2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：1.5 平方差公式
一、单选题
1．（2015七下·深圳期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
2．（2015七下·南山期中）若a2﹣b2= ，a﹣b= ，则a+b的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
3．下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+b）2=a2﹣2ab+b2
4．（2015七下·衢州期中）计算下列各式，其结果是4y2﹣1的是（ ）
A．（2y﹣1）2 B．（2y+1）（2y﹣1）
C．（﹣2y+1）（﹣2y+1） D．（﹣2y﹣1）（2y+1）
5．（2016八上·海南期中）如图，从边长为a cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（ ）
A．6a cm2 B．（6a+9）cm2
C．（6a﹣9）cm2 D．（a2﹣6a+9）cm2
6．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，则他们两人谁摆的面积大？（ ）
A．小刚 B．小明 C．同样大 D．无法比较
7．（2015八上·卢龙期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
8．（2017七下·江都期中）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
二、填空题
9．（2015七下·深圳期中）已知（x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a= ．
10．（2016七下·港南期中）若a2﹣b2= ，a﹣b= ，则a+b的值为 ．
11．（2017八上·启东期中）已知：（x﹣2）0无意义，请你计算（2x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）= ．
12．（2017七下·惠山期中）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）．
13．（2017七上·孝南期中）如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则这个长方形的周长是 ．
14．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，分别化简下列各式并填空：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1根据上述规律，可得（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）=
请你利用上面的结论，完成下面问题：
计算：299+298+297+…+2+1，并判断末位数字是
三、解答题
15．899×901+1（用乘法公式）
16．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：
（1）x2+y2
（2）xy．
17．一个单项式加上多项式9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．
18．如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值
19．一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）
20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02 ， 12=42﹣22 ， 20=62﹣42 ， 因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A符合题意；
B、两个括号中，﹣x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B不符合题意；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C不符合题意；
D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D不符合题意；
故选：A．
【分析】根据公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的左边的形式，判断能否使用．
2．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ，
故选B
【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a+b的值．
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A、应为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，本选项错误；B、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，本选项正确；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，本选项错误；D、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，本选项错误．故选B．
【分析】利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、结果是4y2﹣4y+1，故本选项错误；
B、结果是4y2﹣1，故本选项正确；
C、结果是4y2﹣4y+1，故本选项错误；
D、结果是﹣4y2﹣4y﹣1，故本选项错误；
故选B．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．
5．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：长方形的面积是a2﹣（a﹣3）2=（6a﹣9）（cm2），
故答案为：C．
【分析】根据题意得出算式a2﹣（a﹣3）2，求出即可．
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】设三个木棒的长度分别为x﹣1、x和x+1，则小明所摆正方形的面积为x2，小刚所摆长方形的面积为（x+1）（x﹣1），
∵x2﹣（x+1）（x﹣1）=x2﹣（x2﹣1）=x2﹣x2+1=1＞0，∴x2＞（x+1）（x﹣1），∴小明所摆的正方形的面积大于小刚所摆长方形的面积，故选B．
【分析】可设三个木棒的长度分别为x﹣1、x、x+1，分别表示出两个图形的面积，再用作差法进行比较大小即可．
7．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
8．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2
=4a2﹣a2﹣4a﹣4
=3a2﹣4a﹣4，
故选：C．
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
9．【答案】±3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据平方差公式，
（x﹣a）（x+a）=x2﹣a2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=± =±3．
故答案为：±3．
【分析】可先将式子（x﹣a）（x+a）变形为x2﹣a2，然后，再根据a2与9的相等关系，来解答出a的值即可．
10．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ．
故答案为： ．
【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
11．【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可知：x=2，
原式=4x2+4x+1﹣（4x2﹣25）=4x+26，
∴将x=2代入4x+26，
∴原式=8+26=34，
故答案为：34
【分析】由题意可知：x=2，然后将原式化简后代入即可求出答案
12．【答案】ab
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（ ）2﹣4×（ ）2=ab．
故答案为：ab．
【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
13．【答案】4m+12
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由面积的和差，得
长形的面积为（m+3）2﹣m2=（m+3+m）（m+3﹣m）=3（2m+3）．
由长方形的宽为3，可可得长方形的长是（2m+3）．
长方形的周长是2[（2m+3）+3]=4m+12，
故答案为：4m+12．
【分析】根据面积的和差，可得长方形的面积，根据长方形的面积公式，可得长方形的长，根据长方形的周长公式，可得答案．
