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专题5.6 一次函数中的特殊三角形模型
模块1：学习目标
一次函数中的特殊三角形模型，共分为四大类（一次函数中的等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形），本专题就一次函数中的特殊三角形模型进行专题总结。
模块2：知识梳理
1、一次函数中的等腰三角形（方法：两圆一线）
例：已知点A（1,3），点在轴上，使为等腰三角形。
第1步：画图，初步确认点的位置（如图1）；
图1 图2 图3 图4
第2步：分三种情况求解：（标等边，用公式）
由题意知（两点间距离公式）：
①当时（如图2），∴ ∴
②当时（如图3），利用三线合一做辅助线： ∴ ∴
③当时（如图4），设， 解得：x=5 ∴
2、一次函数中的直角三角形（方法：两线一圆）
例：已知点A（1,3），点在轴上，使为直角三角形。
第一步：画图，初步确认点的位置（如图1）；
图1 图2 图3
第二步：分两种情况求解：（标直角，用公式）
①当时（如图2），
设，∵ ∴∴ ∴
②当时（如图3），设 ∵ ∴
3、一次函数中的等腰直角三角形
例：已知点A（1,3），点在平面内，使为等腰直角三角形。
第一步：画出6个答案（如图1）：
图1 图2 图3 图4
第二步：分三种情况求解：（见等腰直角三角形构“K”型全等求坐标）
①当时（如图2），设，构造“K”型全等：，
表示线段：；；；
由全等得；
∴；同理，可得
②当时，同①中方法构造“K”型全等，可得：，
③当时，法1：同①中方法构造“K”型全等（如图4）
法2（中点坐标）：（如图3）为的中点 ∴ ∴； 同理，可得
4、一次函数与全等三角形
1）解题步骤：①先找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。
2）相等的角或边情况：
①公共边情况（如图1）：平面内找一点，使以、、为顶点的三角形与全等.
图1 图 2
、关于成轴对称，、关于成轴对称，即是、的中垂线，可用中垂线代数法求点。
②固定角相等（如图2）：①两个三角形为直角三角形；②相等角为对顶角：
模块3：核心考点与典例
考点1、一次函数中的等腰三角形
例1．（2022·巩义市八年级期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线交直线于点C，点P为x轴上一动点．（1）求点C坐标；（2）当直线平分的面积时，直线与y轴交于点D，求线段的长；（3）若是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）点；（2）；（3），，，
【分析】（1）通过解方程组即可求出答案；（2）设P（x，0），则OP＝x，根据直线CP平分△OAC的面积，建立方程求出 P（3，0），故OP＝3，利用待定系数法求出直线PC的解析式为y＝ 2x＋6，进而求得OD＝6，再运用勾股定理即可求得答案；（3）分三种情况：①当OP＝OC＝2时，则P（2，0）或P（ 2，0）；②当CP＝OC＝2时，过点C作CM⊥OP（或x轴）于点M，则MP＝MO＝2，即OP＝2OM＝4，可得P（4，0）；③当OP＝PC时（即作OC的中垂线交x轴于点P），由∠OCP＝∠POC＝45°，得∠OPC＝90°，即CP⊥x轴，可得P（2，0）．
【详解】（1）由题意可得：，解得：，∴点；
（2）如图，
∵直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴令y＝0，则 x＋3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，∴A（6，0），B（0，3），∴OA＝6，
∵点P为x轴上一动点．直线CP平分△OAC的面积，∴设P（x，0），则OP＝x，
∴×2 OP＝××2 OA，即×2x＝××2×6，
∴x＝3，即 P（3，0），OP＝3，设直线PC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
由题意可得：，解得：，
∴直线PC的解析式为y＝ 2x＋6，∴D（0，6），∴OD＝6，
∵y轴⊥x轴，即OD⊥OB，又∵OD＝6，OP＝3，∴PD＝；
（3）∵C（2，2），∴OC＝2，∵△COP是等腰三角形，∴此题有三种情形：
①当OP＝OC＝2时，如图①，
则P（2，0）或P（ 2，0）；
②当CP＝OC＝2时，过点C作CM⊥OP（或x轴）于点M，如图②，
则MP＝MO＝2，即OP＝2OM＝4，∴P（4，0）；
③当OP＝PC时（即作OC的中垂线交x轴于点P），如图③，
又∵直线y＝x与x轴夹角∠POC＝45°，∴∠OCP＝∠POC＝45°，
∴∠OPC＝90°，即CP⊥x轴，∴OP＝CP＝2，∴P（2，0）；
综上所述，P（2，0）或P（ 2，0）或P（4，0）或P（2，0）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，求两直线交点坐标，三角形面积公式，勾股定理，等腰三角形性质等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
变式1．（2022·重庆黔江·八年级期末）如图一，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交 轴于点，当，求出，两点的坐标；(3)将直线向左平移10个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴，点在直线上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1) (2)P（-10，16）；Q（-10，-8）
(3)M1（，2）， M2（，2） ， M3（0，2）
【分析】（1）将点代入，求出点D的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）设，则，，由题意可得，则，求出x的值即可求出点的坐标；
（3）分别求出，，设，分三种情况讨论：当时，或；当时，；
（1）将点代入，∴，解得，∴，
设直线m的解析式为，∴，解得，∴；
（2）设，则，，∴，，
∵，∴，∴，解得，∴，；
（3）由题意可得直线n的解析式为，∴，
∵，∴，设，∴，，，
当时，，解得，∴或；
当时，，解得或（舍），∴；
综上所述：M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，熟练掌握一次函数的图像性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
变式2．（2022·成都市·八年级期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为（3，4），将直线OA绕点O顺时针旋转45°后得到直线y=kx（k≠0）．
(1)求直线OA的表达式；(2)求k的值；(3)在直线y=kx（k≠0）上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使△ABC是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标．
【答案】(1)(2)(3)（7+2，0）或（7﹣2，0）或（0，0）或（6，0）或（，0）
【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）过点作，交直线于，作轴于，过点作于，由“”可证，可得，，进而可得点坐标，代入解析式可求的值；
（3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．
（1）设直线解析式为，
点，，，直线解析式为，
（2）如图，过点作，交直线于，作轴于，过点作于，
，，，，
，，，，
，，，，点，，；
（3），，当时，，点；
设点，点，点，点，
，，，
若时，，解得：或6，点或；
当时，，，点，或，；
当时，，，点，，
综上所述：点坐标为，或，或或或，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
考点2、一次函数中的直角三角形
例2．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．(1)求直线的函数解析式；(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；(3)当为直角三角形时，求m的值．
【答案】(1)(2)(3)0或-1
【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；（2）画出图形，即可知当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．由A、B两点坐标分别求出m，即可得出其取值范围；（3）分类讨论①当时和②当时，结合图象即可求解．
（1）设直线的函数解析式为，
则，解得：．∴直线的函数解析式为；
（2）如图，当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．
当经过点A时，即直线与直线AD重合，∴；
当经过点B时，即直线与直线BE重合，∴，解得：．
∴当时，点M在线段上；
（3）∵点A在y轴上，∴不可能为直角．
分类讨论：①当时，如图，此时C点与原点重合，
即直线经过原点，∴，即；
②当时，如图点，设∴，，
∵，
又∵，∴，解得：，∴
当直线y=2x+m经过（0，-1）时，即m=-1，符合题意.
