山东省枣庄市滕州市东郭中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、单选题（3*12＝36分）
1．方程x2=x的解是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．无实数解
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解方程x2=x，先将x移项到等号的左边，使右边为0，再分解因式，计算．
【解答】∵x2=x
∴x2-x=0
∴x（x-1)=0
∴x=0或1．故选C．
【点评】解方程x2=x，一般不用方程两边都除以x来计算，容易漏掉x=0这个解．
建议都移项到等号的另一边，使等号的一边为0，再解方程．
2．若a为方程x2+2x-4＝0的解，则-a2-2a的值为（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-12
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程 x2+2x-4=0 的一个解
∴a2＋2a-4=0
∴a2 ＋2a=4
∴-a2 -2a=-(a2+2a)=-4
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的解得定义，将X= a代入方程x2＋2x-4=0 求得 a2＋2a的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可。
3．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
B．200（1+x）2＝1000
C．200+200 3 x＝1000
D．200+200 2 x＝1000
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意得，二月份的营业额为200(1+X），三月份的营业额为200(1+X)2
∵一、二、三月份的营业额一共1000万元
∴200+200（1+X）+200(1+X)2＝1000
故答案为：A.
【分析】根据平均每月增长率为X，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共1000万元，可列出方程。
4．（2017·齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣ =0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，解得x= ；
当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k （﹣ ）≥0，解得k≥﹣1，
所以k的范围为k≥﹣1．
故选C．
【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k （﹣ ）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．
5．若方程x2+px+q＝0的根是2和3，那么代数式x2-px+q可分解因式为（ ）
A．（x-2）（x-3） B．（x+2）（x+3）
C．（x+2）（x-3） D．（x-2）（x+3）
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2＋px+q=0 的根是2和3
∴-P=2+3=5，q =2×3=6，即-P=5，q=6
∴x2－px+q=x2+5x+6=(x+2) (x+3).
故答案为：B.
【分析】根据已知一元二次方程的根与系数的关系，求出P和q的值 ，代入方程分解因式，即可得到结果。
6．（2022九上·宁波开学考）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解： ∵当x=3.24时，y=-0.02，当x=3.25时，y=0.03，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间，
∴x的范围是3.24＜x＜3.25.
故答案为：C.
【分析】 根据由图象法求一元二次方程的根的方法可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围应在ax2+bx+c的值由负变正时所对应的x的两个值之间，即可得出答案.
7．（2022八下·大同期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、符合题意．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、符合题意．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、不符合题意．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、符合题意．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ACD=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠1，
∴AD=CD，
根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定是菱形．
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可。
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，
∴x1+x2=6，x1 x2=k+1，
∵x12+x22= ﹣2x1 x2=36﹣2k﹣2=24，
∴k=5．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=6、x1 x2=k+1，结合x12+x22=24即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD 的对角线AC，BD相交于点O
∴ AB=BC=CD=DA AC⊥BD OA=OC
∵点E为AD的中点，OE=2
∴OE 是 ADC的中位线
∴ DC= 2OE＝2×2=4
∴菱形的周长=4DC=4×4=16
故菱形ABCD 的周长为16.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的四条边都相等，对角线垂直并且互相平分得到，AB=BC=CD=DA AC⊥BD OA=OC 结合点E 为AD 的中点，根据三角形的中位线的性质定理，计算得到DC=4 根据菱形的周长为4DC计算即可。
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接MP ∵∠BAC=90° AB=6 AC=8
∴BC==10
∵PE⊥AB PF⊥AC ∴四边形AFPE是矩形
∴ EF=AP EF与AP互相平分
∵M为EF的中点
∴AM=AP
∵ AP⊥BC时，AP最短，同样AM也是最短
∴S ABC=AB·AC=BC·AP
∴AP===4.8
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当AM最短时，AM=AP=
即AM的最小值是.
故答案为：B.
【分析】连接MP，根据矩形的判定定理得到四边形AFPE是矩形，EF=AP。根据当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小(因为根据直线外一点与直线上任意一点所连的线段中，垂线最短）根据勾股定理求出BC，再利用三角形的面积公式求出AP ，以此求出AM的值.
