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专题6.10 线段双中点模型与双角平分线模型
模块1：学习目标
1、熟练掌握线段的双中点模型；
2、熟练掌握双角平分线模型；
模块2：知识梳理
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段或角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差或角的和差确定解题方向，然后辅以线段中点或角平分线来解决。
但是，对于有公共部分的双中点线段或双角平分线模型，可以写出的线段和差或角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这两个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差或角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。
模块3：核心考点与典例
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
例1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知线段，，若点M，N分别为，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由中点的定义可求得线段、的长度，再利用线段的和差可求得答案．
【详解】解：、分别是线段、的中点，，，
，，．故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离、线段的中点，掌握中点把线段分成两条相等的两条线段是解题的关键．
例2．（2022秋·重庆梁平·七年级统考期末）已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由点分别是和的中点可得，再由进行计算即可得到答案．
【详解】解：点分别是和的中点，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，根据题意得出是解题的关键．
例3．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）如图，已知线段，是的中点，是线段上一点，为的中点，，则线段 ．
【答案】1.6
【分析】根据中点的定义可求解及的长，进而可求解．
【详解】解：∵是的中点，，∴，
∵N为的中点，，∴，
∴．故答案为：1.6．
【点睛】此题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段中点定义．
例4．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据，求出，得出，根据中点定义求出，即可得出答案即可；（2）先用a表示出，得出，根据中点定义即可得出，得出，即可得出，求出a的值即可．
【详解】（1）解：，，，
为的中点，，．
（2）解：，，
为中点，为中点，，，
，，．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．
例5．（2023春·山东威海·七年级统考期中）如图，点B在线段AC上，，分别是的中点．对于结论：①；②B是的中点；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】利用线段中点的性质，结合线段的和差逐一分析判定即可．
【详解】∵，∴，即，①正确；
∵是的中点．∴，∴B是的中点，②正确；
∵是的中点∴，∴，③正确；
∵，∴，④正确；
综上分析可得，正确的有：①②③④，故选：A．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差，结合图形找出线段之间的关系是解题的关键．
例6．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．
【答案】
【分析】先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：因为线段，是的中点，所以；
因为是的中点，所以；
因为是的中点，所以；，
所以，所以，答案为：．
【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
例7．（2022·陕西西安·七年级校考期末）直线上有三点，，，点为线段的中点，点为线段的中点.若，，则的长为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到，，，三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．
【详解】分两种情况：第一种情况：B在内，如图：
；
第二种情况：B在外，如图：
，故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离、线段的中点的定义；解题的关键是注意分类讨论，避免漏解．
例8．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．
(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)(2)不变，还是，理由见解析
【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得；
（2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解．
【详解】（1）解∶，，，
点是的中点，点是的中点，，
；
（2）线段的长度不发生变化．
点是的中点，点是的中点，，
．
【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键．
例9．（2022·陕西商洛·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．
(1)若，求线段MN的长；(2)若C为线段上任一点，满，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由；(3)若点C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形并写出你的结论（不必说明理由）．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)的长度等于，图见解析
【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；
（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）点M、N分别是的中点，
∴，，
∴．所以线段的长为．
（2）的长度等于，
根据图形和题意可得：．
（3）的长度等于，根据图形和题意可得：ACBC．
【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．
例10．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；
(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．
【答案】(1)，(2)，，
(3)存在和使等式成立
【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解；
（2）根据题意，得出，，相加即可求解；
（3）分在点到达点之前，在点到达点返回之后，两种情况分类讨论即可求解．
【详解】（1）根据定义可得：∵，则；
∵，∴,则；故答案为：．，；
（2）∵∴
∵∴
∴∴
（3）①在点到达点之前
∵∴
∵∴∴
∵∴∴
②在点到达点返回之后
∵∴
∵∴∴
∵∴∴
∴存在和使等式成立．
【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键．
