广东省深圳市宝安实验学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列表格的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如果分式中的、都扩大为原来的倍，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．分式的值不变 B．分式的值缩小为原来的
C．分式的值扩大为原来的倍 D．分式的值扩大为原来的倍
5．（2017·德州模拟）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．对角线相等的四边形
C．矩形 D．对角线互相垂直的四边
6．（2023八下·自贡期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
7．如图，为正方形的对角线，为上的一点，连接，，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·深圳期末）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023八下·福田期末）如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八下·福田期末）如图，中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交，于点和点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022九上·丰城开学考）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13．若分式的值为，则的值为 ．
14．（2023八下·福田期末）若，，则的值为
15．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是 ．
16．（2023八下·福田期末）如图，已知函数（为常数）和（为常数且）的图象交于点，则关于的不等式的解集是
17．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时，恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为 ．
三、计算题
18．（2017·张湾模拟）先化简（1+ ）÷ ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．
四、解答题（本大题共4小题，共32.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2022八下·建邺期末）解方程：
（1）；
（2）.
20．（2023八下·深圳期末）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
21．（2018八下·宝安期末）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的 ．
（1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？
（2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？
22．（2023八下·福田期末）在等腰中，，点是射线上的动点，垂直于直线于点，交直线于点．
（1）【探索发现】如图①，若点在的延长线上，点在线段上时，请猜想，，之间的数量关系为 ；
（2）【拓展提升】如图②，若点在线段上（不与点，重合），试猜想，，之间的数量关系，并说明理由：
（3）【灵活应用】当，时，直接写出线段的长为
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程.
A、缺少a≠0，所以A选项错误；
B、分母上有未知数，是分式方程，所以B选项错误；
C、化简得，是关于x的一元二次方程，C选项正确；
D、化简得，是一元一次方程，所以D选项错误.
故答案为：.C
【分析】根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表中数据得：时，，时，，所以方程，，，为常数）的一个解的范围是．
故答案为：C.
【分析】由表中数据时，，时，，即可得解.
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
因为四边形是平行四边形，
所以，，，，
又因为和的平分线交于边上一点
所以，，
，
在中， ，， 根据勾股定理得
又因为，
所以，，
等量代换得，，
所以，，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，，结合角平分线的性质得，再根据勾股定理可得，证明出，，即可得解.
4．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：x 、y都扩大为原来的10倍，原分式变为，所以分式的值扩大为原来的倍.
故答案为：C.
【分析】x 、y都扩大为原来的10倍，结合分式的性质化简得，即可得解.
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是菱形，
∴EH=FG=EF=HG=BD=AC，
故AC=BD．
故选B．
【分析】根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等．
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：
A：对角线互相平分：矩形和菱形都具有的性质，不合题意；
B：对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有的性质，不合题意；
C：对角线相等，矩形具有而菱形不具有的性质，符合题意；
D：对角线平分一组对角，菱形具有而矩形不具有的性质，不合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形和矩形的性质。菱形和矩形具有平行四边形所有的性质之外，（1）菱形特殊性质：四边都相等，对角线互相垂直，对角线平分对角；（2）矩形特殊性质：邻边垂直，对角线相等。熟悉图形的性质是关键。
7．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
所以，
根据三角形外角的性质得.
故答案为：D.
【分析】由四边形ABCD是正方形得，再根据三角形外角的性质求解即可．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米 且 原计划每天修建盲道米 ，
∴实际每天修建盲道（x+10）米.
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x十10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
9．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据绕点顺时针旋转到的位置可知，再利用角的和差求得 的度数.
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，垂直平分，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据作图步骤可知MN是AC的垂直平分线，以此可得AE=CE，再设BE=x，进而表示CE的长度，然后通过勾股定理解得BE的长度.
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
延长AB，DC交于E，因为，
所以，所以是等边三角形，
，
因为 ，，
所以，在中，由勾股定理得.
故答案为：A.
【分析】延长AB，DC交于E，证明出是等边三角形，然后在中，根据勾股定理求解即可.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：由题意可知：将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则6次旋转为1个循环，
∵2023÷6= 337 1
∴第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为第一次旋转后对应的坐标，
第一次旋转时：过点A'作x轴的垂线，垂足为C，
根据旋转的性质可得ΔAOB≌ΔA' OB'
顶点的坐标为，
则OB=1，AB=A'O=
∵∠A'OC=180-∠A'OB-∠AOB=60°
则∠CA'O=30°
∴CO=.A'C=
即第一次旋转后点A对应的点A'
故答案为：A.