11．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD=45° AD ∥ BC OA=OB=6
∴ ∠AEB=∠EAD=45° ∴ AB=BE
∵∠CAE=15° ∠BAE=45°
∴∠BAC=60° 又∵ OA=OB
∴ △ABo是等边三角形
∴ BO=AB =6
∴BO=BE=6
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE=∠EAD=45° AD∥BC OA=OB=6 证出∠AEB=∠EAD=45° 得到BE=BA 证得△ABO是等边三角形，得出BO=AB=6 则得出答案。
12．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O， ．将菱形绕原点点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵将菱形绕原点o，逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4
∴转4次后回到原来的位置
∵2023÷4=505……3
∴第2023次旋转结束时，点c在第三象限
如图：过A点作AE⊥X轴于点E ，延长OB到C 点，使OC =OA， 过点C 作C F⊥X轴于点F.
∴ ∠AEO=∠OFC =90° ∴∠OAE+∠AOE=90°
∵ 四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=OC AC⊥BD
∴∠C OF+∠AOE=90° ∴∠AOE=∠C OF
∴ △OAE≌ C OF (AAS) ∴ AE=OF OE=C F
∵ A(-2，2) ∴OE=2 AE=2 ∴ OF=2 C F=2
∴ C (-2，2) 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为（-2，-2）
故答案为：C.
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，得到第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作AE⊥X轴于点E，延长OB到C 点，使OC =OA 过C 点作C F⊥X轴于点F ，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，求出C 点的坐标，得到C点的的坐标。
二、填空题
13．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．
【答案】﹣3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴m=1，k=﹣4，
∴m+k=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．
14．已知实数x满足（x2-x）2-2（x2-x）-15＝0，则代数式x2-x的值是 ．
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：已知方程分解因式得：
(X2-X-5) (X2-X＋3)=0
可得X2-X-5=0或X2-X＋3=0(无解）
∴X2-X=5
故答案为：5.
【分析】方程左边分解因式后利用。并用两数相乘积为0。两因式中至少有一个为0，求出所求式子的值即可。
15．（2023·海淀模拟） 如图，正方形，点在直线上，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DE⊥l，过点B作BF⊥l，
，
由题意可得：∠DEA=∠AFB=90°，
∵点到直线的距离为，点到直线的距离为，
∴BF=3，DE=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠ABF=90°-∠BAF，
∴△DAE≌△ABF，
∴∴AE=BF=3，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出BF=3，DE=2，再求出△DAE≌△ABF，最后利用全等三角形的性质和勾股定理等计算求解即可。
16．定义一种新运算“*”，a*b＝ab+a+b，例如：1*2＝1×2+1+2．若x*（x+4）＝116，则x的值为 ．
【答案】8或-14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意的，X(X＋4)＋X＋X＋4=116
整理的X2＋6X=112
配方法得（X＋3）2=112
开方得X＋3=±11
解得X1=8 X2=-14
所以X的值为8或-14
故答案为：8或 -14.
【分析】根据定义的新运算得出一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可。
17．（2023九上·福州月考）如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AD，
正方形ABCD中，AB＝AD，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D，
又AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝90°-45°＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF，
又AG＝AF，AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝FE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，
∴FE＝DF+BE＝2+3＝5，
设正方形ABCD的边长为a，
∴CE＝BC-CE＝a-2，CF＝CD-DF＝a-3，
∵FE2＝CE2+CF2，
∴52＝（a-2）2+（a-3）2，
∴a＝-1（舍去）或a＝6，
∴AF=3，
故答案为：3.
【分析】延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，首先利用正方形的性质由SAS证明△ABG≌△ADF，得出∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，然后证明∠EAG＝∠EAF，即可利用SAS证明△GAE≌△FAE，得出GE＝FE，设正方形ABCD的边长为a，分别表示出CE和CF的长，再根据勾股定理求出a＝6，最后再利用勾股定理求解即可．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，则CD的长为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90° AC=8 BC=6
∴AB===10
又∵D是AB的中点，
∴ CD=AB =5
故答案为：5.
