2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练
一、选择题
1．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（1） 同步训练）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
2．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
3．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第19章 四边形 单元检测）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 +1
4．（2017·环翠模拟）如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
5．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）．
A．5 B．5 C．6 D．
6．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）．
A． B．2 C． D．
7．（2016九上·宜城期中）如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（ ）
A．AM⊥FC B．BF⊥CF C．BE=CE D．FM=MC
8．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则 A：B等于（ ）
A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
9．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是（ ）
A．3 B．2 C．3 D．3
10．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4 ，则PC的最大值是 ；
12．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，三角形AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②AG=2GC，③BE+DF=EF，④S△CEF=2S△ABE正确的有 （只填序号）．
13．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到
14．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．
15．（2017·道里模拟）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG= ．
16．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，EF⊥AE交BC于点F，且F为BC的中点，若AB=4，则EF= ．
三、解答题
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．
（1）若∠FAE=20°，求∠DCG的度数；
（2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
18．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
19．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2 cm/s的速度同时分别向点B，C，D，A运动．
（1）在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？请说明理由．
（2）运动多少秒后，四边形EFGH的面积为52cm2？
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．
（1）求证：PC＝PE；
（2）若BE＝2，求PB的长.
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；
（3）若EC=FC=1，求AB的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，
∴AB=BC，OA=OC，
∴AB= ，
∴正方形的面积= ，
故选C．
【分析】根据正方形的性质和正方形的面积解答即可．
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： 矩形的对角线互相平分、相等，菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故答案为：A．
【分析】从矩形和菱形的对角线的性质去解答此题。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD= =1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF= CE= ，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× =2 ；
故答案为：B．
【分析】根据正方形ABCD的面积，求出边长，由E、F分别是BC、CD的中点，由正方形的性质，得到△CEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出EF的值，得到正方形EFGH的周长.
4．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠DAG=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，
即∠DGA=90°，
同理：∠CHB=90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=DG，BE=AG，
同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，
∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，
∵∠GEH=180°﹣90°=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF= EG=7 ；
故答案为：C．
【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．
5．【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3，
∴AE=3，AB=5，
∴DE= ，
故PB+PE的最小值是 ．
故答案为：D.
【分析】连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，利用正方形的性质可得出B、D关于AC对称，可得出PB=PD，因此求PB+PE的值就转化为求DE的长，利用勾股定理可解答。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接AC、FC，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AB=BC=1，EF=CE=3，∠A=∠E=90°，∠ACD=∠GCF=45°，
∴AC= ，CF= ，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，
∴AF= ，
又∵点H是AF的中点，
∴CH= AF= .
故答案为：C.
【分析】利用正方形的性质，可证得△ACF是直角三角形，利用勾股定理分别求出AC、CF的长，再求出AF的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CH的长。
7．【答案】A
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE经旋转，可与△CBF重合，
∴∠BAE=∠BCF，∠ABE=∠CBF．
∴∠BCF+∠BFC=90°．
∴∠BFC+∠BAE=90°．
∴∠FMA=90°．
∴AM⊥FC．
故选：A．
【分析】依据旋转的性质可知∠BAE=∠BCF，然后可证明∠BFC+∠BAE=90°，从而可得到问题的答案．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如答图所示：
设大正方形ABCD的边长为a，
则小正方形BEFG的边长为 a，
∴CE=BE=EF= a.
∵AB=BC=a，∠B=90°，
∴AC= = = a，
∴AM=HM=MJ=IJ=CJ= a，
∴AH= AM= × a= a，
∴DH=AD-AH=a- a= a=DI，
∴S1= DH·DI= × a× a= a2，
S2= CE·EF= × a× a= a2，
∴S1：S2= a2： a2=4：9.
即A：B=4：9.
故答案为：D.
【分析】设大正方形ABCD的边长为a，可表示出小正方形BEFG的边长，利用勾股定理求出AC的长，利用正方形的性质，可证得AM=HM=MJ=IJ=CJ，再用含a的代数式表示出AH、DH的长，然后用含a的代数式表示出S1和S2，就可求出它们的比值。
9．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS）
∴DP=DE
四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP=
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，可证四边形DPBE是矩形，再证明△ADP≌△CDE，得出DP=DE，就可得出矩形DPBE是正方形，利用割补法可知四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，就可求出DP的长。
10．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
可得△EPM≌△EQN，四边形EPCQ是正方形，又EP//AB，EC=2AE ，
则可得CP=2BP，则有BP= BC= a，
∴S重叠部分=S正方形EPCQ= ；
故答案为：A.
