2023-2024学年苏科版八年级数学上第九周周末提优训练(期中模拟）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年苏科版八年级数学上第九周周末提优训练(期中模拟） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 835.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-03 08:15:55 | ||
图片预览
文档简介
2023-2024学年苏科版八年级数学上第九周周末提优训练(期中模拟）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共24分)
1．已知：△ABC≌△DCB，若BC=10cm，AB=5cm，AC=7cm，则CD为（ ）
A．10cm B．7cm C．5cm D．5cm或7cm
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．7，24，25 C．6，12，8 D．9，12，15
3．等腰三角形中，两边的长分别为3和7，则此三角形周长是（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．15
4．下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边
5．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
6．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接；下列结论：①；②；③平分④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二．填空题(每小题3分 共30分)
9．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 °．
10．AD是△ABC的中线，AB=10，AC=6，则AD的取值范围是 ．
11．如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积= ．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．已知：如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′为 度．
13．如图△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于 ．
14．如图，圆柱的底面周长为48cm，高为7cm，一只蚂蚁从点B出发沿着圆柱的表面爬行到点A，现有两种路径：①折线B→C→A；②在圆柱侧面上从B到A的一条最短的曲线l．请分别计算这两种路径的长，较短的路径是 ．（填①或②）．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= cm．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是 ．
17.如图，是的中线，延长至，使得，连接，，点在的平分线上，且．设，则________（用含、的式子表示）
18．如图，在 ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_____时， PEC与 QFC全等．
三．解答题（66分）
19.（8分）作图题
（1）．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
（2）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，已知直线l及其两侧两点A、B．
①在直线l上求一点Q，使到A、B两点距离之和最短；
②在直线l上求一点P，使PA=PB．
20．（8分）已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．
（1）求证：△AEF≌△AEB；
（2）∠DFE= °．
21．（8分）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系，并说明理由．
22．（8分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、 ； 13、 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
23．（10分）探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边CB、AC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F．
（1）求证：△BAE ≌ △CBD ；
（2）∠BFE= °．
应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCM和正五边形ABCMN，如图2、3，在边CB、MC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F，则图2中∠BFE= °；图3中∠BFE= °．
拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE= °（用含n的代数式表示）．
24．（12分）（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；
（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．
（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．
25．（12分）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共24分)
1．已知：△ABC≌△DCB，若BC=10cm，AB=5cm，AC=7cm，则CD为（ C ）
A．10cm B．7cm C．5cm D．5cm或7cm
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ C ）
A．1.5，2，2.5 B．7，24，25 C．6，12，8 D．9，12，15
3．等腰三角形中，两边的长分别为3和7，则此三角形周长是（ B ）
A．13 B．17 C．13或17 D．15
4．下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ C ）
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边
5．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ A ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
6．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（ B ）
A．75 B．100 C．120 D．125
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选B．
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（ B ）
A． B． C． D．
解：∵，∴，∵DF、EG为和的平分线，∴，，在四边形BCED中，有，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．故选：B．
8．如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接；下列结论：①；②；③平分④，其中正确的有（ D ）
A．个 B．个 C．个 D．个
