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专题6.12 角度中的动态模型
模块1：学习目标
角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。
模块2：知识梳理
1、角度旋转模型解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
2、常见的三角板旋转模型：
三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
模块3：核心考点与典例
模型1、旋转中的求值模型
例1．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．
(1)运动开始前，如图1，______，______；
(2)旋转过程中，当为何值时，射线平分
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)39，51(2)(3)存在，符合条件的的值为12s或33s
【分析】（1）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义直接计算即可；
（2）根据列方程求解即可；（3）分情况根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：，，三点在一条直线上，，，
，，分别平分和，
，，故答案为：39，51；
（2）解：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，，
射线平分，，
，，；
（3）解：存在某一时刻使得，分以下几种情况：
情况一：若在上方，此时，
即，解得；
情况二：若在下方，此时，
即，解得（不符合题意，舍去）；
情况三：当停止运动时，继续旋转时，当旋转264°时，有，此时．
综上所述，符合条件的的值为12s或33s．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键．
例2.（2022 浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分
【解析】（1），∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
（2）度
∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
（3）如图：
∵，
由题可设为，为，∴
∵，，解得：秒
答：经过秒平分．
模型2、旋转中的定值模型
例1．（2023·成都市石室联合中学七年级月考）已知，，平分，平分.（1）如图，当、重合时，求的值；
（2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）35°；（2）是定值，35°
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可得．
【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2，
由题意∠BOC=3t°，则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），
∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，
∴∠AOE-∠BOF的值是定值．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．
(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；
(3)如图④，当______时，恰好平分；
(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不变，，理由见解析；
【分析】（1）如图，由题意可得：，而，，
再证明，而，再建立方程求解即可；
（2）如图，证明，，再建立方程求解即可；
（3）如图，证明，，同理：，而，可得，从而可得答案；
（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；
（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．
【详解】（1）解：如图，由题意可得：，而，
∴，
∵平分，∴，而，∴，解得：；
（2）如图，∵，平分，∴，
∵，，∴，∴，解得：；
（3）如图，∵，恰好平分，∴，，
同理：，而，∴，解得：；
（4）如图，
∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
（5）如图，
∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键．
模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）
例1．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知，从的顶点引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点逆时针旋转形成．
(1)如图1，若，比较和的大小，并说明理由；
(2)作射线，射线为的平分线，设．
①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数；
②当时，请探究与之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析(2)①②
【分析】（1）根据，，即可确定两个角的大小；（2）①根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可；
②分两种情况：当时，当时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
，，，
又，；
（2）①恰好平分，，，
为的平分线，，，
，，，；
②分情况讨论：当时，
，
，为的平分线，，
，；
当时，，
，为的平分线，，
，；
综上所述，．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
例2．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．
【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．
【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；
（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，
∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；
∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；
（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．
【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．
模型4、旋转中的分类讨论模型
例1.（2022 广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______（用含有或的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有或的代数式表示）
(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1)；(2)，；(3)分钟时，∠MON的度数是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当，时，，
，
②，故答案为：
