x|x<1},Q={x|2≤x≤7},则(　　)
A.P Q B. RQ P
C. RP Q D.Q RP
答案D
解析因为P={x|x<1},所以 RP={x|x≥1}.又Q={x|2≤x≤7},所以 RQ={x|x<2,或x>7}.结合四个选项,可知只有Q RP正确.故选D.
8.“集合A={x|x2+6x+m=0,m∈R}为空集”是“ x>0,x-m=0为真命题”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案A
解析因为集合A={x|x2+6x+m=0,m∈R}是空集,所以关于x的方程x2+6x+m=0无实根,
所以Δ=36-4m<0,解得m>9.
又因为 x>0,x-m=0为真命题,所以m>0.
因为{m|m>9} {m|m>0},
所以“m>9”是“m>0”的充分不必要条件.故选A.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列命题中是全称量词命题,且是真命题的有(　　)
A. x∈R,x2+2>0
B. x∈N,x4≥1
C.二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点
D. a∈N,使得方程ax+1=0无实数根
答案AC
解析观察选项可知,A,B,C均为全称量词命题,D为存在量词命题,排除D选项.
对A,由于 x∈R,都有x2≥0,因而x2+2>0成立,故为真命题;
对B,当x=0时,x4=0,所以x4≥1不成立,故为假命题;
对C,因为方程x2-ax-1=0对应的判别式Δ=a2+4>0恒成立,所以二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点,故为真命题.故选AC.
10.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4A. UA={x|x<1,或36}
B. UB={x|x<2,或x≥5}
C.A∩( UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6}
D.( UA)∪B={x|x<1,或26}
答案BC
解析因为集合A={x|1≤x≤3,或4所以 UA={x|x<1,或3因为B={x|2≤x<5},所以 UB={x|x<2,或x≥5},故B正确;
由 UB={x|x<2,或x≥5}可得,A∩( UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6},故C正确;
由 UA={x|x<1,或3故D错误.
11.下列说法正确的是(　　)
A.的充要条件是b2=ac
B.方程x2+2x+m=0有实根的充要条件是m≤1
C.a2+b2=2ab的充要条件是a=b
D.a+=-2的充要条件是a=-1
答案BCD
解析 b2=ac,反之,如a=b=0,则b2=ac成立,不成立,选项A不正确;
方程x2+2x+m=0有实根的充要条件是Δ=4-4m≥0,即m≤1,选项B正确;
a2+b2=2ab a2+b2-2ab=0 (a-b)2=0 a=b,选项C正确;
a+=-2 a2+2a+1=0 (a+1)2=0 a=-1,选项D正确.
12.下列命题为真命题的是(　　)
A. a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0
B. a∈R, x∈R,使得ax>2
C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件
D.0答案AD
解析A中,当a=2,b=-1时,不等式成立,所以A中命题为真命题;B中,当a=0时,0·x=0<2,不等式不成立,所以B中命题为假命题;C中,当a=0,b≠0时,a2+b2≠0成立,此时ab=0,推不出ab≠0,所以C中命题为假命题;D中,0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.命题“梯形是轴对称图形”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
答案存在一个梯形,它不是轴对称图形
14.已知全集U=R,集合A={x||x|<1},B=,则A∪B=　　　　　　　,A∩B=　　　　　　　(第一空3分,第二空2分).
答案{x|x>-1}　
15.已知集合A={2+a2,a},B={0,1,3},且A∩B=A,则实数a=　　　　　.
答案1
解析因为A∩B=A,所以A B.因为a2+2≥2,所以a2+2=3,得a=-1或a=1.当a=-1时,A={-1,3},不满足A B;当a=1时,A={1,3},满足A B.所以所求a的值为1.
16.若“函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交”是“a>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　.
答案m>3
解析因为函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交,所以a-3>0,即a>3.
由已知得{a|a>m,m∈R} {a|a>3},所以m的取值范围是m>3.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)存在实数a,使二次函数y=2x2+a的图象关于y轴对称;
(2)任何一个四边形的对边都平行.
解(1)该命题的否定是:对任意实数a,二次函数y=2x2+a的图象都不关于y轴对称.假命题.
(2)该命题的否定是:存在一个四边形,它的对边不都平行.真命题.
18.(12分)已知命题p: x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.
(1)求实数a的取值集合A;
(2)设集合B={x|6m-4<2x-4<2m},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数m的取值集合.
解(1)命题p: x∈R,ax2+2x-1=0为假命题,即方程ax2+2x-1=0无实根.
若a=0,则x=,不符合题意;
若a≠0,则Δ=4+4a<0,解得a<-1.
故实数a的取值集合A={a|a<-1}.
(2)集合B={x|3m“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,等价于集合B是集合A的真子集.
若B= ,则3m≥m+2,即m≥1,此时集合B是集合A的真子集;
若B≠ ,则m+2>3m,解得m<1,集合B是集合A的真子集,只要m+2≤-1,即m≤-3.综上可知,实数m的取值集合是{m|m≤-3或m≥1}.
19.(12分)请在“①充分不必要,②必要不充分,③充要”这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+m,m>0},若“x∈A”是“x∈B”成立的　　　　　　条件,判断实数m是否存在(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分).
解若选择条件①,即“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,于是有解得m≥5,
又m>0,所以实数m的取值范围是{m|m≥5}.
若选择条件②,即“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,
于是有解得m≤3,又m>0,
所以实数m的取值范围是{m|0若选择条件③,即“x∈A”是“x∈B”成立的充要条件,则集合A等于集合B,于是有方程组无解,所以不存在满足条件的实数m.
20.(12分)设集合A={x|-1(1)若C= ,求实数a的取值范围;
(2)若C≠ ,且C (A∩B),求实数a的取值范围.
解(1)因为C={x|1-2a即实数a的取值范围是{a}.
(2)因为C={x|1-2a所以1-2a<2a,即a>.
因为A={x|-1所以A∩B={x}.
因为C (A∩B),且C≠ ,所以解得21.(12分)求证:“方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根”的充要条件是“-证明(1)充分性:∵-∴方程x2-2x-3m=0的判别式Δ=4+12m>0,且-3m>0,
∴方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根.
(2)必要性:若方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根x1,x2,则有解得-22.(12分)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作A×B.例如,A={1,2},B={3,4},则有:A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.
据此,试回答下列问题:
(1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D;
(2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B;
(3)若集合A中有3个元素,集合B中有4个元素,试确定A×B中有多少个元素.
解(1)C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}.
(2)因为A×B={(1,2),(2,2)},
所以A={1,2},B={2}.
(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关,即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后,得到A×B中的一个新元素.
若A中有m个元素,B中有n个元素,则A×B中应有m×n个元素.于是,若集合A中有3个元素,集合B中有4个元素,则A×B中有12个元素.