解: ①∵等边△ABC 和等边△BPE，∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE，
在△APB 和△CEB 中，∴△APB≌△CEB（SAS），∴AP＝CE，故此选项正确；②∵△APB≌△CEB，∴∠APB＝∠CEB，∵∠MCP＝∠BCE，则∠PME＝∠PBE＝60°，故此选项正确；③过点B作BN⊥AM 于N， BF⊥ME 于F，∵△APB≌△CEB，
∴∠BPN＝∠FEB，在△BNP 和△BFE 中，，∴△BNP≌△BFE（AAS），∴BN＝BF，∴BM 平分∠AME，故此选项正确；④在BM上截取 BK＝CM，连接 AK，
由②知∠PME＝60°，∴∠AMC＝120°，由③知：BM 平分∠AME，∴∠BMC＝∠AMK＝60°，∴∠AMK=∠ACB=60°，又∵∠AHM=∠BHC，∴∠∠CAM=∠CBH，∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，∴∠CBH+∠ACM=60°，∴∠ABK+∠PBM＝60°＝∠PBM+∠ACM，∴∠ACM＝∠ABK， 在△ABK 和△ACM 中
∴△ACM≌△ABK（SAS），∴AK＝AM，∴△AMK 为等边三角形，则 AM＝MK， 故 AM+MC＝BM，故此选项正确；故选D．
二．填空题(每小题3分 共30分)
9．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 50或80 °．
10．AD是△ABC的中线，AB=10，AC=6，则AD的取值范围是 2＜AD＜8 ．
解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即4＜2AD＜16，2＜AD＜8．故答案为2＜AD＜8．
11．如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积= 24 ．
解：在RT△ABC中，AB==5，∵AD=13，BD=12，∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，阴影部分的面积=AB×BD﹣BC×AC=30﹣6=24．故答案为：24．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．已知：如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′为 40 度．
解：∵AA′∥BC，∴∠A′AB=∠ABC=70°．∵BA′=AB，∴∠BA′A=∠BAA′=70°，∴∠ABA′=40°，又∵∠A′BA+∠ABC'=∠CBC'+∠ABC'，∴∠CBC′=∠ABA′，即可得出∠CBC'=40°．故答案为：40°．
13．如图△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于 70° ．
解：∵∠AEC=120°，∴∠AEB=60°，∵△ABE≌△ACD，∴∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，
∴∠DAC=180°﹣50°﹣60°=70°，故答案为：70°．
14．如图，圆柱的底面周长为48cm，高为7cm，一只蚂蚁从点B出发沿着圆柱的表面爬行到点A，现有两种路径：①折线B→C→A；②在圆柱侧面上从B到A的一条最短的曲线l．请分别计算这两种路径的长，较短的路径是 ① ．（填①或②）．
解：①∵圆柱的底面周长为48cm， ∴直径d=cm，∴折线B→C→A=（7+）cm；
②如图所示，AB==25（cm）．∵7+＜25，∴沿折线B→C→A爬行路径最短．故答案为：①．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= 2 cm．
解：如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF
∵△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，∴S△ABC= DE AB+ DF BC，即×18×DE+×12×DE=30，∴DE=2（cm）．故填2．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是 5 ．
解：作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，连接P′Q′，即为折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值．根据轴对称的定义可知：∠NOP′=∠AOB=30°，∠OPP′=60°，∴△OPP′为等边三角形，△OQQ′为等边三角形，∴∠P′OQ′=90°，∴在Rt△P′OQ′中，P′Q′==5．故答案为5．
17.如图，是的中线，延长至，使得，连接，，点在的平分线上，且．设，则__或_________（用含、的式子表示）
解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，∵在△BDC和△EDA中，∴△BDC≌△EDA（SAS），∴∠C＝∠EAD，∵点F在∠DAE的平分线上，∴∠FAD＝∠EAD＝∠C，∵∠ADB＝α，∠DBC＝β，∴∠C＝α β，∠DAB＋∠DBA＝180° α，∴∠FAD＝（α β），∴∠AFB＝180° ∠FAB ∠FBA＝180° ∠DAB ∠DBA ∠FAD ∠FBD＝180° （180° α） （α β） ∠FBD＝α＋β ∠FBD∵∠FBC＝∠DBC＝β，当射线BF在∠DBC内部时，∴∠FBD＝β，∴∠AFB＝α＋β β＝α；当射线BF在∠DBC外部时，则∠FBD＝β，∴∠AFB＝α＋β β＝α β，综上，∠AFB＝α或α β，故答案为：α或α β．
18．如图，在 ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_1s或3.5s____时， PEC与 QFC全等．
解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△CFQ，∵△PEC≌△CFQ，∴斜边CP=CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP=6-t，CQ=8-3t，∴6-t=8-3t，∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=6-t=3t-8，∴t=3.5；答：点P运动1s或3.5s时，△PEC与△QFC全等．故答案为：1s或3.5s．
三．解答题（66分）
19.（8分）作图题
（1）．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
解：如图所示：
（2）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，已知直线l及其两侧两点A、B．
①在直线l上求一点Q，使到A、B两点距离之和最短；
②在直线l上求一点P，使PA=PB．
解：如图所示：
20．（8分）已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．
（1）求证：△AEF≌△AEB；
（2）∠DFE= °．
解：（1）∵把△ADC沿着AD折叠，得到△ADF，∴△AFD≌△ADC；∴AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，∠CAD=∠FAD，∵AB=AC，∴AF=AB，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=∠BAE，
在△AFE与△ACE中，，∴△AFE≌△ABE，
（2）由（1）知△AFE≌△ABE，∴∠AFE=∠C，EF=EC，∴∠DFE=∠DFA+∠EFA=∠B+∠C=90°．故答案为：90°．
21．（8分）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系，并说明理由．
