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专题5.8 一次函数中的最值模型（将军饮马）
模块1：学习目标
1、了解一次函数背景下的将军饮马模型，并能在复杂问题中辨认次模型；
2、经历对将军饮马模型的研究，总结解题方法和辅助线作法，提升解决几何问题的能力；
3、进一步体会数学建模思想在实际学习中的应用；
模块2：知识梳理
1.一次函数线段和差最值（将军饮马）原理与作法
【模型 1】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。 连AB，与 l 交点即为P． 两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB．
【模型 2】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小． 作 B 关于l的对称点B＇，连 A B＇，与 l 交点即为 P． 两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB＇．
【模型3】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使的值最大 . 作直线A B，与直线 l 的交点即为 P． 三角形任意两边之差小于第三边．即≤AB .
【模型4】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使的值最大 . 作 B 关于l的对称点B＇，连 A B＇，与 l 交点即为 P． 三角形任意两边之差小于第三边．即≤AB＇
2. 具体题型：（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
模块3：核心考点与典例
考点1. 将军饮马模型（线段和的最小值）
例1．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴和轴分别交于、两点，点的坐标为，点分别在直线轴上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过C点作于D，利用求出长，就是的最小值．
【详解】解：如图，过C点作于D，∵垂线段最短，∴的最小值，
∵一次函数与x轴和y轴分别交于A、B两点，
∴，，∴，，∴，
∵点的坐标为，∴，∴，
利用等面积法： ∴，即的最小值．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路径问题，掌握一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键．
例2．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，：
(1)作出与关于轴对称，并写出其中两个顶点的坐标为_________，_________．
(2)在轴上是否存在一点，使的值最小，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析，，(2)，理由见解析
【分析】（1）分别作出点、、关于轴的对称点，再依次连接即可，再根据图像写出、的坐标即可；（2）作出点关于轴的对称点，再连接，交轴于点，设的解析式为，用待定系数法求出的解析式，即可得出点坐标．
【详解】（1）解：如下图，即为所求，
由图可知，，，，故答案为：，；
（2）如图所示，作出点关于轴的对称点，再连接，交轴于点，
关于轴的对称点是，，，
设的解析式为，将，代入得：，解得：，
的解析式为，当时，，．
【点睛】本题考查了轴对称图形的作图问题，关于坐标轴对称的点的坐标特征，最短路径的问题，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出变换后的对应点．
例3．（2022春·福建福州·八年级统考期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求．
【详解】解：取在y轴上点使，连接，
∴点的坐标为，∴点与点A关于对称，
∴，∴，
由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值，
在中，，故选：B．
【点睛】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
例4．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形，得点P关于的对称点，连接，则：，当且仅当三点共线时，，即的最小值为的长，根据点到直线，垂线段最短，过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M，此时最小，用等积法求出的长即可．
【详解】解：如图，在正方形中，，
∵直线经过点，，∴直线是正方形的对称轴，
∵点在上，∴可得点P关于的对称点，
当时，，即直线经过点，
过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M，
∵和关于关于对称，∴，
∴，即的最小值为的长，
此时，∵，，
∴，解得，即的最小值为．故选：B
【点睛】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握相关性质和数形结合是解题的关键．
例5．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C，此时周长最小．
【详解】解：作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C， 此时周长最小．
根据轴对称的性质可得：，，
∴，
令直线于x轴相交于点M，与y轴相交于点N，连接
把代入得：，把代入得：，解得：，
∴，，∴，∴，，
∵点A和点关于直线MN对称，点A和点关于y轴对称，
∴，，，∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是根据题意，正确画出辅助线，根据轴对称的性质和勾股定理，求出最短路径．
例6．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为和，点P的坐标为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意可知点P在函数的图象上．作点关于的对称点，连接交直线于点P，由轴对称的性质可知此时最小，且最小值为的长．再根据得出，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】∵点P的坐标为，
∴点P在函数的图象上．
如图，作点关于的对称点，连接交直线于点P，则此时最小，且最小值为的长．
∵点与点关于直线的对称，，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用，轴对称的性质，勾股定理．正确的作出辅助线并掌握轴对称的性质是解题关键．
例7．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】设，过点作轴，证明，求得的坐标，可得点在直线上，作关于的对称点，连接交直线轴于点，求得的坐标，继而根据进行求解即可．
【详解】解：如图，设，过点作轴，则，
，，
，，，
，∴，，∴点在直线上，
如图，作关于的对称点，连接交直线轴于点，
∵与x轴的夹角是，，∴，∴是等腰直角三角形，
∴点Q在y轴上，，∴，
