2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）某学生书包中有三枝红铅笔，两枝黑铅笔，一支白铅笔，它们的形状、大小一样，从中任意摸出一枝，那么摸到白铅笔的机会是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）下列说法正确的是 ( )
A．掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上是不可能事件
B．随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件
C．经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件
D．某一抽奖活动中奖的概率为，买100张奖券一定会中奖
3．（2018九上·定安期末）某班为迎接“体育健康周”活动，从3 名学生（1男 2女）中随机选两名担任入场式旗手，则选中两名女学生的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）在下列事件中，不可能事件为（）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．度量三角形内角和，结果是180°
C．抛掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上
D．在布袋中装有两个质地相同的红球，摸出一个白球
5．（2017·东河模拟）下列说法正确的是（ ）
A．为了了解我市今夏冰淇淋的质量，应采用普查的调查方式进行
B．鞋类销售商最感兴趣的是所销售的某种品牌鞋的尺码的平均数
C．明天我市会下雨是随机事件
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
6．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．a是实数，|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米
D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
7．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）有A，B两粒质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），小王掷A，朝上的数字记作x；小张掷B，朝上的数字记作y．在平面坐标系中有一矩形，四个点的坐标分别为（0，0），（6，0），（6，4）和（0，4），小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2017九上·钦州期末）如图，在一块菱形菜地ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若在菱形菜地内均匀地撒上种子，则种子落在阴影部分的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）分别写有数字－3，－2，－1，0，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（新人教版数学九年级上册第25章 25.2用列举法求概率同步训练）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
12．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是
13．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2cm的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 m2
14．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）下列事件：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖；④抛掷1个小石块，石块会下落．估计这些事件的可能性大小，并将它们的序号按从小到大排列： ．
15．（2016九上·芦溪期中）小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为 ．
16．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，A，B是固定箭头的两个转盘.均被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的扇形分别写有数字1，6，8，转盘B上的扇形分别写有数字4，5，7.如果你和小亮各选择其中一个转盘，同时将它们转动，规定如果转盘停止时，箭头指的数字较大者获胜.你认为选择 转盘（填A或B）.
17．（2016九上·海盐期中）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ．
18．（2017·古田模拟）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为 ，那么口袋中小球共有 个．
19．（2018九上·平顶山期末）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是 ．
20．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.5，则n的值大约是 ．
三、解答题
21．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册26.2等可能情况下的概率计算 第3课时 利用列表法求概率 同步训练）一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3、4、5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按这种方法能组成哪些两位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．
22．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）用如图所示的A，B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色）．小亮和小刚同时转动两个转盘，若配成紫色，小亮获胜，否则小刚获胜．这个游戏对双方公平吗？画树状图或列表说明理由．
23．（2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：6.3.1 等可能事件的概率）甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？
24．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率 ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