综上可知当为直角三角形时，m的值为0或-1．
【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
变式2．（2022 浠水县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝ ；b＝ ．（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．
解：（1）a2+4a+4+|2a+b|＝（a+2）2+|2a+b|＝0，即：a＝﹣2，b＝4，故答案为：﹣2，4；
（2）①由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．
∵点P在直线AB的右侧，P在x轴上，∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为：（4，0）；
②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，
当∠BAP＝90°时，过点P作PH⊥x轴于H，
∴∠HAP+∠BAH＝90°，∠ABO+∠BAH＝90°，∴∠OBA＝∠HAP，∠AOB＝∠AHP＝90°，
又∠APB＝45°，∴AP＝AB，∴△OBA≌△AHP（AAS），
∴PH＝AO＝2，AH＝OB＝4，OH＝AH﹣AO＝2，故点P的坐标为（2，﹣2）；
当∠ABP＝90°时，同理可得：点P的坐标为（4，2），故点P的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
变式2．（2022 陈仓区期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：l1：y1＝k1x+b1（k1≠0）；l2：y2＝k2x+b2（k2≠0），有下列结论：当k1＝k2时，直线l1∥直线l2；当k1 k2＝﹣1时，直线l1⊥直线l2．（2）实践应用：①直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，则k＝ ．②直线m与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点（4，﹣2），则直线m的解析式为 ．③直线y＝﹣2x+3向右平移 个单位，其图象经过点（6，﹣4）．（3）深入探索：如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当△ABP为直角三角形时，求△ABP的面积．
解：（2）①∵直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，∴k1 k2＝﹣1，∴k＝，故答案为：；
②∵直线m与直线y＝﹣2x+3平行，
∴设直线m的函数解析式为y＝﹣2x+b，将（4，﹣2）代入得b＝6，
∴直线m的解析式为：y＝﹣2x+6，故答案为：y＝﹣2x+6；
③设直线y＝﹣2x+3平移后经过（6，﹣4）的函数解析式为y＝﹣2x+a，
∴﹣2×6+a＝﹣4，∴a＝8，∴y＝﹣2x+8，
∴y＝﹣2x+3与x轴交点为（0，），y＝﹣2x+8与x轴交点为（0，4），
∴向右平移了4﹣＝个单位，故答案为：；
（3）由题意知：A（2，3），B（﹣1，0），当△ABP为直角三角形时，存在两种情形，
当AP⊥x轴时，P（2，0），∴S△ABP＝＝，当AP⊥AB时，设AP的解析式为y＝﹣x+c，
将A（2，3）代入得﹣2+c＝3，∴c＝5，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+5，
∴点P（5，0），∴BP＝6，∴S△ABP＝＝9，综上：△ABP的面积为9或．
考点3、一次函数中的等腰直角三角形
例3．（2022·四川八年级期中）（1）如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上．操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证：△CAD≌△BCE．
（2）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（3）如图3，在直角坐标系中，点B（5，4），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣3）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线l2的解析式为；（3）能，或
【分析】（1）根据直角代换出，即可用“AAS”证明出结论；
（2）根据函数解析式即可求出与y轴，x轴的交点A，B点坐标，即可证明，即可求出CD、BD的长，即可求出C点坐标，用待定系数法即可求出l2的函数表达式；
（3）根据Q在AB上方和下方分类讨论，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，即可通过全等三角形的判定证明，通过全等三角形的性质得到，建立关于a的方程，即可求解．
【详解】（1）如图1，
图1
∵∠C＝90°，AD⊥CD， BE⊥CE，
∴，，∴
在和中，∵，∴；
（2）∵直线l1：y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴，
过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，如图2，
图2
∵，， ∴∴
∵∴∴
在和中，∵∴
∴，∴设直线l2的解析式为，
∵经过，∴，解得，∴直线l2的解析式为；
（3）∵Q（a，2a﹣3），∴点Q是直线上的一点，
当点Q在AB下方时，如图3，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，
∵是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴，，
∵∴∴
在和中，∵∴∴
∵点B（5，4），Q（a，2a﹣3），∴，
∴∴；
当点Q在AB上方时，如图4，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，
同理，可证，∴
∵点B（5，4），Q（a，2a﹣3），∴，
∴，解得，
综上可知，点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，此时或．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等量代换出角度之间的等量关系是关键；也考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用全等三角形的判定和性质得出点的坐标是本题的关键；最后考查了分类讨论，利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题的关键．
变式1．（2022·四川天府新区八年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0）
(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，点C是点B关于y轴的对称点，点D是AB的中点，点P为y轴上自原点向正半轴方向运动的一动点，运动速度为2个单位长度/s，设点P运动的时间为ts，点Q为射线BA上一点，当t=5时，，求点Q的坐标；(3)如图3，在（2）的条件下，当△PDC为等腰直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)(2)（，）或（，）(3)3
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出OP的长，再求出C、D的坐标进而求出△CDB的面积得到△PQO的面积，再根据三角形面积公式求解即可；（3）根据题意可知当△PDC为等腰直角三角形时，只存在∠PDC=90°这种情况，则PD=DC，过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，证明Rt△PED≌Rt△CFD（HL），得到PE=CF=，则，．
（1）解：设直线AB的解析式为，
∴，∴，∴直线AB的解析式为；
（2）解：由题意得，
∵点C是点B关于y轴的对称点，点D是AB的中点，点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0），
∴点C的坐标为（-3，0），点D的坐标为（，），
∴BC=6，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵点Q在射线BA上，∴当时，；当时，，
∴点Q的坐标为（，）或（，）；
（3）解：根据题意可知当△PDC为等腰直角三角形时，只存在∠PDC=90°这种情况，则PD=DC，过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，∴∠PED=∠CFD=90°，
∵点D的坐标为（，），∴，
又∵PD=CD，∴Rt△PED≌Rt△CFD（HL），∴PE=CF=，∴，∴．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
变式2．（2022,重庆市八年级期中）如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；
（2）∵点C（﹣2，0），点B（0，2），∴OC＝2，OB＝2，
∵P是直线AB上一动点，∴设P（m，m+2），
∵△BOP和△COP的面积相等，∴×2|m|＝2×|m+2|，解得：m＝4或﹣，
∴点P坐标为（4，4）或（﹣，）；
（3）存在；理由：如图1，
①当点B1是直角顶点时，∴B1Q＝B1A1，
∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，∴∠OA1B1＝∠QB1H，