【分析】据旋转性质，得出6次旋转为1个循环，判断第2023次属于循环中的第1次，即可得出答案．
13．【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值为0，
则，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】根据分式的值等于零的条件，求解即可．
14．【答案】6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： ，，
，
故答案为：6.
【分析】先提取公因式对代数式进行因式分解，再代入m+n、mn的值求代数式的值.
15．【答案】1
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：根据尺规作图，得到EC是∠BCD的平分线，
所以∠ECD=∠ECB，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，
所以∠BEC=∠ECD，
所以∠BEC=∠ECB，
所以BE=BC=5，又因为
所以AE= BE-AB=5-4=1.
故答案为：1.
【分析】根据尺规作图，得到EC是∠BCD的平分线，由得AB∥CD，从而推出∠BEC=∠ECD=∠ECB，进而得到BE=BC，利用线段差计算即可．
16．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得， 不等式的解集为，
故答案为：.
【分析】根据两个函数图象交于点P(2，a)可得当时，x=2，所以当-2x+m2.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为△CDE 为等边三角形，
所以
所以为等边三角形，
由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，
所以∠BAD=120°，所以，
所以，A，B三点在同一条直线上，
又因为AC是对折线，
所以AC垂直且平分，
所以，
过点C 作CF⊥AD，
则∠DCF=30°，
由三角函数得，
重叠部分的面积 为．
故答案为：.
【分析】根据翻折的性质，可得为等边三角形，由且∠B=60°得到，A，B三点共线，所以AC垂直且平分，由垂直平分线的性质得，求出AE边上的高，代入三角形面积公式，即可得到重叠部分的面积 ．
18．【答案】解：原式= = =x﹣2，
当x=3时，原式=3﹣2=1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=3代入计算即可求出值．
19．【答案】（1）解：x-2-2（x-3）=10-3x，
x-2-2x+6=10-3x，
x-2x+3x=10+2-6，
2x=6，
x=3
检验：将x=3代入最简公分母x-3，x-3=0，
x=3不是原方程的解，原方程无解；
（2）解：（x+1）（2x-3）=0
x+1=0或2x-3=0
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）给方程两边同时乘以(x-3)，可得x-2-2(x-3)=10-3x，求出x的值，然后进行检验即可；
（2）对原方程进行因式分解可得(x+1)(2x-3)=0，据此求解.
20．【答案】解不等式组：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
数轴表示解集如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集.
21．【答案】（1）解：设甲队每天完成x千米，则乙队每天完成（x﹣0.4）千米．根据题意得： = × ，
解得：x=2.4．
经检验，x=2.4是原方程的解．
2.4﹣0.4=2． 答：甲队每天修2.4千米，乙队每天修2千米
（2）解：设甲队改造a米，则乙队改造（24﹣a）米．根据题意得： ×0.8+ ×0.5≤7，
解得：a≤12．
=5． 答：甲工程队至多施工5天
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）一次函数和工程类问题的综合应用。已知两队施工天数以及每天施工长度的关系，施工天数=总长/每天施工长度，列出关系式即可。
（2）不等式与工程类问题的联合应用。设甲队改造a米，即 乙队改造（24﹣a）米 。根据施工长度与施工天数及每天施工长度的关系，列出不等式，解不等式求最值即可。
22．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）或；
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；
（3）解：①如图，点在线段的延长线上，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
②如图，点在线段上，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
故答案为或.
【分析】(1)先由垂直的定义得到相等，再利用等腰直角三角形的性质通过ASA判定得到对应边相等，然后利用线段的和差证得CF、BD、AB的数量关系.
(2)先利用等腰直角三角形的性质和垂直的定义得到相等，进而通过ASA判定得到对应边相等，然后利用线段的和差证得CF、BD、AB的数量关系.
(3)由点是射线上的动点可知点D可能在线段AB上也可能在AB的延长线上，因此需对点D的位置进行分类讨论.先利用等腰三角形的性质和余角的性质通过ASA判定得到对应边相等，再通过线段的和差求得的长.