25．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）某校九年级（8）课外活动设置了如图所示的翻牌游戏，每次抽奖翻开一个数字，考虑“第一个人中奖排球”的机会．
正面
1 2 3
4 5 6
7 8
9
反面
排球 钢笔
图书
铅笔 空门
书包
球拍 小刀 篮球
（1）如果用实验进行估计，但制作翻奖牌没有材料，那么你有什么简便的模拟实验方法？
（2）如果不做实验，你能估计“第一个人中奖排球”的机会是多少？
26．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）某中学举行“中国梦 我的梦”演讲比赛．小明和小红都想去，于是老师制作了三张形状、大小和颜色完全一样的卡片，上面分别标有“1”，“2”，“3”，小明从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，小红再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字，谁抽取的数大就谁去，若两个数一样大则重新抽．这个游戏公平吗？请用树枝状图或列表的方法，结合概率知识给予说明．
27．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A，B，每个转盘都被分成3个大小相同的扇形，指针位置固定，游戏规定，转动两个转盘各一次，转盘停止后若A盘指针指示区域数字比B盘指针指示区域数字大则小明胜，否则小亮胜（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．你认为这个游戏规则公平吗？为什么？
28．（2017九上·上城期中）有一箱子装有 张分别标示 、 、 的号码牌，已知小武以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出 张牌，组成一个二位数，取出第 张牌的号码为十位数，第 张牌的号码为个位数，若先后取出 张牌组成二位数的每一种结果发生的机会都相同，用列表或树状表示组成二位数的可能情况，并求组成的二位数为 的倍数的概率．
29．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）给你1枚骰子，如何检测这枚骰子质地是否均匀？（骰子均匀的标准是：出现1、2、3、4、5、6向上的概率相同，概率越接近骰子质地越均匀）请你设计一个表格，用统计的方法检测1枚骰予的质量．
30．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗 请你利用列举法说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】P（摸到白铅笔）==；
故答案为：A。
【分析】因为一共有6只铅笔，故随意摸出一支的可能性是6种，其中摸到白铅笔的是其中一种，故摸到白铅笔的概率是。
2．【答案】B
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【分析】选项A掷两枚硬币，会出现两枚都正面朝上，或者两枚都反面朝上，或者一枚正面朝上，一枚反面朝上，所以它不是不可能事件，A错误；
选项B随意地翻到一本书的某页，这页的页码可能为偶数，可能为奇数，所以它是随机事件，B正确；
选项C经过某市一装有交通信号灯的路口，可能是红灯，可能是绿灯，所以它是随机事件，不是必然事件，所以C错误；
选项D某一抽奖活动中奖的概率为，买100张奖券一定会中奖是错误的，原因是抽奖活动是随机的，可能中奖，可能不中奖。
故选B.
【点评】本题考查概率的知识，掌握概率的概念和概率的意义是解答本题的关键，属基础题。
3．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名女学生的有2种情况，
∴恰好选中两名女学生的概率是： .
故答案为：A.
【分析】画出树状图，求出概率即可。
4．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】根据事件的分类，对每个选项逐个进行分类，判断每个选项是否为不可能事件．
【解答】A、符合物理学原理，是必然事件；
B、根据三角形的内角和定理，得出是必然事件，
C、抛掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上，是随机事件；
D、在布袋中装有两个质地相同的红球，摸出一个白球，是不可能事件．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件以及必然事件和不可能事件的概念，正确区分这几个概念是解题关键．
5．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义；常用统计量的选择
【解析】【解答】解：为了了解我市今夏冰淇淋的质量，应采用抽样的调查方式进行，故A错误；
鞋类销售商最感兴趣的是所销售的某种品牌鞋的尺码的众数，故B错误；
明天可能下雨，也可能不下雨，所以明天我市会下雨是随机事件，故C正确；
某种彩票中是随机事件，买100张该种彩票不一定会中奖，故D错误．
故选C．
【分析】根据抽样调查和普查的特点、平均数的意义、随机事件，概率的意义即可作出判断．
6．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】必然事件，即该事件的发生的概率是1.本题中，A中，抛掷一枚硬币，其概率是50%，故A错误；B中，符合题意，故选B；C中，最好成绩是概率性事件，故不选；D中也是概率性事件，故不符合题意。
故选B.
【点评】本题属于对概率事件，偶然事件和必然事件等的基本考查，考生只需对各事件的基本性质熟练把握即可。
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有36种等可能的结果，小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的有15种情况，
∴小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的概率是：=．
故选B．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：∵菱形菜地ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴BD⊥AC，BO=DO，AO=CO，
∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD，
∴在菱形菜地内均匀地撒上种子，则种子落在阴影部分的概率是： ．
故选：D．
【分析】根据菱形的性质对角线互相平分且垂直，进而得出S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD，即可得出种子落在阴影部分的概率．
9．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【分析】写有数字－3，－2，－1，0，3的五张卡片负数有3张，则每抽一张都为一个独立事件，所以抽到负数的概率为.
【点评】本题难度较低，主要考查学生对简单概率知识点概念的掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握.
