陕西省宝鸡市千阳县中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

千阳县中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
班级：___________姓名：___________成绩：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、(5分)圆的圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
2、(5分)已知空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为( )
A. B. C.或 D.或
3、(5分)已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4、(5分)如图, 是的重心, ,则 ( )
A. B. C. D.
5、(5分)已知圆与圆.若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为( )
A. B. C. D.
6、(5分)在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.(5分)将正方形 沿对角线 折成直二面角 ,有如下四个结论:
① ⊥ ; ②△ 是等边三角形;
③ 与 所成的角为60°; ④ 与平面 所成的角为60°.
其中错误的结论是( )
A.① B.② C.③ D.④
8、(5分)已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9、(5分)下列命题中是假命题的为( )
A.若向量,则与共面 B.若与共面,则
C.若,则四点共面 D.若四点共面,则
10、(5分)在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为.若直线上存在一点P，使过点P所作的圆C的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11、(5分)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是( )
A.C的方程为
B.在x轴上存在异于的两定点，使得
C.当三点不共线时，射线是的平分线
D.在C上存在点M，使得
12、(5分)已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为 D.点P到直线AB的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、(5分)已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________.
14、(5分)在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为(，)，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于__________.
15、(5分)已知圆，圆，则两圆的公共弦长为__________.
16、(5分)如图，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________.
四、解答题：本题共6小题，70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、(10分)如图，正方形ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，，且平面ABCD.
(1)求证：平面BCF；
(2)求证：平面AEF.
18、(12分)过点作圆的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值.
19、(12分)如图，过圆外一点向圆引切线.
(1)求过点P的圆的切线方程；
(2)若切点为，，求过切点，的直线方程.
20、(12分)将棱长为1的正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，点M在棱DG上.
(1)当M为棱GD的中点时，求M到平面BEF的距离；
(2)当M在棱GD上移动时，求直线MB与平面BEF所成的角的正弦值的取值范围.
21(本题 12 分)已知半径为5的动圆C的圆心在直线上.
（1）若动圆C过点，求圆C的方程.
（2）是否存在正实数r，使得一系列动圆C中与圆外切的圆有且仅有一个 若存在，请求出r的值；若不存在，请说明理由.
22、(12分)如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，是正三角形，平面PAD，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点.
(1)求证：平面平面ABCD.
(2)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为 若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析：圆圆心坐标为.点到直线的距离.故选：A.
2、答案：A
解析：设直线AB与平面所成角为，则，又，所以，即直线AB与平面所成角为.
3、答案：B
解析：将点的坐标代入圆的方程，可得，则点在圆内.由垂径定理可知，过该点的直线被圆所截得的最短弦长为与过该点的直径垂直的直线交于圆的弦长.如图，圆心A到直线的距离.因为的半径为3，，所以在中，由勾股定理，得，所以弦长的最小值为2.故选B.
4、答案：D
解析：
5、答案：B
解析：将和相减并化简，得圆，的公共弦所在直线方程为，所以到的距离，故公共弦长为，所以圆C的半径为，故圆C的面积为.选B.
6、答案：A
解析：设，则，，，所以，，，
因为，所以，解得，
所以，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
7答案： D
解析： 试题分析:如图所示,取 的中点 ,连接 ,
易知 面 ,所以①正确;设正方形的边长为 ,则 ,由勾股定理可得 ,所以 是等边三角形,②正确;取 的中点 , 的中点 ,连接 ,则 ,所以 与 所成的角为60°,③正确; 与平面 所成的角为 ,所以④错误.
8、答案：D
解析：圆的圆心为原点，半径为2.易知过原点且与直线垂直的直线方程为，则点到直线的距离为.又因为原点到直线的距离为，所以的最小值为，则.故选D.
9、答案：BD
解析：AC为真命题.B中需满足不共线,D中需满足三点不共线.
10、答案：AB
解析：由圆C的方程，易知.过点P所作的圆C的两条切线相互垂直，.又点P在直线上，圆心C到直线的距离，解得.故选AB.
11、答案：BC
解析：设点，则，化简整理得，即，故A错误.假设在x轴上存在异于的两定点，使得.设，则，化简整理得.由点P的轨迹方程为得解得或因为点异于点，所以，所以假设成立，故B正确. 由于，只需证明，即证，化简整理得.又，则，则，故C正确.设，由得，整理得.①又点M在C上，故满足.②联立①②，解得无实数解，故D错误.故选BC.
12、答案：BC
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.
设，则，.
故A到直线BE的距离，故A错.
易知，
平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.
，，.
设平面的法向量为，
则所以
令，得，，
所以.
所以点到平面的距离.
因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对.
因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.
13、答案：
解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如图，建立空间直角坐标系，
则，，，所以，.设平面BCD的一个法向量为，则令，则，又平面CDA的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
14、答案：
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，.设平面PAB的方程为(，)，分别将A，B，P的坐标代入，得解得，，，所以，即，所以.
15、答案：
解析：将两圆方程相减，得两圆公共弦所在的直线方程为.易知圆的圆心坐标为，半径.又点到公共弦的距离，所以两圆的公共弦长为.
16、答案：
解析：设点P关于直线AB的对称点为，连接MD.易知直线AB的方程为，则解得所以.因为点P关于y轴的对称点为，连接NC，则光线所经过的路程为.
17、答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)取BC的中点H，连接OH，则，
又四边形ABCD为正方形，
，.
又平面ABCD，，，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面BCF的一个法向量为，
则即取，得.
四边形BDEF为平行四边形，
，
，
，.
又平面，平面BCF.
(2)，，，
，
，，
又，平面AEF.
18、答案：(1)直线AB的方程为
(2)面积的最大值为
解析：(1)圆的圆心坐标为，半径为1，
则PC的中点坐标为，.
所以以N为圆心，PC为直径的圆的方程为
由，得.①
由，得.②
①-②得.
所以直线AB的方程为.
(2)圆心到直线的距离，
故圆上的点M到直线的距离的最大值为，，
所以面积的最大值为.
19、答案：(1)或
(2)
解析：(1)设过点P的圆的切线方程为，
则，解得或，
故切线方程为或.
(2)解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，可得和，
故过切点，的直线方程为.
解法2：因为O，，P，四点共圆，
所以，在以OP为直径的圆上，
与已知圆相减，得过切点，的直线方程为.
20、答案：(1)点M到平面BEF的距离
(2)的取值范围是
解析：(1)如图，以点D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面BEF的法向量为，
则即
取，得，所以为平面BEF的一个法向量.
所以点M到平面BEF的距离.
(2)因为点M在棱DG上，故可设，
所以，
所以.
所以.
令，可得.
设，则，.
易知函数在区间上单调递减，
所以，.
所以的取值范围是.
21、
（1）答案：或
解析：依题意，可设动圆C的方程为，
其中圆心满足.
又因为动圆过点，所以.
解方程组
可得或
故所求圆C的方程为或.
（2）答案：
解析：圆O的圆心到直线l的距离.
当r满足时，不存在与圆外切的圆；
当r满足时，r每取一个数值，都存在两个圆与圆外切；
当r满足，即时，有且仅有一个圆与圆外切.
22、答案：(1)证明见解析
(2)不存在满足条件的点M
解析：(1)平面，平面ABCD，
平面平面ABCD.
(2)设AD的中点为O，连接PO，OG，显然OG，AD，PO两两相互垂直.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，.
假设线段PA上存在点，使得直线GM与平面EFG所成角为，且，
则，
.
设平面EFG的一个法向量为，
则令，则，
整理可得，方程无解，
故假设不成立，即不存在满足条件的点M.