第1课时 集合的相关概念
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)现有以下说法,其中正确的是( )
A.接近于0的数的全体构成一个集合
B.正方体的全体构成一个集合
C.未来世界的高科技产品构成一个集合
D.不大于3的所有自然数构成一个集合
2.已知集合A中有4个元素0,1,2,3,集合B中有3个元素0,1,2,且元素a∈A,a B,则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
4.下列说法正确的个数为( )
①N中最小的元素是1;
②若a∈N,则-a N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知集合M中含有2个元素x+1,x2-2x-3,则x满足的条件是( )
A.x≠-1 B.x≠4
C.x=-1或x=4 D.x≠-1,且x≠4
6.由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若集合A中含有3个元素a-3,2a-1,a2-4,且-3∈A,则实数a的值为 .
8.已知方程x2-2x-3=0的解与集合A中的元素相同,若集合A中的元素是a,b,则a+b= .
9.已知集合A中含有2个元素x,y,集合B中含有2个元素0,x2,若集合A与集合B相等,求实数x,y的值.
能力提升
1.由a2,2-a,4组成一个集合A,若A中含有3个元素,则实数a可以是( )
A.1 B.-2 C.6 D.2
2.已知集合A中的元素x满足x=2k+1(k∈Z),则下列关系正确的是( )
A.-1 A B.2∈A
C.3∈A D.∈A
3.已知集合M是关于x的方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列结论正确的是( )
A.0∈M B.1∈M
C.-2∈M D.-1∈M
4.已知集合P中含有1,2,3三个元素,集合Q中含有4,5,6三个元素.定义集合P+Q中的元素为a+b,其中a∈P,b∈Q,则集合P+Q中的元素个数是( )
A.5 B.6 C.8 D.9
5.已知a,b是非零的实数,代数式的值组成的集合是M,则下列结论正确的是( )
A.0∈M
B.-1∈M
C.3 M
D.1∈M
6.已知集合P中元素x满足:x∈N,且2
7.已知集合A中含有3个元素1,a+b,a,集合B中含有3个元素0,,b.若集合A与集合B相等,则b-a的值为 .
8.已知集合A中有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A,且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值 若能,则求出a的值;若不能,则说明理由.
第1课时 集合的相关概念
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)现有以下说法,其中正确的是( )
A.接近于0的数的全体构成一个集合
B.正方体的全体构成一个集合
C.未来世界的高科技产品构成一个集合
D.不大于3的所有自然数构成一个集合
答案BD
解析A,C不符合集合中元素的确定性,B,D有确定性.
2.已知集合A中有4个元素0,1,2,3,集合B中有3个元素0,1,2,且元素a∈A,a B,则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案D
3.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
答案C
4.下列说法正确的个数为( )
①N中最小的元素是1;
②若a∈N,则-a N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案A
解析自然数集中最小的元素是0,故①③中的说法错误;对于②,若a∈N,即a是自然数,当a=0时,-a仍为自然数,所以②中说法错误.故选A.
5.已知集合M中含有2个元素x+1,x2-2x-3,则x满足的条件是( )
A.x≠-1 B.x≠4
C.x=-1或x=4 D.x≠-1,且x≠4
答案D
解析由集合中元素的互异性知,x+1≠x2-2x-3,解得x≠-1,且x≠4.故选D.
6.由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案B
解析当a=0时,这4个数都是0,所组成的集合只含有1个元素0;当a≠0时,=|a|=所以一定与a或-a中的一个相等,故组成的集合中有2个元素.故选B.
7.若集合A中含有3个元素a-3,2a-1,a2-4,且-3∈A,则实数a的值为 .
答案0或1
解析①若a-3=-3,则a=0,此时集合A中元素为-3,-1,-4,满足题意.
②若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中元素为-4,-3,-3,不满足元素的互异性.
③若a2-4=-3,则a=±1.
当a=1时,A中元素为-2,1,-3,满足题意;
当a=-1时,由②知不符合题意.
综上可知,a=0或a=1.
8.已知方程x2-2x-3=0的解与集合A中的元素相同,若集合A中的元素是a,b,则a+b= .
答案2
解析由题意知,a+b的值为方程x2-2x-3=0的两根之和,故a+b=2.
9.已知集合A中含有2个元素x,y,集合B中含有2个元素0,x2,若集合A与集合B相等,求实数x,y的值.
解因为集合A,B相等,则x=0或y=0.
①当x=0时,x2=0,集合B中元素为0,0,不满足集合中元素的互异性,故x=0不符合题意.
②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.
由①知x=0不符合题意.
综上知,x=1,y=0.
能力提升
1.由a2,2-a,4组成一个集合A,若A中含有3个元素,则实数a可以是( )
A.1 B.-2 C.6 D.2
答案C
解析由题设知a2,2-a,4互不相等,即解得a≠-2,a≠1,且a≠2.结合四个选项可知,选C.