(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，
②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案为：，
(3)根据题意
OM平分∠POQ，
如图，当在的外部时，
MON的度数是40°
ON平分∠POA，，，则旋转了
分，即分钟时，∠MON的度数是40°
如图，在的内部时，即
此情况不存在，综上所述，分钟时，∠MON的度数是40°
例2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．（1）如图1，已知，，是的内半角，则________；（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；（3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或．
【分析】（1）根据内半角的定义解答即可；（2）根据内半角的定义解答即可；
（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，根据内半角的定义列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵是的内半角，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（2）∵，∴，
∵是的内半角，∴，∴，
∴旋转的角度为时，是的内半角．
（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，
如图1，∵是的内半角，，
∴，∴，解得：，∴；
如图2，∵是的内半角，，
∴，∴，∴，∴；
如图3，∵是的内半角，，∴，
∴，∴，∴；
如图4，∵是的内半角，，∴，
∴，解得：，∴，
综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角．
【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共26题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
【答案】C
【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误．
【详解】解：由题意知，；
当时，；当时，；
令，即，解得秒，
∴存在的情况；故A错误，不符合题意；
令，即，解得秒，
令，即，解得秒，
∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；故B、D错误，不符合题意；
当时，∴，
∵，∴射线恰好平分，故C正确，符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．
2．（2023春·广东深圳·七年级校考开学考试）如图，绕点O逆时针在的内部旋转，其中平分平分，在从与重合时开始到与重合为止，以每秒的速度旋转过程中，下列结论：（1）射线的旋转速度为每秒；（2）当时间为15秒；（3）的大小为；（4）在整个过程中在内部持续时长为45秒．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】（1）根据角平分线的意义来分析射线的速度；（2）先假定时间为15秒，然后来分析A、C的位置的变化情况；（3）根据角平分线的性质来求即可；（4）用除以2即可判断．
【详解】解：（1）∵以每秒的速度旋转，
∴角平分线的旋转速度为每秒，故（1）是错误的；
（2）设转了t秒，，则，，
当秒时，，故（2）正确；
（3）∵，设，则，
∴；∴，即，故（3）是正确的；
（4）∵秒，∴在整个过程中在内部持续时长为45秒，故（4）错误．
∴正确的是（2）（3），故选：B．
【点睛】此题主要考查了角的计算和角平分线的定义，正确根据角平分线的性质得出是解题关键．
3．（2022秋·安徽池州·七年级统考期末）如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
【答案】C
【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值．
【详解】解：∵，∴，
当直线恰好平分锐角时，如图：
，此时，三角板旋转的角度为，∴；
当在的内部时，如图：
三角板旋转的角度为，∴；
∴t的值为：5或23．故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（ ）
A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
【答案】D
【分析】分别讨论ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC和ON在∠AOC的内部；两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系即可得答案．
【详解】∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，
①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，∴∠BON=∠AOC=30°，
此时，三角板旋转的角度为90° 30°=60°，∴t=60°÷10°=6；
②如图，当ON在∠AOC的内部时，∴∠CON=∠AOC=30°，
∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°，∴t=240°÷10°=24；
∴t的值为：6或24．故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，直线，相交于点，在内部画射线OA，使OC恰为的平分线，在内部画射线OB，使，将直线绕点旋转，下列数据与大小变化无关的是（ ）
A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数
【答案】B
【分析】根据角平分线和对顶角相等分别找到与各个选项的角度的关系即可．
【详解】∵，相交于点，∴=，A选项不符合题意；
∵OC恰为的平分线，∴=，D选项不符合题意；
∵=180°-∴=180°-，C选项不符合题意；故选：B
【点睛】本题主要考查对顶角相等、角平分线的定义，准确找到与各个选项的角度的关系最后利用排除法得到正确答案是解题的关键．
6．（2022·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．
【解析】解：分两种情况：
①如图平分时，，即，解得；
②如图平分时，，即，解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：．
【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
8．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得，所以平分，①正确；
②当时，设，∵平分，∴，
∴ ，，
∴，
当时，设，∵平分，∴，
∴，∴，
∴，∴，故②正确；
③时，时，时故③正确；
④当时，当时，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
8．（2023·浙江·七年级期中）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．
A．① B．② C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
【详解】解：
如图1，当时
如图2，当时
因此，的角度不恒为，则①错误
如图1，当时
由角平分线的定义得
如图2，当时
由角平分线的定义得
因此，的角度恒为定值，则②正确
边与三角板的三边所在直线夹角不可能成
如图1，当时，设DE与AB的交点为F
，即
DE只与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次；DB只与三角板的BC边所在直线夹角成，次数为1次 如图2，当时，延长DE交AB于点F