，的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的应用，轴对称的性质等知识，熟练掌握利用轴对称求最短路径的方法是解题的关键．
考点2. 将军饮马模型（线段差的最大值）
例1．（2023春·浙江八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数图象上的一点，点A坐标为，点B的坐标为，当取最大值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作关于直线对称点，求出点C坐标，连接并延长，交直线于点，判断出，取得最大值，求出直线的表达式，联立可得点P坐标．
【详解】解：作关于直线对称点，，
，的坐标为；连接并延长，交直线于点，
此时，取得最大值，设直线的解析式为，
把，代入得，解得，直线的方程为，
解得；点的坐标为，；故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，待定系数
例2．（2023春·山东八年级课时练习）已知一次函数的图象经过点，，在轴上有一点，使得最大，最大值为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数发求出一次函数的解析式，再利用三角形的两边之差小于第三边即可求出的最大值．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，解得：，∴一次函数的解析式为：，∴，
如图，过点作，过点作，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴最大值为AB，即的最大值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的两边之差小于第三边，利用三角形的三边关系进行等量转化是解题的关键．
例3．（2023·广东·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直线y＝x+1交于点P（3，b），B为直线y＝x+1上一点．（1）求a，b的值；（2）当线段AB最短时求点B的坐标；（3）在x轴上找一点C，使AC﹣PC的值最大，请写出点C的坐标并求最大值．
【答案】（1）a＝10，b＝4；（2）B（）；（3）C（5，0），
【分析】（1）首先把点P（3，b）代入直线y＝x+1得出b的值，再进一步代入直线y＝﹣2x+a求得a的值即可；（2）当AB⊥直线y＝x+1时，线段AB最短，进而得出B的坐标即可；
（3）点A关于x轴对称的点A'为（0，﹣2），进而解答即可．
【详解】解：（1）把点P（3，b）代入直线y＝x+1，解得：b＝4，
把P（3，4）代入y＝﹣2x+a，解得：a＝10，∴a＝10，b＝4；
（2）当AB⊥直线y＝x+1时，线段AB最短，
把直线y=x+1与y轴的交点（0，1）标记为E，
由（1）可得A（0，10），且是等腰直角三角形，∴
∴B的横坐标为，纵坐标为，∴；
（3）当A，P，C三点一线时，AC﹣PC最大即为AP，解0=-2x+10得x=5∴C（5，0）
AP＝．
【点睛】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是根据一次函数图象是点的坐标特征与垂线段最短的性质解答，结合图形，选择适当的方法进行解答．
例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐 李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结，
∵点B，关于直线l对称，点C，在l上，
∴_________， _________，∴_________．
在中，∵，∴，即最小．
(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）
(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．
(3)如图，平面直角坐标系中， ，P是坐标轴上的点，则的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）
【答案】(1) (2)连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析
(3)或；或
【分析】（1）根据点B，关于直线l对称，可得，，从而得到．在中，根据三角形的三边关系，即可；
（2）连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可；（3）分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点，连接，延长交x轴于点P，则点P即为所求；此时的最大值为；当点P在y轴上时，连接，延长交y轴于点，则点即为所求，此时的最大值为，即可求解．
【详解】（1）解：证明：如图4，在直线l上另取任一点，连结，
∵点B，关于直线l对称，点C，在l上，
∴，，∴．
在中，∵，∴，即最小．故答案为：
（2）解：连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求．
证明：如图，在直线l上任取任一点，连结，
在中，根据两边之差小于第三边得：，
而当点B，A，P共线时，，所以此时最大；
（3）解：如图，当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点，连接，
延长交x轴于点P，则点P即为所求；此时的最大值为，
∵，∴点，∵，∴，
设直线的解析式为，把点，代入得：
，解得：，∴直线的解析式为，
当时，，此时点P的坐标为；
当点P在y轴上时，连接，延长交y轴于点，则点即为所求，此时的最大值为，设直线的解析式为，
把点代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，当时，，此时点的坐标为，
综上所述，的最大值为或，此时P点坐标为或．
故答案为：或；或
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际，最短距离问题，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握一次函数的图象和性质，勾股定理，三角形的三边关系是解题的关键．
考点3. 一次函数中的其他最值
例1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，直线交轴于点，交轴于点为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，根据等面积法即可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵点是点关于轴的对称点，∴的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，
∵轴，点关于轴的对称点是点，∴，即，
∴在中，，即是等腰三角形，，
∵，∴，∴，，
∵，直线交轴于点，交轴于点，∴，，即，
在中，，
∵，∴，
∴最小为，最小值为，故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数图像的性质是解题的关键．
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】如图1所示，当点P在x轴正半轴时，过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，进而得到点C在直线上运动，则当与直线垂直时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图1所示，当点P在x轴正半轴时，过点C作轴交x轴于D，设，
