5.1.1 任意角
课后·训练提升
基础巩固
1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置,再顺时针旋转270°到达OC的位置,则∠AOC=( )
A.150° B.-150° C.390° D.-390°
2.(多选题)下列说法错误的是( )
A.终边在x轴非正半轴上的角是零角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),则角α与角β的终边相同
3.与-468°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°+96°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+252°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°-96°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-252°,k∈Z}
4.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A.α+β=90° B.α+β=180°
C.α+β=270° D.α+β=540°
5.若分针走过了2时40分,则分针转过的角是( )
A.80° B.-80° C.960° D.-960°
6.已知角α=-3 000°,则与角α的终边相同的最小正角是 .
7.若角α=k·360°+45°,k∈Z,则是第 象限角.
8.如图所示,写出终边在直线y=x上的角α的集合.
9.写出与25°角终边相同的角的集合,并求出该集合中满足不等式-1 080°≤β<-360°的角β.
能力提升
1.若α是第二象限的角,则的终边所在位置不可能是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.如果角α与x+45°的终边相同,角β与x-45°的终边相同,那么α与 β的关系是( )
A.α+β=180°
B.α-β=0°
C.α+β=k·360°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)
3.(多选题)如果α是第三象限角,则下列结论正确的是( )
A.-α为第二象限角 B.180°-α为第二象限角
C.180°+α为第一象限角 D.90°+α为第四象限角
4.若角α满足180°<α<360°,角5α与角α有相同的始边,且有相同的终边,则角α= .
5.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界),则角α的集合是 .
6.已知集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B= .
7.如图所示,分别写出终边落在阴影部分(包含边界)的角α的集合.
(1) (2)
8.在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,
(1)终边不相同的角有几种
(2)满足-360°<α<360°的角α有几个
(3)写出其中是第三象限角的一般表示法.
5.1.1 任意角
课后·训练提升
基础巩固
1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置,再顺时针旋转270°到达OC的位置,则∠AOC=( )
A.150° B.-150° C.390° D.-390°
答案B
解析按逆时针方向旋转形成的角是正角,按顺时针方向旋转形成的角是负角,故∠AOC=120°-270°=-150°.故选B.
2.(多选题)下列说法错误的是( )
A.终边在x轴非正半轴上的角是零角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),则角α与角β的终边相同
答案ABC
解析终边在x轴非正半轴上的角为k·360°+180°,k∈Z,零角为0°,所以A中说法错误;480°角为第二象限角,但不是钝角,所以B中说法错误;285°角为第四象限角,但不是负角,所以C中说法错误;β=α+k·360°,k∈Z,则角α与角β的终边相同,所以D中说法正确.
3.与-468°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°+96°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+252°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°-96°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-252°,k∈Z}
答案B
解析因为-468°=-2×360°+252°,所以252°角与-468°角的终边相同,所以与-468°角的终边相同的角的集合是{α|α=k·360°+252°,k∈Z}.故选B.
4.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A.α+β=90° B.α+β=180°
C.α+β=270° D.α+β=540°
答案BD
解析当α和β的终边关于y轴对称时,有α+β=180°+k·360°,k∈Z,结合选项可知,B,D符合题意.
5.若分针走过了2时40分,则分针转过的角是( )
A.80° B.-80° C.960° D.-960°
答案D
解析分针转过的角是负角,且分针每转一周是-360°,故共转了-360°×=-960°.
6.已知角α=-3 000°,则与角α的终边相同的最小正角是 .
答案240°
解析与角α=-3000°终边相同的角的集合为{θ|θ=-3000°+k·360°,k∈Z},
令-3000°+k·360°>0°,解得k>,又k∈Z,
故当k=9时,θ=240°满足条件.
7.若角α=k·360°+45°,k∈Z,则是第 象限角.
答案一或第三
解析∵α=k·360°+45°,k∈Z,
∴=k·180°+22.5°,k∈Z.
