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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十四章
课标要求 1、了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)； 2、能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)和除法运算(仅限单项式除以单项式，多项式除以单项式且商为整式)； 3、能推导乘法公式：(a+b)(a-b)=，，了解每个公式几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理； 4、能理解因式分解的概念；了解从整式乘法得出因式分解的方法，并能用提公因式法、公式法进行因式分解。
内容分析 本章内容建立在已经学习了的有理数运算，列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要的意义.同时，这些知识也是学习物理、 化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.
学情分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理能力，他们在七年级上已经学习过整式的有关概念，对同类项进行过简单的辨析与学习，对合并同类项的学习以及应用具备一定的基础，只是解决问题的意识和能力还不够。因此，学生正处在“从数到式”的过渡阶段，这一阶段由具体到抽象，从特殊到一般，对学生的认知水平和思维能力是一个巨大的挑战，所以教学中要尽可能多的与前面相关内容衔接，结合实际问题展开教学，进一步发展学生的符号感。
单元目标 教学目标 1.理解幂的乘方，积的乘方的运算性质。 2.理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算 3.会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算 4.完全平方公式的学习与探讨。 (二)教学重点、难点 教学重点：熟练掌握整式乘法的计算和因式分解的解题方法 教学难点:灵活的应用乘法公式进行运算或进行因式分解
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数14.1整式的乘法714.2乘法公式314.3因式分解3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务14.1整式的乘法掌握正整数幕的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式|的法则，并运用它们进行计算. 能利用法则进行幂的运算，整式乘法运算任务1.掌握幂的运算法则 任务2.归纳整式乘法的运算法则 任务3.出示例题14.2乘法公式会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式)，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算推到乘法公式并能运用公式进行计算任务1：认识平方差公式 任务2.推导完全平方公式 任务3.出示例题13.3等腰三角形理解因式分解的意义，并感受因式分解与整式乘法是相反方向的运算，了解因式分解的方法和一般步骤，能熟练运用方法进行多项式的因式分解学生能选择适当的方式分解因式任务1.理解因式分解的定义 任务2.探究提公因式法分解因式的方法 任务3.探究运用平方差公式分解因式 任务4：探究运用完全平方公式进行因式分解
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分课时教学设计
第一课时《14.2.1平方差公式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是八年级人教版上册14章《整式的乘法与因式分解》中的内容，平方差公式作为初中数学的一个重要公式，有着非常广泛的应用，能够促进因式分解、分式运算等推导运用。
学习者分析 学生已熟练掌握了整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的理解．
教学目标 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算； 2．经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征； 3.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象的研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中,感知数形结合思想和整体思想．
教学重点 平方差公式的结构特征
教学难点 平方差公式的运用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 由视频导入 思考：请问张老汉是否吃亏了，理由是什么？学生活动1： 教师提出问题，学生根据所学知识回答活动意图说明：通过生活中的例子提出问题，让学生带着问题学习，增强学生学数学、用数学的兴趣.让学生体会数学来源生活，应用生活环节二：新知探究教师活动2： 计算 (1)(x+1)(x-1)=_______； (2)(m+2)(m-2)=______； (3)(2x+1)(2x-1)=_______. 1、观察等式左边的两个二项式有什么特点？ 2、观察等式右边的多项式,你发现了什么？ 用自己的语言叙述你的发现。 计算： (a+b)(a-b)== 思考：你能用文字语言表达以上式子吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 归纳总结： 平方差公式 (a+b)(a-b)= 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: 1. 2.(b + a )( -b + a ) = 理解公式(a+b)(a-b)= 特征结构 (1)公式左边是：相同两数的和与差的积 有两项符号相同(相同项)、有两项符号相反(相反项) (2)公式右边是：这两个数的平方差； (3)公式中的a和b可以代表数，也可以是式子 运用公式的关键：先确定相同项和相反项 根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？ 分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______；(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形的长是______，宽是______，面积___________. 学生活动2： 学生通过小组讨论自主探究、合作交流，发现规律后学生发言得出结论. 教师引导，归纳总结 学生观察，思考，回答问题活动意图说明：通过学生小组合作，利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．培养学生动手能力和书写能力。环节三：典例精析教师活动3： 例1.计算： (1) (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y) 解：(1) (3x+2)(3x-2) == 9-4 (2) (-x+2y)(-x-2y) == 例2.计算： (1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2) 102×98 解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =--(+4y-5) =-4--4y+5 =-4y+1 (2) 102×98 =(100+2)×(100-2) = =10000-4 =9996 学生活动3： 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导。 活动意图说明：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程．同时让学生领会平方差公式的运用方法以及需注意的问题．
板书设计 平方差公式 (a+b)(a-b)= 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是( ) A．(－2m＋n)(－2m－n) B． C．(x＋2y－1)(x＋2y＋1) D．(a－b)(－a＋b) 2.下列计算错误的是( ) A．(6a＋1)(6a－1)＝－1 B．(－8)(－＋8)＝－64 C．(－m－n)(m－n)＝ D．(－＋1)(－－1)＝－1 3．已知 x+y-3=0，，则______，x－y的值为______. 4．已知，，则______. 5．在平面直角坐标系中，已知A(﹣a，8)，B(﹣11，b)关于y轴对称，其中x＝a+b，y＝2，则式子(x+2y﹣3)(x﹣2y+3)的值为_____． 选做题： 6．(1)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求的值． (2)已知2＋3a－6＝0，求式子3a(2a＋1)－(2a＋1)·(2a－1)的值． 【综合拓展类作业】 7.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ） A．4-1 B．2-1 C．4x-1 D．4+1 3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________． 选做题： 4.利用平方差公式计算： （1）（a-2)(a+2)( + 4) ； (2) (x-y)(x+y)(+)(). 【综合拓展类作业】 5.(1)观察下列各式的规律： (a－b)(a＋b)＝ (a－b)(＋ab＋)＝； (a－b)(＋b＋a＋)＝； … 可得到(a－b)(＋b＋…＋a＋)＝____________. 2)猜想：(a－b)(＋b＋…＋a＋)＝____________(其中n为正整数，且n≥2)． (3)利用(2)猜想的结论计算：
