5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 课件(共24张PPT)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 八年级上册
第五章 二元一次方程组
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
学习目标
1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的互相转化。
2.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．（重难点）
复习回顾
1.一般地，以一个二元一次方程的 为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条 .
3.二元一次方程组有哪些解法？
①消元法：加减消元法和代入消元法.
②图象法.
2.一般地，从图形的角度看，确定两条直线 ，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的 .
解
直线
交点的坐标
交点的坐标
代数方法
一、创设情境，引入新知
探究：用二元一次方程组确定一次函数表达式
议一议：A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (h)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇 ?
1小时后
2小时后甲距A地30千米
乙距A地80千米
甲
A
乙
B
小明、小颖和小亮都想出了解题方法，用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗？
一、创设情境，引入新知
P
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了.
小明
40
30
20
0
4
1
2
3
t/h
s/km
乙
甲
100
80
60
由题意得：甲的图象经过(0，0)、(2，30);
乙的图象经过(0，100)、(1，80).
由图象可知，无法准确读出交点P的横坐标，
因此小明的方法求出的结果不准确.
用图象法可以解决问题.
问题：小明的方法求出的结果准确吗？
对于乙，s是t的一次函数，可设 s=kt+b.当t=0时，s=100；当t=1时，s=80.将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，即可以求出乙中s与t之间的函数表达式.同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组就行了！
小颖
二、自主合作，探究新知
你能帮她求出甲和乙的函数表达式吗？
由题意易得甲的函数表达式为s=15t.
解：将t=0，s=100；t=1，s=80
分别代入s=kt+b中，
得????????????=????????????=????+????,
解得????=?????????????=????????????
∴乙的函数表达式为s=-20t+100.
?
解方程组????=?????????????+????????????????=????????????得????=????????????????????=????????????
?
∴经过????????????h两人相遇.
?
用二元一次方程组可以解决问题.
二、自主合作，探究新知
小亮
1 时后乙距A地 80千米,即乙的速度是20千米/时，2 时后甲距A 地 30千米,故甲的速度是15千米/时，由此可以求出甲、乙两人的速度和……
设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100
∴经过????????????h两人相遇.
?
解得t=????????????.
?
利用一元一次方程可以解决问题.
二、自主合作，探究新知
1.在上面的问题中，用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以获得问题的准确结果.
2.为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
想一想：在以上的解题过程中你受到什么启发？
知识要点
二、自主合作，探究新知
例1：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
典型例题
分析：（1）因为行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，所以可以设其函数表达式为y=kx+b，将x=60,y=5和x=90,y=10代入解二元一次方程组即可求出k和b的值.
（2）令y=0，即可求出旅客最多可免费携带行李的千克数.
x=60,y=5;
x=90,y=10.
二、自主合作，探究新知
解：（1）设y=kx+b，
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
根据题意，得????=????????????+????, ①????????=????????????+????. ②
?
②-①，得 30k=5,
k=????????.
?
将 k=????????代入①，得 b=-5.
?
所以 y=????????x-5.
?
（2）令y=0，即????????x-5=0，解得x=30；当x＞30时，y＞0.
?
二、自主合作，探究新知
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b的值.
4.将k，b的值代回，写出一次函数的表达式.
知识要点
已知函数 y=2x+b的图象经过点(a，7)和(－2，a)，求这个函数的表达式.
做一做
二、自主合作，探究新知
解：把点(a，7)和(-2，a)的坐标代入y=2x+b中，得
????????+????=????,?????+????=????,
?
解得????=????,????=????.
所以这个函数的表达式为y=2x-5.
?
例2：已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
二、自主合作，探究新知
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
3k+b=5，
-4k+b=-9，

把点（3，5）与（-4，9）分别代入，得：
解方程组得
b=-1.