10．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，
∴该组能够翻译上述两种语言的概率为： ，故选B．
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
首先将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，即可画树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与能够翻译上述两种语言的情况，利用概率公式即可求得答案．
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为：．
【分析】求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，
∴使△ABC为直角三角形的概率是：．
故答案为：．
【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
13．【答案】1
【知识点】几何概率
【解析】【解答】不规则区域的面积=2×2×0.25=1；
故答案为：1。
【分析】大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，故不规则区域占整个正方形的比例为0.25，正方形的面积为4，故不规则区域面积为4×0.25m2。
14．【答案】①③②④
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球，是不可能事件，发生的概率为0；
②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育，发生的概率接近1；
③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖，发生的概率接近0；
④抛掷1个小石块，石块会下落，是必然事件，发生的概率接为1，
根据这些事件的可能性大小，它们的序号按从小到大排列：①③②④．
【分析】直接利用事件发生的概率大小分别判断得出答案．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，所有的可能性是：
（剪刀，剪刀）、（剪刀，石头）、（剪刀，布）、（石头，剪刀）、（石头，石头）、（石头，布）、（布，剪刀）、（布，石头）、（布，布），
则平局的可能性是（剪刀，剪刀）、（石头，石头）、（布，布），
∴两人平局的概率为： ，
故答案为： ．
【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到两人平局的概率，本题得以解决．
16．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】列表如图：，一共有9种等可能结果，其中A指针指向的数字大于B指针指向的数字有5种，故P（A获胜）=。
故答案为：A。
【分析】通过列表可判断A、B两转盘各自所指的数字，其中A转盘所指数字大于B转盘所指数字可能性大，故选择A转盘。
17．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1、，
∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是： ．
故答案为： ．
【分析】根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案．
18．【答案】15
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设口袋中小球共有x个，
根据题意得 = ，解得x=15，
所以口袋中小球共有15个．
故答案为15．
【分析】设口袋中小球共有x个，根据概率公式得到 = ，然后利用比例性质求出x即可．
19．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】根据题意画出相应的树状图，
所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，
∴两次摸出都是红球的概率是 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，此事件是抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及两次摸出都是红球的情况数，然后利用概率公式计算可求解。
20．【答案】10
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，=0.5，
解得，n=10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
21．【答案】解：根据题意列表如下：
十位上则十位上的数字和个位上的数字之和为9的两位数有45和54，所以其概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】利用列表法列出所有个能，再根据题意找出符合要求的情况，进而求出其概率值。
22．【答案】解：游戏不公平，理由如下： 游戏结果分析如下：“√”表示配成紫色，“×”表示不能够配成紫色．
红 蓝 绿
红 × √ ×
蓝 √ × ×
P（配紫色）= ，P（没有配紫色）= ，
∵ ，
∴这个游戏对双方不公平。
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】通过列表发现两个转盘显示的颜色配成紫色的占，没有配成紫色的，故此游戏不公平。
23．【答案】解：∵已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，甲班身高在160厘米以上的女同学3人，乙班身高在160厘米以上的女同学8人，
∴在甲班被抽到的概率为 ，在乙甲班被抽到的概率为 ，
∵ ＞ ，∴在甲班被抽到的机会大
【知识点】概率的意义
【解析】【分析】根据概率的意义先求出160厘米在两班中抽到的概率，进根据概率的大小进行比较。
24．【答案】（1）解：九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛，
