2018-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测a卷
一、选择题
1．方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A．1，2，－15 B．1，－2，－15
C．－1，－2，－15 D．－1，2，－15
2．方程（x+ ）（x- ）+（2x-3）2=3（3-4x）化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的积为（ ）
A．5 B．-10 C．0 D．10
3．用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（ ）
A． -2x=5 B． +4x=5 C． +2x=5 D．2 -4x=5
4．（2015九上·崇州期末）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．200（1﹣x）2=162 B．200（1+x）2=162
C．162（1+x）2=200 D．162（1﹣x）2=200
5．（2017·冷水滩模拟）不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值是（ ）
A．总是正数 B．总是负数
C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
6．（2017·泸州模拟）方程（m﹣2）x2﹣ x+ =0有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．m＞ B．m≤ 且m≠2
C．m≥3 D．m≤3且m≠2
7．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ）.
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
8．若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
9．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（ ）
A．10只 B．11只 C．12只 D．13只
10．（2018·绍兴模拟）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
二、填空题
11．方程x2－2x－3＝0的解为 .
12．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为 ．
13．方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为
14．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，如果 ， 满足不等式 ，且 为整数，则 ．
15．当k满足条件 时，关于x的方程（k-3） +2x-7=0是一元二次方程．
16．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．
17．已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
18．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是 ．
三、解答题
19．按指定的方法解下列方程：
（1）2x2-5x-4=0（配方法）；
（2）3（x-2）+x2-2x=0（因式分解法）；
（3）（a2-b2）x2-4abx=a2-b2（a2≠b2）（公式法）．
20．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
21．如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2 cm2？
22．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
23．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1=0有两个不同的实数根是xl和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=﹣2时，求4x12+6x2的值．
24．全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ，问2014年最低投入多少万元购买药品？
（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少 ，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．
①求2014年社区购买药品的总费用；
②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的 ，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 ，求2015年该社区健身家庭的户数．
25．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
（1）x12＋x22；
（2） ；
（3）x12＋x22－3x1x2.
26．东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】去括号可得： ，
化简可得： ，
即a=1，b=2，c=-15，
故答案为：A
【分析】先将原方程去括号、移项，合并转化为一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），再分别写出a、b、c的值。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵原方程可化为：5x2-2=0，
∴其二次项系数为5，一次项系数为0，
∴二次项系数与一次项系数的积为0．
故答案为：C
【分析】先去括号、移项，合并同类项，将原方程化为一元二次方程的一般形式，再求出二次项系数与一次项系数的积。
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A.因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
B.因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4，符合题意；
C.因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
D.将该方程的二次项系数化为1 -2x= ，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
故答案为：B
【分析】观察各选项的系数，要在方程的左右两边同时加上4，必须满足二次项系数是1，且一次项系数的绝对值是4，即可求解。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可列方程是：200×（1﹣x）2=168．
故选A．
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
5．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴原式=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+2=（a﹣1）2+（b﹣2）2+2≥2＞0，
则不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值总是正数，
故选A
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
解得m≤ 且m≠2．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到 ，然后解不等式组即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，
∴b2-4ac=22-4×1×a＜0，
解得：a＞1．
选B．
【分析】根据根的判别式得出b2-4ac＜0，代入求出不等式的解集
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+ x2=1，x1 x2=-m+2，
∵（x1-1）（x2-1）=-1，
∴x1 x2-（x1+ x2）+1=-1，
∴-m+2-1+1=-1，
∴m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到答案即可
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x(x+1)=169，
整理，得x2+2x 168=0，
解，得x1=12，x2= 14(不符合题意舍去).
答：设每只病鸡传染健康鸡12只.