在△A1OB1和△B1HQ中，，∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），
∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，∴B1（0，﹣2）或（0，2），
当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，
∵B（0，2），∴点B1（0，2）（不合题意舍去），
∴直线AB向下平移4个单位，∴点Q也向上平移4个单位，∴Q（﹣2，2），
②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，
∵直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，
∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，
∵A1B1⊥A1Q，∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b
∴Q（﹣2，4﹣4b），∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，
∴20b2﹣40b+20＝5b2，∴b＝2（不合题意）或b＝，∴Q（﹣2，）；
③当Q是直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，∴A1Q＝B1Q，
∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，∴∠QA1C＝∠CQB1，
∵m∥y轴，∴∠CQB1＝∠QB1H，∴∠QA1C＝∠QB1H
在△A1QC与△B1QH中，，∴△A1QC≌△B1QH（AAS），
∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），
当AB＝AQ，即20＝4+t2，解得：t＝±4，∴（﹣2，4），（﹣2，﹣4），
当点Q的坐标为（﹣2，﹣4）时，AB2+AQ2＝BQ2，∴△ABQ为直角三角形，∴Q（﹣2，﹣4）．
当点Q（﹣2，4）不合题意，舍去．
即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，6）或（﹣2，）或（﹣2，﹣4）．
考点4、一次函数中的全等三角形
例1．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接．
(1)求点C的坐标；(2)如图2，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（-4，1）(2)①；②（-1，2）或（，0）或（，2）
【分析】（1）证明△BCH≌△ABO（AAS），则CH=BO=1，BH=AO=3，OH=BH+BO=4，即可求解；
（2）①由（1）知点C的坐标为（-4，1），CDx轴交AB于点D，则点D的纵坐标为1，将y=1代入y=3x+3得1=3x+3，即可求解；②存在，理由：以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况，即可求解；
（1）解：在y=3x+3中，当x=0时，y=3，∴点A的坐标为（0，3），∴AO=3，
在y=3x+3中，当y=0时，0=3x+3，x=-1，∵点B的坐标为（-1，0），∴BO=1，
如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠BHC=90°，
∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABO=180°-∠ABC=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBH=∠BAO，
∵∠BHC=∠ABO=90°，BC=AB，∴△BCH≌△ABO（AAS），
∴CH=BO=1，BH=AO=3，∴OH=BH+BO=4，
∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（-4，1）；
（2）解：①由（1）知点C的坐标为（-4，1），
∵CDx轴交AB于点D，∴点D的纵坐标为1，
将y=1代入y=3x+3得1=3x+3，∴x＝，
∴点D的坐标为（，1），∴CD＝；
②存在，理由：以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况：
当△≌△BDC时，则点和点B关于直线CE对称，∴点的坐标为：（-1，2）；
当△≌△BDC时，则点和点B关于CD的中垂线对称，
∴点（，0）即（，0）；
当△≌△BDC时，则点和点关于直线CE对称，∴点的坐标为：（，2）；
综上M坐标（-1，2）或（，0）或（，2）时，以点M，C，D为顶点的三角形与全等．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
变式1．（2022 罗湖区校级模拟）如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ．
解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
则点B（0，3），OB：OC＝3：1，则OC＝1，即点C（﹣1，0）；
①如图，当BD平行x轴时，点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形，则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3），
②当BD不平行x轴时，则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，
则直线DD′∥AB，设：直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，
将点D的坐标代入上式并解得：n＝7，直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，
设点D′（n，7﹣n），A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′＝BC＝＝，解得：n＝3，故点D′（3，4）；
变式2．（2022 辽宁八年级期中）如图1，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x+1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．
（1）求点C的坐标．（2）求△BDC的面积（3）如图2，P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．①若PQ∥x轴，且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上，求PQ的长．②若BDC与△BPQ全等（点Q不与点C重合），请写出所有满足要求的点Q坐标 （直接写出答案）
解：（1）由，解得：x＝3，把x＝3代入y＝x+1＝3+1＝4，所以点C的坐标为（3，4）；
（2）∵B（0，8），D（0，1），∴BD＝7，∴；
（3）①∵PQ∥x轴，∴AA'⊥x轴，
∵A（6，0），∴AA'＝6+1＝7，∴，∴，即PQ＝；
②按两种情形讨论：（Ⅰ）P在B点下方，则有BP＝BC＝5，
此时，代入得：，∴Q1（）；
（Ⅱ）P在B点上方，若BP＝BD．
则有xQ＝﹣xC＝﹣3，∴Q2（﹣3，12），若BP＝BC＝5，
则有，∴Q3（）．故答案为：（），（﹣3，12），（）．
模块四：同步培优题库
全卷共21题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共1小题，每小题3分，共3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·陕西·八年级期中）如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据，且为等腰三角形，可知为等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，设，表示出点坐标，代入直线解析式，求出的值，即可求出的长．
【详解】解：如图所示：
，且为等腰三角形，为等腰直角三角形，，
轴，，为等腰直角三角形，，
设，根据勾股定理，得，，
①，代入直线，得，解得，，
②，代入直线，得，此方程无解．综上所述：．故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
2．（2022·广西·钦州市八年级阶段练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．
【答案】，，，
【分析】先把点A（1，2）代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．
【详解】解：如图，
∵一次函数y=x+b的图象过点A（1，2），
∴2=1+b,解得b=1，∴一次函数的解析式为：y=x+1，∴B（-1，0）．
当AB=AP时，∵B（-1，0），∴；
当AB=BP时，∵，
∴；当AP=BP时，则，
设P（t，0），则，解得：t=1，∴．
综上所述，P点坐标为：，，，．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
3．（2023·江西·九年级专题练习）如图，直线y= x+与坐标轴分别交于A，B两点，在平面直角坐标系内有一点C，使△ABC与△ABO全等，则点C的坐标为________．
【答案】(3，)或(，)或(，)
【分析】先求得A(0，)，B(3，0)，再利用特殊角的三角函数值求得∠ABO=30°，再分类讨论即可求解．