∴如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是： ；
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为： =
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【分析】（1）一共有4名学生，选择任何一位可能性相同，故选派到A的概率是；
（2）通过画树状图可知，选派两名学生代表参赛的可能结果有12种，恰好一男一女的有8种，故恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为。
25．【答案】（1）解：可用9张扑克牌代替翻奖牌，分别标上奖品或空门
（2）解：“第一个人中奖排球”的机会是
【知识点】模拟实验；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）用扑克牌代替翻奖牌，是一种数学建模；
（2）9张数字后对应着9种奖品，是排球的只有一种，每张牌被翻到的可能性相等，故“第一个人中奖排球”的机会是。
26．【答案】游戏公平．理由如下：
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，
小明随机抽取一张的数值大于小红的占3种，小红抽取的数值大于小明的占3种，
所以小明去的概率=，小红去的概率=，
因为小明去的概率等于小红去的概率，
所以此游戏公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】用树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小明随机抽取一张的数值大于小红的结果数和小红抽取的数值大于小明的结果数，然后计算他们的概率，比较大小后判断游戏的公平性．
27．【答案】解：这个游戏规则不公平， 列表如下
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中A盘指示数字比B盘指示数字大的有4种结果，即（9，3），（9，5），（9，8），（5，3），其它结果5种
∴P（小明胜）= ，P（小亮胜）= ，
∴这个游戏规则不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】通过列表可知两个转盘指针指向的数字有9种等可能的结果，其中
A盘指示数字比B盘指示数字大的有4种结果，其他情况5种，故P（小明胜）= ，P（小亮胜）= ，小明小亮胜的概率不相等，故游戏不公平。
28．【答案】解：
所以组成的二位数共有 种可能，其中为 的倍数的二位数有 个： 和 ， ，故组成的二位数为 的倍数的概率为 ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据题意画出树状图，由图知：组成的二位数共有 6 种可能，其中为 8 的倍数的二位数有 2 个，根据概率公式即可求出成的二位数为 8 的倍数的概率。
29．【答案】【解答】解：设计表格如下：
向上数字 1 2 3 4 5 6
出现次数
出现概率
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】设计表格，体现出向上次数和向上概率，若概率相同或接近即可．
30．【答案】解：根据题意列树状图如下：
由树状图可知，游戏结果有12中情况，其中两数之积为非负有7种，则两数之积为非负的概率为 ，两数之积为负的情况有5种，则两数之积为为负的概率为 。
≠ ，因此该游戏不公平。
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】 通过画
树状图可知，游戏结果有12中情况，其中两数之积为非负有7种，两数之积为负的情况有5种，它们出现的概率不相等，故游戏不公平。
1 / 12018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）某学生书包中有三枝红铅笔，两枝黑铅笔，一支白铅笔，它们的形状、大小一样，从中任意摸出一枝，那么摸到白铅笔的机会是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】P（摸到白铅笔）==；
故答案为：A。
【分析】因为一共有6只铅笔，故随意摸出一支的可能性是6种，其中摸到白铅笔的是其中一种，故摸到白铅笔的概率是。
2．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）下列说法正确的是 ( )
A．掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上是不可能事件
B．随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件
C．经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件
D．某一抽奖活动中奖的概率为，买100张奖券一定会中奖
【答案】B
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【分析】选项A掷两枚硬币，会出现两枚都正面朝上，或者两枚都反面朝上，或者一枚正面朝上，一枚反面朝上，所以它不是不可能事件，A错误；
选项B随意地翻到一本书的某页，这页的页码可能为偶数，可能为奇数，所以它是随机事件，B正确；
选项C经过某市一装有交通信号灯的路口，可能是红灯，可能是绿灯，所以它是随机事件，不是必然事件，所以C错误；
选项D某一抽奖活动中奖的概率为，买100张奖券一定会中奖是错误的，原因是抽奖活动是随机的，可能中奖，可能不中奖。
故选B.
【点评】本题考查概率的知识，掌握概率的概念和概率的意义是解答本题的关键，属基础题。
3．（2018九上·定安期末）某班为迎接“体育健康周”活动，从3 名学生（1男 2女）中随机选两名担任入场式旗手，则选中两名女学生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名女学生的有2种情况，
∴恰好选中两名女学生的概率是： .
故答案为：A.