模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，平分，平分，，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义和角的运算求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，，
∴，，∴，
∵，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的定义和角度的运算，熟练掌握与角平分线的有关的角度运算是解答的关键．
例2．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图所示，OC是平分线，OD是的平分线，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线定义，得出角与角的关系，再根据选项选取正确答案．
【详解】A．∵是的平分线，∴．
∵是的平分线，∴，∴，故A正确；
B．∵是的平分线，∴，
∵是的平分线，∴，
∴，即，故B不正确；
C．由B知，，即，故C不正确；
D．，故D不正确；故选A．
【点睛】此题考查的是角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系是解题关键．
例3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 °．
【答案】40
【分析】据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵是的平分线，∴，
设，，则，
又∵是的平分线，∴
∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：40．
【点睛】本题考查角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题关键是找出图中各角之间的和差关系．
例4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，是内部一条射线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，则 ．
【答案】
【分析】依据是平分线，是平分线，可得，依据是平分线，是平分线，可得，进而得出．
【详解】解：∵是平分线，是平分线，∴，
∵是平分线，是平分线，∴，
∴==，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行推算．
例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
【答案】
【分析】由角平分线性质推理得，，，据此规律可解答．
【详解】解：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：．故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例6．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）如图，，在的内部，在的内部，是的一三等分线，若，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】先根据余角的定义可得，再根据是的一三等分线可得或，据此分两种情况解答即可．
【详解】解：∵，，∴，
∵是的一三等分线，∴或，
∵，，
∴当时，；当时，；
综上，的度数为110或130．故答案为或．
【点睛】本题考查垂直的定义、余角的性质、等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
例7．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，求的度数？
【答案】或
【分析】根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：若射线在外部时，若射线在内部时，结合图形求解即可．
【详解】解：∵射线平分，射找平分，
∴，，
∴，
∵射线平分，∴，
若射线在外部时，如图1，
则，即，
∵，∴，解得：或；
若射线在内部时，如图2，则，
∴，即，不满足，
综上，或．
【点睛】题目考查角平分线的计算，理解题意，分类讨论作出图形求解是解题关键．
例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；
(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，．
【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可．
【详解】（1）∵，平分，∴
∵分别平分，．∴
∴．
（2）若射线在的内部，如图2
∵，，、分别平分、．
∴∴．
所以当射线在的内部时，．
若射线在外部时，如图3
∵，，、分别平分、．
∴∴．
所以当射线在的外部时，．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．
例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴,
∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．
（2）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
（3）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，点A，B，C顺次在同一直线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点．若想求出的长度，那么只需添加条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由中点的定义得，从而可得．
【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，∴，
∴只要已知，即可求出的长度．故选：B．
【点睛】本题考查了线段的中点，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
2．（2023秋·海南·七年级统考期末）如图，已知线段cm，为直线上一点，且cm，，分别是、的中点，则等于（ ）cm．
A．13 B．12 C．10或8 D．10
【答案】D
【分析】根据求得，然后由，分别是、的中点知，，，所以，即可得出答案．
【详解】∵，且，∴，
又∵，分别是、的中点，∴，，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，充分利用两点间中点的定义是解题的关键．
3．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：①B，在点A同侧时，如图所示：
是的中点，是的中点，，，
．
②B，在点A两侧时，如图，
是的中点，是的中点，，，
．
综上：与之间距离为或，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．
4．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解．
【详解】解：当点在点右侧时，如图所示．
， ， ．
是中点，是的中点， ， ，；
当点在点左侧时，如图所示． ， ， ．
是中点，是的中点，
， ， ．
综上所述：线段MN的长度为5 cm．故选：B．
【点睛】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键．
5．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．
【详解】解：如图， ∵M、N分别是线段的中点，
∴，，
∵， ∴， ∴， ∴，
∴，即，故①符合题意；
∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意；
∵，
∴ ，故③符合题意；
∵，， ∴，
∵，， ∴
，故④不符合题意， 故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键．