1 / 1广东省深圳市宝安实验学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程.
A、缺少a≠0，所以A选项错误；
B、分母上有未知数，是分式方程，所以B选项错误；
C、化简得，是关于x的一元二次方程，C选项正确；
D、化简得，是一元一次方程，所以D选项错误.
故答案为：.C
【分析】根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，逐项判断即可.
2．根据下列表格的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表中数据得：时，，时，，所以方程，，，为常数）的一个解的范围是．
故答案为：C.
【分析】由表中数据时，，时，，即可得解.
3．如图，在平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
因为四边形是平行四边形，
所以，，，，
又因为和的平分线交于边上一点
所以，，
，
在中， ，， 根据勾股定理得
又因为，
所以，，
等量代换得，，
所以，，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，，结合角平分线的性质得，再根据勾股定理可得，证明出，，即可得解.
4．如果分式中的、都扩大为原来的倍，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．分式的值不变 B．分式的值缩小为原来的
C．分式的值扩大为原来的倍 D．分式的值扩大为原来的倍
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：x 、y都扩大为原来的10倍，原分式变为，所以分式的值扩大为原来的倍.
故答案为：C.
【分析】x 、y都扩大为原来的10倍，结合分式的性质化简得，即可得解.
5．（2017·德州模拟）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．对角线相等的四边形
C．矩形 D．对角线互相垂直的四边
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是菱形，
∴EH=FG=EF=HG=BD=AC，
故AC=BD．
故选B．
【分析】根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等．
6．（2023八下·自贡期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：
A：对角线互相平分：矩形和菱形都具有的性质，不合题意；
B：对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有的性质，不合题意；
C：对角线相等，矩形具有而菱形不具有的性质，符合题意；
D：对角线平分一组对角，菱形具有而矩形不具有的性质，不合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形和矩形的性质。菱形和矩形具有平行四边形所有的性质之外，（1）菱形特殊性质：四边都相等，对角线互相垂直，对角线平分对角；（2）矩形特殊性质：邻边垂直，对角线相等。熟悉图形的性质是关键。
7．如图，为正方形的对角线，为上的一点，连接，，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
所以，
根据三角形外角的性质得.
故答案为：D.
【分析】由四边形ABCD是正方形得，再根据三角形外角的性质求解即可．
8．（2023八下·深圳期末）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米 且 原计划每天修建盲道米 ，
∴实际每天修建盲道（x+10）米.
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x十10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
9．（2023八下·福田期末）如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据绕点顺时针旋转到的位置可知，再利用角的和差求得 的度数.
10．（2023八下·福田期末）如图，中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交，于点和点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，垂直平分，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据作图步骤可知MN是AC的垂直平分线，以此可得AE=CE，再设BE=x，进而表示CE的长度，然后通过勾股定理解得BE的长度.
11．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
延长AB，DC交于E，因为，
所以，所以是等边三角形，
，
因为 ，，
所以，在中，由勾股定理得.
故答案为：A.
【分析】延长AB，DC交于E，证明出是等边三角形，然后在中，根据勾股定理求解即可.
12．（2022九上·丰城开学考）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：由题意可知：将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则6次旋转为1个循环，
∵2023÷6= 337 1
∴第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为第一次旋转后对应的坐标，
第一次旋转时：过点A'作x轴的垂线，垂足为C，
根据旋转的性质可得ΔAOB≌ΔA' OB'
顶点的坐标为，
则OB=1，AB=A'O=
∵∠A'OC=180-∠A'OB-∠AOB=60°
则∠CA'O=30°
∴CO=.A'C=
即第一次旋转后点A对应的点A'
故答案为：A.
【分析】据旋转性质，得出6次旋转为1个循环，判断第2023次属于循环中的第1次，即可得出答案．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13．若分式的值为，则的值为 ．
【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值为0，
则，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】根据分式的值等于零的条件，求解即可．
14．（2023八下·福田期末）若，，则的值为
【答案】6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： ，，
，
故答案为：6.
【分析】先提取公因式对代数式进行因式分解，再代入m+n、mn的值求代数式的值.
15．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是 ．
【答案】1
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：根据尺规作图，得到EC是∠BCD的平分线，
所以∠ECD=∠ECB，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，
所以∠BEC=∠ECD，
所以∠BEC=∠ECB，
所以BE=BC=5，又因为
所以AE= BE-AB=5-4=1.