教学反思 本节课通过对问题的设计以及师生活动，使学生在已经掌握原有知识的基础上，积极主动进行相互交流合作，从中感受到自主探究学习的乐趣，也加深了对新知识的理解和认识，从而更好地运用新知识，师生互动，让课堂氛围更加灵活，使学生对于数学学习充满兴趣。
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14.2.1 平方差公式
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1．理解平方差公式，能运用公式进行计算；
2．经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征；
3.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象的研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中,感知数形结合思想和整体思想．
新知导入
思考：请问张老汉是否吃亏了，理由是什么？
新知讲解
计算
(1)(x+1)(x-1)=_______；
(2)(m+2)(m-2)=______；
(3)(2x+1)(2x-1)=_______.
x2-1
m2-4
4x2-1
用自己的语言叙述你的发现。
1、观察等式左边的两个二项式有什么特点？
2、观察等式右边的多项式,你发现了什么？
新知讲解
计算：(a+b)(a-b)
=a2-ab+ab-b2
=a2-b2
思考：你能用文字语言表达以上式子吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
归纳总结
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
新知讲解
理解公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征结构
(1)公式左边是：相同两数的和与差的积
有两项符号相同(相同项)、有两项符号相反(相反项)
(2)公式右边是：这两个数的平方差；
(3)公式中的a和b可以代表数，也可以是式子
运用公式的关键
先确定相同项和相反项
新知讲解
根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？
分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______；(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形的长是______，宽是______，面积___________.
a2-b2
a+b
a-b
(a+b)(a-b)
典例精析
例1.计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y)
(a +b)(a -b)=a2-b2
分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成 b，即
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22= 9x2-4
(2) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2= x2-4y2
变式训练
运用平方差公式计算：
( 4a 1)(4a 1)．
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．
法一
利用加法交换律，
变成公式标准形式。
( 4a 1)(4a 1)
=
=( 1)2 (4a)2
= 1 16a2
提取两“ ”号中的“ ”号,变成公式标准形式。
法二
( 4a 1)(4a 1)
计算时千万别忘了你提出的“ ”号、添括号；
注意
= [ ]
= 1 16a2
=-(4a+1) (4a 1)
( 4a 1 ) ( 4a 1 )
1
4a
1
+4a
新知讲解
例2.计算：
(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2) 102×98
解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=y2-22-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1
(2) 102×98
=(100+2)×(100-2)
=1002-22
=10000-4
=9996
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是( )
A．(－2m＋n)(－2m－n) B．
C．(x＋2y－1)(x＋2y＋1) D．(a－b)(－a＋b)
2.下列计算错误的是( )
A．(6a＋1)(6a－1)＝36a2－1 B．(a3－8)(－a3＋8)＝a9－64
C．(－m－n)(m－n)＝n2－m2 D．(－a2＋1)(－a2－1)＝a4－1
D
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．已知 x+y-3=0，，则______，x－y的值为______.
4．已知，，则______.
5．在平面直角坐标系中，已知A(﹣a，8)，B(﹣11，b)关于y轴对称，其中x＝a+b，y＝2，则式子(x+2y﹣3)(x﹣2y+3)的值为_____．
27
-4
6
8
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：把b－c＝2，a＋c＝14相加，得a＋b＝16.
所以a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
6．(1)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．
(2)已知2a2＋3a－6＝0，求式子3a(2a＋1)－(2a＋1)·(2a－1)的值．
解：原式＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1.
因为2a2＋3a－6＝0，
所以2a2＋3a＝6.
所以原式＝2a2＋3a＋1＝6＋1＝7.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的
整数倍．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1，
n为正整数，
∴n2-1为整数.
课堂总结
平方差公式
内 容
注 意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
字母表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
应用时，紧紧抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
板书设计
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
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作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.利用平方差公式计算：
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) ；
解：原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=（x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
作业布置
【综合拓展类作业】
5.(1)观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
…
可得到(a－b)(a2 021＋a2 020b＋…＋ab2 020＋b2 021)＝____________.
2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝____________(其中n为正整数，且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.
a2 022－b2 022
an－bn
作业布置
【综合拓展类作业】
解：29－28＋27－…＋23－22＋2
＝
＋1＝＋1
＝＋1
＝341＋1
＝342.
谢谢
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