由旋转的性质可得，
∴，∴，
又∵，∴，
∵∴，∴，∴，
∴点C在直线上运动，同理可证当点P在x轴负半轴时，点C在直线上运动，
∴当与直线垂直时，有最小值，
设直线与x轴交于点E，与y轴交于F，如图2所示，∴，
∴， ∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴的最小值为，故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，确定点C的运动轨迹是解题的关键．
例3．（2023春·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点B是y轴正半轴上一动点，以为边在的下方作等腰直角，且，点B在y轴上运动时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，过点作轴，过点作于点，过点作于点，交轴于点，证明，推出点的坐标为，进而得到点在直线上，求出直线与坐标轴的交点，利用点到直线垂线段最短，进行求解即可．
【详解】解：设，过点作轴，过点作于点，过点作于点，交轴于点，则：，
∴四边形为矩形，∴，
∵为等腰直角三角形，，∴，，
又，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴点在直线上，
设直线于轴，轴分别交于点，则：，∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵点在直线上运动，当时，的值最小，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点问题．本题的综合性强，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是构造一线三等角全等模型，得到点的运动轨迹．
例4．（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由点的运动轨迹确定在与轴平行的直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：将及分别代入得：，
由已知可得，，三角形是等腰直角三角形，
，，即，，在上取点，使,
又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，∴，，
∵，∴,∴，
∴，∴，即，
在与轴平行的直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数的图象，旋转的性质，垂线段最短以及勾股定理；关键是判断动点运动轨迹．
例5．（2023春·河南新乡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点的坐标为，，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出的最小值．
【详解】解：设点的坐标为，，，
，，
当时，最短，线段长度的最小值为，故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，配方法的应用，表示出的长度是解题的关键．
例6．（2023春·四川自贡·八年级统考期末）如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 ．
【答案】8
【分析】先求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用P的位置进行讨论，结合勾股定理可得答案．
【详解】解：∵，当时，，∴，
当时，，∴，∴，
∵是边上的一个动点，如图，当在第二象限时，，则，
当在第四象限时，如图，，，
此时，∴取得最小值时，在线段上，即；
此时当时，最小，P，Q重合时，P，Q之间距离为0，
设，此时，如图，
∴；故答案为：8
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，垂线段最短的含义，勾股定理的应用，矩形的定义，坐标与图形，二次根式的除法运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．
模块四：同步培优题库
全卷共20题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在x轴上方作等边△AOF，证明△AOB≌△AFC（SAS），所以点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，再根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：点在直线上，，
，，，，，在轴上方作等边，
，，即，
又，，≌，，
点的轨迹为定直线，作点关于直线的对称点，连接，，
，当点、、在同一条直线上时，的值最小，
，，， ∴，AG=2×2=4，，
∴ ,∴
∵关于M的对称，∴，的最小值
故选：D．
【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件好问题作出辅助线
2．（2023春·浙江年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，E是的中点、P是上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点B关于的对称点，连接，与的交点，即符和条件的点，再求出，的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值．
【详解】解：作点B关于的对称点，连接交于，
此时，的值最小，最小值为的长，
∵线段所在直线的解析式为，∴当x=0时，y=4；
当y=0时，x=4；∴，，∴，，
是的中点，∴，∵是点B关于的对称点，
∴，，，∴四边形是正方形，
∴，∴的最小值是．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键．
3．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABOC，A（ - 4，4）．点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE = 90°，连接CE，则CE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定先求证△ADC≌△DEH，然后再根据等腰直角三角形中等边对等角求出∠EOH＝45°，再根据点在一次函数上运动，作垂直于直线y=x于F，，求出CF即为CE的最小值．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥x轴于H，连接OH，
∵四边形ABOC是正方形，∴∠ACD=∠ADE=∠DHE=90°，AC=OC，
∴∠ADC+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∴∠ADC＝∠DEH，
∵AD＝DE，∴△ADC≌△DEH（AAS），
∴AC＝DH=OC，CD＝EH，∴CD＝EH＝OH，
设点E的坐标为（a，b），则a=b，
∴点E在直线y＝x上运动，作CF垂直于直线y=x于F，，则△COF是等腰直角三角形，
∵点A的坐标为（-4，4），∴OC=4，
