2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.2.1平行四边形的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，∠D=120°，则∠A的度数等于（ ）
A．120° B．60° C．40° D．30°
2．（2017八下·秀屿期末）如图， ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．平行四边形ABCD 中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
4．（2017·河西模拟）如图，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．（2017八下·曲阜期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）
A．10 B．14 C．20 D．22
6．（2017·兰山模拟）如图，在 ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠E=∠CDF B．EF=DF C．AD=2BF D．BE=2CF
7．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．
A．36° B．52° C．48° D．30°
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（ ）
①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BEC=2S△CEF．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题
9．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB=3cm，ED= cm，则平行四边形ABCD的周长是 ．
10．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，△ABC及AC边的中点O．
求作：平行四边形ABCD．
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；
②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是 ．
11．在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，则 ABCD的周长等于 ．
12．如图所示，在 ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
13．（2017八下·扬州期中）如图，□ ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为 ．
14．如图， ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为 ．
三、计算题
15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24，△OAB的周长是18，试求EF的长．
16．如图，E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，请你写出图中的一对全等三角形并对其进行证明．
17．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6cm，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，BC边的对应边CE与AD边交于点F，此时△CDF为等边三角形．
（1）求AB的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=180°﹣∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质对边平行，得到AB∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补，求出∠A的度数.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC﹣BE=5﹣3=2，
故答案为：B．
【分析】先依据平行线的性质和角平分线的定义证明∠BEA=∠BAE，然后依据等角对等边得到BE=AB=3，最后再依据CE=BC﹣BE求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=180°﹣∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质对边平行，得到AB∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补，求出∠A的度数.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DB=DC，∠C=70°
∴∠DBC=∠C=70°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DBC=70°
∵AE⊥BD
∴∠AEB=90°那么∠DAE=90°﹣∠ADE=20°
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质，由DB=DC，∠C=70°，得到∠DBC=70°，在平行四边形ABCD中对比平行，得到AD∥BC，得到内错角相等∠ADE=∠DBC，在直角三角形中∠AEB=90°，求出∠DAE的值.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．
故选：B．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
6．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠E=∠CDF，（故A成立）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD//BE，
∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，（故B成立）；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF= BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，（故C成立）；
∵AD≠BE，
∴2CF≠BE，（故D不成立）；
故选：D．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得CD//AB，再根据平行线的性质可得∠E=∠CDF；首先证明△DCF≌△EBF可得EF=DF；根据全等可得CF=BF= BC，再利用等量代换可得AD=2BF；根据题意不能证明AD=BE，因此BE不一定等于2CF．
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．故答案为：A。
【分析】根据平行四边形的性质对角相等，得到∠D的度数，由折叠的性质，求出∠EAD，、∠AED，的度数，求出∠FED′的度数.
8．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此选项符合题意；
②如图1，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项符合题意；
④∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，
故答案为：A．
【分析】根据已知和平行四边形的性质和角平分线定义，得到∠DCF=∠BCF=∠BCD；根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到内错角相等，由ASA得到△AEF≌△DMF，得到FM=EF=FC；由三角形内角和定理得到∠DFE=3∠AEF；由②中的EF=FM，得到等底同高的三角形的面积相等，由MC＞BE，得到面积不等.
9．【答案】15cm
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3cm，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3cm，
∴AD=AE+DE=3+ =4.5cm，
∴AD=BC=4.5cm，
∴平行四边形的周长是2（AB+BC）=2（3+4.5）=15（cm）；
故答案为：15cm．
【分析】根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，根据两直线平行内错角相等和角平分线定义以及等角对对边，得到AB=AE的值，求出平行四边形的周长.
10．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC边的中点，
∴OA=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形；作出平行四边形.
11．【答案】12或20
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴AD=BC=5，
∴ ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴BC=3﹣2=1，
∴ ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则 ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【分析】在Rt△AEC中由勾股定理求出EC的长，根据平行四边形的性质对边相等和勾股定理，求出BE的值，得到AD=BC的值，得到 ABCD的周长.
