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专题5.7 一次函数中的面积、特殊角度与探究规律问题
模块1：学习目标
1、掌握一次函数中的相关面积问题；
2、掌握一次函数中的相关特殊角度问题；
3、掌握一次函数中的探究规律问题；
模块2：知识梳理
1、一次函数中的面积模型
1）求点的坐标：一般会求两种坐标：①直线与轴、轴的交点坐标；②两直线的交点坐标。
2）表示面积：①规则图形：用公式法（三角形面积不能漏×）；
②不规则图形：（1）割补法，如下图：四边形用分割，；
（2）作差法（），如下图：.
注：求三角形面积时往往选择平行于坐标轴的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
3）常见题型：（1）一次函数图象与坐标轴围成的图形面积问题；（2）一次函数面积定值与动态面积问题；（3）一次函数面积相等问题；（4）一次函数面积倍分问题；（5）一次函数不规则图形面积问题。
2、一次函数中的特殊角度模型
1）常见题型及解题方法：（1）一次函数旋转45°（方法：构造K字型全等）；（2）角度相等（方法：构造全等或等边对等角）；
3、一次函数中的规律探究模型
1）解题方法：（1）根据图象特征和已知条件列出前几项；（2）根据前几项结果归纳总结规律进而进行计算。
2）常见题型：（1）一次函数与点的坐标；（2）一次函数与周长面积；（3）一次函数与路径长；（4）一次函数与正方形。
模块3：核心考点与典例
考点1、一次函数中的面积问题
例1．（2022·北京通州·八年级期中）如图，一次函数图像与轴，轴分别交于点、，点是第一象限内的点，且满足，是等腰直角三角形．(1)求点，坐标；(2)求的面积．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为(2)
【分析】（1）分别令，求x的值，令，得y的值，即可确定点，坐标；
（2）利用勾股定理求出，再根据是等腰直角三角形即可求其面积．
（1）解：由直线，令，得，令，得，
则点的坐标为，点的坐标为；
（2）∵点的坐标为，点的坐标为，∴，
∵，是等腰直角三角形，∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是掌握一次函数图像上点的坐标特征．
例2．（2022·浙江·八年级期末）如图，直线PA：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B，(1)请写出A点的坐标是（_________，_________），Q点的坐标是（_________，_________），B点的坐标是（_________，_________），P点的坐标是（_________，_________）．
(2)若△AOQ的面积为，则=_________，四边形PQOB的面积为，则=_________．
(3)直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)-2，0，0，2，4，0，2，4(2)2，10(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法或构建方程组即可解决问题．（2）利用三角形的面积公式计算即可．
（3）设M（m，m＋2），则有或，分别构建方程即可解决问题．
（1）解：∵直线PA：y＝x＋2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y＝ 2x＋8与x轴交于点B，∴Q（0，2），A（ 2，0），B（4，0），
由，解得，∴P（2，4），故答案为 2，0，0，2，4，0，2，4．
（2）解：，，故答案为2，10．
（3）解：设M（m，m＋2），则有或，
∴或，解得或，
当时，；当时，，∴或．
【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
例3．（2022·陕西·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
【答案】（1）直线AB的函数表达式为y=-x+5；（2）点P的坐标为（，）．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可求出k、b的值即可得出答案；（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，），设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（a，a-1）代入即可的求出a的值，即可的出答案．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（5，0），B（0，5）代入上式，得，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+5；
（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，∴直线AP经过OB的中点（0，），
设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入上式，
得，解得，∴直线AP的解析式为y=-x+，
把p（a，a-1）代入y=-x+中，得 a+＝a 1，解得：a=，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本题的关键．
例4．（2022·重庆市江津中学校八年级阶段练习）如图，已知直线经过点，
(1)求直线的解析式．(2)若直线与直线AB相交于点C，求点C的坐标．
(3)在直线上是否存在点P，使得，若存在，直接写出P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x+5；(2)C(3,2)；(3)或
【分析】（1）将点A、B代入解析式，求解方程组即可；（2）将两个一次函数组成方程组求解即可；
（3）根据解析式确定出点F的坐标及，结合题意及图形得出，然后求解即可．
（1）解：直线y=kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)，
∴，解得：，直线AB的解析式为：y=-x+5；
（2）直线y=2x 4与直线AB相交于点C，∴，解得：，∴点C(3,2)；
（3）y=2x-4，当y=0时，x=2，∴F（2,0），∴AF=5-2=3，
∵，，∴，
∴，
解得：，∴，当y=时，x=，∴P()；
当y=时，x=，∴P()；综上可得：P()或P() ．
【点睛】题目主要考查一次函数的基本性质及确定一次函数的方法，一元一次方程的应用等，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
例5．（2022·湖南·衡阳八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点若点是直线上的一个动点，点和点分别在轴和轴上．
(1)的值是______；(2)若点在线段上，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．(3)若已知点的坐标为（6，0），点的坐标为（0，1），且四边形的面积是，求点的坐标．(4)当平行于轴，平行于轴时，若四边形的周长是，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)存在，(3)(4)或
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出值；
（2）过点作轴于，过点作轴于，证明，可得，设，则，解方程求得的值，即可求解；
（3）过点作轴于，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，由四边形的面积是，得出，解方程求得的值，即可求得的坐标；
（4）由题意可知，解方程求得的值，即可求得的坐标．
（1）将代入，得：，解得：，故答案为：；
（2）存在，点的坐标为，
如图，过点作轴于，过点作轴于，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
设，则，解得，∴；
（3）如图，过点作轴于，
由（1）可知直线的解析式为．设，，
∵点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，，
∵四边形的面积是9，
∴，
整理得，解得，∴点的坐标为；
（4）∵轴，轴，∴四边形是矩形，
∵四边形的周长是10，
设，∴或，
解得或，点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，利用方程的思想求解．
例6．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在坐标系中，A点的坐标为，点的坐标为，且满足，以点为直角顶点为腰作等腰，其中点在第三象限内，且．
图1 图2 图3
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，已知是与轴的交点，是与轴的交点，连接，求的值；
(3)如图3，点是轴负半轴上一动点，点在轴正半轴上，分别以点为顶点为腰在第二、第一象限作等腰和等腰，连接交轴于点，试问：当的值发生变化时，的面积是否发生改变？若不变，请求出其值．
