新人教A版必修第一册高中数学 第2章 一元二次函数方程和不等式 过关检测（含解析）

第二章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1A.{x|-1C.{x|12.已知关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1A.1 B.-1 C.0 D.-2
3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是(　　)
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
4.已知a<0,则关于x的不等式x2-ax-12a2<0的解集为(　　)
A.{x|-3a≤x<4a} B.{x|4aC.{x|-35.已知x>-1,当x=a时,x-4+取得最小值b,则a+b等于(　　)
A.-3 B.2 C.3 D.8
6.已知关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,则m的取值范围是(　　)
A.-4≤m≤4 B.m≤-4
C.-47.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本(单位:元)与月处理量(单位:吨)之间的函数关系可近似的表示为y=x2-300x+80 000,为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为(　　)
A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨
8.已知x,y为正实数,且x+y+=5,则x+y的最大值是(　　)
A.3 B. C.4 D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(　　)
A. B.a2>b2
C. D.a|c|≥b|c|
10.下列不等式的解集是空集的是(　　)
A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0
C.2x-x2>5 D.x2+x<-2
11.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1A.x1x2+x1+x2<0的解集为{a|-B.x1x2+x1+x2的最小值为-
C.x1+x2+的最大值为-
D.x1+x2+的最小值为
12.已知a,b是两个不相等的正实数,且a+b=1,则下列结论正确的是(　　)
A.2ab< B.<2ab
C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知x,y都是正数,如果xy=15,那么x+y的最小值是　　　　　;如果x+y=15,那么xy的最大值是　　　　　(第一空2分,第二空3分).
14.若关于x的不等式kx2-6kx+(k+8)≥0在R上恒成立,则k的取值范围为　　　　　.
15.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-3或x>1},则ba=　　　　　,一元二次不等式ax2+bx+1<0的解集为　　　　　(第一空2分,第二空3分).
16.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)解下列不等式:
(1)≥1;(2)6-2x≤x2-3x<18.
18.(12分)已知x,y都是正数.
(1)若3x+2y=12,求xy的最大值;
(2)若x+2y=3,求的最小值.
19.(12分)已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)若对x∈R不等式恒成立,则是否存在这样的实数m 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若对一切满足-2≤m≤2的实数m,不等式恒成立,求x的取值范围.
20.(12分)已知关于x的不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
21.(12分)设a>0,b>0,c>0,ab+bc+ca=1.求证:
(1);
(2)a+b+c≥.
22.(12分)某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,那么该产品的年销售量是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2023年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大 最大利润为多少
第二章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1A.{x|-1C.{x|1答案A
解析A={x|-12.已知关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1A.1 B.-1 C.0 D.-2
答案C
解析由题意知解得
故a+b=0.
3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是(　　)
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
答案B
解析∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,∴-1∴-a>a2>0,而a<-a2<0,
∴-a>a2>-a2>a.
4.已知a<0,则关于x的不等式x2-ax-12a2<0的解集为(　　)
A.{x|-3a≤x<4a} B.{x|4aC.{x|-3答案B
解析关于x的方程x2-ax-12a2=0的两根为4a,-3a,∵a<0,∴4a<-3a,故不等式的解集为{x|4a5.已知x>-1,当x=a时,x-4+取得最小值b,则a+b等于(　　)
A.-3 B.2 C.3 D.8
答案C
解析x-4+=(x+1)+-5.
因为x>-1,所以x+1>0,
所以(x+1)+-5≥2-5=2×3-5=1,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
此时a=2,b=1,所以a+b=3.
6.已知关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,则m的取值范围是(　　)
A.-4≤m≤4 B.m≤-4
C.-4答案A
解析∵关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,∴关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的判别式Δ=(m-2)2-4(5-m)≤0,即m2≤16,解得-4≤m≤4.
7.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本(单位:元)与月处理量(单位:吨)之间的函数关系可近似的表示为y=x2-300x+80 000,为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为(　　)
A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨
答案B
解析由题知300≤x≤600,
y=x2-300x+80000,
∴x+-300≥2-300=100,当且仅当x=,解得x=400.
∴为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为400吨.
8.已知x,y为正实数,且x+y+=5,则x+y的最大值是(　　)
A.3 B. C.4 D.
答案C
解析∵x+y+=5,
∴(x+y)[5-(x+y)]=(x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当x=y时,取等号.
∴(x+y)2-5(x+y)+4≤0,∴1≤x+y≤4.
∴x+y的最大值为4.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(　　)
A. B.a2>b2
C. D.a|c|≥b|c|
答案CD
解析对于A,若a>0>b,则>0,<0,
此时,∴A中不等式不成立;
对于B,若a=1,b=-2,则a2对于C,∵c2+1≥1,∴>0,又a>b,
∴恒成立,∴C中不等式成立;
对于D,∵a>b,|c|≥0,
∴a|c|≥b|c|,
∴D中不等式成立.
10.下列不等式的解集是空集的是(　　)
A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0
C.2x-x2>5 D.x2+x<-2
答案CD
解析根据题意,依次分析选项,对于A,x2-x+1=>0恒成立,其解集为R;对于B,-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,方程2x2-x-1=0的判别式Δ>0,其解集不是空集;对于C,2x-x2>5,即x2-2x+5<0,其对应方程x2-2x+5=0的判别式Δ=-16<0,其解集为空集;对于D,x2+x<-2,即x2+x+2<0,其对应方程x2+x+2=0的判别式Δ<0,其解集是空集.故选CD.