12．【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．
又∵∠C=40°，
∴∠ABF=40°．
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠BEF=90°﹣40°=50°．
故答案是：50°．
【分析】根据平行四边形的性质，得到对边平行，得到同位角相等，根据垂直于两平行线中的一条直线也与另一条直线垂直，得到∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠BEF的度数.
13．【答案】6
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】
∵AB=AE，
∴BE=2AB=6．
∵若CF平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCF，
∵BE∥CD，
∴∠E=∠DCF，
∴∠E=∠BCE，
∴BC=BE=6
故答案为 ：6.
【分析】根据线段的和差得出BE=2AB=6；根据角平分线的定义得出∠BCE=∠DCF，根据二直线平行内错角相等得出∠E=∠DCF，根据等量代换得出∠E=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BE=6。
14．【答案】2或2 或
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
（ 1 ）①当∠BPC=90°时，
作AM⊥BC于M，如图1所示，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM= AB=1，
∴AM= BM= ，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，
∴AC= =2 ，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，
∴BP=BA=2；
②当∠BPC=90°，
点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，
BP= = =2 ；
（ 2 ）当∠BCP=90°时，如图3所示：
则CP=AM= ，
∴BP= = ；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2 或 ．
【分析】根据题意得到两种情况，当∠BPC=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，和由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出BM的值，再根据勾股定理求出AC的值，再由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，得到当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，BP=BA；当∠BCP=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，根据勾股定理求出BP的值，得到△PBC为直角三角形时，BP的值.
15．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO，∵AC+BD=24，∴AO+BO=12，∵△OAB的周长是18，∴AB=18﹣（AO+BO）=18﹣12=6，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点∴EF= AB=3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分，由AC+BD的值，得到一半的值，由△OAB的周长是18，求出AB的值，再根据三角形中位线定理，求出EF的值.
16．【答案】解：①△ADE≌△CBF （或△ABF≌△CDE，△ABC≌△CDA）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC∴∠DAE=∠BCF在△ADE 和△CBF中 ∴△ADE≌△CBF （SAS）②△ABF≌△CDE证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC∴∠BAF=∠DCE∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE在△ABF 和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（SAS）③△ABC≌△CDA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA，在△ABC与△CDA中， ，∴△ABC≌△CDA（ASA）注：学生答三种情况之一即可．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质对边平行且相等，再根据两直线平行内错角相等和SAS得到△ADE≌△CBF.
17．【答案】（1）解：∵△CDF为等边三角形，∴DF=DC=FC，∠D=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠ECA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，∴∠FAC=∠BCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴CD= AD=3cm，
∵AB=3cm；
（2）解：∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3 cm，
∴S△ACF= S△ACD= ×AC CD= ×3×3 = （cm2）．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等，再根据折叠的性质，得到∠FAC=∠FCA，由等角对等边，得到FA=FC，由△CDF为等边三角形和三角形的外角性质，得到∠DAC=30°，∠ACD=90°，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；得到CD=AB的值；（2）在直角三角形DAC中，根据勾股定理求出AC的值，求出△ACF的面积.
18．【答案】（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB．∴∠DAE=∠E．∴∠BAE=∠E．
∴AB=BE．
∴CD=BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF=∠DFA．∴∠DAF=∠DFA．∴DA=DF．
∵F为DC的中点，AB=4，
∴DF=CF=DA=2．
∵DG⊥AE，DG=1，∴AG=GF．
∴AG= ．
∴AF=2AG=2 ．
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=4 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，再由角平分线的定义，得到∠BAE=∠E，根据等角对等边得到AB=CD=BE；（2）由角平分线的定义和根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到DA=DF，由已知F为DC的中点和AB的值，得到DF=CF=DA的值，根据三线合一和勾股定理，求出AG、AF的值，再由AAS得到△ADF≌△ECF，得到AE=EF=2AF的值.
