2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 同步训练
一、2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 同步训练
1．如果正n边形的中心角是40°，那么n= .
2．圆内接正六边形的边心距为 cm，则这个正六边形的面积为 cm2．
3．（2017·兰州模拟）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
4．正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1 ： 2 B．：2 C．：1 D．：2
5．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
6．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
7．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
8．如图，已知正五边形AB CDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G=2∠F．
9．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
答案解析部分
1．【答案】9
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正n边形的中心角是40°
∴n=360°÷40°=9
故答案为：9
【分析】利用360°除以中心角的度数就可求出正多边形的边数。
2．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G
∵AB是正六边形的一边
∴△AOB是等边三角形，
在Rt△AOG中，OG=，∠AOG=∠AOB=30°，
∵OG=OA cos 30°，
∴OA=AB=
∴这个正六边形的面积为6××4×=cm2.
故答案为：
【分析】根据正六边形的性质，过中心作边的垂线，连接半径构造等腰三角形和直角三角形，求出等腰三角形的边长，再根据正六边形的面积=6S△AOB，计算即可求解。
3．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为 ，正多边形的一个外角等于 ，
所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，
而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，
所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故选B．
【分析】根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
4．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图：设六边形的边长是a
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC=AB=a，
∴OC=
∴正六边形的边心距与边长之比为：：a=：：2
故答案为：D
【分析】根据题意画出图形，然后设设六边形的边长是a，根据勾股定理求出OC的长，再求出正六边形的边心距与边长之比即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为 ．
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD= = = a，
∴S3=S△ABC= BC AD= ×2a× a= a2≈1.73a2．
如图（2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= ，
∴S4=S□ABCD=AB2= × = a2≈2.25a2．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC= =60°，
∴∠BOG=30°，OG= = = a．
∴S△BOC= × a×a= a2，
∴S6=6S△BOC=6× a= a2≈2.59a2．
∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．
∴S6＞S4＞S3．
故答案为：B．
【分析】根据正六边形的边长和半径相等，因此设正六边形的边长为a，再根据正六边形、正三角形、正方形的周长相等，用含a的代数式分别表示出正三角形和正方形的边长，然后分别求正六边形、正三角形、正方形的面积，比较它们的面积大小，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，
∵△BCD的面积为4，
∴△BCF的面积为：8．
故选：C．
【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．
7．【答案】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中
∴△ABG≌△BCH.
（2）解：由(1)知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH。
（2）根据△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果。
8．【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE
∴DC=BC，∠C=108°
∴△CDB是等腰三角形，
∴∠1=∠CBD=36°，
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA=∠2=72°，
∴∠F=∠BAF=36°，
∴△BAF是等腰三角形，
同理可得：∠GEA=∠G=∠2=72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG.
（2）证明：证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°，CD=CB.
得∠1=36°，
∴∠2=108° 36°=72°.
又∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
∴∠G=180° ∠2 ∠F=180° 72° 36°=72°=2∠F，
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及正五边形的性质得出各角度进而得出答案。
（2）根据正五边形的性质及已知条件，分别求出∠G与∠F的度数，进而得出它们之间的关系。
9．【答案】（1）解：∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴α4=90°；
∵正五边形ABCDE，
可得：AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°，
∴∠DBC=∠ACB=（180° 108°）÷2=36°，
∴α5=180° ∠DBC ∠ACB=108°；
同理：α6=120°；
（2）解：根据（1）的推导可得出正n边形相邻两条对角线的夹角的度数为：
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得出AC⊥BD，就可求出a4；根据正五边形的性质，可得出AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°，再求出∠DBC和∠ACB的度数，就可求出a5的值，同理可得a6的值。
（2）根据以上规律，可得出正n边形相邻两条对角线的夹角的度数就等于该正多边形的一个内角的度数，写出规律即可。
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一、2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 同步训练
1．如果正n边形的中心角是40°，那么n= .
【答案】9
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正n边形的中心角是40°
∴n=360°÷40°=9
故答案为：9
【分析】利用360°除以中心角的度数就可求出正多边形的边数。
2．圆内接正六边形的边心距为 cm，则这个正六边形的面积为 cm2．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G
∵AB是正六边形的一边
∴△AOB是等边三角形，
在Rt△AOG中，OG=，∠AOG=∠AOB=30°，
∵OG=OA cos 30°，
∴OA=AB=
∴这个正六边形的面积为6××4×=cm2.
故答案为：
【分析】根据正六边形的性质，过中心作边的垂线，连接半径构造等腰三角形和直角三角形，求出等腰三角形的边长，再根据正六边形的面积=6S△AOB，计算即可求解。
3．（2017·兰州模拟）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为 ，正多边形的一个外角等于 ，
所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，
而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，
所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故选B．
【分析】根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
4．正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1 ： 2 B．：2 C．：1 D．：2
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图：设六边形的边长是a
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC=AB=a，
∴OC=
∴正六边形的边心距与边长之比为：：a=：：2
故答案为：D
【分析】根据题意画出图形，然后设设六边形的边长是a，根据勾股定理求出OC的长，再求出正六边形的边心距与边长之比即可。
5．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为 ．
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD= = = a，
∴S3=S△ABC= BC AD= ×2a× a= a2≈1.73a2．
如图（2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= ，
∴S4=S□ABCD=AB2= × = a2≈2.25a2．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC= =60°，
∴∠BOG=30°，OG= = = a．
∴S△BOC= × a×a= a2，
∴S6=6S△BOC=6× a= a2≈2.59a2．
∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．
∴S6＞S4＞S3．
故答案为：B．
【分析】根据正六边形的边长和半径相等，因此设正六边形的边长为a，再根据正六边形、正三角形、正方形的周长相等，用含a的代数式分别表示出正三角形和正方形的边长，然后分别求正六边形、正三角形、正方形的面积，比较它们的面积大小，即可得出答案。
6．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，
∵△BCD的面积为4，
∴△BCF的面积为：8．
故选：C．
【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．
7．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
【答案】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中
∴△ABG≌△BCH.
（2）解：由(1)知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH。
（2）根据△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果。
8．如图，已知正五边形AB CDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G=2∠F．
【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE
∴DC=BC，∠C=108°
∴△CDB是等腰三角形，
∴∠1=∠CBD=36°，
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA=∠2=72°，
∴∠F=∠BAF=36°，
∴△BAF是等腰三角形，
同理可得：∠GEA=∠G=∠2=72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG.
（2）证明：证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°，CD=CB.
得∠1=36°，
∴∠2=108° 36°=72°.
又∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
∴∠G=180° ∠2 ∠F=180° 72° 36°=72°=2∠F，
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及正五边形的性质得出各角度进而得出答案。
（2）根据正五边形的性质及已知条件，分别求出∠G与∠F的度数，进而得出它们之间的关系。
9．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
【答案】（1）解：∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴α4=90°；
∵正五边形ABCDE，
可得：AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°，
∴∠DBC=∠ACB=（180° 108°）÷2=36°，
∴α5=180° ∠DBC ∠ACB=108°；
同理：α6=120°；
（2）解：根据（1）的推导可得出正n边形相邻两条对角线的夹角的度数为：
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得出AC⊥BD，就可求出a4；根据正五边形的性质，可得出AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°，再求出∠DBC和∠ACB的度数，就可求出a5的值，同理可得a6的值。
（2）根据以上规律，可得出正n边形相邻两条对角线的夹角的度数就等于该正多边形的一个内角的度数，写出规律即可。
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