【答案】(1)点的坐标为(2)5(3)14
【分析】（1）根据非负数的性质求出，，从而得到，，即，，作轴交轴于点，则，证明得到，，，即可得到答案；
（2）由（1）得：，，，用待定系数法分别求出直线、的解析式，从而得出的坐标，再根据两点间的距离得出，即可得到答案；
（3）在上截取一点，使，证明得到，，证明，得到，作轴交轴于，作交轴于，证明，得到，同理可得，，再根据进行代换和计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，，，
，，，，，，，，
如图，作轴交轴于点，则，，
是等腰直角三角形，，，，，
在和中，，，
，，，点的坐标为；
（2）解：由（1）得：，，，设直线解析式为：，
将，代入解析式得：，解得：，
直线解析式为，当时，，
，，设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，解得：，
直线的解析式为，当时，，
解得：，，，；
（3）解：如图，在上截取一点，使，
、为等腰直角三角形，，，，，
，，
，，，，
在和中，，，，，
，，，
在和中，，，，
作轴交轴于，作交轴于，则，
在和中，，，，
同理可得，，
，，，，，，
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、非负数的性质、一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
考点2、一次函数中的角度问题
例1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为__．
【答案】y＝﹣x+
【分析】证明△ABO≌△ABC，于是可知∠CBA=∠ABO=30°，得出OB=3即可求出直线AB的函数表达式．
【详解】解：∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，∴∠ACB＝∠AOB＝90°，
∵点E是AB的中点，∴CE＝BE=EA∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠ECA+∠ECF＝90°，∠ECF+∠CFE＝90°∴∠CFE＝∠BAC，
而点D，E分别为AO，AB的中点，∴DFOB，∴∠CFE＝∠CBO＝2∠CBA＝2∠ABO，
∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，∴△ABO≌△ABC，
∴∠OAB＝∠CAB＝2∠ABO，∴∠ABO＝30°，
而点A的坐标为（0，），即OA＝，
∴OB＝3即点B的坐标为（3，0），
于是可设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，代入A、B两点坐标得
解得k＝﹣，b＝，故答案为y＝﹣x+．
【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．
例2．（2022·广东·揭西八年级期中）如图，已知点A（2,-5）在直线：y＝2x+b上，和：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8．(1)直接写出b、k的值；(2)若直线、与y轴分别交于点C、D，点P在线段BC上，满足，求出点P的坐标；(3)若点Q是直线上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标．
【答案】(1)k=1，b=-9(2)P(6,3)(3)
【分析】（1）将点A的坐标代入中，求出b的值，即可求出直线的解析式，然后将x=8代入直线的解析式中，即可求出点B的坐标，最后将点B的坐标代入中，即可求出k的值；
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，根据点B的坐标即可求出BE的长，由题意可得，然后根据三角形的面积公式即可求出PF，从而求出点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为（a,a-1），过点Q作QE⊥AQ交直线于点E，过点Q作FG⊥x轴，过点A作AF⊥FG于F，过点E作EG⊥FG于G，可得△AQE为等腰直角三角形，QE=AQ，再证明△GEQ≌△FQA，即有GE=FQ，QG=AF，即有，AF=2-a，GE=a+4，QG=2-a，点E的横坐标为a+4+a=2a+4，点E的纵坐标为，根据点E在上，可得，解得：a=，则问题得解．
（1）将点A的坐标代入中，得，解得：b=-9，
∴直线的解析式为，将x=8代入中，解得：y=7，∴点B的坐标为（8,7），
将点B的坐标代入中，得，解得：k=1，综上：k=1，b=-9；
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，连接PD，
根据（1）的结果，可知：直线的解析式为，直线的解析式为，
将x=0分别代入和，可得C点坐标为(0,-9)，D点坐标为(0,-1)，
∴CD=9-1=8，根据B点坐标(8,7)，可得BE=8，
∵，∴，∴，
∴=6，即点P的横坐标为6，将x=6代入中，
解得：y=3，∴点P的坐标为（6,3）；
（3）由（1）知，直线的解析式为，由点是直线上，设点Q的坐标为（a,a-1），
过点Q作QE⊥AQ交直线于点E，过点Q作FG⊥x轴，过点A作AF⊥FG于F，过点E作EG⊥FG于G，如下图所示，∵QE⊥AQ，∠BAQ=45°，∴∠AQE=90°，∴△AQE为等腰直角三角形，QE=AQ，
∵∠G=∠F=90°，∴∠GEQ+∠GQE=90°，∠FQA+∠GQE=90°，
∴∠GEQ=∠FQA，∴△GEQ≌△FQA，∴GE=FQ，QG=AF，
∵点Q的坐标为（a,a-1），点A的坐标为，
∴ ，AF=2-a，∴GE=a+4，QG=2-a，
∴点E的横坐标为a+4+a=2a+4，点E的纵坐标为，
∵点E在上，∴，解得：a=，
∴此时点Q的坐标为；即点Q的坐标为．
【点睛】此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积公式和全等三角形的判定及性质是解题的关键．
例3．（2022·深圳市高级中学八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为 ；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
【答案】（1）y＝x+2；（2）点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4
【分析】（1）先求出点A，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）设点P（m，m+2），分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求m的值，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由“ASA”可证△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求点H坐标，利用待定系数法可求CH解析式，联立方程组可求点P坐标，由两点距离公式可求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；
（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，
设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，
∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；
当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，
∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），
综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，
在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），
∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），
设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，
∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，
联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴，
当点P'在AB延长线上时，设 CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，
联立方程组，∴点P（4，4），∴，
综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
例4．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点．(1)求的值；(2)点是直线上一动点．