【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解。
11．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，
则PE= PB=4 ，
∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90 ，
∴∠ABE=∠CBP，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP(SAS)，
∴AE=PC，
由两点之间线段最短可知，点A. P、E三点共线时AE最大，
此时AE=AP+PE= ，
所以，PC的最大值是 .
故答案为： .
【分析】过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE=PB，再证出∠ABE=∠CBP，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大。
12．【答案】①④
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，所以①正确；
∠BAE=∠DAF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAG=∠FAG，
∴AG垂直平分EF，
∴CG= EF，即EF=2CG，
而EF＞AG，
∴AG＜2CG，所以②错误；
∵∠EAG=30°，∠BAE=15°，
∴BE≠EG，
∴BE+DF=2BE，EF=2EG，
∴BE+DF≠EF，所以③错误；
延长CB到F′使BF′=DF，作EH⊥AF′于H，如图，
易得△ABF′≌△ABE，
∴∠EAF′=30°，
设CG=x，则EG=GF=x，AE=2x，
∴EH=x，
∴S△AF′E= 2x x=x2，S△CEF= x 2x=x2，
∴S△CEF=2S△ABE，所以④正确．
故答案为①④．
【分析】根据已知条件易证△ABE≌△ADF，可得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，可对①作出判断；由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，可证得EF=2CG，由EF＞AG，可对②作出判断；再证明BE≠EG，证得BE+DF≠EF，可对③作出判断；设EC=x，BE=y，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，就可以得出S△CEF=2S△ABE，可对④作出判断。从而可得出答案。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
因为点C关于BD的对称点为点A，
所以PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵CE＝1，BE=2，
∴AB＝BC＝3，
∴在Rt△ABE中，AE= ，
∴PE+PC的最小值是 ；
故答案是 。
【分析】连接AE，根据正方形的性质，可知点C关于BD的对称点为点A，可得出PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短，可得AE就是AP+PE的最小值，再利用勾股定理求出AE的长，即可解答。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长GE交AB于点O，作 于点H，
是 的中点，
PH是 的中位线，
中， ，
是等腰直角三角形，即
同理 中，
在 中，
故答案为：
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，可证得PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，然后在Rt△PGH中利用勾股定理求解。
15．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE、BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵AE=1，AF=2，
∴DE=4，DF=3，
∴EF= =5，
∵S△BEF= EF BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，
∴ 5 BG=25﹣ 5 1﹣ 5 2﹣ 3 4，
∴BG= ，
故答案为
【分析】如图，连接BE、BF．首先利用勾股定理求出EF，再根据S△BEF= EF BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，列出方程即可解决问题．
16．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，如图，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，∠BDM=45°，
∴MN=CD=4，ME=DM，
设ME=x，则DM=x，AM=4﹣x，NE=4﹣x，
∴AM=EN，
∵F为BC的中点，
∴FN=2﹣x，
∵EF⊥AE，
∴∠AEM=∠EFN，
在△AEM和△EFN中
，
∴△AEM≌△EFN，
∴ME=FN，即x=2﹣x，解得x=1，
∴FN=1，EN=3，
∴EF= = ．
故答案为 ．
【分析】过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，根据正方形的性质，易证MN=CD=4，ME=DM，设ME=x，则DM=x，AM=4﹣x，NE=4﹣x，再表示出FN的长，然后证明△AEM≌△EFN，可得出ME=FN，就可求出x的值，得出FN、EN的长，利用勾股定理求出EF的长即可。
17．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABC=∠D=90°，∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFE=∠CGE=90°，∵∠FAE=20°，∴∠FED=∠FAE+∠AFE=20°+90°=110°，
∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°
（2）解：猜想：CG=AF+FG，
证明：∵∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABF=∠BCG，
在△ABF和△BCG中
∴ABF≌△BCG（AAS），
∴AF=BG，BF=CG，
∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可得出∠ABC=∠D=90°，根据三角形的外角定理求出∠FED的度数，再根据四边形内角和求得结论。
（2）利用∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，证得∠ABF=∠BCG，再证明ABF≌△BCG，由全等三角形的性质证得BF=CG，AF=BG，根据线段的和差和等量代换即可求得结论。
18．【答案】（1）证明：在△ADE与△CDE中， ，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形（1）
（2）证明：∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180× =45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先证明△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，再证AD=BC，利用平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形。
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理及∠CBE：∠BCE=2：3，可求出∠ABE的度数，就可证得∠ABC=90°，由有一个角是直角的菱形是正方形，可证得结论。
19．【答案】（1）解：四边形EFGH为正方形．理由如下：
设运动时间为t s，则AE＝BF＝CG＝DH＝2tcm，
在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA，∴BE＝CF＝DG＝AH.