故答案为：C
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天后共有(x+1)只鸡得病，第二天被传染的鸡的数量为：x(x+1)只，两天后得病的鸡的数量为：x+1+x(x+1)，根据两天后发现共有169只鸡患有这种病.列出方程，求解并检验即可。
10．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，
（2x+3+3）（2x+3-1）=0
∴2x+6=0或2x+2=0
解之：x1=﹣1，x2=﹣3
故答案为：D
【分析】将2x+3看着整体，利用因式分解法求解即可。
11．【答案】x1＝3，x2＝－
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2－2x－3＝0，
(x-3)(x+1)=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1＝3，x2＝－1
【分析】利用观察方程的特点：右边为0，左边可分解因式，因此利用因式分解法解此方程。
12．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=1代入得：1+2+m=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3
【分析】将x=1代入原方程就可求出m的值。
13．【答案】-8或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1
整理得：2x2-x-1=72-8x-1
2x2+7x-72=0，
则（x+8）（2x-9）=0，
解得：x1=-8，x2=
故答案为：-8或
【分析】观察方程，先将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程，可解答。
14．【答案】 2， 1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+x2=1，x1x2= ，
∵7+4x1x2>x12+x22，
∴7+4x1x2>(x1+x2)2 2x1x2，
即7+6x1x2>(x1+x2)2，
∴7+6 >1，解得m> 3，
∴ 3∴整数m的值为 2， 1
【分析】先求出x1+x2，x1x2的值，再将7+4x1x2>x12+x22转化为7+6x1x2>(x1+x2)2，再结合根的判别式，建立关于m的不等式组，求解即可。
15．【答案】k≠3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得k-3≠0，
解得k≠3．
故答案为k≠3
【分析】根据一元二次方程的定义，可得出k-3≠0，即可解答。
16．【答案】2015
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015
【分析】将x=-1代入原方程就可求出a+b的值。
17．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
18．【答案】x3=0，x4=﹣3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，
解得x=0或x=﹣3．
故答案为：x3=0，x4=﹣3
【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0中的x+2看着整体，相当于前面方程中的x，列出方程x+2=2或x+2=﹣1，求解即可。
19．【答案】（1）解：∵2x2-5x-4=0，∴2x2-5x=4，∴x2- x=2，
∴x2- x+ =2+ ，
∴（x- ）2= ，
解得：x1= ，x2=
（2）解：∵3（x-2）+x2-2x=0，
∴3（x-2）+x（x-2）=0，
∴（x-2）（3+x）=0，
即x-2=0或3+x=0，
解得：x1=2，x2=-3
（3）解：∵（a2-b2）x2-4abx=a2-b2（a2≠b2），∴（a2-b2）x2-4abx-（a2-b2）=0，
∴a=a2-b2，b=-4ab，c=-（a2-b2）=b2-a2，
∴△=b2-4ac=（-4ab）2-4×（a2-b2）（b2-a2）=4（a2+b2）2，
∴x= =，
解得：x1= = ，x2=-
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据用配方法解一元二次方程的步骤：移常数项到方程的右边、将二次项的系数化为1，再将方程的左边配方（方程两边同时加上一次项系数一般的平方），然后利用直接开平方法求解。
（2）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可。
（3）观察方程的特点，利用一元二次方程的求根公式法解此方程。
20．【答案】解：设方程的另一根为x2，则﹣1+x2=﹣1，解得x2=0．把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设方程的另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1+x2=﹣1，解得x2=0；根据方程根的定义，将x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得出一个关于m的方程，求解得出m的值。
21．【答案】解：设经过xs△PCQ的面积是2 cm2，由题意得
（6﹣x）× x=2
解得：x1=2，x2=4，
答：经过2s或4s△PCQ的面积是2 cm2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是2 cm2，可得出PC的长，再利用解直角三角形求出PC边上的高，然后利用三角形的面积公式建立方程，可解答。
22．【答案】（1）解：根据一元二次方程的定义可得 ，
解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，
解得x1=1，x2=﹣
（2）解：由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的定义，含x的最高次项是2此，二次项的系数不等于0，求出m的值；再将m的值代入方程求出方程的解。
（2）根据一元一次方程的定义，可得出m2+1=1或m+1=0，分别求出m的值，再将m的值代入原方程，分别解方程即可解答。
23．【答案】（1）解：根据题意得k﹣2≠0且△=4（k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）＞0，
解得k＜3且k≠2
（2）解：当k=﹣2时，方程变形为4x2﹣6x+1=0，则xl+x2= ，xl x2= ，∵xl是原方程的解，∴4x12﹣6x1+1=0，
∴4x12=6x1﹣1，
∴4x12+6x2=6x1﹣1+6x2=6（x1+x2）﹣1=6× ﹣1=8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据此方程是一元二次方程可知得k﹣2≠0再由此方程有两个不相同的实数根，可得出b2-4ac≥0，建立不等式可解答。
（2）将k=-2代入方程，得出4x2﹣6x+1=0，再利用根与系数的关系求出xl+x2和xl x2的值，将方程转化为4x12=6x1﹣1，代入代数式，就可求出答案。
24．【答案】（1）解：设2014年购买药品的费用为x万元，
根据题意得：30﹣x≤ ×30，
解得：x≥10，
则2014年最低投入10万元购买商品