2.已知集合A中的元素x满足x=2k+1(k∈Z),则下列关系正确的是( )
A.-1 A B.2∈A
C.3∈A D.∈A
答案C
解析令2k+1=-1,解得k=-1∈Z,所以-1∈A,故A不正确;令2k+1=2,解得k= Z,所以2 A,故B不正确;令2k+1=3,解得k=1∈Z,所以3∈A,故C正确;令2k+1=,解得k= Z,所以 A,故D不正确.
3.已知集合M是关于x的方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列结论正确的是( )
A.0∈M B.1∈M
C.-2∈M D.-1∈M
答案D
解析由2∈M知,2是关于x的方程x2-x+m=0的一个解,则4-2+m=0,解得m=-2.所以原方程为x2-x-2=0,所以该方程的另一解为-1,所以-1∈M.故选D.
4.已知集合P中含有1,2,3三个元素,集合Q中含有4,5,6三个元素.定义集合P+Q中的元素为a+b,其中a∈P,b∈Q,则集合P+Q中的元素个数是( )
A.5 B.6 C.8 D.9
答案A
解析由已知得a+b的值依次为5,6,7;6,7,8;7,8,9.根据集合中元素的互异性可知集合P+Q中的元素个数是5.
5.已知a,b是非零的实数,代数式的值组成的集合是M,则下列结论正确的是( )
A.0∈M
B.-1∈M
C.3 M
D.1∈M
答案B
解析当a>0,b>0时,=3;当a<0,b<0时,=-1-1+1=-1;当a<0,b>0时,=-1+1-1=-1;当a>0,b<0时,=1-1-1=-1.所以集合M中的元素是-1,3.所以-1∈M.故选B.
6.已知集合P中元素x满足:x∈N,且2答案6
解析因为x∈N,2且集合P中恰有3个元素,
所以整数a为6.
7.已知集合A中含有3个元素1,a+b,a,集合B中含有3个元素0,,b.若集合A与集合B相等,则b-a的值为 .
答案2
解析由题意可知,a+b=0,且a≠0,
则a=-b,
因而=-1,于是a=-1,b=1.
故b-a=2.
8.已知集合A中有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A,且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值 若能,则求出a的值;若不能,则说明理由.
解∵9∈A,
∴2a-1=9或a2=9,若2a-1=9,则a=5,此时集合A中的元素为-4,9,25,集合B中的元素为9,0,-4,
显然-4∈A,且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.
若a2=9,则a=±3,当a=3时,集合A中的元素为-4,5,9,集合B中的元素为9,-2,-2,集合B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.
当a=-3时,集合A中的元素为-4,-7,9,集合B中的元素为9,-8,4,符合题意.
综上所述,满足条件的a存在,且a=-3.第2课时 集合的表示方法
课后·训练提升
基础巩固
1.下列集合恰有两个元素的是( )
A.{x2-x=0} B.{x|y=x2-x}
C.{y|y2-y=0} D.{y|y=x2-x}
2.(多选题)已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式成立的是( )
A.0∈A B.1.5 A
C.-1 A D.6∈A
3.(多选题)下列集合的表示方法正确的是( )
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}
B.不等式x-1<4的解集为{x|x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
4.方程组的解集是( )
A.(-5,4) B.(5,-4)
C.{(-5,4)} D.{(5,-4)}
5.定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}.若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为( )
A.9 B.14 C.18 D.21
6.已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M应为 ( )
A.满足y=x2的所有函数值y组成的集合
B.满足y=x2的所有自变量x组成的集合
C.函数y=x2图象上的所有点组成的集合
D.函数y=x2的图象
7.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A=B,则实数a= .
8.若-5∈{x|x2-ax-5=0,a∈R},则集合{x|x2+ax+3=0,a∈R}= .
9.已知集合A={x2+x-3,2x-1},若3∈A,试求实数x的值.
能力提升
1.集合{(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*}用列举法可表示为( )
A.{1,2,3,4} B.{(1,3),(2,2)}
C.{(3,1),(2,2)} D.{(1,3),(2,2),(3,1)}
2.对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的是 ( )
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}
C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}
D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}
3.已知集合A={1,2,4},B={z|z=,x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.定义P*Q={ab|a∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={1,2,3},则P*Q中元素的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.两边长分别为3,5的三角形中,第三条边可取的整数的集合用列举法表示为 ,用描述法表示为 .
6.用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合为 .
7.设集合A={x|x2+ax+1=0,a∈R}.
(1)当a=2时,试求出集合A;
(2)当a为何值时,集合A中只有一个元素
(3)当a为何值时,集合A中有两个元素
8.已知集合A={p|x2+2(p-1)x+1=0,x∈R},求集合B={y|y=2x-1,x∈A}.