11.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1A.x1x2+x1+x2<0的解集为{a|-B.x1x2+x1+x2的最小值为-
C.x1+x2+的最大值为-
D.x1+x2+的最小值为
答案ABC
解析∵x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1∴x1,x2为方程x2-4ax+3a2=0的两根.
∴x1+x2=4a,x1x2=3a2,
∴x1x2+x1+x2=3a2+4a.
由3a2+4a<0,解得-由3a2+4a=3(a+)2-知,当a=-时,取得最小值-,故B正确;
又x1+x2+=4a+,a<0,
∴4a+=-[(-4a)+(-)]≤-2=-,故C正确;
∵a<0,∴4a+<0,故D不正确.故选ABC.
12.已知a,b是两个不相等的正实数,且a+b=1,则下列结论正确的是(　　)
A.2ab< B.<2ab
C. D.
答案AD
解析∵a>0,b>0,a≠b,且a+b=1,
∴a2+b2>,∴ab<,∴2ab<,
∴a2+b2>>2ab,
而=(a2+b2)(a+b)=a2+b2.故选AD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知x,y都是正数,如果xy=15,那么x+y的最小值是　　　　　;如果x+y=15,那么xy的最大值是　　　　　(第一空2分,第二空3分).
答案2
解析x+y≥2=2,
即x+y的最小值是2;当且仅当x=y=时,取等号.
xy≤,
即xy的最大值是.
当且仅当x=y=时,取等号.
14.若关于x的不等式kx2-6kx+(k+8)≥0在R上恒成立,则k的取值范围为　　　　　.
答案0≤k≤1
解析当k=0时,显然8≥0恒成立;
当k≠0时,则k>0,且方程kx2-6kx+(k+8)=0的判别式Δ≤0,即解得0综上所述,k的取值范围是0≤k≤1.
15.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-3或x>1},则ba=　　　　　,一元二次不等式ax2+bx+1<0的解集为　　　　　(第一空2分,第二空3分).
答案9　{x|解析由题意知,-3和1是方程x2+ax+b=0的两根,所以解得故ba=(-3)2=9.不等式ax2+bx+1<0,即2x2-3x+1<0.
解得16.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　　.
答案4
解析∵a>0,∴(x+y)=1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,取等号.
由条件知a+2+1≥9,解得a≥4.
故正实数a的最小值为4.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)解下列不等式:
(1)≥1;(2)6-2x≤x2-3x<18.
解(1)∵≥1,∴-1≥0,
∴≥0,此不等式等价于(x+3)(x-2)≥0,且x-2≠0,解得x>2或x≤-3,
∴原不等式的解集为{x|x>2,或x≤-3}.
(2)原不等式等价于不等式组
解①得x≤-2,或x≥3,解②得-318.(12分)已知x,y都是正数.
(1)若3x+2y=12,求xy的最大值;
(2)若x+2y=3,求的最小值.
解(1)xy=·3x·2y≤=6.
当且仅当时,取等号.
所以xy的最大值为6.
(2)(x+2y)=≥=1+.
当且仅当
即时,取等号.
所以,的最小值为1+.
19.(12分)已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)若对x∈R不等式恒成立,则是否存在这样的实数m 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若对一切满足-2≤m≤2的实数m,不等式恒成立,求x的取值范围.
解(1)不等式mx2-2x-m+1<0对x∈R恒成立,即函数y=mx2-2x-m+1的图象在x轴下方.
当m=0时,不等式变为1-2x<0,对x∈R不恒成立,故m=0不满足题意;
当m≠0时,函数y=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足其函数图象开口向下,且对应方程mx2-2x-m+1=0无解,即则m无解.综上可知,不存在这样的m,使不等式恒成立.
(2)设y=(x2-1)m+(1-2x),
当x2-1=0,即x=±1时,检验得x=1符合题意;当x2≠1时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是一条直线,由题意知当-2≤m≤2时,该直线在x轴下方,所以
解①,得x<或x>,
解②,得由①②,得综上可得x的取值范围为{x20.(12分)已知关于x的不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
解(1)由题意知,a>0,且1和b是关于x的方程ax2-3x+2=0的两根,则解得
(2)由(1)知关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0即为x2-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
故当c>2时,原不等式的解集为{x|2当c<2时,原不等式的解集为{x|c当c=2时,原不等式无解,即原不等式的解集为 .
21.(12分)设a>0,b>0,c>0,ab+bc+ca=1.求证:
(1);
(2)a+b+c≥.
证明(1)(方法一)要证,即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,三式相加即得a2+b2+c2≥ab+bc+ac,
所以.
(方法二)因为a>0,b>0,c>0,所以≥2≥2≥2,当且仅当,即a=b=c时,等号成立.
三个式子相加,得2≥2,故.
(2)由(1)可得,a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1.
因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2,所以(a+b+c)2≥3,即a+b+c≥.
22.(12分)某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,那么该产品的年销售量是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2023年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大 最大利润为多少
解设2023年该产品利润为y万元.
由题意,可知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,解得k=2,
∴x=3-.
又每件产品的销售价格为1.5×元,
∴y=x(1.5×)-(8+16x+m)
=4+8x-m=4+8(3-)-m
=-+29.
∵m≥0,∴+(m+1)≥2=8,
当且仅当=m+1,即m=3时,等号成立,
∴y≤-8+29=21,
∴ymax=21.
故该厂家2023年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.