2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.3正方形 同步练习
一、选择题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：菱形的性质有①菱形的对边互相平行，且四条边都相等，②菱形的对角相等，邻角互补，③菱形的对角线分别平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
正方形具有而菱形不一定具有的性质是矩形的特殊性质（①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线相等），
A、菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项错误；
B、菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项正确；
C、菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项错误；
D、菱形和正方形的对角都相等，故本选项错误；
故选B．
【分析】先回顾一下菱形和正方形的性质，知道矩形的特殊性质是正方形具有而菱形不具有的性质，根据矩形的特殊性质逐个判断即可．
2．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（ ）
A．45° B．22.5°
C．67.5° D．75°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=67.5°，
∴∠ACP=∠BCP﹣∠BCA=67.5°﹣45°=22.5°．
故选B．
【分析】根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数．
3．（2017八下·曲阜期中）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，
∴CE= BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9﹣x）2=32+x2，
解得：x=4，
即CH=4．
故选（B）．
【分析】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
4．（2017·天津模拟）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故答案为：C．
【分析】可观察图形，按一定的顺序不重不漏，由小到大，可得4对.
5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的值是（ ）．
A． +1 B． -1 C． +2 D． -2
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO=EF，
在Rt△COE和Rt△CFE中
，
∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），
∴CO=FC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC= ，
∴CO= AC= ，
∴CF=CO= ，
∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣ ，
∴DE= = ﹣1，
另法：因为四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°=∠DBC=∠DAC，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴∠ACE=∠DCE=22.5°，
∴∠BCE=45°+22.5°=67.5°，
∵∠CBE=45°，
∴∠BEC=67.5°，
∴BE=BC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC=1，
∴BE=1，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC= ，
∴DE= ﹣1，
故答案为： ﹣1．故答案为：B.
【分析】由正方形的性质对角线垂直平分且相等，再根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；根据HL得到Rt△COE≌Rt△CFE，得到对应边相等，根据勾股定理求出DE的值.
6．如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG，若AB=6，则FG的长度为（ ）．
A．3 B．4 C．2 D．5
【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵F、G分别为BE，CE的中点，
∴FG=3，
故答案为：3，故答案为：A.
【分析】由正方形性质和三角形中位线定理，求出FG=AB.
7．（2017八下·大冶期末）如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数
【解析】【解答】解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，
面积由“增加→不变→减少”变化．
故选：C．
【分析】小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当0≤x＜完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x分为三段．
8．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若 ，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；
③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
④∵ ，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中， ，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD为等腰直角三角形，
过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：
设HM=x，则DM=5x，DH= x，CD=6x，
则S△DHC= ×HM×CD=3x2，S△EDH= ×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质对角线AC平分∠BAD，得到AE=EG；由EF∥AD，得到AE=DF，得到EG=DF；由H为CG的中点，根据SAS得到△EHF≌△DHC，得到对应角相等，得到∠AEH+∠ADH=180°；由已知和SAS得到△EHF≌△DHC、△EGH≌△DFH；得到对应角相等，再根据勾股定理和三角形的面积公式，得到3S△EDH=13S△DHC.
二、填空题
9．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME= ．
【答案】45°
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°﹣45°=45°；
故答案为：45°．
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，得到∠AEM=∠B=90°，正方形的对角线平分每组对角，求出∠CME的度数.
10．四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，请你再添加一个条件，使该四边形是正方形，你所添加的条件是 ．
【答案】AB=BC
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵有一组邻边相等的矩形是正方形，
∴可填：AB=BC．
故答案为AB=BC．
【分析】由∠A=∠B=∠C=90°，得到四边形ABCD是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可填邻边相等.
11．（2017·铁西模拟）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm．
【答案】13
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC= cm，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD= cm，
所以菱形的边长= cm．
故答案为：13．
【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
12．有一面积为5 的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
【答案】20 或20
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴BD= AB= a，
∴ a a=5 ，
∴a2=20 ，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20 ．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在Rt△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD= a，
∴ a a=5 ，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20 或20．
【分析】当顶角是30°时，在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；得到BD=AB，由三角形的面积公式求出以腰长为边的正方形的面积；当底角是30°时，顶角∠BAC=120°，根据勾股定理求出BD的代数式，由三角形的面积公式得到以腰长为边的正方形的面积.