14．【答案】x100﹣1；5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（2）（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，故（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1故答案为：x100﹣1；根据以上分析：299+298+297+…+2+1=（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）=2100﹣1；末位数字是5．
【分析】据平方差公式，和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律．
15．【答案】解：899×901+1，
=（900﹣1）（900+1）+1，
=9002﹣12+1，
=810000．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】899可以写成900﹣1而901写成900+1，899×901就是（900﹣1）（900+1）就可以利用平方差公式，比较简单的计算出式子的值．
16．【答案】（1）解：有题意知：（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，
（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，
=2（x2+y2），
=49+1，
=50，
∴x2+y2=25
（2）解：①﹣②得：4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，∴xy=12．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】两个等式先展开再相减，灵活运用完全平方公式进行计算．
17．【答案】解：∵9（x﹣1）2﹣2x﹣5=9x2﹣20x+4，又∵个单项式加上9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，∴此单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，①∵9x2﹣20x+4+=（3x﹣）2，故此单项式是；②∵9x2﹣20x+4+8x=（3x﹣2）2，故此单项式是8x；∵9x2﹣20x+4+32x=（3x+2）2，故此单项式是32x；③∵9x2﹣20x+4+16x2=（5x﹣2）2，故此单项式是16x2；故答案是、8x、32x、16x2．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先化简原式，得到9x2﹣20x+4，由于一个单项式加上多项式9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，故这个单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论即可．
18．【答案】解：∵36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，
∴（m+1）xy=±2 6x 5y，
∴m+1=±60，
∴m=59或﹣61．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
19．【答案】解：①加5，则x2﹣6x+4+5=（x﹣3）2；
②加10x，则x2﹣6x+4+10x=（x+2）2；
③加2x，则x2﹣6x+4+2x=（x﹣2）2．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先化简原式，得到9x2﹣20x+4，由于一个单项式加上多项式9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，故这个单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论即可．
20．【答案】（1）解：是,理由如下:
∵28=82-62,2012=5042-5022
∴28是“神秘数”;2012是“神秘数
（2）“神秘数”是4的倍数.理由如下:
(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1)
∴“神秘数是4的奇数倍。
（3）设两个连续的奇数为:2k+1,2k-1,则
(2k+1)2-(2k-1)2=8k=2×4k
而由(2)知“神秘数”是4的倍数,
所以两个连续的奇数的平方差也是神秘数。
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式进行计算即可，注意平方差公式的形式。
1 / 12017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：1.5 平方差公式
一、单选题
1．（2015七下·深圳期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A符合题意；
B、两个括号中，﹣x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B不符合题意；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C不符合题意；
D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D不符合题意；
故选：A．
【分析】根据公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的左边的形式，判断能否使用．
2．（2015七下·南山期中）若a2﹣b2= ，a﹣b= ，则a+b的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ，
故选B
【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a+b的值．
3．下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+b）2=a2﹣2ab+b2
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A、应为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，本选项错误；B、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，本选项正确；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，本选项错误；D、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，本选项错误．故选B．
【分析】利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
4．（2015七下·衢州期中）计算下列各式，其结果是4y2﹣1的是（ ）
A．（2y﹣1）2 B．（2y+1）（2y﹣1）
C．（﹣2y+1）（﹣2y+1） D．（﹣2y﹣1）（2y+1）
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、结果是4y2﹣4y+1，故本选项错误；
B、结果是4y2﹣1，故本选项正确；
C、结果是4y2﹣4y+1，故本选项错误；
D、结果是﹣4y2﹣4y﹣1，故本选项错误；
故选B．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．
5．（2016八上·海南期中）如图，从边长为a cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（ ）
A．6a cm2 B．（6a+9）cm2
C．（6a﹣9）cm2 D．（a2﹣6a+9）cm2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：长方形的面积是a2﹣（a﹣3）2=（6a﹣9）（cm2），
故答案为：C．
【分析】根据题意得出算式a2﹣（a﹣3）2，求出即可．
6．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，则他们两人谁摆的面积大？（ ）
A．小刚 B．小明 C．同样大 D．无法比较
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】设三个木棒的长度分别为x﹣1、x和x+1，则小明所摆正方形的面积为x2，小刚所摆长方形的面积为（x+1）（x﹣1），
∵x2﹣（x+1）（x﹣1）=x2﹣（x2﹣1）=x2﹣x2+1=1＞0，∴x2＞（x+1）（x﹣1），∴小明所摆的正方形的面积大于小刚所摆长方形的面积，故选B．
【分析】可设三个木棒的长度分别为x﹣1、x、x+1，分别表示出两个图形的面积，再用作差法进行比较大小即可．
7．（2015八上·卢龙期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
8．（2017七下·江都期中）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2
