2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.6.2 直线和圆的位置关系
一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故答案为：D．
【分析】圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。根据切线的这个性质可求出平移的距离。
2．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是（ ）
A．10cm B．30cm C．60cm D．50cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD= AB=30cm，
∴设半径为r，则OD=r﹣10，
根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，
解得：r=50．
∴这个车轮的外圆半径长为50cm．
故答案为：D．
【分析】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧；根据定理可求得AD= AB，设半径为r，则OD=r﹣10，用勾股定理可得关于r的方程，解这个方程即可求解。
3．（2015九上·丛台期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=25°，∠ADC=115°，O为AB的中点，以点O为圆心、AO长为半径作圆，恰好点D在⊙O上，连接OD，若∠EAD=25°，下列说法中不正确的是（ ）
A．D是劣弧 的中点 B．CD是⊙O的切线
C．AE∥OD D．∠DOB=∠EAD
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD=25°，∠EAD=25°，
∴∠DAB=∠EAD，
∴ = ，故此选项正确，不合题意；
B、∵∠BAD=25°，
∴∠ADO=25°，
∵∠ADC=115°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线，故此选项正确，不合题意；
C、∵∠EAD=∠ADO，
∴AE∥DO，故此选项正确，不合题意；
D、无法得出∠DOB=∠EAD，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】直接利用圆周角定理以及结合圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平行线的判定方法分别分析得出答案．
4．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB= AB，
∴OA= AC，∴③正确．
故答案为：D．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BC；连接OD，根据三角形的中位线定理可得DO∥AC，结合已知条件DE⊥AC可得OD⊥DE，则DE是⊙O的切线；根据DE是⊙O的切线可得∠ODA+∠EDA=90°，而∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°可得∠EDA=∠ODB，易得∠EDA=∠B；根据等腰三角形三线合一可得AC=AB，易得OA= AC。所以选项D符合题意。
5．如图，Rt△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AC===6（cm），
∵点C在⊙A上，
∴⊙A的半径为6cm．
故选B．
【分析】先利用勾股定理计算出AC=6cm，然后根据圆的半径的定义求解．
6．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心的距离大于半径的直线 D．到圆心的距离小于半径的直线
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；根据判定定理可知选项B符合题意。
7．（2017·肥城模拟）如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE=EC，则AC是⊙O的切线
D．若BE= EC，则AC是⊙O的切线
【答案】C
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、如图1，连接OE，
则OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE//AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确；
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE//AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB，
∵BE=CE，
∴BC=AB=2BO，
∴AO=OB，
如图2，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC=60°，
∴OH= AO≠OB，
∴C选项错误；
D、如图2，∵BE= EC，
∴CE= BE，
∵AB=BC，BO=BE，
∴AO=CE= OB，
∴OH= AO=OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选C．
【分析】A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE=∠BAC，求得OE//AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH= AO≠OB，于是得到C选项错误；D、如图2根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D选项正确．
8．如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知PC=PD=BC．下列结论：
①PD与⊙O相切；
②四边形PCBD是菱形；
③PO=AB；
④∠PDB=120°．
其中，正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：①连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，
∵ ，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD与⊙O相切，
故①正确；
②由①得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
∵ ，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故②正确；
③连接AC，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，
∵ ，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO=
PO=
AB，
∴PO=AB，
故③正确；
④∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，
∴∠PDB=120°，
故④正确；
正确个数有4个，
故答案为：A．
【分析】①连接CO，DO，在△PCO和△PDO中，根据边边边可得△PCO≌△PDO，由全等三角形的性质可得∠PCO=∠PDO=90°，根据切线的判断可得PD与⊙O相切，则①符合题意；在△CPB和△DPB中，根据边角边可证△CPB≌△DPB，则BC=BD，结合已知条件可得PC=PD=BC=BD，由菱形的判定可得四边形PCBD是菱形，所以②符合题意；在△PCO和△BCA中，用角边角可证△PCO≌△BCA，由全等三角形的性质可得AC=CO，那么有AC=CO=AO，所以∠COA=60°，∠CPO=30°，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CO= PO= AB，所以PO=AB，故③符合题意；根据四边形PCBD是菱形可得DP=DB，结合∠CPO=30°可得∠DPB=∠DBP=30°，则∠PDB=120°，所以④符合题意。所以符合题意的选项是A。
9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
10．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．
由勾股定理可知：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，
∴AD=4
，
∵ BC AD=
（AB+BC+AC） r，