【分析】画出树状图，求出概率即可。
4．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）在下列事件中，不可能事件为（）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．度量三角形内角和，结果是180°
C．抛掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上
D．在布袋中装有两个质地相同的红球，摸出一个白球
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】根据事件的分类，对每个选项逐个进行分类，判断每个选项是否为不可能事件．
【解答】A、符合物理学原理，是必然事件；
B、根据三角形的内角和定理，得出是必然事件，
C、抛掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上，是随机事件；
D、在布袋中装有两个质地相同的红球，摸出一个白球，是不可能事件．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件以及必然事件和不可能事件的概念，正确区分这几个概念是解题关键．
5．（2017·东河模拟）下列说法正确的是（ ）
A．为了了解我市今夏冰淇淋的质量，应采用普查的调查方式进行
B．鞋类销售商最感兴趣的是所销售的某种品牌鞋的尺码的平均数
C．明天我市会下雨是随机事件
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义；常用统计量的选择
【解析】【解答】解：为了了解我市今夏冰淇淋的质量，应采用抽样的调查方式进行，故A错误；
鞋类销售商最感兴趣的是所销售的某种品牌鞋的尺码的众数，故B错误；
明天可能下雨，也可能不下雨，所以明天我市会下雨是随机事件，故C正确；
某种彩票中是随机事件，买100张该种彩票不一定会中奖，故D错误．
故选C．
【分析】根据抽样调查和普查的特点、平均数的意义、随机事件，概率的意义即可作出判断．
6．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．a是实数，|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米
D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】必然事件，即该事件的发生的概率是1.本题中，A中，抛掷一枚硬币，其概率是50%，故A错误；B中，符合题意，故选B；C中，最好成绩是概率性事件，故不选；D中也是概率性事件，故不符合题意。
故选B.
【点评】本题属于对概率事件，偶然事件和必然事件等的基本考查，考生只需对各事件的基本性质熟练把握即可。
7．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）有A，B两粒质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），小王掷A，朝上的数字记作x；小张掷B，朝上的数字记作y．在平面坐标系中有一矩形，四个点的坐标分别为（0，0），（6，0），（6，4）和（0，4），小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有36种等可能的结果，小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的有15种情况，
∴小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的概率是：=．
故选B．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
8．（2017九上·钦州期末）如图，在一块菱形菜地ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若在菱形菜地内均匀地撒上种子，则种子落在阴影部分的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：∵菱形菜地ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴BD⊥AC，BO=DO，AO=CO，
∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD，
∴在菱形菜地内均匀地撒上种子，则种子落在阴影部分的概率是： ．
故选：D．
【分析】根据菱形的性质对角线互相平分且垂直，进而得出S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD，即可得出种子落在阴影部分的概率．
9．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）分别写有数字－3，－2，－1，0，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【分析】写有数字－3，－2，－1，0，3的五张卡片负数有3张，则每抽一张都为一个独立事件，所以抽到负数的概率为.
【点评】本题难度较低，主要考查学生对简单概率知识点概念的掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握.
10．（新人教版数学九年级上册第25章 25.2用列举法求概率同步训练）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，
∴该组能够翻译上述两种语言的概率为： ，故选B．
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
首先将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，即可画树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与能够翻译上述两种语言的情况，利用概率公式即可求得答案．
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为：．
【分析】求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．
12．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，
∴使△ABC为直角三角形的概率是：．
故答案为：．
【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
13．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2cm的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 m2
【答案】1
【知识点】几何概率
【解析】【解答】不规则区域的面积=2×2×0.25=1；
故答案为：1。
【分析】大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，故不规则区域占整个正方形的比例为0.25，正方形的面积为4，故不规则区域面积为4×0.25m2。
14．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）下列事件：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖；④抛掷1个小石块，石块会下落．估计这些事件的可能性大小，并将它们的序号按从小到大排列： ．
【答案】①③②④
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球，是不可能事件，发生的概率为0；
②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育，发生的概率接近1；
③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖，发生的概率接近0；
④抛掷1个小石块，石块会下落，是必然事件，发生的概率接为1，
根据这些事件的可能性大小，它们的序号按从小到大排列：①③②④．
【分析】直接利用事件发生的概率大小分别判断得出答案．
15．（2016九上·芦溪期中）小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，所有的可能性是：
（剪刀，剪刀）、（剪刀，石头）、（剪刀，布）、（石头，剪刀）、（石头，石头）、（石头，布）、（布，剪刀）、（布，石头）、（布，布），
则平局的可能性是（剪刀，剪刀）、（石头，石头）、（布，布），
∴两人平局的概率为： ，
故答案为： ．
【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到两人平局的概率，本题得以解决．
16．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，A，B是固定箭头的两个转盘.均被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的扇形分别写有数字1，6，8，转盘B上的扇形分别写有数字4，5，7.如果你和小亮各选择其中一个转盘，同时将它们转动，规定如果转盘停止时，箭头指的数字较大者获胜.你认为选择 转盘（填A或B）.