①如图2，当点恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式；
②是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4(2)①；②存在，或
【分析】（1）把代入，可得答案；
（2）①过点作，垂足为点．求解直线表达式为．可得．证明，过作，垂足为点．证明．可得，则，从而可得答案；②若点在射线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．证明．可得，结合点B坐标为可得点的坐标为．若点在的延长线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．同理．从而可得答案．
【详解】（1）解：将代入，得；
（2）①解：过点作，垂足为点．
．，．．
点在直线上，．直线表达式为．
把代入中，得．．．
在中，．
，．
过作，垂足为点．．．
又平分，．，．．
在直线上，令，得，，
设直线的函数表达式为．把代入，得．直线的表达式为．
②存在．若点在射线上时，如图．
过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．
．．又，．．
，为等腰直角三角形，．．．
点B坐标为．．点的坐标为．
若点在的延长线上时，如图．
过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．
同理．．点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键．
例5．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与的交点的横坐标；(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)或(3)定值，
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解得出，进而得出，即可得证；
（2）作K字型全等，进而得出结论；
（3）作于D，取，连接接，证明，得出是等腰直角三角形，根据平移的性质得出，则，即可求解．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）设直线，∵，∴，
∴，∴，∴将点代入，
，解得，∴直线；
过点B作直线与直线，使得与直线夹角为，
设点，过点P作轴，过点Q作轴，
∵，∴，∴，∴，，
∴，∴，∴，，
∴，，∴，
∵Q在直线上，∴代入得，∴，
∴，∴直线与的交点的横坐标为或
（3）的度数为定值，．
理由：作于D，取，连接接，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴可由平移所得，∴，
∴，∴
【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，综合运用以上知识是解题的关键．
考点3、一次函数中的探究规律问题
例1．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，已知直线l：与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点……按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点的坐标，通过相应规律得到坐标即可．
【详解】解：∵与x轴的夹角是30°，∴∠ABO＝30°，
∵A（0，1），AB⊥y轴，当y＝1时，代入上式得：
x＝，即AB＝，AO＝1，∴OB＝2，B（，1），
∵⊥l，∴＝4，∴（0，4），（4，4），
同理可得，...，，∴，故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质以及规律型：点的坐标，也考查了勾股定理，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到的点的坐标是解决本题的关键．
例2．（2022·山东德州·八年级期末）正方形按如图所示的方式放置．点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，先求出点，再根据正方形的性质可得，进一步可得，同理可得，按照此规律可得点的坐标．
【详解】解：点、、和点、、分别在直线和轴上，
当时，，，，正方形的边长为1，，
当时，，，，正方形的边长为2，，
当时，，，按照上述规律，可得点，，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与正方形的综合，解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征并找出点坐标之间的规律，利用规律求解．
例3．（2022·河南信阳·八年级期末）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作轴于点D，先求出，可得BC=2，从而得到∠OBC=30°进而得到，，，可得到第1个等边三角形的边长，第2个等边三角形的边长，第3个等边三角形的边长，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，∴当x=0时，y=1，当y=0时，，
∴点，∴，∴，
∴，∴∠OBC=30°，∴∠OCB=60°，
∵是等边三角形，∴，∴，
∴，∴，
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于．故选：A
【点睛】本题考查了一次函数综合题，直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据题意准确得到规律是解题的关键．
例4．（2022·广西九年级模拟）在平面直角坐标系中，点在射线上，点在射线上，以为直角边作，以为直角边作第二个，然后以为直角边作第三个，…，依次规律，得到，则点的纵坐标为____．
【答案】22022
【分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可．
【详解】解：由已知可知：点A、A1、A2、A3……A2020各点在正比例函数y＝x的图象上，
点B、B1、B2、B3……B2020各点在正比例函数y＝x的图象上，
两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为x ①
当A（B）点横坐标为时，由①得AB＝1，则BA1＝，则点A1横坐标为＋＝2，B1点纵坐标为 2＝4＝22；
当A1（B1）点横坐标为2，由①得A1B1＝2，则B1A2＝2；则点A2横坐标为2＋2＝4，B2点纵坐标为×4＝8＝23；
当A2（B2）点横坐标为4，由①得A2B2＝4，则B2A3＝4，则点A3横坐标为4＋4＝8，B3点纵坐标为×8＝16＝24；以此类推，点B2021的纵坐标为22022，故答案为22022．
【点睛】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合．
模块四：同步培优题库
全卷共20题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁营口·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点…都在x轴上，点 都在直线上， 都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直线y＝x上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得B1、B2、B3的坐标，由此归纳总结即可求得B2022的坐标．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴A1B1＝OA1＝1，∴点B1的坐标为（1，1），
∵是等腰直角三角形，∴A1A2＝A1B1＝1，
又∵是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，
∴A2B2＝OA2＝OA1＋A1A2＝2，∴点B2的坐标为（2，2），
同理可得：点B3的坐标为（22，22），点B4的坐标为（23，23），点B5的坐标为（24，24），……
∴B2022的坐标为（22021，22021），故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，利用等腰直角三角形的性质求得B1、B2、B3的坐标是解题的关键．
2．（2023春·河南新乡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，点直线以每秒3个单位的速度向下平移，经过多少秒该直线可将的面积平分（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】首先连接 、，交于点 ，当 经过 点时，该直线可将 的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案；
【详解】连接 、，交于点 ，当 经过 点时，该直线可将 的面积平分 ∵四边形是平行四边形
设的解析式为
平行于∵过∴的解析式为
∴直线要向下平移 6 个单位∴时间为 (秒) 故选B