×5×4
=
×20×r，
∴r=
，
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，令AB=7，BC=5，AC=8，设内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．由勾股定理有：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2， 可得关于x的方程，解这个方程即可求得x的值，用面积法即可求得r的值。
二、填空题
11．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切．
【答案】
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=2，
由题意得：AC=4t，BD=3t
∴OC=8﹣4t，OD=6﹣3t，
∵点E是OC的中点，
∴CE= OC=4﹣2t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DOC
∴ =
∴EF= =
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，
∴（4﹣2t）2=2 2+（ ）2，
解得：t= 或t= ，
∵0≤t≤2，
∴t= ．
故答案为： ．
【分析】由题意可设AC=4t，BD=3t，以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切，根据切线的性质可得∠EFC=∠O=90°，即可证△EFC∽△DOC，由相似三角形的性质可得= ，可求EF的长，在直角三角形CEF中用勾股定理可得关于t的值。
12．⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 s时，BP与⊙O相切．
【答案】1或5
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OP；
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=3cm，
∴弧AP的长是： =π，圆的周长为：6π，
∴点P运动的距离为π或6π﹣π=5π；
∴当t=1或5时，有BP与⊙O相切．
故答案是：1或5．
【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB=90°，又因为OB=2OP，可得∠B=30°，则∠BOP=60°；根据弧长公式求得 长，除以速度，即可求得时间．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF=2BF，则∠CAE的度数是 ．
【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF=90°，
∵OA=OF= AF，AF=2BF，
∴OF=BF，
∴OE=OF=EF，
∴∠OEF=60°，
∴∠AEO=90°﹣60°=30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
故答案为30°．
【分析】连接OE、EF，根据切线的性质;圆的切线垂直于经过切点的半径可得OE⊥BC，由已知可证OE=OF=EF，则∠OEF=60°，∠AEO=90°﹣60°=30°，根据同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得OE∥AC，由平行线的性质可得∠CAE=∠AEO=30°。
14．如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA=∠PBD，∠BDE=60°，若PD= ，则PA的长为 ．
【答案】1
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BDE=60°，
∴∠PDA=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴∠PBD=∠PDA=30°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠PBD=30°，
∴∠ADO=60°，
∴△ADO为等边三角形，∠ODP=90°，
∴AD=OA，∠AOD=60°，PD为⊙O的切线，
∴∠P=30°，
∴PA=AD，PD2=PA PB，
∴ =PA 3PA
∴PA=1；
故答案为：1．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°， 根据已知条件可证 △ADO为等边三角形，由切线长定理可得PD2=PA PB，则PA的长可求。
15．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB= ，BD=2，则线段AE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EA⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∴∠B+∠E=90得，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD= ，∠ADB=∠EAB，∠B+∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠E，
∴△ABD∽△EAD，
∴∠DAB=∠E，
∴ ， ，
∴AE= ．
故答案为： ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，在直角三角形ADB中，用勾股定理可求AD的长，再用已知条件可证△ABD∽△EAD，根据相似三角形的性质可得 = ，则 AE可求。
16．（2017·溧水模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
【答案】75
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=30°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠DOF=150°，
∴∠DEF的度数为75°．
故答案为：75．
【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．
三、解答题
17．如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．
【答案】（1）解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACO=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO，∵∠PCA=∠ABC，∴∠BCO=∠ACP，∴∠ACP+∠OCA=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线
（2）解：∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，∴OC=2 ，OP=2PC=4，
∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OC，要证PC是⊙O的切线，只需证∠OCP=90°。根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，结合已知条件可证得∠OCP=90°，则结论可得。
（2）由（1）知∠PCO=90°，在直角三角形PCO中，根据直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半可求出OP，则PE=OP﹣OE=OP﹣OC。
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
（2）证明：连接CD．∵DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线
【知识点】圆周角定理；切线的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。根据三角形的内心的定义可得∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，结合已知条件可证得∠DBE=∠DEB，由等角对等边可得DB=DE。
（2）连接CD，要证CF是⊙O的切线，只须证∠BCF=90°，根据已知条件DA平分∠BAC可证BD=CD，结合已知BD=DF可得CD=DB=DF，则∠BCF=90°，结论可得。
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.6.2 直线和圆的位置关系