当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,=n·360°+22.5°,n∈Z,∴为第一象限角;
当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时,=n·360°+202.5°,n∈Z,∴为第三象限角.
综上,是第一或第三象限角.
8.如图所示,写出终边在直线y=x上的角α的集合.
解由题图可知,在0°~360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:60°,240°.
故终边在直线y=x上的角α的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
9.写出与25°角终边相同的角的集合,并求出该集合中满足不等式-1 080°≤β<-360°的角β.
解与25°角终边相同的角的集合S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}.
令k=-3,则有β=-3×360°+25°=-1055°,符合条件;
令k=-2,则有β=-2×360°+25°=-695°,符合条件;
令k=-1,则有β=-1×360°+25°=-335°,不符合条件.
故符合条件的角β有-1055°,-695°.
能力提升
1.若α是第二象限的角,则的终边所在位置不可能是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案C
解析∵α是第二象限角,∴90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z.∴30°+k·120°<<60°+k·120°,k∈Z.当k=0时,30°<<60°,为第一象限角;当k=1时,150°<<180°,为第二象限角;当k=2时,270°<<300°,为第四象限角.由上可知,的终边所在位置不可能在第三象限.故选C.
2.如果角α与x+45°的终边相同,角β与x-45°的终边相同,那么α与 β的关系是( )
A.α+β=180°
B.α-β=0°
C.α+β=k·360°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)
答案D
解析由题意知α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z),β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z),则α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k,k1,k2∈Z).
3.(多选题)如果α是第三象限角,则下列结论正确的是( )
A.-α为第二象限角 B.180°-α为第二象限角
C.180°+α为第一象限角 D.90°+α为第四象限角
答案ACD
解析由α是第三象限角,得k·360°+180°<α4.若角α满足180°<α<360°,角5α与角α有相同的始边,且有相同的终边,则角α= .
答案270°
解析因为角5α与角α的始边、终边均相同,所以5α=α+k·360°,k∈Z.所以α=k·90°,k∈Z.
又180°<α<360°,所以α=270°.
5.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界),则角α的集合是 .
答案{α|k·180°+45°<α解析由题图可知,当角的终边在第一、第三象限角平分线上时,设角为α1,则α1=k·180°+45°,k∈Z;当角的终边在第二、第四象限角平分线上时,设角为α2,则α2=k·180°+135°,k∈Z.
故与角α的终边相同的角的集合为{α|k·180°+45°<α6.已知集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B= .
答案{-126°,-36°,54°,144°}
解析当k=-1时,α=-126°;当k=0时,α=-36°;
当k=1时,α=54°;当k=2时,α=144°.
故A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
7.如图所示,分别写出终边落在阴影部分(包含边界)的角α的集合.
(1) (2)
解(1)因为与45°角的终边相同的角为45°+k·360°,k∈Z,与-180°+30°=-150°角终边相同的角为-150°+k·360°,k∈Z,所以终边落在题图中阴影部分的角α的集合可表示为{α|-150°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}.
(2)终边落在题图中阴影部分的角α的集合可表示为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}.
8.在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,
(1)终边不相同的角有几种
(2)满足-360°<α<360°的角α有几个
(3)写出其中是第三象限角的一般表示法.
解(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角有四种.
(2)由-360°得-又k∈Z,故k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.
所以满足-360°<α<360°的角α有8个.
(3)其中是第三象限角的可表示为k·360°+225°,k∈Z.5.1.2 弧度制
课后·训练提升
基础巩固
1.下列说法中,错误的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关
2.(多选题)下列说法正确的是( )
A.60°用弧度制表示是
B.-π用角度制表示是-600°
C.-150°用弧度制表示是-π
D.用角度制表示是12°
3.已知某机械采用齿轮传动,由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示),设主动轮M的直径为150 mm,从动轮N的直径为300 mm,若主动轮M顺时针旋转,则从动轮N逆时针旋转 ( )
A. B. C. D.π
4.若圆的半径是6 cm,则圆心角为60°的扇形的面积是 ( )
A. cm2 B. cm2 C.π cm2 D.6π cm2
5.若扇形周长为6 cm,面积为2 cm2,则其圆心角(正角)的弧度数是( )
A.1或4 B.1或2 C.2或4 D.1或5
6.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,则下列各组角中,表示终边相同的角的是( )
A.2kπ±与kπ±(k∈Z)
B.kπ±与2kπ+(k∈Z)
C.kπ-与kπ+(k∈Z)
D.2kπ±π与kπ(k∈Z)
7.-是第 象限角.