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．
【详解】解：平分，，
，，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线定义得，，再根据得出答案．
【详解】∵，平分，，∴，，
∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线定义，平角的定义，掌握各角之间的数量关系是解题的关键．
8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平分，平分，可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，
∴，
∵，∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到是解题的关键．
9．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值．
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，……
由此可得：，
，故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
10．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，射线为的三等分线．
∴或，
∴，∴的度数为或．故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点．若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】根据中点的定义求出，，再由，可得出答案．
【详解】，是线段的中点，，，
又为的中点，，，
．故答案为：3
【点睛】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．
12．（2023·四川达州·七年级校考期末）在直线上取，两点，使，再在直线上取一点，使，，分别是，的中点，则 ．
【答案】或
【分析】分情况讨论点在线段上，点在线段的反向延长线上，即可求解．
【详解】由题意知点的位置有两种情况，
①点在线段上，
，，，分别是，的中点，
，，
，
②点在线段的反向延长线上时，由①得，
，
或．故答案为：或．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，解题的关键是分情况讨论点在线段上，点在线段外两种情况．
13．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）如图，点为线段上一点，为中点，为中点，为中点，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】设，则，故，，根据列出方程计算即可．
【详解】∵为中点，为中点，为中点，，
∴，，，
∴，设，则，
故，，
∴，解得，故，故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的中点，一元一次方程，熟练掌握定义，灵活用一元一次方程是解题的关键．
14．（2023秋·湖北七年级课时练习）如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．
【答案】
【分析】由角的和差关系可得，根据角的平分线的行医可得，，结合即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出、、的度数和得出．
15．（2023秋·广东湛江·七年级统考期末）如图所示，、分别是、的平分线，且，则的度数是 ．
【答案】
【分析】利用角的平分线的性质计算．
【详解】解：∵是的平分线，，∴，
又∵是的平分线，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算．解题的关键是先找出角与角之间的关系，再运算．
16．（2022秋·海南三亚·七年级统考期末）已知，在同一平面内过点作射线，平分，平分，的度数为 ．
【答案】或
【分析】分在内部或在外部两种情况，根据角平分线的定义得出，，由，结合的度数求解即可．
【详解】解：当在内部时，如图所示：
射线平分，射线平分，，，
，，
，；
当当在内部时，如图所示：
射线平分，射线平分，，，
，，
，；
综上分析可知，的度数为或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义，注意分类讨论，是解题的关键．
17．（2022秋·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵∠BOE=∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，故答案为：．
【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键．
18．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
【答案】
【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设，
，，
，，
平分，平分，平分，
，，，
，故正确，符合题意；
，
度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意；
，故正确，符合题意；
，，
，故正确，符合题意；
综上所述，正确的有：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏连云港·七年级校考开学考试）如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点．(1)若，，求的长度；(2)若，求的长度．
【答案】(1)4(2)m
【分析】（1）根据线段中点的定义即可得到结论；
（2）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：∵M是的中点，，∴，
∵N是的中点，，∴；∴；
（2）解：∵M是的中点，N是的中点，∴，，
∵，∴．
20．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，已知B，C在线段上，，，．(1)图1中共有___________条线段；(2)①比较线段的长短： ___________（填：“”、“”或“”）；②如图2，若M是的中点，N是的中点，求的长度．
(3)点E在直线上，且，请直接写出的长．
【答案】(1)6；(2)①；②；(3)的长为或．
【分析】（1）根据图1即可得到答案；（2）①根据，，，即可得到结论；②根据线段的和差以及线段中点的定义，即可求出的长度；（3）先求出，然后进行分类讨论：①点E在线段的延长线上；②点E在线段的延长线上，分别计算即可得到答案．
【详解】（1）解：以A为端点的线段：、、，共3条；
以B为端点的线段：、，共2条；以C为端点的线段：，共1条，
图1中共有的线段条数为，故答案为：6；
（2）解：①，，
又，，故答案为：；
②，，，
M是的中点，N是的中点，，，
；
（3）解：，， ，
，，
①如图，当点E在线段的延长线上时，
，；
②如图，当点E在线段的延长线上时，
，
综上可知，的长为或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差关系，线段中点的定义，准确找出线段之间的数量关系是解题关键，注意进行分类讨论．
21．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图1，已知线段的长为，点P是线段上的任一点，且C、D分别是、的中点，求线段的长．
（2）若点P在线段或线段的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是、的中点，则线段的长还与（1）中所求线段的长相等了吗？请分别就图2和图3的情况进行说明．
【答案】（1）；（2）相等，理由见解析