【详解】解：令x=0，则y=，令y=0，则x=3，
∴A(0，)，B(3，0)，∴OA=，OB=3，∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
当△OAB≌△C1BA时，∴C1B=OA=，C1A= OB=3，∴C1 (3，)；
当△OAB≌△C2AB时，∴C2B= OB=3，C2A=OA=，
∴∠C2AD=180°-60°-60°=60°，则∠DC2A=30°，
∴AD=C2A=，DC2=，∴C2 (，)；
当△OAB≌△C3BA时，同理得C3 (，)；
综上，点C的坐标为(3，)或(，)或(，)．
故答案为：(3，)或(，)或(，)．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，特殊角的三角函数值，勾股定理，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
4．（2022·四川南充·八年级期末）如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是______．
【答案】（6，4）或（3，3）##（3，3）或（6，4）
【分析】先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求出b，根据△PAB是等腰直角三角形且∠PBA≠90°，所以分∠BAP'=90°、∠BPA=90°两种情况分别求点P的坐标，即可求解．
【详解】对于，令x=0，则y=2，
令y=0，则，解得：x=4，∴点A（4，0），B（0，2），∴OB=2，OA=4，
把点B（0，2）代入，得：b=2，∴直线PB的解析式为，
根据题意得：∠PBA≠90°，
①当∠BA P′=90°且AB=AP′，过A作AP′⊥AB，垂足为A，过P′作P′H′⊥轴，
∴∠AOB=∠P′H′A=90°，∠OAB+∠P′A H′=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠P′A H′，
又AB=AP′，∴△AOB≌△P′AH′（AAS），∴AH′=0B=2，P′H′=0A=4，
∴OH′=OA+AH′=6，∴P′（6，4），
把x=6代入，得y=4，∴点P′在直线，符合题意．
②当∠BPA=90°且BP=AP，过A作AP⊥BP于点P，过P作PH⊥y轴，过P作PQ⊥x轴，
∴∠PHO=∠PQO=∠HOQ=90°，∴四边形OHPQ为矩形，
∴PH=0Q，PQ=OH，∠HPB+∠BPQ=90°，∵∠APQ+∠BPQ=90°，∴∠HPB=∠APQ，
又∵BP=AP，∴△HBP≌△QAP（AAS），∴HP=PQ，HB=QA，∴四边形OHPQ为正方形，
∵OH+OQ=（OB+HB）+OQ=OB+AQ+OQ=OB+（AQ+OQ）=OB+OA=4+2=6，
∴PH=PQ=3，∴P（3，3），
把x=3代入得：y=3，∴点P在直线，符合题意．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（3，3）．故答案为：（6，4）或（3，3）
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数及图像上的点的坐标，其中根据等腰直角三角形的直角分为两种可能，再通过添加辅助线构造全等三角形，是求得点P坐标的关键．
5．（2022·成都市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（8，0），B（2，6），C（4，0），点P，Q是△ABO边上的两个动点（点P不与点C重合），以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，则满足条件的点P的坐标为 ．
解：以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，
①如图1所示，当△POQ≌△COQ时，即OP＝OC＝4，
过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，
∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴OB＝＝2，
∵PE∥BF，∴△POE∽△BOF，∴，∴＝＝，
∴PE＝，OE＝，∴点P的坐标为（，）；
②如图2，当△POQ≌△CQO时，即QP＝OC＝4，OP＝CQ，
∴四边形PQCO是平行四边形，∴PQ∥OA，
过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，
∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴OB＝＝2，
∵PQ∥OA，∴＝，∴PB＝，∴PE＝，∴点P是OB的中点，
∵PE∥BF，∴PE＝BF＝3，OE＝EF＝1，∴点P的坐标为（1，3），
如图3，如图3，当△OQC≌△QOP时，
过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，
∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴AF＝6，
∴△ABF和△APE是等腰直角三角形，∴PE＝AE，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+8，∴设点P的坐标为（x，﹣x+8），
连接PC∵△OQC≌△QOP，∴∠POQ＝∠CQO，PQ＝OC，CQ＝OP，
∴△PQC≌△COP，∴∠OPC＝∠QCP，∴∠OQC＝∠QCP，∴PC∥OQ，∴PC＝OB＝，
∵PC2＝CE2+PE2，∴10＝（x﹣4）2+（﹣x+8）2，解得：x＝5，x＝7（不合题意舍去），∴P（5，3）；
如图4，当△OQC≌△QOP时，过P作PE⊥OA于E，连接PC，同理PE＝AE，PC∥OQ，
∵AC＝OC，∴AP＝PQ，∵△OQC≌△QOP，∴PQ＝OC＝4，
∴AP＝PQ＝4，∴PE＝AE＝2，∴OE＝8﹣2，∴P（8﹣2，2），
综上所述，点P的坐标为（，）或（1，3）或P（5，3）或（8﹣2，2）．
故答案为（，）或（1，3）或P（5，3）或（8﹣2，2）．
6．（2022·浙江·金华八年级期中）如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．
【答案】 ，，
【分析】将两条直线的方程联立，求出点的坐标，从而可得的底与高，进而求出面积；对点的位置进行分类讨论，画出使与全等的草图，结合全等三角形对应边相等建立等量关系，求出点的坐标．
【详解】解：，令，得，．
，令，得，．．
令，解得，．．
若与全等，则：
①当点在点下方时，如图所示，，．
，即，解得，
将代入，得．．
②当点在点上方时，如图所示．
若，，则，
将代入，得，．
若，，则，
将代入，得，．
综上，所有满足题意的点的坐标为，，．
故答案为：；，，．
【点睛】本题考查了一次函数的性质及应用，全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与全等三角形相关知识是解题的关键．
7．（2022·上海市八年级期中）已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、点，在直线上有一点，连接、，三角形是等腰三角形，则点的坐标为______．
【答案】或或
【分析】利用一次函数求得、的坐标，然后利用勾股定理列方程，即可求得的坐标．
【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、点，
，，，设，
当AB=BC时，则，解得∶ 或2，或；
当AC=BC时， 解得∶，∴点C；
综上，点的坐标为或或，故答案为：或或
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到勾股定理和等腰三角形的定义，难度不大，分类讨论思想的运用是解题的关键．
8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线yx与x轴交于点A，且经过点B（2，a），在y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，已知C（3，0）．
（1）a＝_____；（2）若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，则点M的坐标是 _____．
【答案】 3 ，或，或，或，
【分析】（1）令x=2即可求得a的值；
（2）先求得直线BC的解析式为y=-3x+9，点A的坐标为（-2，0），过点M作MH⊥y轴于点H，证明△MPH≌△PAO，然后设点P的坐标为（0，y），点M的坐标为（x，-3x+9），然后求得AO、PO、PH、MH的长，进而由全等三角形的性质列出方程求得x的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：（1）当时，，，故答案为：3．
（2）由（1）得点的坐标为，设直线的解析式为，
，解得：，直线的解析式为，
对，当时，，点的坐标为，即得，
过点作轴于点，则，，
是以为对角线的等腰直角三角形，，，
，，，，，
设，，则，，，
，解得：或或或，
点的坐标为，或，或，或，．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是过点M作MH⊥y轴于点H，构造全等三角形．
9．（2022·江西景德镇·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与两坐标轴分别交于点，点，直线与交于点，点在射线上，若为直角三角形，则点的坐标为______．
【答案】(9,7)或(1,-1)或(4,2)