在△AEH和△BFE中， ，
∴△AEH≌△BFE，
同理可证：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝HG，
∴四边形EFGH为菱形．
∵△AEH≌△BFE，
∴∠AEH＝∠BFE，而∠BFE＋∠BEF＝90°，
∴∠AEH＋∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH为正方形
（2）解：设运动的时间为x s，则AE＝BF＝CG＝DH＝2xcm.
∵AB＝BC＝CD＝DA＝10cm，
∴BE＝CF＝DG＝AH＝(10－2x)cm.
由勾股定理得S四边形EFGH＝EH2＝AE2＋AH2＝(2x)2＋(10－2x)2＝8x2－40x＋100.
当S四边形EFGH＝52 cm2时，8x2－40x＋100＝52，即x2－5x＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，AE＝2x＝2×2＝4＜10；
当x＝3时，AE＝2x＝2×3＝6＜10.
∴x＝2或3均符合题意．故运动2s或3s后，四边形EFGH的面积为52cm2.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设出运动时间，表示出AE，BF，CG，DH的长度，可知AE=BF=CG=DH，由题意即得出BE=CF=DG=AH，再证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，利用全等三角形的性质得出EH＝FE＝GF＝HG，可证四边形EFGH是菱形，通过求∠HEF=90°即可推出结论。
（2）设运动时间为x，依据勾股定理推出，EH2=AE2+AH2=8x2-40x+100，由S四边形EFGH=EH2=52，列出方程8x2-40x+100=52，解方程即可推出x的值，x的值需符合2x≤10，就可求出符合条件的x的值。
20．【答案】（1）证明：过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，垂足分别为点F、G.
∴ ∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=∠ABC=90°，AB=AD=BC，
∴ ∠ABD=∠ADB=45°，四边形FBGP是矩形，
∴ ∠FPB=90°－∠ABD=90°－45°=45°，
∴ ∠ABD=∠FPB，
∴ FP=FB，
∴ 矩形FBGP是正方形，
∴ PF=PG，∠FPG=90°，
∴ ∠FPG＋∠EPG=90°，
∵ EP⊥PC，
∴ ∠EPC=90°，
∴ ∠GPC＋∠EPG=90°，
∴ ∠FPG=∠GPC ，
∵ ∠FPG=∠GPC ，PF=PG，∠PFE=∠PGC，
∴△PFE≌△PGC（ASA）
∴ PE=PC.
（2）解：设EF=x.∵ △PFE≌△PGC . ∴ GC=EF=x.由BE=2得：BF=x＋2.由正方形FBGP得：BG=x＋2.∵ BC=6，
∴ BG＋GC=6.
∴ （x＋2）＋x=6， 解得：x=2.∴ PF=BF=2＋2=4 ，△PFB中，∠PFB=90°，由勾股定理得： ，∵ PB＞0∴ 答：PB的长为
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，垂足分别为点F、G，可得出 ∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°，利用正方形的性质，可证得∠A=∠ABC=90°，AB=AD=BC，再证明四边形FBGP是正方形，得出 PF=PG，∠FPG=90°；然后利用ASA证明△PFE≌△PGC，利用全等三角形的性质就可证得结论。
（2）设EF=x。由 △PFE≌△PGC 得出GC=EF=x，就可得出BG=x+2，再由BG＋GC=6，建立关于x的方程，求出x的值，就可得出PF的长，然后利用勾股定理求出PB的长。
21．【答案】（1）证明：由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∴∠BAD=2∠EAF=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形
（2）证明：∵EG=BE，FG=DF，
∴EF=BE+DF，
∴△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，
∴三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半
（3）解：∵EC=FC=1，
∴BE=DF，
∴EF= ，
∵EF=BE+DF，
∴BE=DF= EF= ，
∴AB=BC=BE+EC= +1
【知识点】正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质，可得出∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，AB=AG，AD=AG，再由∠EAF=45°，可得出∠BAD=90°，然后就可证得四边形ABCD是矩形，继而可证得四边形ABCD是正方形。
（2）先证明EF=BE+DF，由△ECF的周长=EF+CE+CF转化为△ECF的周长=BC+CD，可得出结论。
（3）先利用勾股定理求出EF的长，再由EF=BE+DF及BE=DF，可得出BE的长，然后求出AB的长。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练
一、选择题
1．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（1） 同步训练）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，
∴AB=BC，OA=OC，
∴AB= ，
∴正方形的面积= ，
故选C．
【分析】根据正方形的性质和正方形的面积解答即可．
2．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： 矩形的对角线互相平分、相等，菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故答案为：A．
【分析】从矩形和菱形的对角线的性质去解答此题。
3．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第19章 四边形 单元检测）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 +1
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD= =1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF= CE= ，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× =2 ；
故答案为：B．
【分析】根据正方形ABCD的面积，求出边长，由E、F分别是BC、CD的中点，由正方形的性质，得到△CEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出EF的值，得到正方形EFGH的周长.