，即
只有DB与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，则③错误
如图3，作
，即平分
如图4，作 显然不平分，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个故选：B．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．
【答案】105
【分析】根据角平分线的性质分别求出，的值，计算即可．
【详解】解：如图1：∵，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
即，∴；
如图2：∵，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，即，
∴；∴；故答案为：105．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．
【答案】或
【分析】设转动秒，与的夹角是，进行分情况画图 ，列方程即可得到结论．
【详解】设秒后，与的夹角是，
如图，∴，，
，
∵，∴，即有，解得：，
如图，∴，，
∵，∴，即有，解得：，
综上可知：或，与的夹角是，故答案为：或．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，角的有关计算，解题的关键是确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
11．（2023春·山东威海·六年级统考期末）如图，点在直线上，，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周（如图），当旋转到第秒时，所在的直线平分，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据平角的定义得到，进行分类讨论，求出旋转的度数即可求解．
【详解】∵，∴，
∵，∴，
如图，当逆时针旋转到时，
∵平分，∴，
则逆时针旋转了，∴，
如图，当逆时针旋转到时，
由得：，，∴，∴，
则逆时针旋转了，∴，
综上可知：的值为或秒，故答案为：或秒．
【点睛】此题考查了考查了角平分线定义，平角的定义，根据旋转后画出图形是解题的关键．
12．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）
【答案】1或13或25
【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴；
分情况讨论：①当平分时，
∵，∴，即：，
∴，∴；
②平分时，
则：，∴，∴；
③当平分时：
则：，∴，
∴点旋转的角度为：，∴；
综上：的值为：1或13或25．故答案为：1或13或25．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
13．（2023·广东河源·七年级校考期末）将两个形状，大小完全相同的含有，的三角板与如图放置，，，三点在同一直线上．现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若平分，平分，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据三角板的各个角的度数，以及角平分线的意义，利用平角以及角的和与差求出答案．
【详解】解：设三角板绕点P沿顺时针方向旋转的角度为，，
∵平分，平分，∴，
，
∴．故答案为：15．
【点睛】考查角平分线的意义，平角以及三角板的各个特殊锐角的关系等知识，把握各个角之间的关系是得出答案的前提．
14．（2023春·湖南株洲·七年级统考期末）如图1，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转10秒时，则的度数 ；
（2）第t秒时，所在直线恰好平分，则t的值为 ．
【答案】 24或60/60或24
【分析】（1）根据旋转的速度，求出的度数即可；
（2）由平角的定义可得或，然后列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵三角尺绕点以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，
∴当旋转10秒时，；
故答案为：．
（2）∵，所在直线恰好平分，
∴或，
∴或，
解得：或．
故答案为：24或60．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角平分线定义、平角的定义、列出方程是解答本题的关键．
15．（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
【答案】或
【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒；
∴运动的时间相同；设运动时间为秒，则：，
∵，∴，
当时：，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
当，在上方时：如图，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
当，在下方时：如图2，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
综上：与之间的数量关系为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
16．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，．若在平面内绕点O旋转，分别作和平分线OP、OQ，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分三种情况画出图形求解即可．
【详解】设，，如图1，
∵OP、OQ分别是和平分线，∴，
∴，
∴；
如图2，
∵，
∵OP、OQ分别是和平分线，∴，
∴
；
如图3，
∵OP、OQ分别是和平分线，∴，
∴
；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线定义，线段的和差，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
17．（2023春·浙江·七年级期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可．
【详解】解：∵，，是的两条三分线，
∴，
①当，如图，
如原图所示：，所以；
②当时，如图，
则，所以，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查角的运算，旋转的性质，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
18．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线OC，使，将一副直角三角板的直角顶点放在点O处，其中一个三角板的一边在射线OB上，另一个三角板的一边在射线上，这副三角板的另外两边重合，并在直线的下方．直角三角板从图1的位置绕点O以每秒的速度逆时针旋转，同时直角三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板绕点O旋转一周后，运动停止．经过 秒时，所在直线平分；经过 秒时，所在直线平分．
【答案】 2或8 或
【分析】分两种情况讨论，当平分和的反向延长线平分；当平分和当的反向延长线平分，分别列式计算即可求解．
【详解】解：设三角板运动时间为t秒时，所在直线平分，
当平分，依题意得：，解得：(秒)；
当的反向延长线平分，依题意得：，解得：(秒)；
综上，经过2或8秒时，所在直线平分；
设三角板运动时间为t秒时，所在直线平分，，
当平分，依题意得：，解得：(秒)；
当的反向延长线平分，依题意得：，解得：(秒)；
综上，经过或秒时，所在直线平分；故答案为：2或8；或．