（2）解：①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣ ）y万元，
根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣ ）y=30，
解得：y=16，30﹣y=14，则2014年购买药品的总费用为16万元；
②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200（1+m），
2015年平均每户健身家庭的药品费用为 （1﹣m）万元，
依题意得：200（1+m） （1﹣m）=（1+50%）×14× ，
解得：m=± ，∵m＞0，∴m= =50%，∴200（1+m）=300（户），
则2015年该社区健身家庭的户数为300户
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设2014年最低投入万元购买药品，则投入用于购买健身器材为（30-x）万元，2014年社区购买健身器材的费用≤总投入× ，列得不等式求解即可。
（2）①设2014年社区购买药品的总费用为y万元，则购买健身总费用为（30﹣y）万元，根据题意列出方程，求解方程即可；②设2015年该社区健身家庭的户数增加的百分数为m，2015年用于健身家庭的药品费用为200（1+m）万元，根据2015年该社区用于健身家庭的药品费用=当年购买健身器材费用的 ， 根据题意可列得方程组，求解即可。
25．【答案】（1）解：由题意得：x1＋x2＝ ，x1·x2＝- ；
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝( )2-2×（- ）＝
（2）解： = ＝ =-
（3）解：x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=( )2-5×（- ）=
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出x1＋x2和x1·x2的值
（1）将原式配方转化为(x1＋x2)2－2x1·x2，再代入求值。
（2）将原式通分转化为，再代入求值。
（3）将原式配方转化为（x1+x2）2-5x1x2，再代入求值。
26．【答案】（1）解：（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第3档次产品
（2）解：设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，整理得：x2﹣16x+55=0，解得：x1=5，x2=11（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是第5档次产品
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品。
（2）此题的等量关系是：每件的利润×销售量=总利润，设未知数，建立方程求解即可。
1 / 12018-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测a卷
一、选择题
1．方程(x－1)(x＋3)＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式后，a，b，c的值分别为（ ）
A．1，2，－15 B．1，－2，－15
C．－1，－2，－15 D．－1，2，－15
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】去括号可得： ，
化简可得： ，
即a=1，b=2，c=-15，
故答案为：A
【分析】先将原方程去括号、移项，合并转化为一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），再分别写出a、b、c的值。
2．方程（x+ ）（x- ）+（2x-3）2=3（3-4x）化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的积为（ ）
A．5 B．-10 C．0 D．10
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵原方程可化为：5x2-2=0，
∴其二次项系数为5，一次项系数为0，
∴二次项系数与一次项系数的积为0．
故答案为：C
【分析】先去括号、移项，合并同类项，将原方程化为一元二次方程的一般形式，再求出二次项系数与一次项系数的积。
3．用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（ ）
A． -2x=5 B． +4x=5 C． +2x=5 D．2 -4x=5
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A.因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
B.因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4，符合题意；
C.因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
D.将该方程的二次项系数化为1 -2x= ，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
故答案为：B
【分析】观察各选项的系数，要在方程的左右两边同时加上4，必须满足二次项系数是1，且一次项系数的绝对值是4，即可求解。
4．（2015九上·崇州期末）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．200（1﹣x）2=162 B．200（1+x）2=162
C．162（1+x）2=200 D．162（1﹣x）2=200
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可列方程是：200×（1﹣x）2=168．
故选A．
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
5．（2017·冷水滩模拟）不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值是（ ）
A．总是正数 B．总是负数
C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴原式=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+2=（a﹣1）2+（b﹣2）2+2≥2＞0，
则不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值总是正数，
故选A
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．
6．（2017·泸州模拟）方程（m﹣2）x2﹣ x+ =0有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．m＞ B．m≤ 且m≠2
C．m≥3 D．m≤3且m≠2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
解得m≤ 且m≠2．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到 ，然后解不等式组即可．
7．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ）.