【分析】：先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可以求出CD的长。
三、解答题
19．解下列方程：
（1）（3x-1）2＝2（3x-1）；
（2）2x2-4x+1＝0．
【答案】（1）解：∵（3x-1）2＝2（3x+1），
∴（3x-1）2-2（3x+1）＝0，
∴（3x-1）（3x-3）＝0，
则3x-1＝0或3x-3＝0，
解得x1＝ ，x2＝1
（2）解：∵2x2-4x+1＝0，
∴2x2-4x＝-1，
∴x2-2x＝- ，
∴x2-2x+1＝- +1，
（x-1）2＝ ，
∴x-1＝± ，
解得x1＝1+ ，x2＝1- ．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)把原方程移项后进行因式分解，变形为两个一元一次方程，求出方程的解即可；也可以使用公式法直接求出方程的两个解。
(2)把原方程的常数项移到方程的右边，并将二次项的系数化为1，运用配方法求出方程的解。
20．关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1 x2，求k的值．
【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（2k-1）2-4（k2+1）＞0，
解得k＜- ；
（2）解：x1+x2＝2k-1，x1x2＝k2+1，
∵k＜- ，
∴x1+x2＝2k-1＜0，
而x1x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝x1 x2，
∴-（x1+x2）＝x1 x2，即-（2k-1）＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝-2，
而k＜- ，
∴k＝-2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，得出 =b2-4ac>0 ，写出关于k的不 等式 ，解不等式，即求出k的取值范围。
（2）根据根与系数的关系，得到X1+X2=2K-1，X 1X2=K2＋1则判断X1＜0， X2＜0，所以-(2K-1)=K2＋1，然后解关于K的方程就可以得到满足条件K的值。
21．（2020九上·即墨期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD=CD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=CD，
∴四边形BECD是菱形．
（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先证四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）先证出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据正方形的判定推出即可；
（3）由（2）可知，四边形BECD是菱形，得出∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，由此得出△ABC是等腰直角三角形。
22．（2023八下·茶陵期中）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质即可得到，，进而根据题意即可得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出CD。
23．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，垂直于边的延长线于点，垂直于边的延长线于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当：：，时，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：，，，
是的平分线，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：：：，
设，则，
，
在菱形中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得负值舍去，
，
菱形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等点，在角的平分线上，可得是的平分线，再根据平行四边形的性质可得：，可证得：，从而得到进而得到，即可得证；
（2）设，则，则，在利用勾股定理可算出，根据菱形的面积公式即可求解.
24．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1-x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）解：假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900-2500-50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为X，根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1-X） ，第二次后的价格是60（1-X）2 元，据此既可以列出方程求解。
（2）假设下调a个50元，销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一个减一个加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000，既可以列出方程并求解。
1 / 1山东省枣庄市滕州市东郭中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、单选题（3*12＝36分）
1．方程x2=x的解是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．无实数解
2．若a为方程x2+2x-4＝0的解，则-a2-2a的值为（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-12
3．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
B．200（1+x）2＝1000
C．200+200 3 x＝1000
D．200+200 2 x＝1000
4．（2017·齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣ =0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
5．若方程x2+px+q＝0的根是2和3，那么代数式x2-px+q可分解因式为（ ）
A．（x-2）（x-3） B．（x+2）（x+3）
C．（x+2）（x-3） D．（x-2）（x+3）
6．（2022九上·宁波开学考）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
7．（2022八下·大同期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O， ．将菱形绕原点点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．
14．已知实数x满足（x2-x）2-2（x2-x）-15＝0，则代数式x2-x的值是 ．
15．（2023·海淀模拟） 如图，正方形，点在直线上，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则正方形的边长为 ．
16．定义一种新运算“*”，a*b＝ab+a+b，例如：1*2＝1×2+1+2．若x*（x+4）＝116，则x的值为 ．
17．（2023九上·福州月考）如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，则CD的长为 ．
三、解答题
19．解下列方程：
（1）（3x-1）2＝2（3x-1）；
（2）2x2-4x+1＝0．
20．关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1 x2，求k的值．
21．（2020九上·即墨期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
22．（2023八下·茶陵期中）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
23．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，垂直于边的延长线于点，垂直于边的延长线于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当：：，时，求菱形的面积．
24．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解方程x2=x，先将x移项到等号的左边，使右边为0，再分解因式，计算．
【解答】∵x2=x
∴x2-x=0
∴x（x-1)=0
∴x=0或1．故选C．
【点评】解方程x2=x，一般不用方程两边都除以x来计算，容易漏掉x=0这个解．
建议都移项到等号的另一边，使等号的一边为0，再解方程．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程 x2+2x-4=0 的一个解
∴a2＋2a-4=0
∴a2 ＋2a=4
∴-a2 -2a=-(a2+2a)=-4
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的解得定义，将X= a代入方程x2＋2x-4=0 求得 a2＋2a的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意得，二月份的营业额为200(1+X），三月份的营业额为200(1+X)2
∵一、二、三月份的营业额一共1000万元
∴200+200（1+X）+200(1+X)2＝1000
故答案为：A.