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册19.2.1平行四边形的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，∠D=120°，则∠A的度数等于（ ）
A．120° B．60° C．40° D．30°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=180°﹣∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质对边平行，得到AB∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补，求出∠A的度数.
2．（2017八下·秀屿期末）如图， ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC﹣BE=5﹣3=2，
故答案为：B．
【分析】先依据平行线的性质和角平分线的定义证明∠BEA=∠BAE，然后依据等角对等边得到BE=AB=3，最后再依据CE=BC﹣BE求解即可.
3．平行四边形ABCD 中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=180°﹣∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质对边平行，得到AB∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补，求出∠A的度数.
4．（2017·河西模拟）如图，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DB=DC，∠C=70°
∴∠DBC=∠C=70°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DBC=70°
∵AE⊥BD
∴∠AEB=90°那么∠DAE=90°﹣∠ADE=20°
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质，由DB=DC，∠C=70°，得到∠DBC=70°，在平行四边形ABCD中对比平行，得到AD∥BC，得到内错角相等∠ADE=∠DBC，在直角三角形中∠AEB=90°，求出∠DAE的值.
5．（2017八下·曲阜期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）
A．10 B．14 C．20 D．22
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．
故选：B．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
6．（2017·兰山模拟）如图，在 ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠E=∠CDF B．EF=DF C．AD=2BF D．BE=2CF
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠E=∠CDF，（故A成立）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD//BE，
∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，（故B成立）；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF= BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，（故C成立）；
∵AD≠BE，
∴2CF≠BE，（故D不成立）；
故选：D．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得CD//AB，再根据平行线的性质可得∠E=∠CDF；首先证明△DCF≌△EBF可得EF=DF；根据全等可得CF=BF= BC，再利用等量代换可得AD=2BF；根据题意不能证明AD=BE，因此BE不一定等于2CF．
7．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．
A．36° B．52° C．48° D．30°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．故答案为：A。
【分析】根据平行四边形的性质对角相等，得到∠D的度数，由折叠的性质，求出∠EAD，、∠AED，的度数，求出∠FED′的度数.
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（ ）
①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BEC=2S△CEF．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此选项符合题意；
②如图1，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项符合题意；
④∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，
故答案为：A．
【分析】根据已知和平行四边形的性质和角平分线定义，得到∠DCF=∠BCF=∠BCD；根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到内错角相等，由ASA得到△AEF≌△DMF，得到FM=EF=FC；由三角形内角和定理得到∠DFE=3∠AEF；由②中的EF=FM，得到等底同高的三角形的面积相等，由MC＞BE，得到面积不等.
二、填空题
9．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB=3cm，ED= cm，则平行四边形ABCD的周长是 ．
【答案】15cm
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3cm，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3cm，
∴AD=AE+DE=3+ =4.5cm，
∴AD=BC=4.5cm，
∴平行四边形的周长是2（AB+BC）=2（3+4.5）=15（cm）；
故答案为：15cm．
【分析】根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，根据两直线平行内错角相等和角平分线定义以及等角对对边，得到AB=AE的值，求出平行四边形的周长.
10．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，△ABC及AC边的中点O．
求作：平行四边形ABCD．
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；
②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是 ．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC边的中点，
∴OA=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形；作出平行四边形.
11．在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，则 ABCD的周长等于 ．
【答案】12或20
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴AD=BC=5，
∴ ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴BC=3﹣2=1，
∴ ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则 ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【分析】在Rt△AEC中由勾股定理求出EC的长，根据平行四边形的性质对边相等和勾股定理，求出BE的值，得到AD=BC的值，得到 ABCD的周长.
12．如图所示，在 ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．
又∵∠C=40°，
∴∠ABF=40°．
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠BEF=90°﹣40°=50°．
故答案是：50°．
【分析】根据平行四边形的性质，得到对边平行，得到同位角相等，根据垂直于两平行线中的一条直线也与另一条直线垂直，得到∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠BEF的度数.
13．（2017八下·扬州期中）如图，□ ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为 ．
【答案】6
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】
∵AB=AE，
∴BE=2AB=6．
∵若CF平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCF，
∵BE∥CD，
∴∠E=∠DCF，
∴∠E=∠BCE，
∴BC=BE=6
故答案为 ：6.
【分析】根据线段的和差得出BE=2AB=6；根据角平分线的定义得出∠BCE=∠DCF，根据二直线平行内错角相等得出∠E=∠DCF，根据等量代换得出∠E=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BE=6。
14．如图， ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为 ．
【答案】2或2 或
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
（ 1 ）①当∠BPC=90°时，
作AM⊥BC于M，如图1所示，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM= AB=1，
∴AM= BM= ，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，
∴AC= =2 ，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，
∴BP=BA=2；
②当∠BPC=90°，
点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，
BP= = =2 ；
（ 2 ）当∠BCP=90°时，如图3所示：
则CP=AM= ，
∴BP= = ；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2 或 ．
【分析】根据题意得到两种情况，当∠BPC=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，和由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出BM的值，再根据勾股定理求出AC的值，再由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，得到当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，BP=BA；当∠BCP=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，根据勾股定理求出BP的值，得到△PBC为直角三角形时，BP的值.
三、计算题
15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24，△OAB的周长是18，试求EF的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO，∵AC+BD=24，∴AO+BO=12，∵△OAB的周长是18，∴AB=18﹣（AO+BO）=18﹣12=6，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点∴EF= AB=3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分，由AC+BD的值，得到一半的值，由△OAB的周长是18，求出AB的值，再根据三角形中位线定理，求出EF的值.
16．如图，E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，请你写出图中的一对全等三角形并对其进行证明．
【答案】解：①△ADE≌△CBF （或△ABF≌△CDE，△ABC≌△CDA）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC∴∠DAE=∠BCF在△ADE 和△CBF中 ∴△ADE≌△CBF （SAS）②△ABF≌△CDE证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC∴∠BAF=∠DCE∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE在△ABF 和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（SAS）③△ABC≌△CDA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA，在△ABC与△CDA中， ，∴△ABC≌△CDA（ASA）注：学生答三种情况之一即可．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质对边平行且相等，再根据两直线平行内错角相等和SAS得到△ADE≌△CBF.
17．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6cm，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，BC边的对应边CE与AD边交于点F，此时△CDF为等边三角形．
（1）求AB的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵△CDF为等边三角形，∴DF=DC=FC，∠D=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠ECA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，∴∠FAC=∠BCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴CD= AD=3cm，
∵AB=3cm；
（2）解：∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3 cm，
∴S△ACF= S△ACD= ×AC CD= ×3×3 = （cm2）．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等，再根据折叠的性质，得到∠FAC=∠FCA，由等角对等边，得到FA=FC，由△CDF为等边三角形和三角形的外角性质，得到∠DAC=30°，∠ACD=90°，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；得到CD=AB的值；（2）在直角三角形DAC中，根据勾股定理求出AC的值，求出△ACF的面积.
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB．∴∠DAE=∠E．∴∠BAE=∠E．
∴AB=BE．
∴CD=BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF=∠DFA．∴∠DAF=∠DFA．∴DA=DF．
∵F为DC的中点，AB=4，
∴DF=CF=DA=2．
∵DG⊥AE，DG=1，∴AG=GF．
∴AG= ．
∴AF=2AG=2 ．
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=4 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，再由角平分线的定义，得到∠BAE=∠E，根据等角对等边得到AB=CD=BE；（2）由角平分线的定义和根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到DA=DF，由已知F为DC的中点和AB的值，得到DF=CF=DA的值，根据三线合一和勾股定理，求出AG、AF的值，再由AAS得到△ADF≌△ECF，得到AE=EF=2AF的值.
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