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，
∴b2-4ac=22-4×1×a＜0，
解得：a＞1．
选B．
【分析】根据根的判别式得出b2-4ac＜0，代入求出不等式的解集
8．若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+ x2=1，x1 x2=-m+2，
∵（x1-1）（x2-1）=-1，
∴x1 x2-（x1+ x2）+1=-1，
∴-m+2-1+1=-1，
∴m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到答案即可
9．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（ ）
A．10只 B．11只 C．12只 D．13只
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x(x+1)=169，
整理，得x2+2x 168=0，
解，得x1=12，x2= 14(不符合题意舍去).
答：设每只病鸡传染健康鸡12只.
故答案为：C
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天后共有(x+1)只鸡得病，第二天被传染的鸡的数量为：x(x+1)只，两天后得病的鸡的数量为：x+1+x(x+1)，根据两天后发现共有169只鸡患有这种病.列出方程，求解并检验即可。
10．（2018·绍兴模拟）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，
（2x+3+3）（2x+3-1）=0
∴2x+6=0或2x+2=0
解之：x1=﹣1，x2=﹣3
故答案为：D
【分析】将2x+3看着整体，利用因式分解法求解即可。
二、填空题
11．方程x2－2x－3＝0的解为 .
【答案】x1＝3，x2＝－
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2－2x－3＝0，
(x-3)(x+1)=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1＝3，x2＝－1
【分析】利用观察方程的特点：右边为0，左边可分解因式，因此利用因式分解法解此方程。
12．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=1代入得：1+2+m=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3
【分析】将x=1代入原方程就可求出m的值。
13．方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为
【答案】-8或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1
整理得：2x2-x-1=72-8x-1
2x2+7x-72=0，
则（x+8）（2x-9）=0，
解得：x1=-8，x2=
故答案为：-8或
【分析】观察方程，先将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程，可解答。
14．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，如果 ， 满足不等式 ，且 为整数，则 ．
【答案】 2， 1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+x2=1，x1x2= ，
∵7+4x1x2>x12+x22，
∴7+4x1x2>(x1+x2)2 2x1x2，
即7+6x1x2>(x1+x2)2，
∴7+6 >1，解得m> 3，
∴ 3∴整数m的值为 2， 1
【分析】先求出x1+x2，x1x2的值，再将7+4x1x2>x12+x22转化为7+6x1x2>(x1+x2)2，再结合根的判别式，建立关于m的不等式组，求解即可。
15．当k满足条件 时，关于x的方程（k-3） +2x-7=0是一元二次方程．
【答案】k≠3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得k-3≠0，
解得k≠3．
故答案为k≠3
【分析】根据一元二次方程的定义，可得出k-3≠0，即可解答。
16．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．
【答案】2015
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015
【分析】将x=-1代入原方程就可求出a+b的值。
17．已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
18．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是 ．
【答案】x3=0，x4=﹣3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，
解得x=0或x=﹣3．
故答案为：x3=0，x4=﹣3
【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0中的x+2看着整体，相当于前面方程中的x，列出方程x+2=2或x+2=﹣1，求解即可。
三、解答题
19．按指定的方法解下列方程：
（1）2x2-5x-4=0（配方法）；
（2）3（x-2）+x2-2x=0（因式分解法）；
（3）（a2-b2）x2-4abx=a2-b2（a2≠b2）（公式法）．
【答案】（1）解：∵2x2-5x-4=0，∴2x2-5x=4，∴x2- x=2，
∴x2- x+ =2+ ，
∴（x- ）2= ，
解得：x1= ，x2=
（2）解：∵3（x-2）+x2-2x=0，
∴3（x-2）+x（x-2）=0，
∴（x-2）（3+x）=0，
即x-2=0或3+x=0，
解得：x1=2，x2=-3
（3）解：∵（a2-b2）x2-4abx=a2-b2（a2≠b2），∴（a2-b2）x2-4abx-（a2-b2）=0，
∴a=a2-b2，b=-4ab，c=-（a2-b2）=b2-a2，
∴△=b2-4ac=（-4ab）2-4×（a2-b2）（b2-a2）=4（a2+b2）2，
∴x= =，
解得：x1= = ，x2=-
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据用配方法解一元二次方程的步骤：移常数项到方程的右边、将二次项的系数化为1，再将方程的左边配方（方程两边同时加上一次项系数一般的平方），然后利用直接开平方法求解。
（2）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可。
（3）观察方程的特点，利用一元二次方程的求根公式法解此方程。
20．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