证明：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°﹣∠ECB．在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）AD=BE﹣DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CD﹣DE，∴AD=BE﹣DE
22．（8分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、 ； 13、 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴4=，12=，24=…∴11，60，61；13，84，85； 故答案为：60，61；84，85；
（2）后两个数表示为和，∵a2+（）2=a2+==，=，
∴a2+（）2=，又∵a≥3，且a为奇数，∴由a，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：，．
23．（10分）探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边CB、AC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F．
（1）求证：△BAE ≌ △CBD ；
（2）∠BFE= °．
应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCM和正五边形ABCMN，如图2、3，在边CB、MC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F，则图2中∠BFE= °；图3中∠BFE= °．
拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE= °（用含n的代数式表示）．
解：（1）∵△BCA是等边三角形，∴BC=AB，∠ACB=∠ABC=60°．∴∠BCD=∠ABE=120°
在△CBD和△BAE中，∴△CBD ≌ △BAE．
（2）∠BFE = 120 °． 图2中∠BFE = 90 °； 图3中∠BFE = 72 °． 拓展∠BFE = °
24．（12分）（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；
（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．
（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．
解：（1）证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB；
（2）如图1，根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，B′D′⊥AC，∵∠C′AC=∠AC′B′=∠AD′B′，
∴四边形C′AD′B′是矩形，∴AC′=B′D′=AC=4，∴S△AB′C=AC×B′D′=×4×4=8；
（3）如图2，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠OBF=∠OCP=120°，∴∠BOF+∠BFO=60°，∵∠POF=120°，∴∠BOF+∠OPC=60°，∴∠BFO=∠CPO，∵OP=OF，
∴△OCP≌△FBO，∴CP=BO=BC﹣OC=3﹣2=1，∴EP=EC+CP=3+1=4，∵动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，∴t=4÷1=4s．
25．（12分）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案为：AD=BE．
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE=AE﹣DE=8=，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∴AB==17；
（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°∴∠AOE=180°﹣120°=60°，如图4，同理求得∠AOB=60°，AOE=120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共24分)
1．已知：△ABC≌△DCB，若BC=10cm，AB=5cm，AC=7cm，则CD为（ ）
A．10cm B．7cm C．5cm D．5cm或7cm
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．7，24，25 C．6，12，8 D．9，12，15
3．等腰三角形中，两边的长分别为3和7，则此三角形周长是（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．15
4．下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边
5．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
6．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接；下列结论：①；②；③平分④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二．填空题(每小题3分 共30分)
9．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 °．
10．AD是△ABC的中线，AB=10，AC=6，则AD的取值范围是 ．
11．如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积= ．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．已知：如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′为 度．
13．如图△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于 ．
14．如图，圆柱的底面周长为48cm，高为7cm，一只蚂蚁从点B出发沿着圆柱的表面爬行到点A，现有两种路径：①折线B→C→A；②在圆柱侧面上从B到A的一条最短的曲线l．请分别计算这两种路径的长，较短的路径是 ．（填①或②）．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= cm．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是 ．
17.如图，是的中线，延长至，使得，连接，，点在的平分线上，且．设，则________（用含、的式子表示）
18．如图，在 ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_____时， PEC与 QFC全等．
三．解答题（66分）
19.（8分）作图题
（1）．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
（2）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，已知直线l及其两侧两点A、B．
①在直线l上求一点Q，使到A、B两点距离之和最短；
②在直线l上求一点P，使PA=PB．
20．（8分）已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．
（1）求证：△AEF≌△AEB；
（2）∠DFE= °．
21．（8分）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系，并说明理由．