∴ ∴CE的最小值为 ．故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质、等腰三角形的性质和垂线段最短，一次函数的应用等等，熟练掌握基础知识并作出辅助线是解题的关键．
法求一次函数的解析式，求得的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
4．（2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点，点，点．当对角线长取最小值时边的长为 ．
【答案】5
【分析】如图，连接，交于点E，先求出点B的运动轨迹，由垂线段最短可得到BE⊥直线时，有最小值，即有最小值，再结合平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，交于点E，∵点在直线上运动，
∴直线与x轴的交点F的坐标为且，
∵，，四边形是平行四边形，∴对角线的交点，
如图，当直线时，有最小值，即有最小值，此时，
∵，，∴，∴，
过作轴于，∴，∴，∴，
设，∵四边形是平行四边形，E是的中点∴E是的中点
∴，解得：，∴，∵，∴；故答案为：5
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的性质，求出点B的运动轨迹是本题的关键．
5．（2023春·重庆潼南·八年级统考期末）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，点C，D分别是，的中点，点P是y轴上一动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】先求出点A和点B的坐标，再由点C，D分别是，的中点求点C和点D的坐标，设点D关于y轴的对称点为，则，由轴对称图形的性质可得，当点C、P、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长度，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：令，得，令，得，∴，，
∵点C，D分别是，的中点，∴，，
设点D关于y轴的对称点为，则，∴
当点C、P、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
，∴的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数综合问题，勾股定理，三角形三边关系，轴对称图形的性质等知识，找到点P的位置是解题的关键．
6．（2023春·浙江八年级期中）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于 ．
【答案】
【分析】作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C，此时周长最小．
【详解】解：作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C， 此时周长最小．
根据轴对称的性质可得：，，
∴，
令直线于x轴相交于点M，与y轴相交于点N，连接
把代入得：，把代入得：，解得：，
∴，，∴，∴，，
∵点A和点关于直线MN对称，点A和点关于y轴对称，
∴，，，∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是根据题意，正确画出辅助线，根据轴对称的性质和勾股定理，求出最短路径．
7．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：过点Q作轴于点轴于N，
在和中， ，
设，
当时，有最小值为 ，
∴最小值为，故答案为：.
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换 旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
8．（2023春·浙江八年级课时练习）如图，x轴上有两点和点，若点P的坐标为；则的值最小值= 此时点P的坐标为
【答案】
【分析】根据题意可知点在一次函数上，问题转化为直线上的动点到两定点距离的最小值，根据轴对称的性质，可求得的最小值，当取得最小值时，点在两条直线的交点处，联立解方程组即可求得点的坐标
【详解】根据题意可知点在一次函数上，
设点关于直线对称的点为， 连接交直线与点，则点满足有最小值，
∴，，即有最小值为
在直线上任取一点，连接，，，则
∵在，∴点满足有最小值，
∴，解得：，即∴的最小值
设直线的表达式为：，由点，在直线上得：
，解得：，即直线的表达式为：，
联立方程组，解得：，∴点的坐标为：故答案为：，．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握轴对称和待定系数法求一次函数解析式是解决问题的关键．
9．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图所示，已知点，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点M，P分别是线段，上的动点，当取最小值时，点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】先找到点N关于的对称点，当取最小值时，即时，再求出直线的解析式，联立，即可求出答案．
【详解】如图，点N关于的对称点，过点作交于M，则的最小值为，∵直线的解析式为，
设直线的解析式为，代入，
∴，∴直线的解析式为
联立，得∴P点坐标为故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，涉及一次函数图象的性质、等腰三角形的性质和垂线段最短等知识，解题关键是作出最短路线时的图形．
10．（2023春·浙江八年级期中）如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作点关于的对称点，过点作于，则的最小值，三角形面积公式得到的长度便可．
【详解】解：如图，点关于的对称点，过点作交于点，连接，，，
则，
当、、三点共线，且、重合时，为的最小值，
直线的解析式为，∴当时，，
当时，，∴，，，，
，∴，
即，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称性找到点、点位置，属于中考常考题型．
11．（2022秋·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，点在直线：上，且满足，为直线上一动点，连接，绕点顺时针旋转得到，连接，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】判断动点E的运动轨迹，通过全等得到E在直线上移动，根据点到直线的垂线段最短求解．
【详解】解：∴ 作
∵∴F为的中点∴
∵A在∴
∴是等边三角形．∴
当点D在O点时，E在处，
当点D在A点时，E在处，
作于H∴
在和中
∴
设解析式为将和代入可得
解得令有∴，
记交x轴于Q 将绕点C顺时针旋转后到，即将绕点C顺时针旋转后到∴
∴E始终在上 作，是BE的最小值
点到直线的垂线段最短 ∴∴的最小值为
【点睛】此题考查了动点轨迹问题，解题的关键是判断动点E的运动轨迹，通过全等得到E在直线上移动，根据点到直线的垂线段最短求解．
12．（2023秋·福建莆田·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4-m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 .