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积
3．（2023春·浙江八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】B
【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论．
【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令，得，令，则，∴，，∴，
过A作交于F，过F作轴于E，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
设直线的函数表达式为：，∴，解得，
∴直线的函数表达式为：，∴，∴，
∴的面积是，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（ ）
A．（﹣8，0） B．（3，0） C．（﹣11，0），（，0） D．（﹣10，0），（2，0）
【答案】C
【分析】先求出点A的坐标；设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC和BC的长；若将直线y=2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求出点Q的坐标．
【详解】解：令2x+2=-x+5，解得x=1，∴A（1，4）．
设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴OC=1，AC=4，令y=2x+2=0，则x=-1，∴OB=1，∴BC=2．
将直线y=2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况：
①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP=45°，
过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠ACO=∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，∴∠ABC=∠BDE，
∵∠ABD=90°，∠BAP=45°， ∴∠BDA=∠BAP=45°，∴AB=BD，∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC=DE=2，BE=AC=4，∴OE=3，∴D（3，-2），设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴，解得，∴直线AP的解析式为y=-3x+7，令y=0，则x=，∴P（，0）；
②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，
则∠BAQ=45°，∵∠ABF=∠ABD=90°，∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴BF=BA=BD，即点B为DF的中点，∵B（-1，0），D（3，-2），∴F（-5，2），
设直线AQ的解析式为：y=mx+n， ∴，解得，
∴直线AQ的解析式为：y=x+．令y=0，则x=-11，∴Q（-11，0），
综上所述，将直线y=2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（-11，0），（，0）．
故选：C．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角形的性质等内容，解题的关键是根据45°角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决．
5．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方形OABC中，点B(4，4)，点E，F分别在边BC，BA上，OE=，若∠EOF=45°，则OF的解析式为 ( )
A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x
【答案】B
【详解】分析：作辅助线，构建全等三角形，证明△OCE≌△OAD和△EOF≌△DOF，得EF=FD，设AF=x，在直角△EFB中利用勾股定理列方程求出x=，根据正方形的边长写出点F的坐标，并求直线OF的解析式．
详解：延长BF至D，使AD=CE，连接OD．
∵四边形OABC是正方形，∴OC=OA，∠OCB=∠OAD，∴△OCE≌△OAD，∴OE=OD，∠COE=∠AOD．
∵∠EOF=45°，∴∠COE+∠FOA=90°﹣45°=45°，∴∠AOD+∠FOA=45°，∴∠EOF=∠FOD．
∵OF=OF，∴△EOF≌△DOF，∴EF=FD，由题意得：OC=4，OE=2，∴CE==2，∴BE=2，设AF=x，则BF=4﹣x，EF=FD=2+x，∴（2+x）2=22+（4﹣x）2，解得：x=，∴F（4，），设OF的解析式为：y=kx，4k=，k=，∴OF的解析式为：y=x．故选B．
点睛：本题是利用待定系数法求一次函数的解析式，考查了正方形的性质及全等三角形的性质与判定，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，利用全等三角形的对应边相等设一未知数，找等量关系列方程，求出点F的坐标，才能运用待定系数法求直线OF的解析式．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，直线 与 轴正方向夹角为，点在轴上，点在直线 上，均为等边三角形，则的横坐标为__________．
【答案】
【分析】分别求出的坐标，得到点的规律，即可求出答案.
【详解】设直线交x轴于A，交y轴于B，当x=0时，y=1；当y=0时，x=，
∴A(,0)，∴B（0,1），∴OA=,OB=1，
∵是等边三角形，∴
∵∠BOA=，∴OA1=OB1=OA=，A1A2=A1B2=AA1=2，A2A3=A2B3=AA2=4，
∴OA1=,OA2=2，OA3=4,∴A1(，0)，A2(2，0)，A3（4,0），∴的横坐标是.
【点睛】此题考查点坐标的规律探究，一次函数的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，根据几种图形的性质求出A1，A2，A3的坐标得到点坐标的规律是解题的关键.
7．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）如图，点A1（2，1）在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点Cn的坐标为_______________．（结果用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【分析】先根据A1的坐标，求出直线的解析式，然后依据题意，分别求出A2、A3、A4的坐标，最后找规律得出结论．
【详解】∵点A1(2，1)在直线y=kx上∴1=2k，解得：k= ∴y=x
∴B1(2，0)，A1B1=1∴C1(3，1)∴A2(3，)，B2(3，)∴A2B2=，C2(，)
同理可得：C3(，)、C4(，)可发现规律为：Cn()故答案为：()．
【点睛】本题考查找规律，注意在找出一般规律后，建议再代入2组数据进行验证，防止规律错误．
8．（2022·浙江·金华市八年级期末）如图，直线交轴于点，以为直角边长作等腰，再过点作等腰△交直线于点，再过点再作等腰△交直线于点，以此类推，继续作等腰△，，△，其中点都在直线上，点都在轴上，且，，都为直角．则点的坐标为__，点的坐标为__．
【答案】 ，
【分析】先求出点坐标，根据等腰三角形的性质可得出的长，故可得出的坐标，同理即可得出，的坐标，找出规律即可．
【详解】解：直线交轴于点，，
是等腰直角三角形，，，
是等腰直角三角形，，，，
同理可得，，，，故答案为：，，．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（2022·深圳市福田区八年级月考）如图，已知直线：，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；…；按此作法继续下去，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据所给直线解析式得到直线与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点、的坐标，通过相应规律得到点的坐标．
【详解】解：∵，且AB⊥y轴，∴，解得：，∴，∴，
∴，∴∠AOB=60°，∴直线与x轴的夹角为30°，∠ABO=30°，
∵，∴，∴，∴，
∴由勾股定理得，∴，同理可得，……
∵，∴的纵坐标为，∴；故答案为．
【点睛】本题主要考查一次函数的规律问题、勾股定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的规律问题、勾股定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2022·甘肃八年级期末）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按图所示的方式放置.点、、，…和点、、，…分别在直线和轴上.已知，，则点的坐标是______.