4．（2017·环翠模拟）如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠DAG=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，
即∠DGA=90°，
同理：∠CHB=90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=DG，BE=AG，
同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，
∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，
∵∠GEH=180°﹣90°=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF= EG=7 ；
故答案为：C．
【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．
5．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）．
A．5 B．5 C．6 D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3，
∴AE=3，AB=5，
∴DE= ，
故PB+PE的最小值是 ．
故答案为：D.
【分析】连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，利用正方形的性质可得出B、D关于AC对称，可得出PB=PD，因此求PB+PE的值就转化为求DE的长，利用勾股定理可解答。
6．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接AC、FC，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AB=BC=1，EF=CE=3，∠A=∠E=90°，∠ACD=∠GCF=45°，
∴AC= ，CF= ，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，
∴AF= ，
又∵点H是AF的中点，
∴CH= AF= .
故答案为：C.
【分析】利用正方形的性质，可证得△ACF是直角三角形，利用勾股定理分别求出AC、CF的长，再求出AF的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CH的长。
7．（2016九上·宜城期中）如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（ ）
A．AM⊥FC B．BF⊥CF C．BE=CE D．FM=MC
【答案】A
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE经旋转，可与△CBF重合，
∴∠BAE=∠BCF，∠ABE=∠CBF．
∴∠BCF+∠BFC=90°．
∴∠BFC+∠BAE=90°．
∴∠FMA=90°．
∴AM⊥FC．
故选：A．
【分析】依据旋转的性质可知∠BAE=∠BCF，然后可证明∠BFC+∠BAE=90°，从而可得到问题的答案．
8．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则 A：B等于（ ）
A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如答图所示：
设大正方形ABCD的边长为a，
则小正方形BEFG的边长为 a，
∴CE=BE=EF= a.
∵AB=BC=a，∠B=90°，
∴AC= = = a，
∴AM=HM=MJ=IJ=CJ= a，
∴AH= AM= × a= a，
∴DH=AD-AH=a- a= a=DI，
∴S1= DH·DI= × a× a= a2，
S2= CE·EF= × a× a= a2，
∴S1：S2= a2： a2=4：9.
即A：B=4：9.
故答案为：D.
【分析】设大正方形ABCD的边长为a，可表示出小正方形BEFG的边长，利用勾股定理求出AC的长，利用正方形的性质，可证得AM=HM=MJ=IJ=CJ，再用含a的代数式表示出AH、DH的长，然后用含a的代数式表示出S1和S2，就可求出它们的比值。
9．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是（ ）
A．3 B．2 C．3 D．3
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS）
∴DP=DE
四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP=
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，可证四边形DPBE是矩形，再证明△ADP≌△CDE，得出DP=DE，就可得出矩形DPBE是正方形，利用割补法可知四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，就可求出DP的长。
10．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
可得△EPM≌△EQN，四边形EPCQ是正方形，又EP//AB，EC=2AE ，
则可得CP=2BP，则有BP= BC= a，
∴S重叠部分=S正方形EPCQ= ；
故答案为：A.
【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解。
二、填空题
11．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4 ，则PC的最大值是 ；
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，
则PE= PB=4 ，
∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90 ，
∴∠ABE=∠CBP，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP(SAS)，
∴AE=PC，
由两点之间线段最短可知，点A. P、E三点共线时AE最大，
此时AE=AP+PE= ，
所以，PC的最大值是 .
故答案为： .