【分析】设P(x,x-2)，根据两点距离公式可求得AB2=42+22=20，AP2=x2+(x-2-2)2=2x2-8x+16，BP2=(x-4)2+(x-2)2=2x2-12x+20，然后分三种情况：当∠ABP=90°时，则AB2+BP2=AP2；当∠BAP=90°时，则AB2+AP2=BP2；当∠APB=90°时，则AB2=BP2+AP2，分别求解即可．
【详解】解：设P(x,x-2)，
∵，∴AB2=42+22=20，AP2=x2+(x-2-2)2=2x2-8x+16，BP2=(x-4)2+(x-2)2=2x2-12x+20，
当∠ABP=90°时，则AB2+BP2=AP2，∴20+2x2-12x+20=2x2-8x+16，解得：x=9，则x-2=7，∴P(9,7)；
当∠BAP=90°时，则AB2+AP2=BP2，∴20+2x2-8x+16=2x2-12x+20，解得 ：x=-4，
∵点P在射线DC上，故x>0，所以x=-4不符合题意，舍去，
当∠APB=90°时，则AB2=BP2+AP2，20=2x2-12x+20+2x2-8x+16，
解得：x1=1，x2=4，∴x-2=-1或2，∴P(1,-1)或(4,2)，
综上，点P的坐标为(9,7)或(1,-1)或(4,2)，故答案为：(9,7)或(1,-1)或(4,2)
【点睛】本题考查一次函数与特殊三角形综合问题，一次函数图象上点的坐标特征，利用坐标求两点距离，勾股定理，注意分类讨论思想的应用，以免漏解．
三、解答题（本大题共12小题，共93分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
10．（2022·福建三明·八年级期末）【探索发现】
如图1，在等腰直角三角形中，，若点在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“型全等”．
【迁移应用】设直线与轴，轴分别交于，两点．
(1)若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限，如图2．
①直接填写：______，______；②求点的坐标．(2)如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接．当变化时，的面积是否为定值？请说明理由．
【拓展应用】(3)如图4，若，点的坐标为．设点，分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)①2，3；②(2)是，理由见解析(3)点的坐标为或
【分析】（1）①若k＝，则直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，3）两点，即可求解；②作ED⊥OB于D，则△BED≌△ABO．由全等三角形的性质得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；（2）过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；（3）过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，证明△PCS≌△QPT．分两种情况，由全等三角形的性质得QT＝PS，PT＝SC，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3求得n的值，即可求解．
(1)解：①若k＝，则直线y＝kx+3（k≠0）为直线y＝x+3，
当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x，2，
∴A（2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，故答案为：2，3；
②作ED⊥OB于D，∴∠BDE＝∠AOB＝90°，
∵∠ABO+∠EBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠EBD，
又∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴△BED≌△ABO（AAS），
∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝OB+BD＝5，∴点E的坐标为（3，5）；
(2)解：当k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝，理由如下：过点N作NM⊥OB于M，
∴△BMN≌△AOB（AAS）．∴MN＝OB＝3，
∴S△OBN＝OB MN＝×3×3＝，∴k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝ ；
(3)解：n＜3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，
∴△PCS≌△QPT（AAS）．∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝3﹣n，
∴ST＝5﹣n，∴点Q的坐标为（2+n，n﹣5），
∵k＝﹣2，∴直线y＝﹣2x+3，
将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，n﹣5＝﹣2（2+n）+3，
解得：n＝ ，∴点Q的坐标为（ ，）；
n＞3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，
∴△PCS≌△QPT（AAS）．∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝n﹣3，
∴ST＝n﹣1，∴点Q的坐标为（n﹣2，1﹣n），∵k＝﹣2，∴直线y＝﹣2x+3，
将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，1﹣n＝﹣2（n﹣2）+3，解得：n＝6，∴点Q的坐标为（4，﹣5）．
综上，点Q的坐标为（ ，）或（4，﹣5）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键．
11．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图， 已知直线与轴、 轴分别交于点， 以 为边在第一象限内作长方形 ．
(1)求点的坐标；(2)将对折， 使得点的与点重合，折痕B'D'交AC于点B'，交AB于点D，求直线的解析式 （图②）；(3)在坐标平面内， 是否存在点 （除点外）， 使得与全等， 若存在， 请求出 所有符合条件的点的坐标， 若不存在， 请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，
【分析】（1）对于直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后根据待定系数法求出直线CD的解析式即可；；（3）分三种情况，根据翻折的性质以及勾股定理、等面积法，即可求得符合题意的点P的坐标．
(1)对于直线y=-2x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2
∴A（2，0），C（0，4），故答案是：（2，0），（0，4）；
(2)∵四边形是矩形，∴AO//BC，且BC=AO=2；AB//OC，且AB=OC=4，
∵则B（2，4）．由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）2+22=x2，解得， 此时，AD=∴D（2，）；
设直线CD为y=kx+b，把D（2，），C（0，4）代入，得
解得，∴直线CD解析式为
(3)情形1：如图①，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，AB=CP，AP=BC=2
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD=，PD=BD=4-=，
由 得：PQ=3，∴PQ=．∴xP=2+=，
把x=代入y=-x+4，得y=．此时P（，）．
情形2：∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC， ∴△AOC≌△CBA
当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）．
情形3：如图②，由△APC≌△CBA得∠
过点P作于点G，AP与OC交于点H，
设则在中，
∵∴
在中，∴解得，
经检验，是原方程的解；∴∴
设则在中，
在中，∴
解得，，即∴
∴∴
综上，点P的坐标为
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解题的关键．
12．（2022·浙江·金华市八年级期中）如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．
(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；(2)点N是直线AD上的一动点（不与A重合），设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S＝12；
(3)在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点D的坐标为（2，6），直线OP的解析式为y=x；
(2)S=；a=3或a=13；
(3)在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=时点Q的坐标为（8，）或（8，），当t=时点Q的坐标为（8，）．
【分析】（1）根据长方形的性质可得出点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再由点P是AD的中点可得出点P的坐标，进而可得出正比例函数OP的解析式；