【答案】
【分析】作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点．则，，所以周长的最小值为的长．根据，可知点在直线上运动，据此解答即可．
【详解】解：作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点．则，，周长的最小值为的长．
，点在直线上运动，
∴直线与x、y轴的交点坐标分别为，∴，
连接，则根据轴对称图形的性质可知，，
的坐标为，，，，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查点、直线关于直线对称知识的应用，三角形的周长的最小值，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．
13．（2023春·浙江八年级课时练习）已知A(1，5)，B(3，－1)两点，在x轴上取一点M，使AM－BM取得最大值时，则M的坐标为 。
【答案】（，0）．
【详解】一次函数综合题，线段中垂线的性质，三角形三边关系，关于x轴对称的点的坐标，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组．
【分析】如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．
此时AM－BM=AM－B′M=AB′．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．
则M′A－M′B=M′A－M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A－M′B＜AM-BM，即此时AM－BM最大．
∵B′是B（3，－1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．
设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：
，解得 ．∴直线AB′解析式为y=－2x+7．
令y=0，解得x=．∴M点坐标为（，0）．
三、解答题（本大题共9小题，共81分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（2022·内蒙古·八年级期末）如图，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使．
(1)分别求点B，C的坐标；(2)在x轴上求一点P，使它到B，C两点的距离之和最小．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）求出当时，的值即可得点的坐标，求出当时，的值即可得点的坐标，再过点作轴于点，利用三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，则，由此即可得点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，根据轴对称的性质、两点之间线段最短可得此时的点即为所求，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出当时，的值即可得点的坐标．
（1）解：对于一次函数， 当时，，即，∴，
当时，，解得，即，∴，
如图1，过点作轴于点，
∵为等腰直角三角形，，∴，，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴点的坐标为．
（2）解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，
∵，∴，由轴对称的性质可知，，，
由两点之间线段最短可知，此时点到两点的距离之和最小，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，则直线的解析式为，
当时，，解得，，
即点到两点的距离之和最小．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等知识点，较难的是题（2），利用轴对称的性质和两点之间线段最短找出到两点的距离之和最小的点的位置是解题关键．
15．（2023春·福建莆田·八年级校考期中）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线（b为常数）的关联点为．如图，直线：与轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)直线的关联点的坐标是________，点A的关联直线的解析式为__________；
(2)点P在y轴上，且，求点P的坐标；(3)若点D在直线上，横坐标为1，点E在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．
【答案】(1)，(2)或(3)的最小值为
【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解；
（2）设点，则有，然后根据三角形面积可进行求解；
（3）过点E作于点F，然后根据题意可设点，则有，，进而根据两点距离公式、等积法和两点之间线段最短可求解．
【详解】（1）解：令时，则，则有点；
令时，则，解得，∴，
∴直线的关联点的坐标是；点A的关联直线的解析式为；故答案为，
（2）解：设点，则有，
∵，，∴，解得：，∴或；
（3）解：由（1）可知，，∴，
∵点D在直线上，横坐标为1，∴点D纵坐标为2，即，
过点E作于点F，如图所示：
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
设点，则有，，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），∴；
由动点M的坐标为，可知点M在直线上运动，由图象可知点E、D在直线同侧，所以作点E关于直线的对称点H，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的长即为的最小值，如图所示：∴为等腰直角三角形，
∴，即，∴，∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查坐标与图形，一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
16．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图，正方形的边长为，点为坐标原点，边，分别在轴，轴上，点是的中点，点是线段上的一个点，如果将沿直线对折，使点的对应点恰好落在所在的直线上．(1)连接，求证：；(2)利用你所学的数学知识求出折痕所在直线的函数解析式；(3)请问轴上是否存在一点，使的周长有最小值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)存在，
【分析】（1）由轴对称的性质，利用证明即可；
（2）连接，求出，设点，，，，可得出，解方程可得解，得到点的坐标，设所在直线的函数解析式为，代入点坐标求出函数解析式即可；（3）可得出点关于轴的对称点是，求出直线的函数表达式为，代入求出，即可求出的周长最小时，点的坐标．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
由轴对称的性质可知，，∴，，
∵，∴；
