2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.3一元二次方程根的判别式 同步练习
一、选择题
1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故答案为：A
【分析】判别式 >0，方程有两个不相等的实数根； =0，方程有两个相等的实数根； <0，方程没有实数根.
2．（2017·路北模拟）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
3．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（ ）
A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，
∴△=42﹣4k=0，
解得：k=4，
故答案为：B
【分析】一元二次方程的判别式，判别式 >0，方程有两个不相等的实数根； =0，方程有两个相等的实数根； <0，方程没有实数根.
4．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故答案为：C
【分析】“关于x的一元二次方程有实根”即判别式大于等于0，解不等式即可求得a的取值范围.
5．（2017·兰州模拟）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程ax2+bx+c=0中，
△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】根据△＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0方程有两个相等的实数根，△＜0方程没有实数根；判断即可.
6．（2016九上·江夏期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
7．（2017九上·召陵期末）y= x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的定义
【解析】【解答】解：
∵y= x+1是关于x的一次函数，
∴ ≠0，
∴k﹣1＞0，解得k＞1，
又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，
∴△＜0，
∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，
故选A．
【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．
二、填空题
8．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，
解得k=﹣4或3，
∵k＞0，
∴k=3．
故答案为3
【分析】所给关于x的方程有两个相等的实数根，即方程的判别式等于0，解方程即可求得k的值.
9．（2017·安顺模拟）关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，
解得：m＞ ．
故答案为：m＞ ．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
10．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，则另一个根及m的值是 ．
【答案】3或－1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x2，根据题意由根与系数关系， 得x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝m2－2m＋5，
∵x1＝2，
∴把x1＝2代入x1＋x2＝6，可得x2＝4.
∴把x1＝2，x2＝4代入x1x2＝m2－2m＋5，可得m2－2m＋5＝8.解得m1＝3，m2＝－1.
∴方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的另一根为4，m的值为3或－1
【分析】对于一元二次方程，，为方程的两个根，那么，.
三、计算题
11．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣ 或m=
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】一元二次方程有两个实数根，那么其判别式等于0，解方程即可求得m的值.
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣
（2）解：根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）方程有实数根，即其判别式大于等于0，解不等式即可求得m的取值范围；（2）根据根与系数的关系用m表示出两个根和与积的值，再代入所给的等式中即可求得m的值.
13．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
【答案】（1）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵方程有整数解，
∴ 为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）先对其判别式进行化简，最终可判断其大于0，所以可判断方程有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式写出方程的根，再根据其根为整数，可以尝试几个p的值，并选出3个使其为整数即可.
14．当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的解都是整数？
【答案】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，
则m≠0，△≥0
对于mx2-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
对于x2-4mx+4m2-4m-5=0，
△=16m2-16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥-
5
4
；
∴-
5
4
≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1，
当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；
当m=-1时，mx2-4x+4=0即x2+4x-4=0，方程的解是，，这与两个方程的解为整数相矛盾，舍去；
故m=1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】先利用根的判别式列出关于m的不等式组，从而求得m的取值范围，进而可求得整数m的值，再求得两个方程的解，解都为整数的m的值即为所求.
15．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
（1）若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】（1）.解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x 1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.解得m＝－4或m＝6.
又∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝4m2＋8m＋4－4m2－20＝8m－16≥0，解得m≥2.
∴m＝6
（2）解：7为底当边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2.
∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，
∴不能构成三角形．
当7为腰时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或4；当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7，或x＝15.
∵7＋7＜15，
∴不能组成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先利用根与系数的关系，分别表示出两个根的积与和，再化简所给等式，并将两个根的积与和代入即可求得m的值，特别的需同时满足判别式大于等于0；（2）分两种情况：7为底当边时与7为一腰时，求得另外两边的边长后，一定要验证是否满足“三角形两边和大于第三边”.
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册17.3一元二次方程根的判别式 同步练习
一、选择题
1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2017·路北模拟）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
3．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（ ）
A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4
4．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1
5．（2017·兰州模拟）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
6．（2016九上·江夏期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
7．（2017九上·召陵期末）y= x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
二、填空题
8．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于 ．
9．（2017·安顺模拟）关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是 ．
10．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，则另一个根及m的值是 ．
三、计算题
11．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
13．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
14．当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的解都是整数？
15．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
（1）若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故答案为：A
【分析】判别式 >0，方程有两个不相等的实数根； =0，方程有两个相等的实数根； <0，方程没有实数根.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，
∴△=42﹣4k=0，
解得：k=4，
故答案为：B
【分析】一元二次方程的判别式，判别式 >0，方程有两个不相等的实数根； =0，方程有两个相等的实数根； <0，方程没有实数根.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故答案为：C
【分析】“关于x的一元二次方程有实根”即判别式大于等于0，解不等式即可求得a的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程ax2+bx+c=0中，
△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】根据△＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0方程有两个相等的实数根，△＜0方程没有实数根；判断即可.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的定义
【解析】【解答】解：
∵y= x+1是关于x的一次函数，
∴ ≠0，
∴k﹣1＞0，解得k＞1，
又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，
∴△＜0，
∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，
故选A．
【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．
8．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，
解得k=﹣4或3，
∵k＞0，
∴k=3．
故答案为3
【分析】所给关于x的方程有两个相等的实数根，即方程的判别式等于0，解方程即可求得k的值.
9．【答案】m＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，
解得：m＞ ．
故答案为：m＞ ．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
10．【答案】3或－1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x2，根据题意由根与系数关系， 得x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝m2－2m＋5，
∵x1＝2，
∴把x1＝2代入x1＋x2＝6，可得x2＝4.
∴把x1＝2，x2＝4代入x1x2＝m2－2m＋5，可得m2－2m＋5＝8.解得m1＝3，m2＝－1.
∴方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的另一根为4，m的值为3或－1
【分析】对于一元二次方程，，为方程的两个根，那么，.
11．【答案】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣ 或m=
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】一元二次方程有两个实数根，那么其判别式等于0，解方程即可求得m的值.
12．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣
（2）解：根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）方程有实数根，即其判别式大于等于0，解不等式即可求得m的取值范围；（2）根据根与系数的关系用m表示出两个根和与积的值，再代入所给的等式中即可求得m的值.
13．【答案】（1）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵方程有整数解，
∴ 为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）先对其判别式进行化简，最终可判断其大于0，所以可判断方程有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式写出方程的根，再根据其根为整数，可以尝试几个p的值，并选出3个使其为整数即可.
14．【答案】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，
则m≠0，△≥0
对于mx2-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
对于x2-4mx+4m2-4m-5=0，
△=16m2-16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥-
5
4
；
∴-
5
4
≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1，
当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；
当m=-1时，mx2-4x+4=0即x2+4x-4=0，方程的解是，，这与两个方程的解为整数相矛盾，舍去；
故m=1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】先利用根的判别式列出关于m的不等式组，从而求得m的取值范围，进而可求得整数m的值，再求得两个方程的解，解都为整数的m的值即为所求.
15．【答案】（1）.解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x 1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.解得m＝－4或m＝6.
又∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝4m2＋8m＋4－4m2－20＝8m－16≥0，解得m≥2.
∴m＝6
（2）解：7为底当边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2.
∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，
∴不能构成三角形．
当7为腰时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或4；当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7，或x＝15.
∵7＋7＜15，
∴不能组成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先利用根与系数的关系，分别表示出两个根的积与和，再化简所给等式，并将两个根的积与和代入即可求得m的值，特别的需同时满足判别式大于等于0；（2）分两种情况：7为底当边时与7为一腰时，求得另外两边的边长后，一定要验证是否满足“三角形两边和大于第三边”.
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