【分析】根据平均每月增长率为X，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共1000万元，可列出方程。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，解得x= ；
当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k （﹣ ）≥0，解得k≥﹣1，
所以k的范围为k≥﹣1．
故选C．
【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k （﹣ ）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．
5．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2＋px+q=0 的根是2和3
∴-P=2+3=5，q =2×3=6，即-P=5，q=6
∴x2－px+q=x2+5x+6=(x+2) (x+3).
故答案为：B.
【分析】根据已知一元二次方程的根与系数的关系，求出P和q的值 ，代入方程分解因式，即可得到结果。
6．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解： ∵当x=3.24时，y=-0.02，当x=3.25时，y=0.03，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间，
∴x的范围是3.24＜x＜3.25.
故答案为：C.
【分析】 根据由图象法求一元二次方程的根的方法可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围应在ax2+bx+c的值由负变正时所对应的x的两个值之间，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、符合题意．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、符合题意．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、不符合题意．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、符合题意．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ACD=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠1，
∴AD=CD，
根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定是菱形．
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，
∴x1+x2=6，x1 x2=k+1，
∵x12+x22= ﹣2x1 x2=36﹣2k﹣2=24，
∴k=5．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=6、x1 x2=k+1，结合x12+x22=24即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD 的对角线AC，BD相交于点O
∴ AB=BC=CD=DA AC⊥BD OA=OC
∵点E为AD的中点，OE=2
∴OE 是 ADC的中位线
∴ DC= 2OE＝2×2=4
∴菱形的周长=4DC=4×4=16
故菱形ABCD 的周长为16.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的四条边都相等，对角线垂直并且互相平分得到，AB=BC=CD=DA AC⊥BD OA=OC 结合点E 为AD 的中点，根据三角形的中位线的性质定理，计算得到DC=4 根据菱形的周长为4DC计算即可。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接MP ∵∠BAC=90° AB=6 AC=8
∴BC==10
∵PE⊥AB PF⊥AC ∴四边形AFPE是矩形
∴ EF=AP EF与AP互相平分
∵M为EF的中点
∴AM=AP
∵ AP⊥BC时，AP最短，同样AM也是最短
∴S ABC=AB·AC=BC·AP
∴AP===4.8
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当AM最短时，AM=AP=
即AM的最小值是.
故答案为：B.
【分析】连接MP，根据矩形的判定定理得到四边形AFPE是矩形，EF=AP。根据当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小(因为根据直线外一点与直线上任意一点所连的线段中，垂线最短）根据勾股定理求出BC，再利用三角形的面积公式求出AP ，以此求出AM的值.
11．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD=45° AD ∥ BC OA=OB=6
∴ ∠AEB=∠EAD=45° ∴ AB=BE
∵∠CAE=15° ∠BAE=45°
∴∠BAC=60° 又∵ OA=OB
∴ △ABo是等边三角形
∴ BO=AB =6
∴BO=BE=6
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE=∠EAD=45° AD∥BC OA=OB=6 证出∠AEB=∠EAD=45° 得到BE=BA 证得△ABO是等边三角形，得出BO=AB=6 则得出答案。
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵将菱形绕原点o，逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4
∴转4次后回到原来的位置
∵2023÷4=505……3
∴第2023次旋转结束时，点c在第三象限
如图：过A点作AE⊥X轴于点E ，延长OB到C 点，使OC =OA， 过点C 作C F⊥X轴于点F.
∴ ∠AEO=∠OFC =90° ∴∠OAE+∠AOE=90°
∵ 四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=OC AC⊥BD
∴∠C OF+∠AOE=90° ∴∠AOE=∠C OF
∴ △OAE≌ C OF (AAS) ∴ AE=OF OE=C F
∵ A(-2，2) ∴OE=2 AE=2 ∴ OF=2 C F=2
∴ C (-2，2) 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为（-2，-2）
故答案为：C.
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，得到第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作AE⊥X轴于点E，延长OB到C 点，使OC =OA 过C 点作C F⊥X轴于点F ，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，求出C 点的坐标，得到C点的的坐标。
13．【答案】﹣3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴m=1，k=﹣4，
∴m+k=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．
14．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：已知方程分解因式得：
(X2-X-5) (X2-X＋3)=0
可得X2-X-5=0或X2-X＋3=0(无解）
∴X2-X=5
故答案为：5.
