宝坻区第四中学2023-2024学年高三上学期期中测试
数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，，则等于（ ）
A． B．7 C． D．－7
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
7．如图所示，在菱形中，，，为的中点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，，则在上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为（ ）
A．180里 B．170里 C．160里 D．150里
二、填空题
11．函数的导数为 .
12．已知向量，，若，则 ．
13．在正项等比数列中，若，则 ．
14．已知都是正实数，若，则的最小值为 ．
15．若，则的最小值为 ．
16.已知角的终边经过点，则 ， .
三、解答题
17．在中，内角所对的边分别为．已知．
(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．
18．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
19．在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．
20．已知是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.
21．已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
(3)设，求数列的前项和.
(4)记的前项和为，求证：；
22．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．宝坻区第四中学2023-2024学年高三上学期期中测试
数学试题 答案解析
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次不等式求解集合，再求交集即可.
【详解】由得，故，所以，又，所以．
故选：B．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解.
【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定是：，，
故选：B.
3．已知，，则等于（ ）
A． B．7 C． D．－7
【答案】D
【分析】先根据同角三角函数的关系求出角的余弦值，进而求出该角的正切值，然后再利用两角和的正切公式求值即可.
【详解】因为，且，所以，
所以，
故，
故选：D.
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.
【详解】因为，定义域为R
所以
所以为奇函数，且，排除CD
当时，，即，排除A
故选：B.
6．记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为d，由可解出d值为，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时的值可确定．
【详解】设等差数列的公差为d，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12．
故选：B．
7．如图所示，在菱形中，，，为的中点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】用、表示向量，然后利用平面向量数量积的运算性质可计算出的值.
【详解】为的中点，且为菱形，则，
.
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查了平面向量数量积运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的变换求得，再求结果即可.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象；
再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象；
故.
故选：C.
9．已知向量，，则在上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得出结果.
【详解】，∴，
又∵向量，
∴向量在的投影为，
所以，向量在方向上的投影向量为.
故选：A.
【点睛】本题考查投影向量坐标的计算，考查向量投影的定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为（ ）
A．180里 B．170里 C．160里 D．150里
【答案】C
【分析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列，其首项为，分析可得是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的前项和公式可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】解：根据题意，设此人每天所走的路程为数列，其首项为，即此人第一天走的路程为，
又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项，为公比的等比数列，
又由，即有，
解得：；
故选：．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．函数的导数为 .
【答案】
【分析】根据对数函数的求导公式即可求解.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
12．已知向量，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据向量平行的坐标公式列式计算，再根据向量的模长公式计算.
【详解】，，且，
，解得，
，可得.
故答案为：
13．在正项等比数列中，若，则 ．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质，得到，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】在正项等比数列中，因为，可得，
则.
故答案为：.
14．已知都是正实数，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】，，
由，所以，
.
当且仅当时，等号成立.
的最小值为.
故答案为：.
15．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
16.已知角的终边经过点，则 ， .
【答案】
【分析】由三角函数的定义结合三角恒等变换即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以由三角函数定义可知，
又，且，
所以.
故答案为：，.
三、解答题
17．在中，内角所对的边分别为．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系和余弦定理求解；
（2）利用正弦定理即可；
（3）利用二倍角的正余弦公式以及两角和的正弦公式求解.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以为锐角，所以，
由余弦定理可得，所以.
（2）由可得解得.
（3）因为所以为锐角，由（2）可知，
所以，
，
，
所以.
18．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用二倍角的正弦公式，降幂公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性即可得解；
（2）由，求出的范围，再根据正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）
，
令，得，
所以的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以.
19．在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
20．已知是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等比数列的通项公式可求得结果；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，则，
由题意可得，解得，则.
（2）解：因为，
所以，
.
21．已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
(3)设，求数列的前项和.
(4)记的前项和为，求证：；
【答案】(1)，；
(2)；
(3)；
(4)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列公差、等比数列公比即可求出通项公式.
（2）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求和即可.
（3）利用错位相减法求和即可.
（4）求出，再作差推理即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，得，，
解得，或（舍去），
所以，.
（2）由（1）知，，，则，
所以.
（3）由（1）知，
，
于是，
两式相减得，
所以.
（4）由（1）知，，，
于是
所以.
22．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式即可得解；
（Ⅱ）求函数导数，根据导数的正负即可得单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得的最大值是，，，不等式恒成立，转化为恒成立，再求的导数，讨论单调性求最值即可.
【详解】（Ⅰ）∵，定义域是，
∴，，，
故切线方程为，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ），
令，解得，令，解得，
故在（0，）递增，在递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是，
即的最大值是，
∵，∴，
令，解得或，
若，，不等式恒成立，
则时，恒成立，
①当即时，在上单调递增，
此时，令，得；
②当时，即时，在递减，在递增，
此时，
令，解得，不符合题意；
③当即时，在递减，
故，
令，解得，不符合题意
综上，实数的取值范围是．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