22．（8分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、 ； 13、 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
23．（10分）探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边CB、AC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F．
（1）求证：△BAE ≌ △CBD ；
（2）∠BFE= °．
应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCM和正五边形ABCMN，如图2、3，在边CB、MC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F，则图2中∠BFE= °；图3中∠BFE= °．
拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE= °（用含n的代数式表示）．
24．（12分）（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；
（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．
（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．
25．（12分）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共24分)
1．已知：△ABC≌△DCB，若BC=10cm，AB=5cm，AC=7cm，则CD为（ C ）
A．10cm B．7cm C．5cm D．5cm或7cm
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ C ）
A．1.5，2，2.5 B．7，24，25 C．6，12，8 D．9，12，15
3．等腰三角形中，两边的长分别为3和7，则此三角形周长是（ B ）
A．13 B．17 C．13或17 D．15
4．下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ C ）
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边
5．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ A ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
6．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（ B ）
A．75 B．100 C．120 D．125
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选B．
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（ B ）
A． B． C． D．
解：∵，∴，∵DF、EG为和的平分线，∴，，在四边形BCED中，有，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．故选：B．
8．如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接；下列结论：①；②；③平分④，其中正确的有（ D ）
A．个 B．个 C．个 D．个
解: ①∵等边△ABC 和等边△BPE，∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE，
在△APB 和△CEB 中，∴△APB≌△CEB（SAS），∴AP＝CE，故此选项正确；②∵△APB≌△CEB，∴∠APB＝∠CEB，∵∠MCP＝∠BCE，则∠PME＝∠PBE＝60°，故此选项正确；③过点B作BN⊥AM 于N， BF⊥ME 于F，∵△APB≌△CEB，
∴∠BPN＝∠FEB，在△BNP 和△BFE 中，，∴△BNP≌△BFE（AAS），∴BN＝BF，∴BM 平分∠AME，故此选项正确；④在BM上截取 BK＝CM，连接 AK，
由②知∠PME＝60°，∴∠AMC＝120°，由③知：BM 平分∠AME，∴∠BMC＝∠AMK＝60°，∴∠AMK=∠ACB=60°，又∵∠AHM=∠BHC，∴∠∠CAM=∠CBH，∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，∴∠CBH+∠ACM=60°，∴∠ABK+∠PBM＝60°＝∠PBM+∠ACM，∴∠ACM＝∠ABK， 在△ABK 和△ACM 中
∴△ACM≌△ABK（SAS），∴AK＝AM，∴△AMK 为等边三角形，则 AM＝MK， 故 AM+MC＝BM，故此选项正确；故选D．
二．填空题(每小题3分 共30分)
9．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 50或80 °．
10．AD是△ABC的中线，AB=10，AC=6，则AD的取值范围是 2＜AD＜8 ．
解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即4＜2AD＜16，2＜AD＜8．故答案为2＜AD＜8．
11．如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积= 24 ．
解：在RT△ABC中，AB==5，∵AD=13，BD=12，∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，阴影部分的面积=AB×BD﹣BC×AC=30﹣6=24．故答案为：24．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．已知：如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′为 40 度．
解：∵AA′∥BC，∴∠A′AB=∠ABC=70°．∵BA′=AB，∴∠BA′A=∠BAA′=70°，∴∠ABA′=40°，又∵∠A′BA+∠ABC'=∠CBC'+∠ABC'，∴∠CBC′=∠ABA′，即可得出∠CBC'=40°．故答案为：40°．
13．如图△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于 70° ．
解：∵∠AEC=120°，∴∠AEB=60°，∵△ABE≌△ACD，∴∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，
∴∠DAC=180°﹣50°﹣60°=70°，故答案为：70°．
14．如图，圆柱的底面周长为48cm，高为7cm，一只蚂蚁从点B出发沿着圆柱的表面爬行到点A，现有两种路径：①折线B→C→A；②在圆柱侧面上从B到A的一条最短的曲线l．请分别计算这两种路径的长，较短的路径是 ① ．（填①或②）．
解：①∵圆柱的底面周长为48cm， ∴直径d=cm，∴折线B→C→A=（7+）cm；
②如图所示，AB==25（cm）．∵7+＜25，∴沿折线B→C→A爬行路径最短．故答案为：①．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= 2 cm．
解：如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF
∵△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，∴S△ABC= DE AB+ DF BC，即×18×DE+×12×DE=30，∴DE=2（cm）．故填2．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是 5 ．