【分析】过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE=PB，再证出∠ABE=∠CBP，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大。
12．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，三角形AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②AG=2GC，③BE+DF=EF，④S△CEF=2S△ABE正确的有 （只填序号）．
【答案】①④
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，所以①正确；
∠BAE=∠DAF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAG=∠FAG，
∴AG垂直平分EF，
∴CG= EF，即EF=2CG，
而EF＞AG，
∴AG＜2CG，所以②错误；
∵∠EAG=30°，∠BAE=15°，
∴BE≠EG，
∴BE+DF=2BE，EF=2EG，
∴BE+DF≠EF，所以③错误；
延长CB到F′使BF′=DF，作EH⊥AF′于H，如图，
易得△ABF′≌△ABE，
∴∠EAF′=30°，
设CG=x，则EG=GF=x，AE=2x，
∴EH=x，
∴S△AF′E= 2x x=x2，S△CEF= x 2x=x2，
∴S△CEF=2S△ABE，所以④正确．
故答案为①④．
【分析】根据已知条件易证△ABE≌△ADF，可得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，可对①作出判断；由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，可证得EF=2CG，由EF＞AG，可对②作出判断；再证明BE≠EG，证得BE+DF≠EF，可对③作出判断；设EC=x，BE=y，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，就可以得出S△CEF=2S△ABE，可对④作出判断。从而可得出答案。
13．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
因为点C关于BD的对称点为点A，
所以PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵CE＝1，BE=2，
∴AB＝BC＝3，
∴在Rt△ABE中，AE= ，
∴PE+PC的最小值是 ；
故答案是 。
【分析】连接AE，根据正方形的性质，可知点C关于BD的对称点为点A，可得出PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短，可得AE就是AP+PE的最小值，再利用勾股定理求出AE的长，即可解答。
14．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长GE交AB于点O，作 于点H，
是 的中点，
PH是 的中位线，
中， ，
是等腰直角三角形，即
同理 中，
在 中，
故答案为：
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，可证得PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，然后在Rt△PGH中利用勾股定理求解。
15．（2017·道里模拟）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG= ．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE、BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵AE=1，AF=2，
∴DE=4，DF=3，
∴EF= =5，
∵S△BEF= EF BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，
∴ 5 BG=25﹣ 5 1﹣ 5 2﹣ 3 4，
∴BG= ，
故答案为
【分析】如图，连接BE、BF．首先利用勾股定理求出EF，再根据S△BEF= EF BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，列出方程即可解决问题．
16．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，EF⊥AE交BC于点F，且F为BC的中点，若AB=4，则EF= ．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，如图，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，∠BDM=45°，
∴MN=CD=4，ME=DM，
设ME=x，则DM=x，AM=4﹣x，NE=4﹣x，
∴AM=EN，
∵F为BC的中点，
∴FN=2﹣x，
∵EF⊥AE，
∴∠AEM=∠EFN，
在△AEM和△EFN中
，
∴△AEM≌△EFN，
∴ME=FN，即x=2﹣x，解得x=1，
∴FN=1，EN=3，
∴EF= = ．
故答案为 ．
【分析】过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，根据正方形的性质，易证MN=CD=4，ME=DM，设ME=x，则DM=x，AM=4﹣x，NE=4﹣x，再表示出FN的长，然后证明△AEM≌△EFN，可得出ME=FN，就可求出x的值，得出FN、EN的长，利用勾股定理求出EF的长即可。
三、解答题
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．
（1）若∠FAE=20°，求∠DCG的度数；
（2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABC=∠D=90°，∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFE=∠CGE=90°，∵∠FAE=20°，∴∠FED=∠FAE+∠AFE=20°+90°=110°，
∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°
（2）解：猜想：CG=AF+FG，
证明：∵∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABF=∠BCG，
在△ABF和△BCG中
∴ABF≌△BCG（AAS），
∴AF=BG，BF=CG，
∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可得出∠ABC=∠D=90°，根据三角形的外角定理求出∠FED的度数，再根据四边形内角和求得结论。
（2）利用∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，证得∠ABF=∠BCG，再证明ABF≌△BCG，由全等三角形的性质证得BF=CG，AF=BG，根据线段的和差和等量代换即可求得结论。
18．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】（1）证明：在△ADE与△CDE中， ，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形（1）
（2）证明：∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180× =45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先证明△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，再证AD=BC，利用平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形。
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理及∠CBE：∠BCE=2：3，可求出∠ABE的度数，就可证得∠ABC=90°，由有一个角是直角的菱形是正方形，可证得结论。
19．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2 cm/s的速度同时分别向点B，C，D，A运动．
（1）在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？请说明理由．
（2）运动多少秒后，四边形EFGH的面积为52cm2？
【答案】（1）解：四边形EFGH为正方形．理由如下：
设运动时间为t s，则AE＝BF＝CG＝DH＝2tcm，
在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA，∴BE＝CF＝DG＝AH.