8.若α∈(0,π),且角α的终边与角-的终边相同,则α= .
9.时针经过一小时,转过了 rad.
10.已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径是10 cm,求:
(1)扇形的弧长;
(2)该弧所在的弓形的面积.
11.如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分的角的集合.
能力提升
1.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角(正角)的弧度数为( )
A.(3-)π B.(-1)π
C.(+1)π D.(-2)π
2.已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形的面积为( )
A. cm2 B.π cm2
C.2π cm2 D.4π cm2
3.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )
A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2
4.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角(正角)的弧度数是 .
5.若两个角的差是1°,它们的和是1 rad,则这两个角的弧度数分别是 .
6.已知集合M=,N={x|x=,k∈Z},则M,N之间的关系为 .
7.已知一扇形的圆心角α=60°,所在圆的半径R=10 cm.求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
8.某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示),该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和线段AD,BC围成的.设圆弧AB,CD所在圆的半径分别为r1,r2(单位:米),圆心角为θ(θ>0,单位:弧度).
(1)若θ=,r1=3,r2=6,求花坛的面积.
(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1 200元,在这种情况下,线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大
5.1.2 弧度制
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基础巩固
1.下列说法中,错误的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关
答案D
解析根据1度,1弧度的定义可知只有D中的说法是错误的,故选D.
2.(多选题)下列说法正确的是( )
A.60°用弧度制表示是
B.-π用角度制表示是-600°
C.-150°用弧度制表示是-π
D.用角度制表示是12°
答案AB
解析-150°=-π,=15°,故C,D错误.
3.已知某机械采用齿轮传动,由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示),设主动轮M的直径为150 mm,从动轮N的直径为300 mm,若主动轮M顺时针旋转,则从动轮N逆时针旋转 ( )
A. B. C. D.π
答案B
解析设从动轮N逆时针旋转θrad,由题意,知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等,所以×θ,解得θ=,故选B.
4.若圆的半径是6 cm,则圆心角为60°的扇形的面积是 ( )
A. cm2 B. cm2 C.π cm2 D.6π cm2
答案D
解析因为60°=,所以扇形的面积S=×62=6π(cm2).
5.若扇形周长为6 cm,面积为2 cm2,则其圆心角(正角)的弧度数是( )
A.1或4 B.1或2 C.2或4 D.1或5
答案A
解析设扇形的半径为rcm,圆心角为α(α>0),
根据题意得解得α=1或α=4.
6.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,则下列各组角中,表示终边相同的角的是( )
A.2kπ±与kπ±(k∈Z)
B.kπ±与2kπ+(k∈Z)
C.kπ-与kπ+(k∈Z)
D.2kπ±π与kπ(k∈Z)
答案C
解析对于A,当k=1时,kπ+,在2kπ±(k∈Z)表示的角中不存在与终边相同的角,不符合题意;对于B,kπ±(k∈Z)表示终边在y轴上的角,2kπ+(k∈Z)表示终边在y轴非负半轴上的角,不符合题意;对于C,kπ-(k∈Z),kπ+(k∈Z)表示终边在y轴上的角,符合题意;对于D,2kπ±π(k∈Z)表示终边在x轴非正半轴上的角,kπ(k∈Z)表示终边在x轴上的角,不符合题意.故选C.
7.-是第 象限角.
答案三
解析因为-=-6π-,而-是第三象限角,所以-是第三象限角.