第2课时 集合的表示方法
课后·训练提升
基础巩固
1.下列集合恰有两个元素的是( )
A.{x2-x=0} B.{x|y=x2-x}
C.{y|y2-y=0} D.{y|y=x2-x}
答案C
2.(多选题)已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式成立的是( )
A.0∈A B.1.5 A
C.-1 A D.6∈A
答案ABC
3.(多选题)下列集合的表示方法正确的是( )
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}
B.不等式x-1<4的解集为{x|x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
答案BD
解析选项A中应是xy<0;选项B符合描述法的规范格式,正确;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.
选项D显然正确.
4.方程组的解集是( )
A.(-5,4) B.(5,-4)
C.{(-5,4)} D.{(5,-4)}
答案D
解析解方程组故所求解集为{(5,-4)}.
5.定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}.若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为( )
A.9 B.14 C.18 D.21
答案B
解析依据定义有A*B={2,3,4,5},所以A*B中的所有元素之和为14.
6.已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M应为 ( )
A.满足y=x2的所有函数值y组成的集合
B.满足y=x2的所有自变量x组成的集合
C.函数y=x2图象上的所有点组成的集合
D.函数y=x2的图象
答案A
7.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A=B,则实数a= .
答案1
解析由集合相等的概念,得解得a=1.
8.若-5∈{x|x2-ax-5=0,a∈R},则集合{x|x2+ax+3=0,a∈R}= .
答案{1,3}
解析由题意知,-5是方程x2-ax-5=0的一个根,
则(-5)2+5a-5=0,解得a=-4,
于是方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,
解得x=1或x=3,
所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}.
9.已知集合A={x2+x-3,2x-1},若3∈A,试求实数x的值.
解∵3∈A,∴x2+x-3=3或2x-1=3.
若x2+x-3=3,则x2+x-6=0.
即x=-3或x=2.
当x=-3时,2x-1=-7,知集合A={3,-7},满足题意.
当x=2时,由2x-1=3,知集合A={3,3},不满足集合中元素的互异性,故舍去.
若2x-1=3,则x=2,x2+x-3=3,不满足集合中元素的互异性,故舍去.
综上可知,x的值为-3.
能力提升
1.集合{(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*}用列举法可表示为( )
A.{1,2,3,4} B.{(1,3),(2,2)}
C.{(3,1),(2,2)} D.{(1,3),(2,2),(3,1)}
答案D
2.对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的是 ( )
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}
C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}
D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}
答案D
解析A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B中除给定集合中的元素外,还有-3,-7,-11,…;C中t=0时,x=-3,不属于给定的集合;只有D是正确的.
3.已知集合A={1,2,4},B={z|z=,x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案B
解析依题意,可用列举法表示出集合B,B=.故选B.
4.定义P*Q={ab|a∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={1,2,3},则P*Q中元素的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案A
解析若a=0,则ab=0;若a=1,则ab=1或2或3;若a=2,则ab=2或4或6.故P*Q={0,1,2,3,4,6},共6个元素.
5.两边长分别为3,5的三角形中,第三条边可取的整数的集合用列举法表示为 ,用描述法表示为 .
答案{3,4,5,6,7} {x∈Z|2解析设三角形第三条边长度为x,则2又第三条边长为整数,
∴第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3,4,5,6,7},用描述法表示为{x∈Z|26.用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合为 .
答案{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}
解析依题设知,该集合为一点集,且点的横坐标满足0≤x≤2,纵坐标满足0≤y≤1,所以该集合为{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}.
7.设集合A={x|x2+ax+1=0,a∈R}.
(1)当a=2时,试求出集合A;
(2)当a为何值时,集合A中只有一个元素
(3)当a为何值时,集合A中有两个元素
解A是方程x2+ax+1=0的解组成的集合.
(1)当a=2时,x2+ax+1=0,即x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,所以A={-1}.
(2)A中只有一个元素,即方程x2+ax+1=0有两个相等的实数根,由Δ=a2-4=0,得a=±2.
所以当a=±2时,集合A中只有一个元素.
(3)A中有两个元素,即方程x2+ax+1=0有两个不相等的实根,由Δ=a2-4>0,得a<-2或a>2.
所以当a<-2或a>2时,集合A中有两个元素.
8.已知集合A={p|x2+2(p-1)x+1=0,x∈R},求集合B={y|y=2x-1,x∈A}.
解由已知及根的判别式,得Δ=4(p-1)2-4≥0,解得p≥2或p≤0,即A={p|p≥2或p≤0}.
∵x∈A,∴x≥2或x≤0,∴2x-1≥3或2x-1≤-1,∴B={y|y≤-1或y≥3}.