（2）由直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标，设点N的坐标为（a，-a+8），由△AEN的面积公式，可得出S和a之间的函数关系式，代入数值即可得出结论；
（3）由点T的坐标可得出点F，G的坐标，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况考虑：①当∠FGQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；②当∠GFQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标．综上，此题得解．
（1）解：∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，6），
∴点A的坐标为（8，0），BCx轴．
∵直线y=-x+b经过点A，∴0=-8+b，∴b=8，∴直线AD的解析式为y=-x+8．
当y=6时，有-x+8=6，解得：x=2，∴点D的坐标为（2，6）．
∵点P是AD的中点，∴点P的坐标为（，），即（5，3），
设直线OP的解析式为y=kx，∴3=5k，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x；
解：当x=8时，y=x=，∴点E的坐标为（8，）．
设点N的坐标为（a，-a+8）．∴S=××|8-a|=|8-a|，
当a<8时，S=|8-a|=； 当a>8时，S=|8-a|=；
∴S=；当S=12时，|8-a|=12，解得：a=3或a=13；
（3）解：∵点T的坐标为（t，0）（5＜t＜8），
∴点F的坐标为（t，t），点G的坐标为（t，-t+8）．
分三种情况考虑： ①当∠FGQ=90°时，如图1所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形，∴FG=GQ，即t-（-t+8）=8-t，解得：t=，
此时点Q的坐标为（8，）；
②当∠GFQ=90°时，如图2所示．∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG=FQ，即t-（-t+8）=8-t，解得：t=，此时点Q的坐标为（8，）；
③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，如图3所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形∴FG=2QS，即t-（-t+8）=2（8-t），解得：t=，
此时点F的坐标为（，4），点G的坐标为（，），
此时点Q的坐标为（8，），即（8，）．
综上所述：在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=时点Q的坐标为（8，）或（8，），当t=时点Q的坐标为（8，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、中点坐标公式、三角形的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式求解；（3）分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况求出t值．
13．（2022·重庆·八年级期中）已知关于x的一次函数y1＝﹣mx+3m的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点B作直线y2＝﹣x的垂线，垂足为M，连接AM．（1）求点A的坐标；（2）当△ABM为直角三角形时，求点M的坐标；（3）求△ABM的面积（用含m的代数式表示，写出m相应的取值范围）．
解：（1）当y1＝0时，﹣mx+3m＝0，解得，x＝3，∴点A的坐标为（3，0）；
（2）△ABM为直角三角形时，∵∠BMA＜90°，∠BAM＜90°，∴∠ABM＝90°，
∵BM⊥直线y2＝﹣x，∴直线y1＝﹣mx+3m∥直线y2＝﹣x，∴m＝1，
则OB＝3m＝3，∴OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠OBM＝45°，
作MH⊥OB于H，则MH＝OH＝OB＝，∴点M的坐标为（﹣，）；
（3）∵直线y2＝﹣x与y轴的夹角是45°，∴∠MOB＝45°，∴OH＝MH＝OB＝m，
则△ABM的面积＝△OBM的面积+△ABO的面积﹣△AOM的面积
＝×3m×m+×3×3m﹣×3×m
＝m2+m（由于直线y1＝﹣mx+3m与y轴的交点在y轴的正半轴上，因此m＞0）．
14．（2022·吉林长春·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点．
(1)求此一次函数的解析式；(2)若点C在此一次函数的图象上，且点C到y轴的距离为1，求点C的坐标；(3)设此直线上A、B两点间的部分（包括A、B两点）记为图象G，点D的坐标为．
①点D是否能在图象G上，如果能，求出m的值，如果不能，说明理由；
②过在D作y轴的垂线，垂足为点E，过点D作x轴的垂线，交图象G于点F，当是等腰直角三角形时，求出m的值．
【答案】(1)y=-x+；(2)点C的坐标为（1，）或（-1，）；
(3)①点D能在图象G上，m=-；②当△DEF是等腰直角三角形时，m的值为-．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）分两种情况：x=1时；x=-1时；代入直线AB所对应的函数表达式可求点C的坐标；
（3）①由题意得图象G的解析式为y=-x+（-2≤x≤2），点D在直线y=-2x+2上，求出两直线的交点坐标，即可得出答案；②由题意可得E（0，-2m+2），F（m，-m+），用含m的式子表示出DE、DF，根据△DEF是等腰直角三角形，即可求解．
（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，5）和点B（2，2）．
∴，解得．∴此一次函数的解析式为：y=-x+；
（2）解：∵点C到y轴的距离为1，∴点C横坐标存在两种情况：x=1或x=-1，
x=1时，y=-+=；x=-1时，y=+=．故点C的坐标为（1，）或（-1，）；
（3）解：①∵直线y=-x+上A、B两点间的部分（包括A、B两点）记为图象G，
∴图象G的解析式为y=-x+（-2≤x≤2），
∵点D的坐标为（m，-2m+2）．∴点D在直线y=-2x+2上，
联立得，解得，∴两直线的交点坐标为（-，），
∴点D能在图象G上，m=-；
②如图：
∵点D的坐标为（m，-2m+2）．DE⊥y轴，DF⊥x轴，
∴E（0，-2m+2），F（m，-m+），DE⊥DF，
∴DE=|m|，DF=|-m++2m-2|=|m+|，
∵△DEF是等腰直角三角形，DE⊥DF，∴DE=DF，
∴|m|=|m+|，解得m=-或-6（不合题意，舍去），
∴当△DEF是等腰直角三角形时，m的值为-．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，两直线相交问题，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2022成都市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）∵四边形ABCO是正方形，∴∠COD＝∠OCP，∵OC＝CO，
∴当CP＝OD＝1时，△CPO≌△ODC，∴P（1，3），
设直线OP的解析式为y＝kx，则有3＝k，∴直线OP的解析式为y＝3x．
（2）当点P在线段BC上时，如图1中，S＝ CP CO＝t（0＜t≤3），
当点P在线段AB上时，如图2中，BP＝t﹣3，AP＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
S＝3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）＝﹣t+6（3＜t≤6），
综上所述，S＝．
（3）如图3中，
①当DC＝DP1时，P1（2，3），②当DC＝DP2时，AP2＝＝，∴P2（3，）．
③当CD＝CP3＝时，BP3＝＝1，∴P3（3，2）．
④当P4C＝P4D时，设AP4＝a，则有22+a2＝32+（3﹣a）2，解得a＝，∴P4（3，），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．
16．（2022·河南·上蔡县第一初级中学八年级阶段练习）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是（0，﹣1），P为直线AB上的动点，连接PO，PC，AC，(1)求A、B两点的坐标．(2)求证：△ABC为直角三角形．(3)当△PBC与△POA面积相等时，求点P的坐标．
【答案】(1)，(2)见解析(3)，或
【分析】（1）根据一次函数解析式令，结合图像求得即可；
（2）求出，，，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；（3）根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可求得．
（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则，解得，，令，则，；
（2）证明：，，，
，，，
，，，，为直角三角形；
（3）解：设，与面积相等，，
当，时，解得，，，
当，时，解得（舍去），
当，时，解得（舍去），
当，时，解得，，，或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，勾股定理的应用等，掌握一次函数的性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