解：作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，连接P′Q′，即为折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值．根据轴对称的定义可知：∠NOP′=∠AOB=30°，∠OPP′=60°，∴△OPP′为等边三角形，△OQQ′为等边三角形，∴∠P′OQ′=90°，∴在Rt△P′OQ′中，P′Q′==5．故答案为5．
17.如图，是的中线，延长至，使得，连接，，点在的平分线上，且．设，则__或_________（用含、的式子表示）
解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，∵在△BDC和△EDA中，∴△BDC≌△EDA（SAS），∴∠C＝∠EAD，∵点F在∠DAE的平分线上，∴∠FAD＝∠EAD＝∠C，∵∠ADB＝α，∠DBC＝β，∴∠C＝α β，∠DAB＋∠DBA＝180° α，∴∠FAD＝（α β），∴∠AFB＝180° ∠FAB ∠FBA＝180° ∠DAB ∠DBA ∠FAD ∠FBD＝180° （180° α） （α β） ∠FBD＝α＋β ∠FBD∵∠FBC＝∠DBC＝β，当射线BF在∠DBC内部时，∴∠FBD＝β，∴∠AFB＝α＋β β＝α；当射线BF在∠DBC外部时，则∠FBD＝β，∴∠AFB＝α＋β β＝α β，综上，∠AFB＝α或α β，故答案为：α或α β．
18．如图，在 ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_1s或3.5s____时， PEC与 QFC全等．
解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△CFQ，∵△PEC≌△CFQ，∴斜边CP=CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP=6-t，CQ=8-3t，∴6-t=8-3t，∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=6-t=3t-8，∴t=3.5；答：点P运动1s或3.5s时，△PEC与△QFC全等．故答案为：1s或3.5s．
三．解答题（66分）
19.（8分）作图题
（1）．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
解：如图所示：
（2）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，已知直线l及其两侧两点A、B．
①在直线l上求一点Q，使到A、B两点距离之和最短；
②在直线l上求一点P，使PA=PB．
解：如图所示：
20．（8分）已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．
（1）求证：△AEF≌△AEB；
（2）∠DFE= °．
解：（1）∵把△ADC沿着AD折叠，得到△ADF，∴△AFD≌△ADC；∴AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，∠CAD=∠FAD，∵AB=AC，∴AF=AB，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=∠BAE，
在△AFE与△ACE中，，∴△AFE≌△ABE，
（2）由（1）知△AFE≌△ABE，∴∠AFE=∠C，EF=EC，∴∠DFE=∠DFA+∠EFA=∠B+∠C=90°．故答案为：90°．
21．（8分）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系，并说明理由．
证明：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°﹣∠ECB．在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）AD=BE﹣DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CD﹣DE，∴AD=BE﹣DE
22．（8分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、 ； 13、 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴4=，12=，24=…∴11，60，61；13，84，85； 故答案为：60，61；84，85；
（2）后两个数表示为和，∵a2+（）2=a2+==，=，
∴a2+（）2=，又∵a≥3，且a为奇数，∴由a，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：，．
23．（10分）探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边CB、AC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F．
（1）求证：△BAE ≌ △CBD ；
（2）∠BFE= °．
应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCM和正五边形ABCMN，如图2、3，在边CB、MC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F，则图2中∠BFE= °；图3中∠BFE= °．
拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE= °（用含n的代数式表示）．
解：（1）∵△BCA是等边三角形，∴BC=AB，∠ACB=∠ABC=60°．∴∠BCD=∠ABE=120°
在△CBD和△BAE中，∴△CBD ≌ △BAE．
（2）∠BFE = 120 °． 图2中∠BFE = 90 °； 图3中∠BFE = 72 °． 拓展∠BFE = °
24．（12分）（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；
（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．
（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．
解：（1）证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB；
（2）如图1，根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，B′D′⊥AC，∵∠C′AC=∠AC′B′=∠AD′B′，
∴四边形C′AD′B′是矩形，∴AC′=B′D′=AC=4，∴S△AB′C=AC×B′D′=×4×4=8；
（3）如图2，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠OBF=∠OCP=120°，∴∠BOF+∠BFO=60°，∵∠POF=120°，∴∠BOF+∠OPC=60°，∴∠BFO=∠CPO，∵OP=OF，
∴△OCP≌△FBO，∴CP=BO=BC﹣OC=3﹣2=1，∴EP=EC+CP=3+1=4，∵动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，∴t=4÷1=4s．
25．（12分）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案为：AD=BE．
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE=AE﹣DE=8=，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∴AB==17；
（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°∴∠AOE=180°﹣120°=60°，如图4，同理求得∠AOB=60°，AOE=120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．
同课章节目录