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】列表如图：，一共有9种等可能结果，其中A指针指向的数字大于B指针指向的数字有5种，故P（A获胜）=。
故答案为：A。
【分析】通过列表可判断A、B两转盘各自所指的数字，其中A转盘所指数字大于B转盘所指数字可能性大，故选择A转盘。
17．（2016九上·海盐期中）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1、，
∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是： ．
故答案为： ．
【分析】根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案．
18．（2017·古田模拟）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为 ，那么口袋中小球共有 个．
【答案】15
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设口袋中小球共有x个，
根据题意得 = ，解得x=15，
所以口袋中小球共有15个．
故答案为15．
【分析】设口袋中小球共有x个，根据概率公式得到 = ，然后利用比例性质求出x即可．
19．（2018九上·平顶山期末）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】根据题意画出相应的树状图，
所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，
∴两次摸出都是红球的概率是 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，此事件是抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及两次摸出都是红球的情况数，然后利用概率公式计算可求解。
20．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.5，则n的值大约是 ．
【答案】10
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，=0.5，
解得，n=10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
三、解答题
21．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册26.2等可能情况下的概率计算 第3课时 利用列表法求概率 同步训练）一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3、4、5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按这种方法能组成哪些两位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．
【答案】解：根据题意列表如下：
十位上则十位上的数字和个位上的数字之和为9的两位数有45和54，所以其概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】利用列表法列出所有个能，再根据题意找出符合要求的情况，进而求出其概率值。
22．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）用如图所示的A，B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色）．小亮和小刚同时转动两个转盘，若配成紫色，小亮获胜，否则小刚获胜．这个游戏对双方公平吗？画树状图或列表说明理由．
【答案】解：游戏不公平，理由如下： 游戏结果分析如下：“√”表示配成紫色，“×”表示不能够配成紫色．
红 蓝 绿
红 × √ ×
蓝 √ × ×
P（配紫色）= ，P（没有配紫色）= ，
∵ ，
∴这个游戏对双方不公平。
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】通过列表发现两个转盘显示的颜色配成紫色的占，没有配成紫色的，故此游戏不公平。
23．（2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：6.3.1 等可能事件的概率）甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？
【答案】解：∵已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，甲班身高在160厘米以上的女同学3人，乙班身高在160厘米以上的女同学8人，
∴在甲班被抽到的概率为 ，在乙甲班被抽到的概率为 ，
∵ ＞ ，∴在甲班被抽到的机会大
【知识点】概率的意义
【解析】【分析】根据概率的意义先求出160厘米在两班中抽到的概率，进根据概率的大小进行比较。
24．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率 ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【答案】（1）解：九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛，
∴如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是： ；
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为： =
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【分析】（1）一共有4名学生，选择任何一位可能性相同，故选派到A的概率是；