在△AEH和△BFE中， ，
∴△AEH≌△BFE，
同理可证：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝HG，
∴四边形EFGH为菱形．
∵△AEH≌△BFE，
∴∠AEH＝∠BFE，而∠BFE＋∠BEF＝90°，
∴∠AEH＋∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH为正方形
（2）解：设运动的时间为x s，则AE＝BF＝CG＝DH＝2xcm.
∵AB＝BC＝CD＝DA＝10cm，
∴BE＝CF＝DG＝AH＝(10－2x)cm.
由勾股定理得S四边形EFGH＝EH2＝AE2＋AH2＝(2x)2＋(10－2x)2＝8x2－40x＋100.
当S四边形EFGH＝52 cm2时，8x2－40x＋100＝52，即x2－5x＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，AE＝2x＝2×2＝4＜10；
当x＝3时，AE＝2x＝2×3＝6＜10.
∴x＝2或3均符合题意．故运动2s或3s后，四边形EFGH的面积为52cm2.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设出运动时间，表示出AE，BF，CG，DH的长度，可知AE=BF=CG=DH，由题意即得出BE=CF=DG=AH，再证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，利用全等三角形的性质得出EH＝FE＝GF＝HG，可证四边形EFGH是菱形，通过求∠HEF=90°即可推出结论。
（2）设运动时间为x，依据勾股定理推出，EH2=AE2+AH2=8x2-40x+100，由S四边形EFGH=EH2=52，列出方程8x2-40x+100=52，解方程即可推出x的值，x的值需符合2x≤10，就可求出符合条件的x的值。
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．
（1）求证：PC＝PE；
（2）若BE＝2，求PB的长.
【答案】（1）证明：过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，垂足分别为点F、G.
∴ ∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=∠ABC=90°，AB=AD=BC，
∴ ∠ABD=∠ADB=45°，四边形FBGP是矩形，
∴ ∠FPB=90°－∠ABD=90°－45°=45°，
∴ ∠ABD=∠FPB，
∴ FP=FB，
∴ 矩形FBGP是正方形，
∴ PF=PG，∠FPG=90°，
∴ ∠FPG＋∠EPG=90°，
∵ EP⊥PC，
∴ ∠EPC=90°，
∴ ∠GPC＋∠EPG=90°，
∴ ∠FPG=∠GPC ，
∵ ∠FPG=∠GPC ，PF=PG，∠PFE=∠PGC，
∴△PFE≌△PGC（ASA）
∴ PE=PC.
（2）解：设EF=x.∵ △PFE≌△PGC . ∴ GC=EF=x.由BE=2得：BF=x＋2.由正方形FBGP得：BG=x＋2.∵ BC=6，
∴ BG＋GC=6.
∴ （x＋2）＋x=6， 解得：x=2.∴ PF=BF=2＋2=4 ，△PFB中，∠PFB=90°，由勾股定理得： ，∵ PB＞0∴ 答：PB的长为
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，垂足分别为点F、G，可得出 ∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°，利用正方形的性质，可证得∠A=∠ABC=90°，AB=AD=BC，再证明四边形FBGP是正方形，得出 PF=PG，∠FPG=90°；然后利用ASA证明△PFE≌△PGC，利用全等三角形的性质就可证得结论。
（2）设EF=x。由 △PFE≌△PGC 得出GC=EF=x，就可得出BG=x+2，再由BG＋GC=6，建立关于x的方程，求出x的值，就可得出PF的长，然后利用勾股定理求出PB的长。
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练）如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；
（3）若EC=FC=1，求AB的长度．
【答案】（1）证明：由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∴∠BAD=2∠EAF=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形
（2）证明：∵EG=BE，FG=DF，
∴EF=BE+DF，
∴△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，
∴三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半
（3）解：∵EC=FC=1，
∴BE=DF，
∴EF= ，
∵EF=BE+DF，
∴BE=DF= EF= ，
∴AB=BC=BE+EC= +1
【知识点】正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质，可得出∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，AB=AG，AD=AG，再由∠EAF=45°，可得出∠BAD=90°，然后就可证得四边形ABCD是矩形，继而可证得四边形ABCD是正方形。
（2）先证明EF=BE+DF，由△ECF的周长=EF+CE+CF转化为△ECF的周长=BC+CD，可得出结论。
（3）先利用勾股定理求出EF的长，再由EF=BE+DF及BE=DF，可得出BE的长，然后求出AB的长。
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