【答案】
【分析】由正方形的轴对称性，由C1、C2的坐标可求A1、A2的坐标，将A1、A2的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出OB1，OB2的长，设B2G=A3G=t，表示出A3的坐标，代入直线方程中列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出A3的坐标．
【详解】连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点E、F、G，
∵正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，
∴A1与C1关于x轴对称，A2与C2关于x轴对称，A3与C3关于x轴对称，
∵C1（1，-1），C2（， ），∴A1（1，1），A2（，），
∴OB1=2OE=2，OB2=OB1+2B1F=2+2×（-2）=5，
将A1与A2的坐标代入y=kx+b中得： ，解得： ，∴直线解析式为y=x+，
设B2G=A3G=t，则有A3坐标为（5+t，t），代入直线解析式得：t=（5+t）+，
解得：t=，∴A3坐标为.故答案是：.
【点睛】考查了一次函数的性质，正方形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，灵活运用正方形的性质是解本题的关键．
11．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线交直线于点，若的面积是，则的值为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意求出A点坐标，然后利用的面积列方程求出点B的纵坐标，然后代入求出点B的横坐标，然后将代入求解即可．
【详解】∵直线与轴交于点，
当时，，解得，∴∴
∵的面积是，∴，即解得
∴将代入得，解得∴
∴将代入得，解得．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数问题，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积构造方程，会解方程是解题关键．
12．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点，．直线恰好将分成两部分的面积比是，则 ．
【答案】或/或
【分析】首先根据函数表达式求出，点的坐标，然后求出面积，然后根据的特点得知恒过点，然后根据题意可知与坐标轴或的交点坐标，进而可求的值．
【详解】解：∵直线与轴、轴分别交于点，，
当时，得，∴，，
当时，得，解得：，∴，，∴，
∵直线，当时，得，∴函数图像恒过点，∴，
∵直线恰好将分成两部分的面积比是，
∴或，
当时，则，∴，∴，
∵在直线上， ∴，
当时，设点的纵坐标为，则，∴，
∵在直线上，∴，解得：，∴，
∵在直线上，∴，解得：，
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，两条直线的交点问题，三角形的面积，运用了分类讨论的思想．掌握函数图像与坐标轴的交点坐标的确定方法是解题的关键．
13．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，以线段为边在第一象限内作等腰，．（1）的面积是 ；（2）点的坐标是 ；（3）过，两点直线的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】（1）根据题意求得与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式求解即可；
（2）过点作轴，垂足为，证明，继而求得的坐标，
（3）待定系数法求解析式即可．
【详解】（1）由，令，则，令，则
，，，故答案为：；
（2）如图，过点作轴，垂足为，
等腰，，，
，，，
，，，故答案为：；
（3）设直线解析式为，则，解得，
设直线解析式为，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，数形结合是解题的关键．
14．（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）如图，直线交坐标轴于A，B两点，与直线交于点C，点Q是线段上的动点，连结．若平分的面积．则直线对应的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】分别求出点A、B、C坐标，求出的面积，再根据的面积求出的长度，从而求出点Q的坐标，再利用待定系数法即可求出直线对应的函数关系式．
【详解】解：∵直线交坐标轴于A，B两点，∴，，
∵，∴，∵，∴，∴，∴，
设直线对应的函数关系式为，得，解方程组得，
∴直线对应的函数关系式为．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式．
15．（2023·江苏镇江·八年级校考期末）已知直线l1：y=x+4与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与 l2在A点相交所形成的夹角为45°（如图所示），则直线l2的函数表达式为 ．
【答案】
【详解】试题解析：
过点B作于点，交于点，过作轴于，如图，
为等腰直角三角形．
由AAS易证≌
∵直线
设的解析式为
解得： ∴的解析式：
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2022·安徽·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
(1)求点A、B、C的坐标；(2)求△ADE的面积；(3)y轴上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）(2)9
(3)y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝
【分析】(1) 直线y＝x+4中，分别令x=0、y=0，确定B、A坐标，运用勾股定理计算AB，根据折叠性质，AC=AB，确定OC的长即可确定点C的坐标．
（2）证明Rt△AOD≌Rt△AED，根据计算即可．
（3）设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．根据，计算m的值即可．
（1）当x＝0时，y＝x+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；