13．（2017八下·启东期中）如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，
则点G在AD上，所以PE=PG，由三角形的三边关系可知，PE+PF=PG+PF≤GF，而GF的最小值是AB的长，因为正方形ABCD的面积是2，所以 ，所以PE+PF的最小值是 。
故答案是：
【分析】根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，可知GF的最小值是AB的长，再根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出答案。
14．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是 ．
【答案】（63，32）
【知识点】正方形的性质；探索图形规律；一次函数的性质
【解析】【解答】解：方法一：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，
∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，
∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，
∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，
∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，
即点A4的坐标为（7，8）．
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．
即点An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．
∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．
故答案为：（63，32）．
方法二：
∵B1C1=1，B2C2=2，
∴q=2，a1=1，
∴B6C6=25=32，
∴OC1=1=21=1，
OC2=1+2=22﹣1，
OC3=1+2+4=23﹣1…
OC6=26﹣1=63，
∴B6（63，32）．
【分析】根据正方形的性质和直线y=x+1的性质，得到点B2的坐标，得到A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，···根据规律求出点An的坐标，得到点A6的坐标，点B6的坐标.
三、计算题
15．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，∠CBF=20°．
（1）∠ACB的大小= （度）；
（2）求证：△ABE≌△ADE；
（3）∠AED的大小= （度）．
【答案】（1）45
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠EAB=∠EAD，
在△EAB和△EAD中，
，
∴△EAB≌△EAD．
（3）65
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ACB= BCD= ×90°=45°．
故答案为45．
（ 3 ）∵△EAB≌△EAD，
∴∠AED=∠AEB，
∵∠AEB=∠EBC+∠BCE=20°+45°=65°．
∴∠AED=65°．
故答案为65．
【分析】（1）根据正方形的性质对角线平分每组对角，得到∠ACB=45°；（2）由点E在正方形的对角线AC上，根据SAS得到△EAB≌△EAD；（ 3 ）由（2）知△EAB≌△EAD，得到对应角相等，再由已知，求出∠AED的度数.
16．用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
【答案】（1）解：BG=EH．∵四边形ABCD和CDFE都是正方形，∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，∵∠CDG+∠CDH=∠FDH+∠HDC=90°，∴∠CDG=∠FDH，在△CDG和△FDH中∴△CDG≌△FDH（ASA），∴CG=FH，∵BC=EF，
∴BG=EH．
（2）解：结论BG=EH仍然成立．同理可证△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BC+CG=EF+FH，
∴BG=EH．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质各个角都是90°，四边相等，再由ASA得到△CDG≌△FDH，得到对应边相等，得到BG=EH；（2）由ASA得到△CDG≌△FDH，得到对应边相等，由BC=EF，得到BG=EH．
17．如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点．DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）如图2，如果点G是BC延长线上一点，其余条件不变，则线段AF、BF、EF有什么数量关系？请证明出你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ABF和△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE
（2）AF+BF=EF；∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ABF和△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴AF+EF=BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到四边相等，四个角都是90°，得到∠BAF=∠ADE，AAS得到△ABF≌△DAE，得到对应边AE=BF；（2）根据正方形的性质和AAS，得到△ABF≌△DAE，得到对应边BF=AE，AF=DE，得到AF+EF=BF．
18．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
【答案】（1）解：如图1，延长EB交DG于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE在△ADG与△ABE中， ，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE
（2）解：如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，∵BD是正方形ABCD的对角，∴∠MDA=45°在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45°，AD=2，
∴AM=DM= ，
在Rt△AMG中，∵AM2+GM2=AG2∴GM= ，
∵DG=DM+GM= + ，
∴S△ADG= DG AM= （ + ） =1+ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到四边相等，四角相等，由SAS得到△ADG≌△ABE，得到对应角相等，由角的和差得到DG⊥BE；（2）根据旋转和正方形的性质，得到∠MDA=45°，根据勾股定理求出AM=DM、DG=DM+GM的值，求出△ADG的面积．
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.3正方形 同步练习
一、选择题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
2．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（ ）
A．45° B．22.5°
C．67.5° D．75°
3．（2017八下·曲阜期中）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2017·天津模拟）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的值是（ ）．
A． +1 B． -1 C． +2 D． -2
6．如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG，若AB=6，则FG的长度为（ ）．
A．3 B．4 C．2 D．5
