广东省深圳市2023-2024学年高二上学期期中数学模拟试题（含解析）

深圳市2023-2024学年高二上学期期中数学模拟试题
考试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线的方程 2023.11
试卷满分：150分 考试用时：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
4．若圆：上的任意一点关于直线：对称的点仍在圆上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
7．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，则（ ）
A．直线过定点 B．当时，
C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1
10．设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（ ）
A．P可能为中点 B．的最小值为3
C．若，则的方程为 D．的面积最大值为
11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ）

A． B．点E到直线的距离为
C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．点到平面的距离为
12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（ ）
A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为 .

14．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于 ．
15．已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为 ．
16．已知双曲线，过原点的直线l与双曲线交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB，AC的斜率之积为，则b＝ ；若，则的面积为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知点，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程.
18．（本小题满分12分）
直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
20．（本小题满分12分）
已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，抛物线C过点．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且，证明：直线l过定点．
21．（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
22．已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．
①求证：为定值；
②求证：直线过定点.
参考答案：
1．C
【详解】因为方程，其中，
所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
2．B
【详解】关于轴的对称点为，
由于入射光线与平行，
所以反射光线的斜率是，
所以反射光线所在直线方程为.
3．A
【详解】设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
4．D
【详解】因为圆上的任意一点关于直线：对称的点仍在圆上，
所以圆关于直线对称，即直线过圆的圆心；
又圆可化为，其圆心为，半径为；
所以有，即，
因此可表示直线上的点，
又是圆：上的点，
所以表示圆上的点到直线距离的平方；
由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离为，
因此直线与圆相离，
所以圆上的点到直线距离的最小值为，
所以的最小值为.
5．D
【详解】设，令，
则
，则M.
如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为.
故选：D
6．B
【详解】由题可知，点到l的距离为，，，，，则，则，故点到l的距离为.
7．C
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
，故点在圆内，如下图所示：
则，
过点的弦过圆心时，弦长取最大值，即，
当过的弦与垂直时，弦长取最小值，即，此时，
此时，四边形的面积为.
8．C
【详解】由题意可作图如下：

由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
9．CD
【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确；
当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确；
当时，直线，而直线，显然，即，C正确；
当时，有，解得，即直线，
因此直线之间的距离，D正确.
10．AD
【详解】圆，圆心，半径
对于A，，即点P在圆的内部，当直线时，P为中点，故A正确；
对于B，当直线时，最小，，，
则直线的方程为，圆心到直线的距离，，故B错误；
对于C，当直线斜率不存在时，即，此时，符合；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，
则圆心到直线的距离，解得，即，所以满足题意的直线为或，故C错误；
对于D，，
当且仅当，即时等号成立，所以的面积最大值为，故D正确.
11．AC
【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
，
则，所以，故A正确；
，则，
所以，
所以点E到直线的距离为，故B错误；
因为平面，所以即为平面的一条法向量，
则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；
设平面的法向量为，
则有，可取，
则点到平面的距离为，故D错误.
故选：AC.

12．ACD
【详解】先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为.
过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心，
设圆P与的切点分别为，
则，
则，解之得
则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合，
则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M，
同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.
则直线的方程为，
双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上.
则选项A判断正确；选项B判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：由直线的方程为，可得.判断正确.
13．
【详解】依题意，，得，
由底面为矩形，，，得，显然，
又
，
因此，所以.
14．8
【详解】抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,
设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,
∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数),
代入抛物线的方程消去x并整理得：,
设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,
则,,
∴直线AB的方程为,,
，
15．
【分析】设点在直线上，设点，当时，求出的值，当点不为长轴端点时，设，设直线、的倾斜角分别为、，可求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，可得出的最大值，即可求得的最大值.
【详解】不妨设点在直线上，
若点为，则，
当点不为长轴端点时，由对称性，不妨设点在第一象限，设点，
在椭圆中，，，，则点、，
设直线、的倾斜角分别为、，则，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最大值为，
所以，.
法二：几何法，作外接圆，相切时取到最大
16．
【详解】令，则，∴①，
又②，联立①②得；
补充：
令双曲线的右焦点为，如图所示，由B、C关于原点对称，则,
易证，，

设,由余弦定理得：，
∴.
17．(1)
(2)
【详解】（1）当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即的中点为圆心，半径，
则圆的标准方程为．
（2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即，
由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是．
．
故所求圆的标准方程是．
解法二：待定系数法
设圆的标准方程为，
则
故所求圆的标准方程为．
18．(1)证明见解析，，
(2)时，取得最大值
【详解】（1）在直线的方程中，令可得，则直线过定点，
在直线的方程中，令可得，则直线过定点；
（2）联立直线、的方程，解得，即点.
，，
，所以，；
且，因此，当时，取得最大值，即.
法二：几何法
19．(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.
20．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为抛物线C过点，
∴，解得，
∴抛物线C的标准方程为．
（2）设，直线l的方程为，
联立，化为，
，
∴，
∵，
∴，，
解得，满足，
∴直线l的方程为，
∴直线过定点．
21．(1)证明见解析；(2)1
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
22．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据题意得到方程组，解之即可求出结果；
（2）①设出直线MN的方程，与椭圆联立，结合韦达定理得到，化简整理即可求出结果；
②设PQ的方程，与联立，结合韦达定理求出的值，进而可以求出结果.
【详解】（1）由题意解得
所以椭圆的标准方程为：；
（2）① 设MN的方程为，与联立得：，
设，，则，
②设PQ的方程为 ，与联立，
设，则
由，即此时，
的方程为，故直线恒过定点.
法二：平移齐次化
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