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的意义，用方程解几何问题是常用的方法．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：
(1)课上，老师提出问题：如图①，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．下面是小泽根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程：
未知线段 已知线段…… 因为C，D分别是线段、的中点，所以，________，________，因为，所以________， 线段中点的定义线段的和、差等式的性质
(2)小泽举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化如图②，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线．求的度数．请同学们尝试解决该问题．
(3)同组的小丽同学很善于思考，她提出新的问题：如果（2）中其他条件不变，将射线绕点O旋转到的外部，则的度数是________．
【答案】(1)，，(2)(3)或者
【分析】（1）根据题干给出的思路作答即可；（2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解；
（3）根据角平分线的定义表示出和，然后分三种情况作出图形，列式计算即可得解．
【详解】（1）∵C，D分别是线段、的中点，
∴，，，
∵，∴，故答案为：，，；
（2）∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，∴；
（3）∵，分别是，的平分线，，
∴，，
分三种情况：第一种情况：如图，
；
第二种情况，如图，同理可得：；
第三种情况，如图，，
综上：的度数是或者．
【点睛】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，同时要注意分情况讨论．
20．（2022·安徽亳州·七年级期末）如图（）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
(1)若，则________°；若∠ACB=130°，则_________°．
(2)如图（b）所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由．(3)如图（c）所示，已知，（，都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则与有何数量关系，直接写出结论．
【答案】(1)155，50；(2)∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；(3)
【分析】(1) 先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；
(2)根据∠DAB=∠DAE+∠EAB求出即可；(3) 根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
（1）解∶ ∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=65°，
∵∠ACD=90° ，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；
∵∠ACB=130°，∠ACD=90° ，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=130°-90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-40°=50°，故答案为∶155，50；
（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下∶
∵∠DAC=∠EAB=60°，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAB=60°-∠EAC+60°=120°-∠EAC，∴∠DAB+∠CAE=120°；
（3）解：，理由如下，
∵
∴，故答案为：．
【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，正确理解图形中角的位置关系，掌握三角板中各角的度数是解题的关键．
21．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转形成．
(1)如图1，若，比较和的大小，并说明理由；
(2)作射线，射线为的平分线，设．
①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数；
②当时，请探究与之间的数量关系．
【答案】(1)，见解析；(2)①，②．
【分析】（1）结合题意，进行角的加减计算求出、的度数即可；
（2）①由角平分线的定义得，，依据可求得，从而求出；②如图1，当，结合角平分线的定义求得，，即；如图2，当，结合角平分线的定义求得，，即；综上所述，．
【详解】（1）解：和的大小相等．理由如下：
由题意可得：射线、射线和射线在射线同侧，
∵，，∴，
又∵，∴，∴；
（2）①∵射线恰好平分，∴，∴，
∵射线为的平分线，∴，∴，
∵，∴，∴，∴
②如图1，当，
∵，
∵，射线为的平分线，∴，
∴，∴；
如图2，当，
∵，
∵，射线为的平分线，∴，
∴，∴；
综上所述，．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的角的计算；掌握角平分线的性质是解题的关键．
22．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．
【答案】（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4
【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解；（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；
（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；故答案为：是；
（2）∵∠MPN=分三种情况
①∵射线PQ是的“定分线”，∴=2=，∴=，
②∵射线PQ是的“定分线”，∴=2，
∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，
③∵射线PQ是的“定分线”，∴2=，
∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN =，∴∠QPN =，∴∠QPM =，
∴∠MPQ=或或；故答案为：或或；
（3）依题意有三种情况：
①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；
②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；
③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，
故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是∠MPN的“定分线”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，“定分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“定分线”的定义并分情况讨论是解题的关键．
23．（2023秋·湖北黄石·七年级统考期末）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且小于等于的角）．
