新人教A版必修第一册高中数学 第4章 指数函数与对数函数 过关检测（含解析）

第四章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　)
A.(0,1)
B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
2.函数y=lox,x∈(0,8]的值域是(　　)
A.[-3,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-∞,3]
3.函数f(x)=的零点是(　　)
A.1 B.-1 C.±1 D.0
4.若2A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1
5.设f(x)=3x-x2,则下列区间中,使函数f(x)有零点的是(　　)
A.[0,1] B.[1,2]
C.[-2,-1] D.[-1,0]
6.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-17.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.a8.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-1,3) B.(-1,3]
C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　)
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C. D.
10.有一组实验数据如下表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型不适合的有(　　)
A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
11.已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(3-x),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(-1,3)内单调递增
B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
C.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f(x)的值域为R
12.已知函数f(x)=则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,其中正确的是(　　)
A.当k>0时,有3个零点
B.当k<0时,有2个零点
C.当k>0时,有4个零点
D.当k<0时,有1个零点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=　　　　　.
14.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,则a的取值范围是　　　　　.
15.某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=　　　　　,经过5 h,1个病毒能繁殖为　　　　　个(第一空2分,第二空3分).
16.已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(1)计算:+(lg 5)0+;
(2)解方程:log3(6x-9)=3.
18.(12分)已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有两个零点x1,x2,且满足019.(12分)已知函数y=log4(2x+3-x2).
(1)求函数的定义域;
(2)求y的最大值,并求取得最大值时的x值.
20.(12分)直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型营销模式.据统计,某职业主播的粉丝量不低于2万人时,其商品销售利润y(单位:万元)随粉丝量x(单位:万人)的变化情况如表所示:
x/万人 2 3 5
y/万元
(1)根据表中数据,分别用模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R)和②y=c+d(c,n,d∈R)求y关于x的函数解析式.
(2)已知该主播的粉丝量为9万人时,商品销售利润为3.3万元,你认为(1)中哪个函数模型更合理 说明理由.(参考数据:≈7.55)
21.(12分)已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明.
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
22.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)在R上为减函数;
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
第四章过关检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　)
A.(0,1)
B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
答案C
解析由题意,可知x2-x>0,得x>1或x<0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
2.函数y=lox,x∈(0,8]的值域是(　　)
A.[-3,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-∞,3]
答案A
解析∵函数y=lox在定义域内单调递减,又x∈(0,8],∴lox≥lo8,∴lox≥-3,∴y≥-3.
3.函数f(x)=的零点是(　　)
A.1 B.-1 C.±1 D.0
答案B
解析令f(x)=0,得=0,
即x+1=0,所以x=-1.
4.若2A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1
答案C
解析∵2∴=|2-a|=a-2,=|3-a|=3-a,
∴原式=a-2+3-a=1.故选C.
5.设f(x)=3x-x2,则下列区间中,使函数f(x)有零点的是(　　)
A.[0,1] B.[1,2]
C.[-2,-1] D.[-1,0]
答案D
解析∵f(-1)=3-1-(-1)2=-1=-<0,f(0)=30-02=1>0,
∴f(-1)f(0)<0,
∴有零点的区间是[-1,0].
6.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-1答案C
解析令g(x)=y=log2(x+1),在同一直角坐标系中画出函数g(x)的图象如图所示.易得线段BC在直线x+y=2上,由
结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-17.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.a答案B
解析由f(x)为偶函数得m=0,所以a=f(log0.53)=-1=-1=2.
b=f(log25)=-1=-1=4,c=f(0)=2|0|-1=0,所以c8.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-1,3) B.(-1,3]
C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)
答案A
解析由题意可知,函数y=f(x)-m有两个不同的零点,等价于函数f(x)=的图象与直线y=m有两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象,如图所示.
由图象可知,-1二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　)
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C. D.
答案AD
解析依题意设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k.
对于A,ab+bc=2ac,即=2.
因为=log69+log64=log636=2,故A中等式成立,B中等式不成立;
对于C,=2logk4+logk6=logk96≠=2logk9=logk81,故C中等式不成立;
对于D,=2logk6-logk4=logk=logk9=,故D中等式成立.
10.有一组实验数据如下表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型不适合的有(　　)
A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
答案ABD
解析由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变,故选ABD.
11.已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(3-x),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(-1,3)内单调递增
B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
C.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f(x)的值域为R
答案ACD
解析f(x)的定义域是(-1,3),f(x)=ln,令t(x)=-1(x∈(-1,3)),则t(x)∈(0,+∞),且t(x)在区间(-1,3)内单调递增,所以f(x)=lnt(x)在区间(-1,3)内单调递增,且值域为R,故A,D正确;
又f(1+x)=ln,f(1-x)=ln,所以对定义域内的任意x,有f(1+x)=-f(1-x),而f(1+x)≠f(1-x)(只有当x=0时,才有f(1+x)=f(1-x)),故B不正确,C正确.故选ACD.