7．（2017八下·大冶期末）如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若 ，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME= ．
10．四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，请你再添加一个条件，使该四边形是正方形，你所添加的条件是 ．
11．（2017·铁西模拟）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm．
12．有一面积为5 的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
13．（2017八下·启东期中）如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于 ．
14．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是 ．
三、计算题
15．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，∠CBF=20°．
（1）∠ACB的大小= （度）；
（2）求证：△ABE≌△ADE；
（3）∠AED的大小= （度）．
16．用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
17．如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点．DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）如图2，如果点G是BC延长线上一点，其余条件不变，则线段AF、BF、EF有什么数量关系？请证明出你的结论．
18．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：菱形的性质有①菱形的对边互相平行，且四条边都相等，②菱形的对角相等，邻角互补，③菱形的对角线分别平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
正方形具有而菱形不一定具有的性质是矩形的特殊性质（①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线相等），
A、菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项错误；
B、菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项正确；
C、菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项错误；
D、菱形和正方形的对角都相等，故本选项错误；
故选B．
【分析】先回顾一下菱形和正方形的性质，知道矩形的特殊性质是正方形具有而菱形不具有的性质，根据矩形的特殊性质逐个判断即可．
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=67.5°，
∴∠ACP=∠BCP﹣∠BCA=67.5°﹣45°=22.5°．
故选B．
【分析】根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数．
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，
∴CE= BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9﹣x）2=32+x2，
解得：x=4，
即CH=4．
故选（B）．
【分析】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故答案为：C．
【分析】可观察图形，按一定的顺序不重不漏，由小到大，可得4对.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO=EF，
在Rt△COE和Rt△CFE中
，
∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），
∴CO=FC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC= ，
∴CO= AC= ，
∴CF=CO= ，
∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣ ，
∴DE= = ﹣1，
另法：因为四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°=∠DBC=∠DAC，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴∠ACE=∠DCE=22.5°，
∴∠BCE=45°+22.5°=67.5°，
∵∠CBE=45°，
∴∠BEC=67.5°，
∴BE=BC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC=1，
∴BE=1，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC= ，
∴DE= ﹣1，
故答案为： ﹣1．故答案为：B.
【分析】由正方形的性质对角线垂直平分且相等，再根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；根据HL得到Rt△COE≌Rt△CFE，得到对应边相等，根据勾股定理求出DE的值.
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵F、G分别为BE，CE的中点，
∴FG=3，
故答案为：3，故答案为：A.
【分析】由正方形性质和三角形中位线定理，求出FG=AB.
7．【答案】C
【知识点】分段函数
【解析】【解答】解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，
面积由“增加→不变→减少”变化．
故选：C．
【分析】小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当0≤x＜完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x分为三段．
8．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；
③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
④∵ ，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中， ，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD为等腰直角三角形，
过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：
设HM=x，则DM=5x，DH= x，CD=6x，
则S△DHC= ×HM×CD=3x2，S△EDH= ×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质对角线AC平分∠BAD，得到AE=EG；由EF∥AD，得到AE=DF，得到EG=DF；由H为CG的中点，根据SAS得到△EHF≌△DHC，得到对应角相等，得到∠AEH+∠ADH=180°；由已知和SAS得到△EHF≌△DHC、△EGH≌△DFH；得到对应角相等，再根据勾股定理和三角形的面积公式，得到3S△EDH=13S△DHC.
9．【答案】45°
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°﹣45°=45°；
故答案为：45°．
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，得到∠AEM=∠B=90°，正方形的对角线平分每组对角，求出∠CME的度数.
10．【答案】AB=BC
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵有一组邻边相等的矩形是正方形，
∴可填：AB=BC．
故答案为AB=BC．
【分析】由∠A=∠B=∠C=90°，得到四边形ABCD是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可填邻边相等.