【分析】方程左边分解因式后利用。并用两数相乘积为0。两因式中至少有一个为0，求出所求式子的值即可。
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DE⊥l，过点B作BF⊥l，
，
由题意可得：∠DEA=∠AFB=90°，
∵点到直线的距离为，点到直线的距离为，
∴BF=3，DE=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠ABF=90°-∠BAF，
∴△DAE≌△ABF，
∴∴AE=BF=3，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出BF=3，DE=2，再求出△DAE≌△ABF，最后利用全等三角形的性质和勾股定理等计算求解即可。
16．【答案】8或-14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意的，X(X＋4)＋X＋X＋4=116
整理的X2＋6X=112
配方法得（X＋3）2=112
开方得X＋3=±11
解得X1=8 X2=-14
所以X的值为8或-14
故答案为：8或 -14.
【分析】根据定义的新运算得出一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可。
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AD，
正方形ABCD中，AB＝AD，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D，
又AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝90°-45°＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF，
又AG＝AF，AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝FE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，
∴FE＝DF+BE＝2+3＝5，
设正方形ABCD的边长为a，
∴CE＝BC-CE＝a-2，CF＝CD-DF＝a-3，
∵FE2＝CE2+CF2，
∴52＝（a-2）2+（a-3）2，
∴a＝-1（舍去）或a＝6，
∴AF=3，
故答案为：3.
【分析】延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，首先利用正方形的性质由SAS证明△ABG≌△ADF，得出∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，然后证明∠EAG＝∠EAF，即可利用SAS证明△GAE≌△FAE，得出GE＝FE，设正方形ABCD的边长为a，分别表示出CE和CF的长，再根据勾股定理求出a＝6，最后再利用勾股定理求解即可．
18．【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90° AC=8 BC=6
∴AB===10
又∵D是AB的中点，
∴ CD=AB =5
故答案为：5.
【分析】：先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可以求出CD的长。
19．【答案】（1）解：∵（3x-1）2＝2（3x+1），
∴（3x-1）2-2（3x+1）＝0，
∴（3x-1）（3x-3）＝0，
则3x-1＝0或3x-3＝0，
解得x1＝ ，x2＝1
（2）解：∵2x2-4x+1＝0，
∴2x2-4x＝-1，
∴x2-2x＝- ，
∴x2-2x+1＝- +1，
（x-1）2＝ ，
∴x-1＝± ，
解得x1＝1+ ，x2＝1- ．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)把原方程移项后进行因式分解，变形为两个一元一次方程，求出方程的解即可；也可以使用公式法直接求出方程的两个解。
(2)把原方程的常数项移到方程的右边，并将二次项的系数化为1，运用配方法求出方程的解。
20．【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（2k-1）2-4（k2+1）＞0，
解得k＜- ；
（2）解：x1+x2＝2k-1，x1x2＝k2+1，
∵k＜- ，
∴x1+x2＝2k-1＜0，
而x1x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝x1 x2，
∴-（x1+x2）＝x1 x2，即-（2k-1）＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝-2，
而k＜- ，
∴k＝-2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，得出 =b2-4ac>0 ，写出关于k的不 等式 ，解不等式，即求出k的取值范围。
（2）根据根与系数的关系，得到X1+X2=2K-1，X 1X2=K2＋1则判断X1＜0， X2＜0，所以-(2K-1)=K2＋1，然后解关于K的方程就可以得到满足条件K的值。
21．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD=CD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=CD，
∴四边形BECD是菱形．
（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先证四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）先证出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据正方形的判定推出即可；
（3）由（2）可知，四边形BECD是菱形，得出∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，由此得出△ABC是等腰直角三角形。
22．【答案】（1）证明：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质即可得到，，进而根据题意即可得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出CD。
23．【答案】（1）证明：，，，
是的平分线，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：：：，
设，则，
，
在菱形中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得负值舍去，
，
菱形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等点，在角的平分线上，可得是的平分线，再根据平行四边形的性质可得：，可证得：，从而得到进而得到，即可得证；
（2）设，则，则，在利用勾股定理可算出，根据菱形的面积公式即可求解.
24．【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1-x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）解：假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900-2500-50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为X，根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1-X） ，第二次后的价格是60（1-X）2 元，据此既可以列出方程求解。
（2）假设下调a个50元，销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一个减一个加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000，既可以列出方程并求解。
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