新人教A版必修第一册高中数学 第3章 函数的概念与性质 过关检测（含答案）

第三章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下表给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(1)=(　　)
x -1 0 1 4 7 8
y 0 π 1 -3 1
A.π B.4 C.8 D.0
2.设函数f(x)=则f(f(3))=(　　)
A. B.3 C. D.
3.已知某幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,+∞)
4.若函数f(x)=,则函数y=f(4x-3)的定义域是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.
C. D.
5.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
6.已知函数y=f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减.若f(3)=0,则<0的解集为(　　)
A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
7.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m的值(　　)
A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关
8.若定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则(　　)
A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数
B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数
D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为R
C.f(x)为奇函数
D.f(x)为增函数
10.已知定义在R上的偶函数f(x),当x∈[1,2]时,f(x)<0,且f(x)单调递增,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)在区间[-2,-1]上单调递增
B.当x∈[-2,-1]时,有f(x)<0
C.f(x)在区间[-2,-1]上单调递减
D.|f(x)|在区间[-2,-1]上单调递减
11.已知函数f(x)=若存在互不相等的实数a,b,c,当aA.a的取值范围为(-1,0)
B.b+c为定值
C.a+b+c为定值
D.bc的取值范围为(0,1)
12.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论中正确的是(　　)
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.方程f(x)-=0有无数个根
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+mx,则x∈(0,+∞)时,f(x)=　　　　　.若f(2)=-3,则m的值为　　　　　(第一空3分,第二空2分).
14.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=　　　　　.
15.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在区间[0,+∞)上单调递减,设f(-)=m,f(a2+2a+)=n,则m,n的大小关系是　　　　　.
16.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则m的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=
(1)求f,f,f(-1)的值;
(2)画出这个函数的图象;
(3)求f(x)的最大值.
18.(12分)已知函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],求该函数的解析式.
19.(12分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减.
20.(12分)若f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切x>0,y>0,满足f=f(x)-f(y).
(1)求f(1);
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f<2.
21.(12分)已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=3.
(1)求函数f(x)和g(x);
(2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)+g(x)在区间(0,]上的最小值.
22.(12分)某公司生产的A种产品,它的成本是2元/件,售价是3元/件,月销售量为10万件.为了获得更好的效益.公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每月投入的广告费为x(单位:万元)时,产品的月销售量将是原来的t倍,且t是关于x的二次函数,它们的关系如下表:
x/万元 0 1 2 …
t 1 1.5 1.8 …
(1)求t关于x的函数解析式.
(2)如果把利润看作是销售总额减去生产成本和广告费,试写出月利润S(单位:万元)关于月广告费x(单位:万元)的函数解析式.
(3)如果投入的月广告费x在区间[1,2]上,问广告费为多少万元时,公司可获得最大月利润 并求出最大月利润为多少万元.
第三章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下表给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(1)=(　　)
x -1 0 1 4 7 8
y 0 π 1 -3 1
A.π B.4 C.8 D.0
答案A
2.设函数f(x)=则f(f(3))=(　　)
A. B.3 C. D.
答案D
解析因为3>1,所以f(3)=.
又因为<1,所以f+1=.
于是f(f(3))=f.
3.已知某幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,+∞)
答案C
解析设该幂函数为y=xα,则2α=,解得α=-2,所以y=x-2.
因为y=x-2为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,所以y=x-2在区间(-∞,0)上单调递增.故选C.
4.若函数f(x)=,则函数y=f(4x-3)的定义域是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.
C. D.
答案C
解析因为f(x)=,所以其定义域为[0,+∞).令4x-3≥0,解得x≥,所以函数y=f(4x-3)的定义域是.
5.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
答案B
解析函数f(x)==-1+,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).
将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.
6.已知函数y=f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减.若f(3)=0,则<0的解集为(　　)
A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
答案C
解析∵f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),故<0可化为<0.
又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,且f(3)=0,结合图象(图略)知,
当x>3时,f(x)<0;当-30.
故<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
7.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m的值(　　)
A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关
答案B
解析因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关.故选B.
8.若定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则(　　)
A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数
B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数
D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
答案B
解析∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=0,可得f(0)=0,
∴令x2=-x1,得f(x1)+f(-x1)=f(0)=0,
即f(-x1)=-f(x1),
∴f(x)为奇函数.
令x2>x1,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为R
C.f(x)为奇函数
D.f(x)为增函数
答案ACD
10.已知定义在R上的偶函数f(x),当x∈[1,2]时,f(x)<0,且f(x)单调递增,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)在区间[-2,-1]上单调递增
B.当x∈[-2,-1]时,有f(x)<0
C.f(x)在区间[-2,-1]上单调递减
D.|f(x)|在区间[-2,-1]上单调递减
答案BC
解析因为f(x)为定义在R上的偶函数,且当x∈[1,2]时,f(x)<0,f(x)单调递增,由偶函数图象的对称性知,f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,且当x∈[-2,-1]时,f(x)<0.所以当x∈[-2,-1]时,|f(x)|单调递增.故选BC.
11.已知函数f(x)=若存在互不相等的实数a,b,c,当aA.a的取值范围为(-1,0)
B.b+c为定值
C.a+b+c为定值
D.bc的取值范围为(0,1)
答案ABD
解析根据题意,作出函数y=f(x)的图象,如图所示.
由题意及图可知-1由二次函数图象的对称性可知b+c=2,
则bc=b(2-b)=-(b-1)2+1.