17．（2022 青羊区校级期中）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O'．（1）求k、b的值；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积．
解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）存在，理由如下：如图1所示，
①当AB＝AC时，AC＝AB＝＝4，
可得C1（4﹣4，0），C2（4+4，0）．
②当BA＝BC时，OA＝OC＝4，可得C3（﹣4，0）．
③当CA＝CB时，点C与点O重合，可得C4（0，0），
综上所述，满足条件的点C坐标为（4﹣4，0）或（4+4，0）或（﹣4，0）或（0，0）．
（3）存在两种情况：①当P在x轴的正半轴上时，如图2所示：
点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∠PO'B＝∠POB＝90°，
∴∠PO'A＝90°，∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△OBP＝OB OP＝×4×（4﹣4）＝8﹣8；
②当P在x轴的负半轴时，如图3所示：由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△OBP＝OB OP＝×4×（4+4）＝8+8；
综上所述，△OBP的面积为8﹣8或8+8．
18．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上．(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；(2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1)A（2，2）；(2)（2，2）或（10，﹣2）；
(3)在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）
【分析】（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点，据此求解即可；
（2）根据△ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标；
（3）设点A的坐标为，根据两点间距离公式表示出，，，再利用勾股定理建立方程，求解即可．
(1)如图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上．
∵B（0，0），C（4，0），∴BC的中垂线为x＝2．
又点A在直线l：y＝﹣x+3上，∴y＝﹣×2+3＝2，即A（2，2）；
(2)设A（a，b）．则依题意得BC |b|＝4，即×4|b|＝4，解得|b|＝2∴b＝±2．
①当b＝2时，2＝﹣a+3，解得 a＝2则A（2，2）；
②当b＝﹣2时，﹣2＝﹣a+3，解得 a＝10则A（10，﹣2）．
综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，﹣2）；
(3)设点A的坐标为， B（0，0），C（4，0），
，，，
∠BAC＝90°，，即，解得或，
所以，在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解．
19．（2022·重庆·八年级期中）如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．
∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO＝BC＝4．
∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．
（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，∵点A关于x轴的对称点为A′，∴PA＝PA'，
又AP＝PB，∴PA＝PA'＝PB，∴∠PAA'＝∠PBA'＝∠PA'B，
又∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'＝90°，∴∠AA'B＝45°，即∠OA'B＝45°；
（3）当t＝3时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，
①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，
∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），
∴OA＝DM＝4，OP＝PD＝3，∴M（6，﹣4）．
②如图4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（4，7），
③如图5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（10，﹣1）．
综合以上可得点M的坐标为（4，7），（6，﹣4），（10，﹣1）
20．（2023·江苏·八年级阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．(1)求证：；(2)模型应用：①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）
【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，
∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线：y＝x4，∴A（0，4），B（3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（7，3）
设的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴∴，∴的解析式：；
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∵，
∴，∴
∵点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，∴设D点坐标为（x，2x6），
∵B的坐标为（8，﹣6），∴
∴，即解得，∴D点坐标（4，2）；
如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得，
过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14m，m8），
由m8＝2（14m）+6，得m＝，∴D点坐标（，）；
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（，），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，），
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
21．（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
【答案】7或8
【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答．
【详解】解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，当y=0时，0=，∴ ，即；
∵与全等，∴分两种情况：
当时，，如图所示，则，
∴点Q的横坐标为：，
当时，，如图所示，则，
∵ ，∴点Q的横坐标为：；综上所述：点Q的横坐标为7或8．
【点睛】本题考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
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专题5.6 一次函数中的特殊三角形模型
模块1：学习目标
一次函数中的特殊三角形模型，共分为四大类（一次函数中的等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形），本专题就一次函数中的特殊三角形模型进行专题总结。
模块2：知识梳理
1、一次函数中的等腰三角形（方法：两圆一线）
例：已知点A（1,3），点在轴上，使为等腰三角形。
第1步：画图，初步确认点的位置（如图1）；
图1 图2 图3 图4
第2步：分三种情况求解：（标等边，用公式）
由题意知（两点间距离公式）：
①当时（如图2），∴ ∴
②当时（如图3），利用三线合一做辅助线： ∴ ∴
③当时（如图4），设， 解得：x=5 ∴
2、一次函数中的直角三角形（方法：两线一圆）
例：已知点A（1,3），点在轴上，使为直角三角形。
第一步：画图，初步确认点的位置（如图1）；
图1 图2 图3
第二步：分两种情况求解：（标直角，用公式）
①当时（如图2），
设，∵ ∴∴ ∴
②当时（如图3），设 ∵ ∴
3、一次函数中的等腰直角三角形
例：已知点A（1,3），点在平面内，使为等腰直角三角形。
第一步：画出6个答案（如图1）：
图1 图2 图3 图4
第二步：分三种情况求解：（见等腰直角三角形构“K”型全等求坐标）
①当时（如图2），设，构造“K”型全等：，
表示线段：；；；
由全等得；
∴；同理，可得
②当时，同①中方法构造“K”型全等，可得：，
③当时，法1：同①中方法构造“K”型全等（如图4）
法2（中点坐标）：（如图3）为的中点 ∴ ∴； 同理，可得
4、一次函数与全等三角形
1）解题步骤：①先找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。
2）相等的角或边情况：
①公共边情况（如图1）：平面内找一点，使以、、为顶点的三角形与全等.