（2）解：连接，
∵正方形的边长为，点是的中点，∴，，
由折叠的性质可知，，，∴，设点设点，，，
∵，∴，解得：，∴，
设所在直线的函数解析式为，代入点坐标得：，
解得：，∴OP所在直线的表达式是；
（3）解：存在．若的周长为最小，长度固定不变，
即是要为最小，
∵记点关于轴的对称点是，由（2）得，∴，
当、、三点在同一条直线上时，最小，即最小，
设直线的解析式为，
代入点、坐标得：，解得：，∴直线的函数表达式为，
代入，得：，解得：，∴点．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，最短路径，正方形的性质．解题关键是求线段和最小值问题，其基本解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
17．（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图：直线是一次函数的图象，且与x轴交于A点，直线是一次函数的图象，且与x轴交于B点．
(1)请用a、b表示出A、B、P各点的坐标；
(2)若点Q是与y轴的交点且，．求点P的坐标及直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，连接，F是线段上一个动点，连接，在F的运动过程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出长度变化范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)，直线的解析式为
(3)
【分析】（1）分别令，求得两个函数对应的x的值，即可求出点A、B的坐标，联立两个函数的解析式，即可求出点P的坐标；（2）连接OP，则点Q的坐标为，则四边形的面积＝的面积+的面积，根据已知的两个条件可得关于a、b的方程，解方程求出a、b，可得点P、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（3）当时，的值最小，当点F与B重合时，的值最大，然后分别利用等面积法和两点间的距离公式求解即可得出答案．
【详解】（1）对于，令，可得，∴，
对于，令，可得，∴，
由，解得，，∴；
（2）连接OP，则点Q的坐标为，
∵四边形的面积＝的面积+的面积，
∴，整理得，①，
∵，∴，即②，
把②代入①并整理得，∴（负值舍去），，∴，B，
设直线的解析式为，则有，解得，
∴直线的解析式为；
（3）如图，由题意，Q，B，，
∴的面积，
∴，，
∵点F在线段上，∴时，的值最小，最小值，
当点F与B重合时，的值最大，此时，∴．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、直线与坐标轴的交点、勾股定理、方程组的求解等知识，熟练掌握一次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
18．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点．(1)的面积为______；
(2)为直线上一点，连接，若，求点的坐标；
(3)，为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)
【分析】（1）分别求出、点坐标，再求的面积即可；
（2）当点在第二象限时，作于点，根据得出点的纵坐标为，代入解析式，进而可得点的坐标为，当点在第三象限时，如图2，作交于点，作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，在中，根据勾股定理得．建立方程，解方程即可求解；（3）作点关于对称，对称点为，，过点作，连接，过点作，则，连接，，在中，利用勾股定理求出，即可得的最小值为．
【详解】（1）解：当时，，∴，当时，，∴，
当时，，∴，∴,故答案为：．
（2）解：如图1，当点在第二象限时，作于点．
∵，，∴．∴．
∵，∴．
令，则，点的坐标为，．∴．
∴点的坐标为，∴点的纵坐标为．
令，则，．∴点的坐标为
当点在第三象限时，如图2，作交于点，作于点．
∴，．∵，
∴．由上可知，．
∵，∴．
∴．∴．∴．
令，则，，点的坐标为，．
在中，根据勾股定理得．∴．∴．
设点的坐标为，则，．
在中，根据勾股定理得．∴．
解得(不合题意，舍去)，．当时，．
∴点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．
（3），，、在直线上，，
作点关于对称，对称点为，，
如图，过点作，连接，过点作，
四边形是平行四边形，，，
连接，，，在中，，，
，的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．（2022秋·江苏盐城·八年级统考阶段练面直角坐标系中有点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”，图1为点P关于点A的“链垂点”Q的示意图．
(1)如图2，已知点A的坐标为，点P关于点A的“链垂点”为点Q；
①若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ；②若点Q的坐标为，则点P的坐标为 ；
(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，若点D关于点C的“链垂点”E在坐标轴上，试求出点D的坐标；(3)在平面直角坐标系中，已知点，点C是x轴上的动点，点A关于点C的“链垂点”是点B，连接、，①直接写出的最小值；②直接写出当最小时点C的坐标．
【答案】(1)①；②；(2)或；(3)①；②
【分析】（1）①根据绕原点旋转90度的前后两个点的对应坐标的绝对值相等，即可得到答案；
②根据绕原点旋转90度的前后两个点的对应坐标的绝对值相等，即可得到答案；
（2）分两种情况讨论：①当点E落在轴上时，则轴，把代入直线，即可得到点D的坐标；②当点E落在轴上时，过点D作轴于点F，证，得到，将代入直线，即可得到点D的坐标；
（3）①过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，证明，得到，，设点C的坐标为，得到，，进而得到，再根据坐标两点的距离公式，得到，即相当于在直线上找一点，使得点P到点，到点的距离和最小，作点N关于直线的对称点，连接、，推出的最小值为的长，即可得到的最小值；
②利用待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，进而得到的值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：①若点P的坐标为，则点Q的坐标为，故答案为：；
②若点Q的坐标为，则点P的坐标为，故答案为：；
（2）解：①如图，当点E落在轴上时，则轴，
点C的坐标为，点D的横坐标为
点D在直线上，当时，，；
②如图，当点E落在轴上时，此时，过点D作轴于点F，
，，
，，由旋转的性质可知，，
在和中，，，，
，，，
点D在直线上，当时，，解得：，，
综上可知，点D的坐标为或；
（3）解：①如图，过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，
，，点A关于点C的“链垂点”是点B，
由旋转的性质可知，，，，，
在和中，，，，，
点C是x轴上的动点，设点C的坐标为，，
，，，，，
，
即相当于在直线上找一点，使得点P到点，到点的距离和最小，