【分析】（1）由线段中点的含义可得，，再由线段的和差可得答案；
（2）①当点P在线段AB的延长线上时，由中点含义可得，，结合，可得答案；②当点P在线段的延长线上时，由中点含义可得，，结合，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵C、D分别是、的中点，
∴，，∴，
∵，∴；
（2）线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，理由：
①当点P在线段AB的延长线上时，
∵C、D分别是、的中点，∴，，
∴，
∵，∴，
②当点P在线段的延长线上时，
∵C、D分别是、的中点，∴，，
∴，
∵，∴，
综上，线段的长还与（1）中所求线段的长相等，均等于．
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，利用数形结合的方法解题是关键．
22．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：射线在的内部，射线是的平分线，射线是的平分线．(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当A、O、B在一条直线上时， 。
(3)在（2）的条件下，，射线与射线夹角是求，的度数．
【答案】(1)见解析；(2)；(3) 或
【分析】（1）直接利用角平分线的定义得出，再相加即可得出答案；（2）由（1）结论进行计算即可；（3）先求出，再分当射线在射线下方时与当射线在射线上方时两种情况求解即可．
【详解】（1）证明：∵射线OM是∠AOC的平分线，射线ON是∠BOC的平分线，
∴，
∴；
（2）当A、O、B在一条直线上时，由（1）得：
，故答案为：；
（3）∵，，∴，
∵，∴，∴，
当射线在射线下方时，，
当射线在射线上方时，，
或
【点睛】本题考查了余角与补角、角平分线的定义，邻补角的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．
23．（2023春·山东泰安·七年级统考期中）探究题：如图①，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D、E分别是和的中点．
(1)若点C恰好是中点，则______；(2)若，求的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，设，试说明不论a取何值（a不超过），的长不变；
(4)知识迁移，如图②，已知，过角的内部任一点C画射线．若、分别平分和，试说明与射线的位置无关．
【答案】(1)8(2)(3)见解析(4)见解析
【分析】（1）根据线段中点的定义求解，即可得到答案；
（2）先求得，再根据线段中点的定义求解，即可得到答案；
（3）先求得，再根据线段中点的定义求解，即可得到答案；
（4）设，则，再根据角平分线的定义，求出和的大小，即可得到答案．
【详解】（1）解：，点C是中点，，
点D、E分别是和的中点，，，
，故答案为：8；
（2）解：，，，
又为中点，为中点，
，，；
（3）解：，，，
又为中点，为中点，，，
，
不论a取何值（a不超过），的长不变；
（4）解：设，，，
平分，平分，，，
，
与位置无关．
【点睛】本题考差了线段中点，角平分线，利用相关定义找出数量关系是解题关键．
24．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】
已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
【答案】(1)，(2)①；②1或8
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；
（2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可．
【详解】（1）解：，，，，
，，，
∴故答案为：，；
（2）①设运动时间为，则，，
根据“点值”的定义得：，，
的值是个定值，
的值是个定值，；
②当点从点向点方向运动时，
，，；
当点从点向点方向运动时，
，，，
的值为1或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
25．（2023秋·江苏七年级课时练习）如图，，平分，平分．
(1)若，求的度数；(2)设，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；(3)若将题干中“”改为“（）”，其他条件不变，设，请用含的式子表示的度数
【答案】(1)(2)能，(3)
【分析】（1）可求，从而可求，，接可求解；（2）可求，从而可求，，接可求解；（3）可求而可求，，接可求解．
【详解】（1）解：因为，， 所以，
因为平分，平分，所以，
，所以，故的度数．
（2）解：能；
因为，， 所以，
因为平分，平分，所以，
，所以，
故的度数．
（3）解：因为，， 所以，
因为平分，平分，所以，
，所以，
故的度数．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差运算，理解定义，正确运算是解题的关键．
26．（2022春·江苏七年级月考）根据要求，回答下列问题：
(1)如图①，，是的平分线，，分别平分，，求的度数．(2)如图②，在（1）中，把“是的平分线”改为“是内任意一条射线”，其他条件都不变，试求的度数．(3)如图③，在（1）中，若把“是的平分线”改为“是外任意一条射线”，其他条件都不变，能否求出的度数？请说明理由．(4)在（2）（3）中，若把“”改为“”，其他条件不变，的度数是多少？请直接写出结论．
【答案】(1)(2)(3)能，理由见解析(4)
【分析】（1）根据角平分线的定义求出结果即可；（2）根据，分别平分，，得出，，即可得出答案；（3），分别平分，，得出，，根据求出结果；（4）分情况讨论，当是内任意一条射线时，当是外任意一条射线时，求出结果，最后得出结论即可．
【详解】（1）解：∵是的平分线，∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，分别平分，，
∴，，
∴．
（3）解：能，理由如下：
∵，分别平分，，∴，，
∴．
（4）解：当是内任意一条射线时，
∵，分别平分，，∴，，
∴；
当是外任意一条射线时，
∵，分别平分，，∴，，
∴；
综上分析可知，．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．
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专题6.10 线段双中点模型与双角平分线模型
模块1：学习目标
1、熟练掌握线段的双中点模型；
2、熟练掌握双角平分线模型；
模块2：知识梳理
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段或角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差或角的和差确定解题方向，然后辅以线段中点或角平分线来解决。
但是，对于有公共部分的双中点线段或双角平分线模型，可以写出的线段和差或角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这两个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差或角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。
模块3：核心考点与典例
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
例1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知线段，，若点M，N分别为，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·重庆梁平·七年级统考期末）已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．6