【答案】解：设方程的另一根为x2，则﹣1+x2=﹣1，解得x2=0．把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设方程的另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1+x2=﹣1，解得x2=0；根据方程根的定义，将x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得出一个关于m的方程，求解得出m的值。
21．如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2 cm2？
【答案】解：设经过xs△PCQ的面积是2 cm2，由题意得
（6﹣x）× x=2
解得：x1=2，x2=4，
答：经过2s或4s△PCQ的面积是2 cm2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是2 cm2，可得出PC的长，再利用解直角三角形求出PC边上的高，然后利用三角形的面积公式建立方程，可解答。
22．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【答案】（1）解：根据一元二次方程的定义可得 ，
解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，
解得x1=1，x2=﹣
（2）解：由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的定义，含x的最高次项是2此，二次项的系数不等于0，求出m的值；再将m的值代入方程求出方程的解。
（2）根据一元一次方程的定义，可得出m2+1=1或m+1=0，分别求出m的值，再将m的值代入原方程，分别解方程即可解答。
23．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1=0有两个不同的实数根是xl和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=﹣2时，求4x12+6x2的值．
【答案】（1）解：根据题意得k﹣2≠0且△=4（k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）＞0，
解得k＜3且k≠2
（2）解：当k=﹣2时，方程变形为4x2﹣6x+1=0，则xl+x2= ，xl x2= ，∵xl是原方程的解，∴4x12﹣6x1+1=0，
∴4x12=6x1﹣1，
∴4x12+6x2=6x1﹣1+6x2=6（x1+x2）﹣1=6× ﹣1=8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据此方程是一元二次方程可知得k﹣2≠0再由此方程有两个不相同的实数根，可得出b2-4ac≥0，建立不等式可解答。
（2）将k=-2代入方程，得出4x2﹣6x+1=0，再利用根与系数的关系求出xl+x2和xl x2的值，将方程转化为4x12=6x1﹣1，代入代数式，就可求出答案。
24．全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ，问2014年最低投入多少万元购买药品？
（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少 ，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．
①求2014年社区购买药品的总费用；
②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的 ，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 ，求2015年该社区健身家庭的户数．
【答案】（1）解：设2014年购买药品的费用为x万元，
根据题意得：30﹣x≤ ×30，
解得：x≥10，
则2014年最低投入10万元购买商品
（2）解：①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣ ）y万元，
根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣ ）y=30，
解得：y=16，30﹣y=14，则2014年购买药品的总费用为16万元；
②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200（1+m），
2015年平均每户健身家庭的药品费用为 （1﹣m）万元，
依题意得：200（1+m） （1﹣m）=（1+50%）×14× ，
解得：m=± ，∵m＞0，∴m= =50%，∴200（1+m）=300（户），
则2015年该社区健身家庭的户数为300户
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设2014年最低投入万元购买药品，则投入用于购买健身器材为（30-x）万元，2014年社区购买健身器材的费用≤总投入× ，列得不等式求解即可。
（2）①设2014年社区购买药品的总费用为y万元，则购买健身总费用为（30﹣y）万元，根据题意列出方程，求解方程即可；②设2015年该社区健身家庭的户数增加的百分数为m，2015年用于健身家庭的药品费用为200（1+m）万元，根据2015年该社区用于健身家庭的药品费用=当年购买健身器材费用的 ， 根据题意可列得方程组，求解即可。
25．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
（1）x12＋x22；
（2） ；
（3）x12＋x22－3x1x2.
【答案】（1）解：由题意得：x1＋x2＝ ，x1·x2＝- ；
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝( )2-2×（- ）＝
（2）解： = ＝ =-
（3）解：x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=( )2-5×（- ）=
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出x1＋x2和x1·x2的值
（1）将原式配方转化为(x1＋x2)2－2x1·x2，再代入求值。
（2）将原式通分转化为，再代入求值。
（3）将原式配方转化为（x1+x2）2-5x1x2，再代入求值。
26．东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【答案】（1）解：（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第3档次产品
（2）解：设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，整理得：x2﹣16x+55=0，解得：x1=5，x2=11（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是第5档次产品
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品。
（2）此题的等量关系是：每件的利润×销售量=总利润，设未知数，建立方程求解即可。
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