如图，作点N关于直线的对称点，连接、，
，点和点关于直线对称，，，
，的最小值为，的最小值为；
②设直线的解析式为，
，，，解得：，直线的解析式为，
联立，解得：，，点C的坐标为．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最小值，坐标两点的距离公式，待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题关键．
20．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，，，直线交直线于点C．
(1)求直线的解析式及C点的坐标；(2)如图1，P为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求最小值；
(3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，直线上是否存在N点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)
(3)存在，，或，或，
【分析】（1）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和的解析式，即可求得点的坐标；
（2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，作四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰直角三角形的性质分别进行求解即可．
【详解】（1）解：，点的坐标是，
，，点的坐标为，，设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入可得，解得，
直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式得，
解得，点的坐标是，；
，，，
，，，
直线交直线于点．，，
，点在点的上方，
为直线上一动点且在第一象限内，
设点的坐标为，其中，点到轴的距离为，
，，解得，
，点的坐标是，，
如图，过点向左作轴，且，
则的坐标为，，再作点关于轴的对称点，则的坐标为，，
则连接交轴于点，在轴上截取，连接，
由作图过程知四边形是平行四边形，则，
的最小值为，
作于点，则的坐标为，，则，，
的最小值为．
即最小值为；
（3）存在，理由如下：将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位，向下平移个单位，，，，
①当时，如图，
直线的解析式为，，，
为等腰直角三角形，，，，
点坐标为，；
②当时，如图，
直线的解析式为，，，，
为等腰直角三角形，，，，
点坐标为，；
③当时，如图，过点作于，
为等腰直角三角形，，，
，，，点的横坐标为，
直线的解析式为，，，
，，点坐标为，；
综上所述，点坐标为，或，或，．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键．
21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且．
(1)求点D的坐标及直线的解析式；(2)求的面积：(3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)；(3)点P的坐标为时，的最大值为
【分析】（1）作轴于点，可证得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直线的解析式；
（2）由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度，由可得出：点P ．由勾股定理可得，，即可得出答案．
【详解】（1）作轴于点，
由题意，，，
∵，∴，∴，，
由，令，得，∴，，
令，得，得，∴，，∴，，
，∴点D的坐标为，
设直线的解析表达式为，代入和，
得，解得，∴直线的解析表达式为；
∴点D的坐标为，直线的解析表达式为；
（2）由题意得，，，∴；
（3）存在，理由如下：延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度．令，代入，解得，
∴点P的坐标为．在中，由勾股定理得，．
综上，点P的坐标为时，的最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与函数的图象交点．
(1)直接写出一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)将点A向下平移2个单位得到点C，点P在x轴上，求的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)，图象见解析(2)或(3)最大值为，
【分析】（1）把点带入求出m的值，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可；（2）根据图象即可进行解答；（3）作点C关于x轴的对称点，根据三角形三边之间的关系，可得，当点三点共线时，取最大值，连接并延长，与x轴交于点P，用待定系数法求出所在直线的函数解析式即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：把点带入得：，∴，
把带入得：，解得：，
∴一次函数的解析式．图象如图：
（2）由图可知：当或时，．
（3）作点C关于x轴的对称点，连接并延长，与x轴交于点P，点P即为所求．
∵点C和点关于x轴对称，∴，∴，
如图，在中，当点三点共线时，取最大值，
此时，
∵点向下平移两个单位得到点C，∴，∴，∴，
设所在直线的函数解析式为：，
把点，带入得：
，解得：，∴所在直线的函数解析式为：，
当时，，解得：，∴，
综上：最大值为，．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识，会用待定系数法求解函数表达式，能够根据图象写出不等式的解集．
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专题5.8 一次函数中的最值模型（将军饮马）
模块1：学习目标
1、了解一次函数背景下的将军饮马模型，并能在复杂问题中辨认次模型；
2、经历对将军饮马模型的研究，总结解题方法和辅助线作法，提升解决几何问题的能力；
3、进一步体会数学建模思想在实际学习中的应用；
模块2：知识梳理
1.一次函数线段和差最值（将军饮马）原理与作法
【模型 1】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。 连AB，与 l 交点即为P． 两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB．
【模型 2】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小． 作 B 关于l的对称点B＇，连 A B＇，与 l 交点即为 P． 两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB＇．
【模型3】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使的值最大 . 作直线A B，与直线 l 的交点即为 P． 三角形任意两边之差小于第三边．即≤AB .