当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝3，∴点A的坐标为（3，0）．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．
由折叠的性质，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝8，∴点C的坐标为（8，0）．
（2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝180°，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°=∠AED＝∠AOD．
又∵∠BDA＝∠CDA，在Rt△AOD和Rt△AED中，
∴Rt△AOD≌Rt△AED，
∴．
（3）存在点P，且坐标为（0，-3）或（0，-9），理由如下：
设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．
∵＝，∴，
∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，
∴y轴上存在点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键．
17．（2022·辽宁·八年级期末）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点B，直线经过点A、D，直线、相交于点C．(1)求点B坐标；(2)求直线的解析式；(3)求△ABC的面积；(4)直线上存在异于点C的另一点P，使△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)B（1，0）(2)(3)(4)P（6，2）
【分析】（1）在l1中令y=0，得到相应的x后即可得解；
（2）由A、D的坐标利用待定系数法可以得解；
（3）求出C点坐标，再根据三角形面积公式可以得到答案；
（4）求出l2上与点C纵坐标相反的点的坐标即可．
（1）当y=0时， -2x+2=0，解得x=1 ∴B(1,0)
（2）设的解析式为(k≠0)
∵直线过A(4,0)，D(3,-1) ∴∴ ∴
（3）,解得∴C（2,-2） ∵B(1,0)，∴AB=4-1=3 ∴
（4）在中令y=2可得x=6，∴点P（6，2）即在上，且．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数解析式的求法、性质，由直线围成的图形面积的求法等是解题关键．
18．（2022·内蒙古乌兰察布·八年级期末）如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求AB的长(2)求点C和点D的坐标(3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)5(2)C(8，0)；D(0，-6)(3)P点的坐标为(0，12)或(0，-4)
【分析】（1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出OA和OB的长，再根据勾股定理即可求出AB的长；（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，即得出OC=8，即C(8，0)．设OD=x，则DB= x+4．再在Rt△OCD中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标；
（3）求出的值，即可得出的值，再根据，即可求出BP的值，从而即得出P点坐标；
（1）令x=0得：y=4，∴B(0，4)．∴OB=4
令y=0得：，解得：x=3，∴A(3，0)．∴OA=3．
在Rt△OAB中，；
（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8，0)．
设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4．
在Rt△OCD中，，即，解得：x=6，∴D(0，-6)；
（3）∵，，∴．
∵点P在y轴上，，∴，即，
解得：BP=8，∴P点的坐标为(0，12)或(0，-4)．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
19．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点．
(1)求这两条直线的解析式；
(2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
(3)若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)：，：(2)或或(3)或
【分析】把代入可得直线：，把，代入可得直线：；
设，又，，，分三种情况：若，为对角线，则，的中点重合，，解得；若，为对角线，，解得；若，为对角线，，解得；
设直线交于，设，可得，，根据与的面积相等，有，即可解得点的坐标为或
（1）解：把代入得：，解得，直线：，
在中，令得，，
把，代入得：，解得，直线：．
（2）设，∵，，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，解得，；
若，为对角线，同理可得：，解得，；
若，为对角线，可得：，解得，，
综上所述，的坐标是或或．
（3）解：设直线交于，如图：
设，，
在中，令得，，，
，
与的面积相等，，
当时，，解得舍去，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
综上所述，点的坐标为或 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
20．（2022·上海 八年级期中）如图，已知点A（0，6），点C（3，0），将线段AC绕点C顺时针旋转，点A落在点B处，点D是x轴上一动点．
(1)求直线BC的解析式；(2)联结B、D．若，求点D的坐标；
(3)联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积．
【答案】(1)；(2)(3)
【分析】（1）过B点作BM⊥x轴交于M，证明（AAS），求出B（9，3），再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线AC的解析式，由，可设直线BD的解析式为，将点B（9，3）代入求解，从而可得答案； （3）作O点关于直线AC的对称点E，连接AE与x轴交于D，与线段BC交于Q，设CD=y，ED=x，由勾股定理得，①，②，联立①②可得x=4，y=5，即可求D（8，0），再求三角形的面积即可．
（1）解：如图，过B点作BM⊥x轴交于M，