12.已知函数f(x)=则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,其中正确的是(　　)
A.当k>0时,有3个零点
B.当k<0时,有2个零点
C.当k>0时,有4个零点
D.当k<0时,有1个零点
答案CD
解析由y=f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,设f(x)=t,则方程f(f(x))=-1等价于f(t)=-1.
①若k>0,作出函数f(x)的图象如图①.
则此时方程f(t)=-1有两个根,其中t2<0,0图①
图②
②若k<0,作出函数f(x)的图象如图②.
则此时方程f(t)=-1有一个根t3,且0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=　　　　　.
答案log32
解析当x∈(-∞,1]时,f(x)∈(0,3];
当x∈(1,+∞)时,f(x)∈(-∞,-1).
∵f(x)=2,∴3x=2 x=log32.
14.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,则a的取值范围是　　　　　.
答案(-∞,2)
解析设f(x)=3x2-5x+a.
由题意知,f(1)<0,即-2+a<0,得a<2.
15.某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=　　　　　,经过5 h,1个病毒能繁殖为　　　　　个(第一空2分,第二空3分).
答案2ln 2　1 024
解析当t=0.5时,y=2.
则2=,得k=2ln2,于是y=e2tln2.
故当t=5时,y=e10ln2=210=1024.
16.已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案[1,+∞)
解析由题意知,log2(x+a)=0在区间(-∞,0]上有一个根,x2-3ax+a=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的根.
由log2(x+a)=0,得x=1-a,所以1-a≤0,所以a≥1;
x2-3ax+a=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的根,所以实数a满足解得a>.
综上所述,实数a的取值范围为[1,+∞).
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(1)计算:+(lg 5)0+;
(2)解方程:log3(6x-9)=3.
解(1)原式=+(lg5)0++1+=4.
(2)由方程log3(6x-9)=3,得6x-9=33=27,
则6x=36=62,得x=2.
经检验,x=2是原方程的解.
故原方程的解为x=2.
18.(12分)已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有两个零点x1,x2,且满足0解由题意可得
即
解得-故实数m的取值范围为-,-.
19.(12分)已知函数y=log4(2x+3-x2).
(1)求函数的定义域;
(2)求y的最大值,并求取得最大值时的x值.
解(1)由2x+3-x2>0,解得-1所以函数的定义域为{x|-1(2)原函数为y=log4u,u=2x+3-x2(-1因为u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4,
所以y=log4(2x+3-x2)≤log44=1.
所以y的最大值为1,此时x=1.
20.(12分)直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型营销模式.据统计,某职业主播的粉丝量不低于2万人时,其商品销售利润y(单位:万元)随粉丝量x(单位:万人)的变化情况如表所示:
x/万人 2 3 5
y/万元
(1)根据表中数据,分别用模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R)和②y=c+d(c,n,d∈R)求y关于x的函数解析式.
(2)已知该主播的粉丝量为9万人时,商品销售利润为3.3万元,你认为(1)中哪个函数模型更合理 说明理由.(参考数据:≈7.55)
解(1)对于模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R),
由题意得解得
所以y=log2(x-1)+(x≥2).
对于模型②y=c+d(c,n,d∈R),
由题意得解得
所以y=(x≥2).
(2)对于函数y=log2(x-1)+(x≥2),当x=9时,y==3.25.
对于函数y=(x≥2),当x=9时,y=.
因为-3.3≈0.225>|3.25-3.3|=0.05,
所以选择模型①更合理.
21.(12分)已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明.
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.证明如下:设x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=<0,
所以f(x1)故函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.
(2)由(1)可得,g(x)=+log2x-2,易知g(x)在区间(1,2)内单调递增,且g(1)=+log21-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,所以函数g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点x0.
因为g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2<0,
所以x0∈(1.5,2).
又因为g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2>0,
所以x0∈(1.5,1.75).
又1.75-1.5=0.25<0.3,所以g(x)的精确度为0.3的零点的近似值可取1.5.
(注:函数g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]上的任意一个数都可以)
22.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)在R上为减函数;
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
(1)解因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,得b=1,
又f(-1)=-f(1),即=-,得a=1.
经检验a=1,b=1符合题意.
(2)证明由(1)可知,f(x)=.
任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=.
因为x10.
又(+1)(+1)>0,所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)为R上的减函数.
(3)解因为t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k).
因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)因为f(x)为R上的减函数,所以t2-2t>k-2t2,
即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3(t-)2-≥-,
所以k<-,即k的取值范围为(-∞,-).