【模型4】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使的值最大 . 作 B 关于l的对称点B＇，连 A B＇，与 l 交点即为 P． 三角形任意两边之差小于第三边．即≤AB＇
2. 具体题型：（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
模块3：核心考点与典例
考点1. 将军饮马模型（线段和的最小值）
例1．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴和轴分别交于、两点，点的坐标为，点分别在直线轴上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，：
(1)作出与关于轴对称，并写出其中两个顶点的坐标为_________，_________．
(2)在轴上是否存在一点，使的值最小，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．（2022春·福建福州·八年级统考期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
例4．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
例5．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为和，点P的坐标为，则的最小值为 ．
例7．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是 ．
考点2. 将军饮马模型（线段差的最大值）
例1．（2023春·浙江八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数图象上的一点，点A坐标为，点B的坐标为，当取最大值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·山东八年级课时练习）已知一次函数的图象经过点，，在轴上有一点，使得最大，最大值为 ．
例3．（2023·广东·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直线y＝x+1交于点P（3，b），B为直线y＝x+1上一点．（1）求a，b的值；（2）当线段AB最短时求点B的坐标；（3）在x轴上找一点C，使AC﹣PC的值最大，请写出点C的坐标并求最大值．
例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐 李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结，
∵点B，关于直线l对称，点C，在l上，
∴_________， _________，∴_________．
在中，∵，∴，即最小．
(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）
(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．
(3)如图，平面直角坐标系中， ，P是坐标轴上的点，则的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）
考点3. 一次函数中的其他最值
例1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，直线交轴于点，交轴于点为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
例3．（2023春·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点B是y轴正半轴上一动点，以为边在的下方作等腰直角，且，点B在y轴上运动时，的最小值为 ．
例4．（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
例5．（2023春·河南新乡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023春·四川自贡·八年级统考期末）如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 ．
模块四：同步培优题库
全卷共20题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，E是的中点、P是上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABOC，A（ - 4，4）．点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE = 90°，连接CE，则CE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
4．（2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点，点，点．当对角线长取最小值时边的长为 ．
5．（2023春·重庆潼南·八年级统考期末）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，点C，D分别是，的中点，点P是y轴上一动点，则的最小值是 ．
6．（2023春·浙江八年级期中）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于 ．
7．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为 ．
8．（2023春·浙江八年级课时练习）如图，x轴上有两点和点，若点P的坐标为；则的值最小值= 此时点P的坐标为
9．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图所示，已知点，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点M，P分别是线段，上的动点，当取最小值时，点P的坐标是 ．
10．（2023春·浙江八年级期中）如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ．
11．（2022秋·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，点在直线：上，且满足，为直线上一动点，连接，绕点顺时针旋转得到，连接，，则的最小值为 ．
12．（2023秋·福建莆田·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4-m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 .
13．（2023春·浙江八年级课时练习）已知A(1，5)，B(3，－1)两点，在x轴上取一点M，使AM－BM取得最大值时，则M的坐标为 。
三、解答题（本大题共9小题，共81分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（2022·内蒙古·八年级期末）如图，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使．
(1)分别求点B，C的坐标；(2)在x轴上求一点P，使它到B，C两点的距离之和最小．
15．（2023春·福建莆田·八年级校考期中）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线（b为常数）的关联点为．如图，直线：与轴交于点A，与y轴交于点B．(1)直线的关联点的坐标是______，点A的关联直线的解析式为__________；
(2)点P在y轴上，且，求点P的坐标；(3)若点D在直线上，横坐标为1，点E在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．
16．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图，正方形的边长为，点为坐标原点，边，分别在轴，轴上，点是的中点，点是线段上的一个点，如果将沿直线对折，使点的对应点恰好落在所在的直线上．(1)连接，求证：；(2)利用你所学的数学知识求出折痕所在直线的函数解析式；(3)请问轴上是否存在一点，使的周长有最小值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图：直线是一次函数的图象，且与x轴交于A点，直线是一次函数的图象，且与x轴交于B点．
(1)请用a、b表示出A、B、P各点的坐标；
(2)若点Q是与y轴的交点且，．求点P的坐标及直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，连接，F是线段上一个动点，连接，在F的运动过程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出长度变化范围，若不存在，请说明理由．
18．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点．(1)的面积为______；
(2)为直线上一点，连接，若，求点的坐标；
(3)，为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
19．（2022秋·江苏盐城·八年级统考阶段练面直角坐标系中有点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”，图1为点P关于点A的“链垂点”Q的示意图．
(1)如图2，已知点A的坐标为，点P关于点A的“链垂点”为点Q；
①若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ；②若点Q的坐标为，则点P的坐标为 ；
(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，若点D关于点C的“链垂点”E在坐标轴上，试求出点D的坐标；(3)在平面直角坐标系中，已知点，点C是x轴上的动点，点A关于点C的“链垂点”是点B，连接、，①直接写出的最小值；②直接写出当最小时点C的坐标．
20．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，，，直线交直线于点C．
(1)求直线的解析式及C点的坐标；(2)如图1，P为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求最小值；
(3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，直线上是否存在N点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且．
(1)求点D的坐标及直线的解析式；(2)求的面积：(3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．
22．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与函数的图象交点．
(1)直接写出一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)将点A向下平移2个单位得到点C，点P在x轴上，求的最大值及此时点P的坐标．
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