(1)如图，当、重合时，求的度数；(2)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转，且时，直接写出n的取值范围．(3)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转时，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)不是定值，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；（2）分三种情况讨论：当时，，为定值；当时，，为定值；当时，，由，解得：（不符合题意，舍去）；即可确定n的取值范围．（3）分两种情况讨论：；．
【详解】（1）如图1，与重合，
∵平分，即平分，∴，
∵平分，即平分，∴，
∴；
（2）当时，如图2，
即有：，，，
∵平分，∴，∵平分，∴，
∴；此时，为定值；
当时，如图3．
即，，，
∵平分，∴，∵平分，∴，
∴；此时，为定值；
当时，如图4．
即，，，
∵平分，∴，∵平分，∴，
∴，
∵，∴，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，n的取值范围；
（3）的值不是定值，理由是：
当时，如图5．
的值是定值，理由是：
，，
∵平分，平分，
∴、，∴为定值；
当时，如图6．
即：，，，
∵平分，平分∴，，
则，不是定值，故的值不是定值．
【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的定义，旋转变换的性质，熟练掌握角平分线的性质，灵活运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键．
24．（2023春·重庆沙坪坝·七年级校考开学考试）平面上顺时针排列射线，，，射线分别平分，（题目中所出现的角均小于）．
(1)如图1，若，则___________，___________；
(2)如图2，探究与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时将绕点O以每秒逆时针旋转，若旋转时间为t秒，当时，直接写出t的值．
【答案】(1)，(2)(3)当时，或
【分析】（1）先根据，射线平分求出，进而得到，即可求出，再根据射线平分求出，最后计算即可；（2）先由，射线平分求出，再由射线分别平分求出，最后根据计算即可．
（3）先根据题意得到，，进而求出旋转前 ，再由“将绕点O以每秒的速度顺时针旋转”得到恒定，然后分类讨论即可．
【详解】（1）∵，射线平分，
∴，∴，
∴，
∵射线平分，∴，
∴，故答案为，；
（2）∵，射线平分，∴，
∵射线分别平分，∴，
∴，
∵，，
∴，∴；
（3）∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，
∴度数恒定，即恒定，
在和相遇前，∵，射线平分，
∴，
∵，，∴，解得；
在和相遇后，此时，
∵射线平分，∴
∵，，∴，
即，解得；即当时，或．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，难度较大，需要有良好的空间想象能力．因为题干要求题目中所出现的角均小于，所以第三问无需考虑后再次出现的情况．
25．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．
(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．
①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．
【答案】(1)(2)(3)①；②
【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得；
（3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵平分平分，∴，
∴，∴；
（2）解：∵，∴，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，∴；
（3）解：①∵，∴，∴
由题意得：，
∴，，∴；
②由①知，
∵，
∴，
∵，，∴，
把代入得：解得，
∴若，当时，．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
26．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．
(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．
【答案】(1)是(2)是，理由见解析(3)，4
【分析】（1）由是可得，由可得，，进而得出，可知是；
（2）由是可得，由可得，，进而得出，可知是；
（3）由m等个性线的定义可得，由此可得m与的关系，再根据，m是正整数，即可求解．
【详解】（1）解：是，，，
，，，
，，，是，故答案为：是；
（2）解：是，理由如下：
是，，，
，，，
，，，是；
（3）解：是，，
同理，是，，
，，
，，，
又m是正整数，，，，故答案为：，4．
【点睛】本题考查角n等分线的计算问题、角的和差关系等，解题的关键是理解m等个性线的定义．
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专题6.12 角度中的动态模型
模块1：学习目标
角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。
模块2：知识梳理
1、角度旋转模型解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
2、常见的三角板旋转模型：
三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
模块3：核心考点与典例
模型1、旋转中的求值模型
例1．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．
(1)运动开始前，如图1，______，______；
(2)旋转过程中，当为何值时，射线平分
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
例2.（2022 浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
模型2、旋转中的定值模型
例1．（2023·成都市石室联合中学七年级月考）已知，，平分，平分.（1）如图，当、重合时，求的值；
（2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．
(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；
(3)如图④，当______时，恰好平分；
(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）
例1．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知，从的顶点引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点逆时针旋转形成．
(1)如图1，若，比较和的大小，并说明理由；
(2)作射线，射线为的平分线，设．
①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数；
②当时，请探究与之间的数量关系．
例2．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．
模型4、旋转中的分类讨论模型
例1.（2022 广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______（用含有或的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有或的代数式表示）
(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