∵∠ACB＝，∴∠ACO+∠BCM＝，∵∠ACO+∠OAC＝，∴∠BCM＝∠OAC，
∵AC＝BC，∠AOC＝∠CMB＝，∴△ACO≌△CBM（AAS），∴BM＝OC，CM＝AO，
∵A（0，6），C（3，0），∴BM＝3，CM＝6，∴B（9，3），设直线CB的解析式为y＝kx+b，
∴ 解得 ，∴；
（2）设直线AC的解析式为，∴ ，解得 ∴，
∵，设直线BD的解析式为，
∵B（9，3），∴，解得，∴，∴
（3）作O点关于直线AC的对称点E，连接AE与x轴交于D，与线段BC交于Q，
由对称性可知，∠OAC＝∠CAQ，∵A（0，6），C（3，0），∴OA＝AE＝6，OC＝CE＝3，
设CD＝y，ED＝x，
∴ 解得（不合题意的根舍去）∴CD＝5，∴D（8，0），
∴
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，二元二次方程组的解法是解题的关键．
21．（2022·湖北·武汉二中广雅中学八年级阶段练习）如图1，在△ABC中，AC＝BC，且AC⊥BC，OC＝1，B（a，b）点坐标满足．
(1)①求a、b的值．②AB与x轴交于F，求的值．(2)如图2，D为AB上一点，DC＝DE，DC⊥DE，求证：BC⊥BE．
【答案】(1)①a=3，b=-1；②(2)见解析
【分析】（1）①利用非负数的性质构建方程组求出a，b的值即可；
②如图1中，过点B作轴于点H．证明，推出AO=CH，求出A（0，4），再求出直线AB的解析式，求出点F的坐标，可得结论；
（2）如图2中，过点C作于点M，过点E作于点N，证明，利用全等三角形的性质证明△ENB是等腰直角三角形，可得结论．
（1）解：①∵．
又∵，，∴，∴；
②由①得：点B的坐标为（3，-1），如图1中，过点B作轴于点H．
∵∠AOC=∠CHB=∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCH=90°，∠BCH+∠CBH=90°，∴∠ACO=∠CBH，
∵CA=CB，∴，∴AO=CH，
∵B（3，-1），∴OH=3，∵OC=1，∴OA= CH=4，∴A（0，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，解得：，∴直线AB的解析式为，
当y=0时，，∴，∴，∴；
（2）证明：如图2中，过点C作于点M，过点E作于点N．
∴∠CMD=∠DNE=90°，∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵CD⊥DE，∴∠CDE=∠CDM+∠EDN=90°，∴∠DCM=∠EDN，
∵CD=DE∴，∴CM=DN，DM=EN，
∵CA=CB，∠ACB=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，
∵，∴AM=BM，∴CM=AM=BM，∴DN=BM，∴DM=BN=EB，
∵∠ENB=90°，∴∠EBN=45°，∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线相交点，点D是直线与轴的交点．
(1)填空：______，______；
(2)在射线上有一动点E，过点E作EF平行于轴交直线于F，连接BE，当时，求点E的坐标；(3)点M为直线上一点，且，求点M的坐标．
【答案】(1)1，(2)或(3)点M的坐标为、
【分析】（1）将点C的坐标代入已知的直线中，即可求得a值，则C点坐标变成已知，再将C点的坐标代入直线中，即可求得b值．
（2）点E在射线上，可分为在y轴左侧与右侧两种情况分别讨论，利用三角形面积公式列出方程，即可求出点E的横坐标m（详见解析）．
（3）点M分为在直线左右两侧两种情况予以讨论，利用角构造出等腰直角三角形，接着构造出一对全等三角形可求得点P（详见解析）的坐标，再算出直线与直线的交点M的坐标．
【详解】（1）∵点在直线上，∴．
∴点C的坐标是．因为点C在直线上，
∴．解得：．故答案为：．
（2）直线AB的解析式为，
∵，∴直线的解析式为，
∵平行于轴，∴点F点E的横坐标相同，
设，则，∴，
∵，∴，
当时，则有，整理得：，
解得，∴，∴点E的坐标为；
当时，则有，整理得：，解得，
∵，∴，，∴点E的坐标为．
综上，点E的坐标为或．
（3）①如图，当点M在射线上时，过点C作交直线于点P，
∵，∴，过C作轴垂线，分别过P，D作，，
∴，∴，
∵，∴∴，∴，
∵，， ∴，， ∴点P坐标为，
设直线的解析式为，则，∴，
∴直线DP的解析式为，联立，解得，点M的坐标；
②当点M在射线上时，过点C作交直线于点H，过点H作轴垂线，
分别过C，D作于点G，于点K，同①法得，如图，
∴，，
∵，，设，则，，∴，，
∴，可得直线DH的解析式为，
联立，解得，点M的坐标，
综合上所述，点M的坐标为、．
【点睛】本题考查一次函数的相关知识点，涉及到求一次函数的解析式及其交点坐标、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等，解题的关键是注意分类讨论，不要遗漏可能的情况．
23．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）
【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）过点作轴，垂足为，过点作，判断出，，设列方程组求解，即可得出结论；（3）过点作，交于，过点作轴于，先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，．
，，，
，．，，
（2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，
由已知得，且，由（1）得，
，，设，，，，，
点的坐标为，，解得，
点的坐标为；∴，
（3）解：如图3，
过点作，交于，过点作轴于，
对于直线，由得，，，
由得，，，
，．．
由（1）得，．
，．，
设直线为，则，解得．直线为．
由得，，，．∴，．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
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专题5.7 一次函数中的面积、特殊角度与探究规律问题
模块1：学习目标
1、掌握一次函数中的相关面积问题；
2、掌握一次函数中的相关特殊角度问题；
3、掌握一次函数中的探究规律问题；
模块2：知识梳理
1、一次函数中的面积模型
1）求点的坐标：一般会求两种坐标：①直线与轴、轴的交点坐标；②两直线的交点坐标。
2）表示面积：①规则图形：用公式法（三角形面积不能漏×）；
②不规则图形：（1）割补法，如下图：四边形用分割，；
（2）作差法（），如下图：.