=4a2﹣a2﹣4a﹣4
=3a2﹣4a﹣4，
故选：C．
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
二、填空题
9．（2015七下·深圳期中）已知（x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a= ．
【答案】±3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据平方差公式，
（x﹣a）（x+a）=x2﹣a2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=± =±3．
故答案为：±3．
【分析】可先将式子（x﹣a）（x+a）变形为x2﹣a2，然后，再根据a2与9的相等关系，来解答出a的值即可．
10．（2016七下·港南期中）若a2﹣b2= ，a﹣b= ，则a+b的值为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ．
故答案为： ．
【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
11．（2017八上·启东期中）已知：（x﹣2）0无意义，请你计算（2x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）= ．
【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可知：x=2，
原式=4x2+4x+1﹣（4x2﹣25）=4x+26，
∴将x=2代入4x+26，
∴原式=8+26=34，
故答案为：34
【分析】由题意可知：x=2，然后将原式化简后代入即可求出答案
12．（2017七下·惠山期中）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）．
【答案】ab
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（ ）2﹣4×（ ）2=ab．
故答案为：ab．
【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
13．（2017七上·孝南期中）如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则这个长方形的周长是 ．
【答案】4m+12
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由面积的和差，得
长形的面积为（m+3）2﹣m2=（m+3+m）（m+3﹣m）=3（2m+3）．
由长方形的宽为3，可可得长方形的长是（2m+3）．
长方形的周长是2[（2m+3）+3]=4m+12，
故答案为：4m+12．
【分析】根据面积的和差，可得长方形的面积，根据长方形的面积公式，可得长方形的长，根据长方形的周长公式，可得答案．
14．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，分别化简下列各式并填空：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1根据上述规律，可得（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）=
请你利用上面的结论，完成下面问题：
计算：299+298+297+…+2+1，并判断末位数字是
【答案】x100﹣1；5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（2）（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，故（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1故答案为：x100﹣1；根据以上分析：299+298+297+…+2+1=（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）=2100﹣1；末位数字是5．
【分析】据平方差公式，和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律．
三、解答题
15．899×901+1（用乘法公式）
【答案】解：899×901+1，
=（900﹣1）（900+1）+1，
=9002﹣12+1，
=810000．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】899可以写成900﹣1而901写成900+1，899×901就是（900﹣1）（900+1）就可以利用平方差公式，比较简单的计算出式子的值．
16．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：
（1）x2+y2
（2）xy．
【答案】（1）解：有题意知：（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，
（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，
=2（x2+y2），
=49+1，
=50，
∴x2+y2=25
（2）解：①﹣②得：4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，∴xy=12．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】两个等式先展开再相减，灵活运用完全平方公式进行计算．
17．一个单项式加上多项式9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．
【答案】解：∵9（x﹣1）2﹣2x﹣5=9x2﹣20x+4，又∵个单项式加上9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，∴此单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，①∵9x2﹣20x+4+=（3x﹣）2，故此单项式是；②∵9x2﹣20x+4+8x=（3x﹣2）2，故此单项式是8x；∵9x2﹣20x+4+32x=（3x+2）2，故此单项式是32x；③∵9x2﹣20x+4+16x2=（5x﹣2）2，故此单项式是16x2；故答案是、8x、32x、16x2．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先化简原式，得到9x2﹣20x+4，由于一个单项式加上多项式9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，故这个单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论即可．
18．如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值
【答案】解：∵36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，
∴（m+1）xy=±2 6x 5y，
∴m+1=±60，
∴m=59或﹣61．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
19．一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）
【答案】解：①加5，则x2﹣6x+4+5=（x﹣3）2；
②加10x，则x2﹣6x+4+10x=（x+2）2；
③加2x，则x2﹣6x+4+2x=（x﹣2）2．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先化简原式，得到9x2﹣20x+4，由于一个单项式加上多项式9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，故这个单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论即可．
20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02 ， 12=42﹣22 ， 20=62﹣42 ， 因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
【答案】（1）解：是,理由如下:
∵28=82-62,2012=5042-5022
∴28是“神秘数”;2012是“神秘数
（2）“神秘数”是4的倍数.理由如下:
(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1)
∴“神秘数是4的奇数倍。
（3）设两个连续的奇数为:2k+1,2k-1,则
(2k+1)2-(2k-1)2=8k=2×4k
而由(2)知“神秘数”是4的倍数,
所以两个连续的奇数的平方差也是神秘数。
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式进行计算即可，注意平方差公式的形式。
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