k=2，
∴这个一次函数的解析式为:
y=2x-1.
典型例题
三、即学即练，应用知识
1.已知直线y=kx+b经过（1，-1）,（-2，-7）两点，则k-2b的值为（ ）.
A.-8 B.-16 C.-4 D.8
D
2.如图所示，已知A地在B地正南方3 千米处,甲乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行,他们行走的路程s(千米)与所用的时间t(小时)之间的函数关系分别如图中的射线 OC 和ED所示，当他们行走4小时后他们之间的距离为 千米.
3
4.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，其图象如图 所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 升.
3.右图中的两条直线l1,l2的交点坐标可以看做方程组 的解.
三、即学即练，应用知识
????+????=?????????????????=?????
?
20
三、即学即练，应用知识
5.在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm) 是所挂物体质量 x(kg)的一次函数，当所挂物体的质量为 1kg 时，弹簧长 15 cm;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长 16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4kg 时弹簧的长度.
解：设y与x之间的关系式为y=kx+b.
k+b=15，
3k+b=16，

则：
解方程组得
b=14.5.

k=0.5，
∴y=0.5x+14.5.
当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5（cm）.
三、即学即练，应用知识
6.如图所示，l1,l2分别表示两个一次函数的图象,它们相交于点P.
(1)求出两条直线l1,l2的表达式;
(2)点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解?
(3)求出图中ΔAPB的面积。
解:(1)设直线l1的表达式是y= kt+b,已知l1经过点(0,3)，(1,0),
可得????=????????+????=????,解得????=????????=?????.
则直线l1的表达式是y=-3x+3.
同理可得直线l2的表达式是y=x-2.
?
(2)点P的坐标可看作是二元一次方程组????=?????????+????????=?????????的解.
?
(3)由(1)(2)可得A(0,3),B(0,-2),P(????????,?????????),则SΔAPB=?????????????????????????=????????×????×????????=????????????.
?
四、课堂小结
利用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法
步骤
先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b的值.
4.将k，b的值代回，写出一次函数的表达式.
2.星期天,小明上午8:00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家.他离家的距离y(千米)与时间t(分钟)的关系如图所示，则上午8:45小明离家的距离是
千米.
五、当堂达标检测
1.如图 所示，过点A的一次函数的图象与正比例函数y= 2x 的图象相交于点 B则这个一次函数的表达式是（ ）
A.y = 2x+3 B.y=x-3 C.y=2x-3 D.y =-x+3
D
1.5
3.甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从 B 地出发前往A 地，如图所示，y甲，y乙分别表示甲、乙离A 地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系，且直线y甲与直线y乙相交于点 M.则直线y甲的表达式为 (不必注明自变量x的取值范围),A,B两地之间的距离为 千米.
五、当堂达标检测
y甲=15x
10
五、当堂达标检测
4.在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少?
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b，
∵当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700，
∴
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000
当 y = 400时得， -10 x + 900 =400,
∴ x =860.
答:当客户购买400kg,单价是860元.
解得:
k=-10
b =900
｛
5.甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图 所示,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.根据图象,解答下列问题:
(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h;
(2)求线段DE对应的函数表达式；
五、当堂达标检测
0.5
(2)设直线DE的表达式为y= kx+b,
因为点D(2.5,80),E (4.5,300)在直线DE上,将两点的标分别代入y=kx+b中,
得????.????????+????=????????,????.????????+????=????????????,解得????=????????????,????=?????????????.
所以y=110x-195.
所以线段DE对应的函数表达式为y=110x-195(25≤x≤4.5).
?
五、当堂达标检测
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.
(3)设直线OA的表达式为y=mx,
因为点A(5,300)在直线y=mx上,将其坐标代入表达式得300=5m,解得m=60,所以y=60x.
解方程组????=?????????????????????????????,????=????????????,得????=????.????,????=????????????.
所以3.9-1=2.9 (h)
答:轿车从甲地出发后经过2.9h追上货车.
?
教材习题5.8；　　　　
六、布置作业