注：求三角形面积时往往选择平行于坐标轴的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
3）常见题型：（1）一次函数图象与坐标轴围成的图形面积问题；（2）一次函数面积定值与动态面积问题；（3）一次函数面积相等问题；（4）一次函数面积倍分问题；（5）一次函数不规则图形面积问题。
2、一次函数中的特殊角度模型
1）常见题型及解题方法：（1）一次函数旋转45°（方法：构造K字型全等）；（2）角度相等（方法：构造全等或等边对等角）；
3、一次函数中的规律探究模型
1）解题方法：（1）根据图象特征和已知条件列出前几项；（2）根据前几项结果归纳总结规律进而进行计算。
2）常见题型：（1）一次函数与点的坐标；（2）一次函数与周长面积；（3）一次函数与路径长；（4）一次函数与正方形。
模块3：核心考点与典例
考点1、一次函数中的面积问题
例1．（2022·北京通州·八年级期中）如图，一次函数图像与轴，轴分别交于点、，点是第一象限内的点，且满足，是等腰直角三角形．(1)求点，坐标；(2)求的面积．
例2．（2022·浙江·八年级期末）如图，直线PA：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B，(1)请写出A点的坐标是（_________，_________），Q点的坐标是（_________，_________），B点的坐标是（_________，_________），P点的坐标是（_________，_________）．
(2)若△AOQ的面积为，则=_________，四边形PQOB的面积为，则=_________．
(3)直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．（2022·陕西·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
例4．（2022·重庆市江津中学校八年级阶段练习）如图，已知直线经过点，
(1)求直线的解析式．(2)若直线与直线AB相交于点C，求点C的坐标．
(3)在直线上是否存在点P，使得，若存在，直接写出P的坐标，若不存在，请说明理由．
例5．（2022·湖南·衡阳八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点若点是直线上的一个动点，点和点分别在轴和轴上．
(1)的值是______；(2)若点在线段上，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．(3)若已知点的坐标为（6，0），点的坐标为（0，1），且四边形的面积是，求点的坐标．(4)当平行于轴，平行于轴时，若四边形的周长是，请直接写出点的坐标．
例6．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在坐标系中，A点的坐标为，点的坐标为，且满足，以点为直角顶点为腰作等腰，其中点在第三象限内，且．(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，已知是与轴的交点，是与轴的交点，连接，求的值；
(3)如图3，点是轴负半轴上一动点，点在轴正半轴上，分别以点为顶点为腰在第二、第一象限作等腰和等腰，连接交轴于点，试问：当的值发生变化时，的面积是否发生改变？若不变，请求出其值．
图1 图2 图3
考点2、一次函数中的角度问题
例1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为__．
例2．（2022·广东·揭西八年级期中）如图，已知点A（2,-5）在直线：y＝2x+b上，和：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8．(1)直接写出b、k的值；(2)若直线、与y轴分别交于点C、D，点P在线段BC上，满足，求出点P的坐标；(3)若点Q是直线上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标．
例3．（2022·深圳市高级中学八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为 ；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
例4．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点．(1)求的值；(2)点是直线上一动点．
①如图2，当点恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式；
②是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例5．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与的交点的横坐标；(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
考点3、一次函数中的探究规律问题
例1．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，已知直线l：与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点……按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·山东德州·八年级期末）正方形按如图所示的方式放置．点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·河南信阳·八年级期末）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·广西九年级模拟）在平面直角坐标系中，点在射线上，点在射线上，以为直角边作，以为直角边作第二个，然后以为直角边作第三个，…，依次规律，得到，则点的纵坐标为____．
模块四：同步培优题库
全卷共20题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁营口·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点…都在x轴上，点 都在直线上， 都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河南新乡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，点直线以每秒3个单位的速度向下平移，经过多少秒该直线可将的面积平分（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023春·浙江八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
4．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（ ）
A．（﹣8，0） B．（3，0） C．（﹣11，0），（，0） D．（﹣10，0），（2，0）
5．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方形OABC中，点B(4，4)，点E，F分别在边BC，BA上，OE=，若∠EOF=45°，则OF的解析式为 ( )
A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，直线 与 轴正方向夹角为，点在轴上，点在直线 上，均为等边三角形，则的横坐标为__________．
7．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）如图，点A1（2，1）在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点Cn的坐标为_______________．（结果用含正整数n的代数式表示）
8．（2022·浙江·金华市八年级期末）如图，直线交轴于点，以为直角边长作等腰，再过点作等腰△交直线于点，再过点再作等腰△交直线于点，以此类推，继续作等腰△，，△，其中点都在直线上，点都在轴上，且，，都为直角．则点的坐标为__，点的坐标为__．
9．（2022·深圳市福田区八年级月考）如图，已知直线：，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；…；按此作法继续下去，则点的坐标为______．
10．（2022·甘肃八年级期末）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按图所示的方式放置.点、、，…和点、、，…分别在直线和轴上.已知，，则点的坐标是______.
11．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线交直线于点，若的面积是，则的值为 ．
12．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点，．直线恰好将分成两部分的面积比是，则 ．
13．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，以线段为边在第一象限内作等腰，．（1）的面积是 ；（2）点的坐标是 ；（3）过，两点直线的函数表达式为 ．
14．（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）如图，直线交坐标轴于A，B两点，与直线交于点C，点Q是线段上的动点，连结．若平分的面积．则直线对应的函数关系式为 ．
15．（2023·江苏镇江·八年级校考期末）已知直线l1：y=x+4与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与 l2在A点相交所形成的夹角为45°（如图所示），则直线l2的函数表达式为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2022·安徽·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
(1)求点A、B、C的坐标；(2)求△ADE的面积；(3)y轴上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022·辽宁·八年级期末）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点B，直线经过点A、D，直线、相交于点C．(1)求点B坐标；(2)求直线的解析式；(3)求△ABC的面积；(4)直线上存在异于点C的另一点P，使△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
18．（2022·内蒙古乌兰察布·八年级期末）如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．(1)求AB的长(2)求点C和点D的坐标(3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
19．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点．(1)求这两条直线的解析式；(2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．(3)若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标．
20．（2022·上海 八年级期中）如图，已知点A（0，6），点C（3，0），将线段AC绕点C顺时针旋转，点A落在点B处，点D是x轴上一动点．
(1)求直线BC的解析式；(2)联结B、D．若，求点D的坐标；
(3)联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积．
21．（2022·湖北·武汉八年级阶段练习）如图1，在△ABC中，AC＝BC，且AC⊥BC，OC＝1，B（a，b）点坐标满足．
(1)①求a、b的值．②AB与x轴交于F，求的值．(2)如图2，D为AB上一点，DC＝DE，DC⊥DE，求证：BC⊥BE．
22．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线相交点，点D是直线与轴的交点．
(1)填空：______，______；
(2)在射线上有一动点E，过点E作EF平行于轴交直线于F，连接BE，当时，求点E的坐标；(3)点M为直线上一点，且，求点M的坐标．
23．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．
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