11．【答案】13
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以AC= cm，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以BD= cm，
所以菱形的边长= cm．
故答案为：13．
【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
12．【答案】20 或20
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴BD= AB= a，
∴ a a=5 ，
∴a2=20 ，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20 ．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在Rt△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD= a，
∴ a a=5 ，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20 或20．
【分析】当顶角是30°时，在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；得到BD=AB，由三角形的面积公式求出以腰长为边的正方形的面积；当底角是30°时，顶角∠BAC=120°，根据勾股定理求出BD的代数式，由三角形的面积公式得到以腰长为边的正方形的面积.
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，
则点G在AD上，所以PE=PG，由三角形的三边关系可知，PE+PF=PG+PF≤GF，而GF的最小值是AB的长，因为正方形ABCD的面积是2，所以 ，所以PE+PF的最小值是 。
故答案是：
【分析】根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，可知GF的最小值是AB的长，再根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出答案。
14．【答案】（63，32）
【知识点】正方形的性质；探索图形规律；一次函数的性质
【解析】【解答】解：方法一：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，
∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，
∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，
∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，
∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，
即点A4的坐标为（7，8）．
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．
即点An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．
∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．
故答案为：（63，32）．
方法二：
∵B1C1=1，B2C2=2，
∴q=2，a1=1，
∴B6C6=25=32，
∴OC1=1=21=1，
OC2=1+2=22﹣1，
OC3=1+2+4=23﹣1…
OC6=26﹣1=63，
∴B6（63，32）．
【分析】根据正方形的性质和直线y=x+1的性质，得到点B2的坐标，得到A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，···根据规律求出点An的坐标，得到点A6的坐标，点B6的坐标.
15．【答案】（1）45
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠EAB=∠EAD，
在△EAB和△EAD中，
，
∴△EAB≌△EAD．
（3）65
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ACB= BCD= ×90°=45°．
故答案为45．
（ 3 ）∵△EAB≌△EAD，
∴∠AED=∠AEB，
∵∠AEB=∠EBC+∠BCE=20°+45°=65°．
∴∠AED=65°．
故答案为65．
【分析】（1）根据正方形的性质对角线平分每组对角，得到∠ACB=45°；（2）由点E在正方形的对角线AC上，根据SAS得到△EAB≌△EAD；（ 3 ）由（2）知△EAB≌△EAD，得到对应角相等，再由已知，求出∠AED的度数.
16．【答案】（1）解：BG=EH．∵四边形ABCD和CDFE都是正方形，∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，∵∠CDG+∠CDH=∠FDH+∠HDC=90°，∴∠CDG=∠FDH，在△CDG和△FDH中∴△CDG≌△FDH（ASA），∴CG=FH，∵BC=EF，
∴BG=EH．
（2）解：结论BG=EH仍然成立．同理可证△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BC+CG=EF+FH，
∴BG=EH．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质各个角都是90°，四边相等，再由ASA得到△CDG≌△FDH，得到对应边相等，得到BG=EH；（2）由ASA得到△CDG≌△FDH，得到对应边相等，由BC=EF，得到BG=EH．
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ABF和△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE
（2）AF+BF=EF；∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ABF和△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴AF+EF=BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到四边相等，四个角都是90°，得到∠BAF=∠ADE，AAS得到△ABF≌△DAE，得到对应边AE=BF；（2）根据正方形的性质和AAS，得到△ABF≌△DAE，得到对应边BF=AE，AF=DE，得到AF+EF=BF．
18．【答案】（1）解：如图1，延长EB交DG于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE在△ADG与△ABE中， ，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE
（2）解：如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，∵BD是正方形ABCD的对角，∴∠MDA=45°在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45°，AD=2，
∴AM=DM= ，
在Rt△AMG中，∵AM2+GM2=AG2∴GM= ，
∵DG=DM+GM= + ，
∴S△ADG= DG AM= （ + ） =1+ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到四边相等，四角相等，由SAS得到△ADG≌△ABE，得到对应角相等，由角的和差得到DG⊥BE；（2）根据旋转和正方形的性质，得到∠MDA=45°，根据勾股定理求出AM=DM、DG=DM+GM的值，求出△ADG的面积．
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