例2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．（1）如图1，已知，，是的内半角，则________；（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；（3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
模块4：同步培优题库
全卷共26题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
2．（2023春·广东深圳·七年级校考开学考试）如图，绕点O逆时针在的内部旋转，其中平分平分，在从与重合时开始到与重合为止，以每秒的速度旋转过程中，下列结论：（1）射线的旋转速度为每秒；（2）当时间为15秒；（3）的大小为；（4）在整个过程中在内部持续时长为45秒．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋·安徽池州·七年级统考期末）如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（ ）
A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，直线，相交于点，在内部画射线OA，使OC恰为的平分线，在内部画射线OB，使，将直线绕点旋转，下列数据与大小变化无关的是（ ）
A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数
6．（2022·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·浙江·七年级期中）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．
A．① B．② C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．
10．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．
11．（2023春·山东威海·六年级统考期末）如图，点在直线上，，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周（如图），当旋转到第秒时，所在的直线平分，则的值为 ．
12．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）
13．（2023·广东河源·七年级校考期末）将两个形状，大小完全相同的含有，的三角板与如图放置，，，三点在同一直线上．现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若平分，平分，则的度数是 ．
14．（2023春·湖南株洲·七年级统考期末）如图1，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转10秒时，则的度数 ；
（2）第t秒时，所在直线恰好平分，则t的值为 ．
15．（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
16．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，．若在平面内绕点O旋转，分别作和平分线OP、OQ，则的度数为 ．
17．（2023春·浙江·七年级期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
18．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线OC，使，将一副直角三角板的直角顶点放在点O处，其中一个三角板的一边在射线OB上，另一个三角板的一边在射线上，这副三角板的另外两边重合，并在直线的下方．直角三角板从图1的位置绕点O以每秒的速度逆时针旋转，同时直角三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板绕点O旋转一周后，运动停止．经过 秒时，所在直线平分；经过 秒时，所在直线平分．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：
(1)课上，老师提出问题：如图①，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．下面是小泽根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程：
未知线段 已知线段…… 因为C，D分别是线段、的中点，所以，________，________，因为，所以________， 线段中点的定义线段的和、差等式的性质
(2)小泽举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化如图②，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线．求的度数．请同学们尝试解决该问题．
(3)同组的小丽同学很善于思考，她提出新的问题：如果（2）中其他条件不变，将射线绕点O旋转到的外部，则的度数是________．
20．（2022·安徽亳州·七年级期末）如图（）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
(1)若，则________°；若∠ACB=130°，则_________°．
(2)如图（b）所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由．(3)如图（c）所示，已知，（，都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则与有何数量关系，直接写出结论．
21．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转形成．
(1)如图1，若，比较和的大小，并说明理由；
(2)作射线，射线为的平分线，设．
①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数；
②当时，请探究与之间的数量关系．
22．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．
23．（2023秋·湖北黄石·七年级统考期末）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且小于等于的角）．
(1)如图，当、重合时，求的度数；(2)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转，且时，直接写出n的取值范围．(3)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转时，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由．
24．（2023春·重庆沙坪坝·七年级校考开学考试）平面上顺时针排列射线，，，射线分别平分，（题目中所出现的角均小于）．
(1)如图1，若，则___________，___________；
(2)如图2，探究与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时将绕点O以每秒逆时针旋转，若旋转时间为t秒，当时，直接写出t的值．
25．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．
(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．
26．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．
(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．
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