图1 图 2
、关于成轴对称，、关于成轴对称，即是、的中垂线，可用中垂线代数法求点。
②固定角相等（如图2）：①两个三角形为直角三角形；②相等角为对顶角：
模块3：核心考点与典例
考点1、一次函数中的等腰三角形
例1．（2022·巩义市八年级期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线交直线于点C，点P为x轴上一动点．（1）求点C坐标；（2）当直线平分的面积时，直线与y轴交于点D，求线段的长；（3）若是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
变式1．（2022·重庆黔江·八年级期末）如图一，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交 轴于点，当，求出，两点的坐标；(3)将直线向左平移10个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴，点在直线上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
变式2．（2022·成都市·八年级期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为（3，4），将直线OA绕点O顺时针旋转45°后得到直线y=kx（k≠0）．
(1)求直线OA的表达式；(2)求k的值；(3)在直线y=kx（k≠0）上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使△ABC是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标．
考点2、一次函数中的直角三角形
例2．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．(1)求直线的函数解析式；(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；(3)当为直角三角形时，求m的值．
变式1．（2022 浠水县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝ ；b＝ ．（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．
变式2．（2022 陈仓区期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：l1：y1＝k1x+b1（k1≠0）；l2：y2＝k2x+b2（k2≠0），有下列结论：当k1＝k2时，直线l1∥直线l2；当k1 k2＝﹣1时，直线l1⊥直线l2．（2）实践应用：①直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，则k＝ ．②直线m与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点（4，﹣2），则直线m的解析式为 ．③直线y＝﹣2x+3向右平移 个单位，其图象经过点（6，﹣4）．（3）深入探索：如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当△ABP为直角三角形时，求△ABP的面积．
考点3、一次函数中的等腰直角三角形
例3．（2022·四川八年级期中）（1）如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上．操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证：△CAD≌△BCE．
（2）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（3）如图3，在直角坐标系中，点B（5，4），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣3）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
变式1．（2022·四川天府新区八年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0）
(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，点C是点B关于y轴的对称点，点D是AB的中点，点P为y轴上自原点向正半轴方向运动的一动点，运动速度为2个单位长度/s，设点P运动的时间为ts，点Q为射线BA上一点，当t=5时，，求点Q的坐标；(3)如图3，在（2）的条件下，当△PDC为等腰直角三角形时，求t的值．
变式2．（2022,重庆市八年级期中）如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
考点4、一次函数中的全等三角形
例1．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接．
(1)求点C的坐标；(2)如图2，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022 罗湖区校级模拟）如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ．
变式2．（2022 辽宁八年级期中）如图1，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x+1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．
（1）求点C的坐标．（2）求△BDC的面积（3）如图2，P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．①若PQ∥x轴，且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上，求PQ的长．②若BDC与△BPQ全等（点Q不与点C重合），请写出所有满足要求的点Q坐标 （直接写出答案）
模块四：同步培优题库
全卷共21题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共1小题，每小题3分，共3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·陕西·八年级期中）如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
2．（2022·广西·钦州市八年级阶段练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．
3．（2023·江西·九年级专题练习）如图，直线y= x+与坐标轴分别交于A，B两点，在平面直角坐标系内有一点C，使△ABC与△ABO全等，则点C的坐标为________．
4．（2022·四川南充·八年级期末）如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是______．
5．（2022·成都市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（8，0），B（2，6），C（4，0），点P，Q是△ABO边上的两个动点（点P不与点C重合），以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，则满足条件的点P的坐标为 ．
6．（2022·浙江·金华八年级期中）如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．
7．（2022·上海市八年级期中）已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、点，在直线上有一点，连接、，三角形是等腰三角形，则点的坐标为______．
8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线yx与x轴交于点A，且经过点B（2，a），在y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，已知C（3，0）．
（1）a＝_____；（2）若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，则点M的坐标是 _____．
9．（2022·江西景德镇·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与两坐标轴分别交于点，点，直线与交于点，点在射线上，若为直角三角形，则点的坐标为______．
三、解答题（本大题共12小题，共93分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
10．（2022·福建三明·八年级期末）【探索发现】
如图1，在等腰直角三角形中，，若点在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“型全等”．
【迁移应用】设直线与轴，轴分别交于，两点．
(1)若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限，如图2．
①直接填写：______，______；②求点的坐标．(2)如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接．当变化时，的面积是否为定值？请说明理由．
【拓展应用】(3)如图4，若，点的坐标为．设点，分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
11．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图， 已知直线与轴、 轴分别交于点， 以 为边在第一象限内作长方形 ．
(1)求点的坐标；(2)将对折， 使得点的与点重合，折痕B'D'交AC于点B'，交AB于点D，求直线的解析式 （图②）；(3)在坐标平面内， 是否存在点 （除点外）， 使得与全等， 若存在， 请求出 所有符合条件的点的坐标， 若不存在， 请说明理由．
12．（2022·浙江·金华市八年级期中）如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．
(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；(2)点N是直线AD上的一动点（不与A重合），设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S＝12；
(3)在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．
13．（2022·重庆·八年级期中）已知关于x的一次函数y1＝﹣mx+3m的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点B作直线y2＝﹣x的垂线，垂足为M，连接AM．（1）求点A的坐标；（2）当△ABM为直角三角形时，求点M的坐标；（3）求△ABM的面积（用含m的代数式表示，写出m相应的取值范围）．
14．（2022·吉林长春·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点．
(1)求此一次函数的解析式；(2)若点C在此一次函数的图象上，且点C到y轴的距离为1，求点C的坐标；(3)设此直线上A、B两点间的部分（包括A、B两点）记为图象G，点D的坐标为．
①点D是否能在图象G上，如果能，求出m的值，如果不能，说明理由；
②过在D作y轴的垂线，垂足为点E，过点D作x轴的垂线，交图象G于点F，当是等腰直角三角形时，求出m的值．
15．（2022成都市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
16．（2022·河南·上蔡县第一初级中学八年级阶段练习）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是（0，﹣1），P为直线AB上的动点，连接PO，PC，AC，(1)求A、B两点的坐标．(2)求证：△ABC为直角三角形．(3)当△PBC与△POA面积相等时，求点P的坐标．
17．（2022 青羊区校级期中）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O'．（1）求k、b的值；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积．
18．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上．(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；(2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．
19．（2022·重庆·八年级期中）如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
20．（2023·江苏·八年级阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．(1)求证：；(2)模型应用：①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
21．（2022·山东威海·七年级期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
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