8.若α∈(0,π),且角α的终边与角-的终边相同,则α= .
答案
解析因为-=-2π+,又α∈(0,π),故α=.
9.时针经过一小时,转过了 rad.
答案-
解析时针经过一小时,转过-30°,-30°=-rad.
10.已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径是10 cm,求:
(1)扇形的弧长;
(2)该弧所在的弓形的面积.
解(1)因为圆心角α=,圆的半径r=10cm,
所以弧长l=αr=×10=(cm).
(2)该弧所在的弓形的面积S=S扇形-S三角形=lr-r2sinα=×10-×102×sin-25(cm2).
11.如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分的角的集合.
解(1)将阴影部分看成是由射线OA逆时针旋转到OB所形成的,故满足条件的角的集合为{α+2kπ<α<+2kπ,k∈Z}.
(2)终边为OA的一个角可写为-,此时阴影部分可以看成是射线OA逆时针旋转到OB所形成,故满足条件的角的集合为{α+2kπ<α≤+2kπ,k∈Z}.
(3)将题图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到的,所以满足条件的角的集合为.
(4)将题图中第二象限的阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分,故满足条件的角的集合为.
能力提升
1.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角(正角)的弧度数为( )
A.(3-)π B.(-1)π
C.(+1)π D.(-2)π
答案A
解析设扇形的圆心角为α(α>0),则圆面中剩余部分的圆心角为2π-α,则由题意可得,,解得α=(3-)π.
2.已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形的面积为( )
A. cm2 B.π cm2
C.2π cm2 D.4π cm2
答案C
解析∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为,∴扇形所在圆的半径r==4(cm),∴这条弧所在的扇形的面积S=×π×4=2π(cm2).故选C.
3.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )
A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2
答案B
解析根据题设,弦=2×4sin=4(m),矢=4-4cos=2(m),故弧田面积=(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2≈9(m2).
4.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角(正角)的弧度数是 .
答案2
解析设圆的半径为r,其外切正三角形的边长为a,则r=a.
又弧长为a,所以这段弧所对圆心角的弧度数α==2.
5.若两个角的差是1°,它们的和是1 rad,则这两个角的弧度数分别是 .
答案
解析设两角的弧度数分别为α,β,α>β,则
解得
6.已知集合M=,N={x|x=,k∈Z},则M,N之间的关系为 .
答案M N
解析(方法一)∵=(2k±1)·(k∈Z),=(k+2)·(k∈Z),又k∈Z,2k±1是奇数,k+2是整数,∴M N.
(方法二)∵M=,N={…,-π,-,-,-,0,,π,,…},
∴M N.
7.已知一扇形的圆心角α=60°,所在圆的半径R=10 cm.求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
解设弧长为l,弓形面积为S弓,
∵α=60°=,R=10cm,
∴l=αR=cm.
S弓=S扇-S三角形=×10-×2×10×sin×10×cos=50(cm2).
8.某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示),该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和线段AD,BC围成的.设圆弧AB,CD所在圆的半径分别为r1,r2(单位:米),圆心角为θ(θ>0,单位:弧度).
(1)若θ=,r1=3,r2=6,求花坛的面积.
(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1 200元,在这种情况下,线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大
解(1)花坛的面积S=×62××32×(平方米).
(2)弧AB的长为r1θ米,弧CD的长为r2θ米,线段AD的长为(r2-r1)米.
由题意知60·2(r2-r1)+90(r1θ+r2θ)=1200,
即4(r2-r1)+3(r2θ+r1θ)=40.(*)
则花坛的面积S=θ-θ=(r2θ+r1θ)·(r2-r1).
由(*)式知,r2θ+r1θ=(r2-r1),
记r2-r1=x,易知x>0,又60(AD+BC)=120x<1200,所以x<10,则0所以S=x=-(x-5)2+,x∈(0,10),
故当x=5时,S取得最大值,即AD=5米时,花坛的面积最大.