一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
2．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是（ ）
A．10cm B．30cm C．60cm D．50cm
3．（2015九上·丛台期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=25°，∠ADC=115°，O为AB的中点，以点O为圆心、AO长为半径作圆，恰好点D在⊙O上，连接OD，若∠EAD=25°，下列说法中不正确的是（ ）
A．D是劣弧 的中点 B．CD是⊙O的切线
C．AE∥OD D．∠DOB=∠EAD
4．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
5．如图，Rt△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心的距离大于半径的直线 D．到圆心的距离小于半径的直线
7．（2017·肥城模拟）如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE=EC，则AC是⊙O的切线
D．若BE= EC，则AC是⊙O的切线
8．如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知PC=PD=BC．下列结论：
①PD与⊙O相切；
②四边形PCBD是菱形；
③PO=AB；
④∠PDB=120°．
其中，正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
10．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切．
12．⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 s时，BP与⊙O相切．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF=2BF，则∠CAE的度数是 ．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA=∠PBD，∠BDE=60°，若PD= ，则PA的长为 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB= ，BD=2，则线段AE的长为 ．
16．（2017·溧水模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
三、解答题
17．如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故答案为：D．
【分析】圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。根据切线的这个性质可求出平移的距离。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD= AB=30cm，
∴设半径为r，则OD=r﹣10，
根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，
解得：r=50．
∴这个车轮的外圆半径长为50cm．
故答案为：D．
【分析】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧；根据定理可求得AD= AB，设半径为r，则OD=r﹣10，用勾股定理可得关于r的方程，解这个方程即可求解。
3．【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD=25°，∠EAD=25°，
∴∠DAB=∠EAD，
∴ = ，故此选项正确，不合题意；
B、∵∠BAD=25°，
∴∠ADO=25°，
∵∠ADC=115°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线，故此选项正确，不合题意；
C、∵∠EAD=∠ADO，
∴AE∥DO，故此选项正确，不合题意；
D、无法得出∠DOB=∠EAD，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】直接利用圆周角定理以及结合圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平行线的判定方法分别分析得出答案．
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB= AB，
∴OA= AC，∴③正确．
故答案为：D．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BC；连接OD，根据三角形的中位线定理可得DO∥AC，结合已知条件DE⊥AC可得OD⊥DE，则DE是⊙O的切线；根据DE是⊙O的切线可得∠ODA+∠EDA=90°，而∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°可得∠EDA=∠ODB，易得∠EDA=∠B；根据等腰三角形三线合一可得AC=AB，易得OA= AC。所以选项D符合题意。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AC===6（cm），
∵点C在⊙A上，
∴⊙A的半径为6cm．
故选B．
【分析】先利用勾股定理计算出AC=6cm，然后根据圆的半径的定义求解．
6．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；根据判定定理可知选项B符合题意。
7．【答案】C
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、如图1，连接OE，
则OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE//AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确；
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE//AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB，
∵BE=CE，
∴BC=AB=2BO，
∴AO=OB，
如图2，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC=60°，
∴OH= AO≠OB，
∴C选项错误；
D、如图2，∵BE= EC，
∴CE= BE，
∵AB=BC，BO=BE，
∴AO=CE= OB，
∴OH= AO=OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选C．
【分析】A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE=∠BAC，求得OE//AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH= AO≠OB，于是得到C选项错误；D、如图2根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D选项正确．
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：①连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，
∵ ，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD与⊙O相切，
故①正确；
②由①得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
∵ ，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故②正确；
③连接AC，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，
∵ ，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO=
PO=
AB，
∴PO=AB，
故③正确；
④∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，
∴∠PDB=120°，
故④正确；
正确个数有4个，
故答案为：A．