故答案为：1.
【分析】根据尺规作图，得到EC是∠BCD的平分线，由得AB∥CD，从而推出∠BEC=∠ECD=∠ECB，进而得到BE=BC，利用线段差计算即可．
16．（2023八下·福田期末）如图，已知函数（为常数）和（为常数且）的图象交于点，则关于的不等式的解集是
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得， 不等式的解集为，
故答案为：.
【分析】根据两个函数图象交于点P(2，a)可得当时，x=2，所以当-2x+m2.
17．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时，恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为△CDE 为等边三角形，
所以
所以为等边三角形，
由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，
所以∠BAD=120°，所以，
所以，A，B三点在同一条直线上，
又因为AC是对折线，
所以AC垂直且平分，
所以，
过点C 作CF⊥AD，
则∠DCF=30°，
由三角函数得，
重叠部分的面积 为．
故答案为：.
【分析】根据翻折的性质，可得为等边三角形，由且∠B=60°得到，A，B三点共线，所以AC垂直且平分，由垂直平分线的性质得，求出AE边上的高，代入三角形面积公式，即可得到重叠部分的面积 ．
三、计算题
18．（2017·张湾模拟）先化简（1+ ）÷ ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．
【答案】解：原式= = =x﹣2，
当x=3时，原式=3﹣2=1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=3代入计算即可求出值．
四、解答题（本大题共4小题，共32.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2022八下·建邺期末）解方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：x-2-2（x-3）=10-3x，
x-2-2x+6=10-3x，
x-2x+3x=10+2-6，
2x=6，
x=3
检验：将x=3代入最简公分母x-3，x-3=0，
x=3不是原方程的解，原方程无解；
（2）解：（x+1）（2x-3）=0
x+1=0或2x-3=0
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）给方程两边同时乘以(x-3)，可得x-2-2(x-3)=10-3x，求出x的值，然后进行检验即可；
（2）对原方程进行因式分解可得(x+1)(2x-3)=0，据此求解.
20．（2023八下·深圳期末）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
【答案】解不等式组：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
数轴表示解集如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集.
21．（2018八下·宝安期末）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的 ．
（1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？
（2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？
【答案】（1）解：设甲队每天完成x千米，则乙队每天完成（x﹣0.4）千米．根据题意得： = × ，
解得：x=2.4．
经检验，x=2.4是原方程的解．
2.4﹣0.4=2． 答：甲队每天修2.4千米，乙队每天修2千米
（2）解：设甲队改造a米，则乙队改造（24﹣a）米．根据题意得： ×0.8+ ×0.5≤7，
解得：a≤12．
=5． 答：甲工程队至多施工5天
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）一次函数和工程类问题的综合应用。已知两队施工天数以及每天施工长度的关系，施工天数=总长/每天施工长度，列出关系式即可。
（2）不等式与工程类问题的联合应用。设甲队改造a米，即 乙队改造（24﹣a）米 。根据施工长度与施工天数及每天施工长度的关系，列出不等式，解不等式求最值即可。
22．（2023八下·福田期末）在等腰中，，点是射线上的动点，垂直于直线于点，交直线于点．
（1）【探索发现】如图①，若点在的延长线上，点在线段上时，请猜想，，之间的数量关系为 ；
（2）【拓展提升】如图②，若点在线段上（不与点，重合），试猜想，，之间的数量关系，并说明理由：
（3）【灵活应用】当，时，直接写出线段的长为
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）或；
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；
（3）解：①如图，点在线段的延长线上，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
②如图，点在线段上，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
故答案为或.
【分析】(1)先由垂直的定义得到相等，再利用等腰直角三角形的性质通过ASA判定得到对应边相等，然后利用线段的和差证得CF、BD、AB的数量关系.
(2)先利用等腰直角三角形的性质和垂直的定义得到相等，进而通过ASA判定得到对应边相等，然后利用线段的和差证得CF、BD、AB的数量关系.
(3)由点是射线上的动点可知点D可能在线段AB上也可能在AB的延长线上，因此需对点D的位置进行分类讨论.先利用等腰三角形的性质和余角的性质通过ASA判定得到对应边相等，再通过线段的和差求得的长.
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