又012.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论中正确的是(　　)
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.方程f(x)-=0有无数个根
答案ACD
解析f(-3.9)=(-3.9)-[-3.9]=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-4=0.1,A中结论正确;
显然x-1<[x]≤x,因此0≤x-[x]<1,∴f(x)无最大值,但有最小值且最小值为0,B中结论错误,C中结论正确;
方程f(x)-=0的解为x=k+(k∈Z),D中结论正确.故选ACD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+mx,则x∈(0,+∞)时,f(x)=　　　　　.若f(2)=-3,则m的值为　　　　　(第一空3分,第二空2分).
答案-x2+mx　
解析设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2+m(-x)=x2-mx.
又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x)=-x2+mx.
因为f(2)=-3,f(x)为奇函数,
所以f(-2)=3,又f(-2)=(-2)2-2m=4-2m,所以4-2m=3,解得m=.
14.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=　　　　　.
答案-6
解析f(x)=|2x+a|=
∵函数f(x)的单调递增区间是[3,+∞),
∴-=3,即a=-6.
15.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在区间[0,+∞)上单调递减,设f(-)=m,f(a2+2a+)=n,则m,n的大小关系是　　　　　.
答案m≥n
解析因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且a2+2a+=(a+1)2+,
所以f(a2+2a+)≤f().
又因为f(x)为偶函数,所以f(-)=f(),即m≥n.
16.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则m的取值范围是　　　　　.
答案[2,4]
解析函数y=x2-4x-4的大致图象如图,f(0)=f(4)=-4,f(2)=-8.
因为函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],所以m的取值范围是[2,4].
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=
(1)求f,f,f(-1)的值;
(2)画出这个函数的图象;
(3)求f(x)的最大值.
解(1)f=(-2)×+8=5,f+5=,f(-1)=-3+5=2.
(2)作出函数f(x)的图象,如图所示(实线部分).
(3)由函数f(x)的图象可知,当x=1时,f(x)取得最大值,且最大值为6.
18.(12分)已知函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],求该函数的解析式.
解由题意,可得f(-x)=f(x),且f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2,
∴b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2+(2a+ab)x+2a2,
∴-(2a+ab)=2a+ab,即2a+ab=0.
∴a=0或b=-2.
当a=0时,f(x)=bx2.
∵f(x)的值域为(-∞,4],
而y=bx2的值域不可能为(-∞,4],∴a≠0.
当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为(-∞,2a2].
∴2a2=4.∴a2=2.∴f(x)=-2x2+4.
19.(12分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减.
(1)解因为f(x)=是定义在R上的奇函数,所以一定有f(0)=0,得b=0,又f(1)=1,得a=2,所以f(x)=.
(2)证明设x1因为x1-x2<0,(+1)(+1)>0,
若x1,x2∈[0,1],且x10,此时f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)若x1,x2∈[1,+∞),且x11,1-x1x2<0,此时f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减.
20.(12分)若f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切x>0,y>0,满足f=f(x)-f(y).
(1)求f(1);
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f<2.
解(1)令x=y=1,∵f=f(x)-f(y),
∴f(1)=f(1)-f(1),得f(1)=0.
(2)由题意,得f(x+3)-f<2f(6),
∴在区间(0,+∞)内,有f[(x+3)·x]-f(6)∴f∵f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
∴解得021.(12分)已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=3.
(1)求函数f(x)和g(x);
(2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)+g(x)在区间(0,]上的最小值.
解(1)设f(x)=k1x,g(x)=,其中k1k2≠0.
∵f(1)=1,g(1)=3,∴k1×1=1,=3,
∴k1=1,k2=3.∴f(x)=x,g(x)=.
(2)设h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=x+,
∴函数h(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
∵h(-x)=-x+=-=-h(x),
∴函数h(x)是奇函数,即函数f(x)+g(x)是奇函数.
(3)由(2)知h(x)=f(x)+g(x)=x+.
设x1,x2是区间(0,]上的任意两个实数,且x1=(x1-x2)+=(x1-x2)=.
∵x1,x2∈(0,],且x1∴x1-x2<0,0∴x1x2-3<0,∴(x1-x2)(x1x2-3)>0.
∴h(x1)>h(x2).
∴函数h(x)在区间(0,]上单调递减,
∴函数h(x)在区间(0,]上的最小值为h()=2,即函数f(x)+g(x)在区间(0,]上的最小值为2.
22.(12分)某公司生产的A种产品,它的成本是2元/件,售价是3元/件,月销售量为10万件.为了获得更好的效益.公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每月投入的广告费为x(单位:万元)时,产品的月销售量将是原来的t倍,且t是关于x的二次函数,它们的关系如下表:
x/万元 0 1 2 …
t 1 1.5 1.8 …
(1)求t关于x的函数解析式.
(2)如果把利润看作是销售总额减去生产成本和广告费,试写出月利润S(单位:万元)关于月广告费x(单位:万元)的函数解析式.
(3)如果投入的月广告费x在区间[1,2]上,问广告费为多少万元时,公司可获得最大月利润 并求出最大月利润为多少万元.
解(1)设二次函数的解析式为t=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得
∴所求函数的解析式为t=-0.1x2+0.6x+1(x≥0).
(2)根据题意得S=10t·(3-2)-x,
∴S=-x2+5x+10(x≥0).
(3)S=-x2+5x+10=-.
∵1≤x≤2,S随x的增大而增大,
∴当x=2时,S取得最大值为16.
故当月广告费为2万元时,公司可获得最大月利润,且最大月利润为16万元.