例3．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）如图，已知线段，是的中点，是线段上一点，为的中点，，则线段 ．
例4．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若，求的值．
例5．（2023春·山东威海·七年级统考期中）如图，点B在线段AC上，，分别是的中点．对于结论：①；②B是的中点；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例6．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．
例7．（2022·陕西西安·七年级校考期末）直线上有三点，，，点为线段的中点，点为线段的中点.若，，则的长为（ ）．
A． B． C．或 D．或
例8．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．
(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．
例9．（2022·陕西商洛·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．(1)若，求线段MN的长；(2)若C为线段上任一点，满，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由；(3)若点C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形并写出你的结论（不必说明理由）．
例10．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；
(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．
模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，平分，平分，，，（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图所示，OC是平分线，OD是的平分线，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 °．
例4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，是内部一条射线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，则 ．
例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
例6．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）如图，，在的内部，在的内部，是的一三等分线，若，则的度数为 ．
例7．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，求的度数？
例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；
(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，点A，B，C顺次在同一直线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点．若想求出的长度，那么只需添加条件（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·海南·七年级统考期末）如图，已知线段cm，为直线上一点，且cm，，分别是、的中点，则等于（ ）cm．
A．13 B．12 C．10或8 D．10
3．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点．若，，则的长为 ．
12．（2023·四川达州·七年级校考期末）在直线上取，两点，使，再在直线上取一点，使，，分别是，的中点，则 ．
13．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）如图，点为线段上一点，为中点，为中点，为中点，若，则的长为 ．
14．（2023秋·湖北七年级课时练习）如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．
15．（2023秋·广东湛江·七年级统考期末）如图所示，、分别是、的平分线，且，则的度数是 ．
16．（2022秋·海南三亚·七年级统考期末）已知，在同一平面内过点作射线，平分，平分，的度数为 ．
17．（2022秋·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示）
18．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏连云港·七年级校考开学考试）如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点．(1)若，，求的长度；(2)若，求的长度．
20．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，已知B，C在线段上，，，．(1)图1中共有___________条线段；(2)①比较线段的长短： ___________（填：“”、“”或“”）；②如图2，若M是的中点，N是的中点，求的长度．
(3)点E在直线上，且，请直接写出的长．
21．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图1，已知线段的长为，点P是线段上的任一点，且C、D分别是、的中点，求线段的长．
（2）若点P在线段或线段的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是、的中点，则线段的长还与（1）中所求线段的长相等了吗？请分别就图2和图3的情况进行说明．
22．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：射线在的内部，射线是的平分线，射线是的平分线．(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当A、O、B在一条直线上时， 。
(3)在（2）的条件下，，射线与射线夹角是求，的度数．
23．（2023春·山东泰安·七年级统考期中）探究题：如图①，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D、E分别是和的中点．
(1)若点C恰好是中点，则______；(2)若，求的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，设，试说明不论a取何值（a不超过），的长不变；
(4)知识迁移，如图②，已知，过角的内部任一点C画射线．若、分别平分和，试说明与射线的位置无关．
24．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】
已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
25．（2023秋·江苏七年级课时练习）如图，，平分，平分．
(1)若，求的度数；(2)设，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；(3)若将题干中“”改为“（）”，其他条件不变，设，请用含的式子表示的度数
26．（2022春·江苏七年级月考）根据要求，回答下列问题：
(1)如图①，，是的平分线，，分别平分，，求的度数．(2)如图②，在（1）中，把“是的平分线”改为“是内任意一条射线”，其他条件都不变，试求的度数．(3)如图③，在（1）中，若把“是的平分线”改为“是外任意一条射线”，其他条件都不变，能否求出的度数？请说明理由．(4)在（2）（3）中，若把“”改为“”，其他条件不变，的度数是多少？请直接写出结论．
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