【分析】①连接CO，DO，在△PCO和△PDO中，根据边边边可得△PCO≌△PDO，由全等三角形的性质可得∠PCO=∠PDO=90°，根据切线的判断可得PD与⊙O相切，则①符合题意；在△CPB和△DPB中，根据边角边可证△CPB≌△DPB，则BC=BD，结合已知条件可得PC=PD=BC=BD，由菱形的判定可得四边形PCBD是菱形，所以②符合题意；在△PCO和△BCA中，用角边角可证△PCO≌△BCA，由全等三角形的性质可得AC=CO，那么有AC=CO=AO，所以∠COA=60°，∠CPO=30°，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CO= PO= AB，所以PO=AB，故③符合题意；根据四边形PCBD是菱形可得DP=DB，结合∠CPO=30°可得∠DPB=∠DBP=30°，则∠PDB=120°，所以④符合题意。所以符合题意的选项是A。
9．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．
由勾股定理可知：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，
∴AD=4
，
∵ BC AD=
（AB+BC+AC） r，
×5×4
=
×20×r，
∴r=
，
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，令AB=7，BC=5，AC=8，设内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．由勾股定理有：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2， 可得关于x的方程，解这个方程即可求得x的值，用面积法即可求得r的值。
11．【答案】
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=2，
由题意得：AC=4t，BD=3t
∴OC=8﹣4t，OD=6﹣3t，
∵点E是OC的中点，
∴CE= OC=4﹣2t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DOC
∴ =
∴EF= =
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，
∴（4﹣2t）2=2 2+（ ）2，
解得：t= 或t= ，
∵0≤t≤2，
∴t= ．
故答案为： ．
【分析】由题意可设AC=4t，BD=3t，以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切，根据切线的性质可得∠EFC=∠O=90°，即可证△EFC∽△DOC，由相似三角形的性质可得= ，可求EF的长，在直角三角形CEF中用勾股定理可得关于t的值。
12．【答案】1或5
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OP；
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=3cm，
∴弧AP的长是： =π，圆的周长为：6π，
∴点P运动的距离为π或6π﹣π=5π；
∴当t=1或5时，有BP与⊙O相切．
故答案是：1或5．
【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB=90°，又因为OB=2OP，可得∠B=30°，则∠BOP=60°；根据弧长公式求得 长，除以速度，即可求得时间．
13．【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF=90°，
∵OA=OF= AF，AF=2BF，
∴OF=BF，
∴OE=OF=EF，
∴∠OEF=60°，
∴∠AEO=90°﹣60°=30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
故答案为30°．
【分析】连接OE、EF，根据切线的性质;圆的切线垂直于经过切点的半径可得OE⊥BC，由已知可证OE=OF=EF，则∠OEF=60°，∠AEO=90°﹣60°=30°，根据同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得OE∥AC，由平行线的性质可得∠CAE=∠AEO=30°。
14．【答案】1
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BDE=60°，
∴∠PDA=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴∠PBD=∠PDA=30°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠PBD=30°，
∴∠ADO=60°，
∴△ADO为等边三角形，∠ODP=90°，
∴AD=OA，∠AOD=60°，PD为⊙O的切线，
∴∠P=30°，
∴PA=AD，PD2=PA PB，
∴ =PA 3PA
∴PA=1；
故答案为：1．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°， 根据已知条件可证 △ADO为等边三角形，由切线长定理可得PD2=PA PB，则PA的长可求。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EA⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∴∠B+∠E=90得，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD= ，∠ADB=∠EAB，∠B+∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠E，
∴△ABD∽△EAD，
∴∠DAB=∠E，
∴ ， ，
∴AE= ．
故答案为： ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，在直角三角形ADB中，用勾股定理可求AD的长，再用已知条件可证△ABD∽△EAD，根据相似三角形的性质可得 = ，则 AE可求。
16．【答案】75
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=30°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠DOF=150°，
∴∠DEF的度数为75°．
故答案为：75．
【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．
17．【答案】（1）解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACO=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO，∵∠PCA=∠ABC，∴∠BCO=∠ACP，∴∠ACP+∠OCA=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线
（2）解：∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，∴OC=2 ，OP=2PC=4，
∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OC，要证PC是⊙O的切线，只需证∠OCP=90°。根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，结合已知条件可证得∠OCP=90°，则结论可得。
（2）由（1）知∠PCO=90°，在直角三角形PCO中，根据直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半可求出OP，则PE=OP﹣OE=OP﹣OC。
18．【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
（2）证明：连接CD．∵DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线
【知识点】圆周角定理；切线的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。根据三角形的内心的定义可得∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，结合已知条件可证得∠DBE=∠DEB，由等角对等边可得DB=DE。
（2）连接CD，要证CF是⊙O的切线，只须证∠BCF=90°，根据已知条件DA平分∠BAC可证BD=CD，结合已知BD=DF可得CD=DB=DF，则∠BCF=90°，结论可得。
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