（2）通过画树状图可知，选派两名学生代表参赛的可能结果有12种，恰好一男一女的有8种，故恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为。
25．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）某校九年级（8）课外活动设置了如图所示的翻牌游戏，每次抽奖翻开一个数字，考虑“第一个人中奖排球”的机会．
正面
1 2 3
4 5 6
7 8
9
反面
排球 钢笔
图书
铅笔 空门
书包
球拍 小刀 篮球
（1）如果用实验进行估计，但制作翻奖牌没有材料，那么你有什么简便的模拟实验方法？
（2）如果不做实验，你能估计“第一个人中奖排球”的机会是多少？
【答案】（1）解：可用9张扑克牌代替翻奖牌，分别标上奖品或空门
（2）解：“第一个人中奖排球”的机会是
【知识点】模拟实验；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）用扑克牌代替翻奖牌，是一种数学建模；
（2）9张数字后对应着9种奖品，是排球的只有一种，每张牌被翻到的可能性相等，故“第一个人中奖排球”的机会是。
26．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）某中学举行“中国梦 我的梦”演讲比赛．小明和小红都想去，于是老师制作了三张形状、大小和颜色完全一样的卡片，上面分别标有“1”，“2”，“3”，小明从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，小红再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字，谁抽取的数大就谁去，若两个数一样大则重新抽．这个游戏公平吗？请用树枝状图或列表的方法，结合概率知识给予说明．
【答案】游戏公平．理由如下：
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，
小明随机抽取一张的数值大于小红的占3种，小红抽取的数值大于小明的占3种，
所以小明去的概率=，小红去的概率=，
因为小明去的概率等于小红去的概率，
所以此游戏公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】用树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小明随机抽取一张的数值大于小红的结果数和小红抽取的数值大于小明的结果数，然后计算他们的概率，比较大小后判断游戏的公平性．
27．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A，B，每个转盘都被分成3个大小相同的扇形，指针位置固定，游戏规定，转动两个转盘各一次，转盘停止后若A盘指针指示区域数字比B盘指针指示区域数字大则小明胜，否则小亮胜（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．你认为这个游戏规则公平吗？为什么？
【答案】解：这个游戏规则不公平， 列表如下
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中A盘指示数字比B盘指示数字大的有4种结果，即（9，3），（9，5），（9，8），（5，3），其它结果5种
∴P（小明胜）= ，P（小亮胜）= ，
∴这个游戏规则不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】通过列表可知两个转盘指针指向的数字有9种等可能的结果，其中
A盘指示数字比B盘指示数字大的有4种结果，其他情况5种，故P（小明胜）= ，P（小亮胜）= ，小明小亮胜的概率不相等，故游戏不公平。
28．（2017九上·上城期中）有一箱子装有 张分别标示 、 、 的号码牌，已知小武以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出 张牌，组成一个二位数，取出第 张牌的号码为十位数，第 张牌的号码为个位数，若先后取出 张牌组成二位数的每一种结果发生的机会都相同，用列表或树状表示组成二位数的可能情况，并求组成的二位数为 的倍数的概率．
【答案】解：
所以组成的二位数共有 种可能，其中为 的倍数的二位数有 个： 和 ， ，故组成的二位数为 的倍数的概率为 ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据题意画出树状图，由图知：组成的二位数共有 6 种可能，其中为 8 的倍数的二位数有 2 个，根据概率公式即可求出成的二位数为 8 的倍数的概率。
29．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）给你1枚骰子，如何检测这枚骰子质地是否均匀？（骰子均匀的标准是：出现1、2、3、4、5、6向上的概率相同，概率越接近骰子质地越均匀）请你设计一个表格，用统计的方法检测1枚骰予的质量．
【答案】【解答】解：设计表格如下：
向上数字 1 2 3 4 5 6
出现次数
出现概率
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】设计表格，体现出向上次数和向上概率，若概率相同或接近即可．
30．（2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第四章概率 单元卷）如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗 请你利用列举法说明理由．
【答案】解：根据题意列树状图如下：
由树状图可知，游戏结果有12中情况，其中两数之积为非负有7种，则两数之积为非负的概率为 ，两数之积为负的情况有5种，则两数之积为为负的概率为 。
≠ ，因此该游戏不公平。
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】 通过画
树状图可知，游戏结果有12中情况，其中两数之积为非负有7种，两数之积为负的情况有5种，它们出现的概率不相等，故游戏不公平。
1 / 1
